PDF 偏微分係数と極大・極小の必要条件 - Keio

偏微分係数と極大・極小の必要条件

微分積分

プラン

ミクロ経済学における基本的な問題 開集合

極大・極小と停留点（極大・極小の必要条件）

クラメールの公式

偏微分係数と極大・極小の必要条件

入門 。

←^」

、

開 区間^。

ミクロ経済学における

基本的な問題

ミクロ経済学における基本的な問題

ミクロ経済学では最初に以下の基本的な問題を学びます．

生産理論 消費者理論

偏微分係数と極大・極小の必要条件

生産理論（ ）

生産物 が生産要素 から生産される

とします． , , _{の価格はそれぞれ} , , とします． と をそれぞれ と 投入するとき が = ( , )_{得られるとします．}

このとき ( , )を生産関数 と呼ばれます．またこ

の状況で利潤関数 を

⇡( , ) = ( , ) と定義します．

生産理論の最初のステップは，利潤関数⇡( , )を最大化して生産要素需 要関数

= ( , , ), = ( , , ) を求めることにあります．

nnt

c

原料

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モデル^・

た

ビー

~ ~ ~

-

生産理論（ ）

生産要素 生産物 価格 !

量 = ( , )

偏微分係数と極大・極小の必要条件

癱

耬 、

生産 は 数

消費者理論（ ）

商品 があるとします． を を 購入するとき，消費者 が効用関数 ( , )の効用を得るとします．さらに , の 価格が , であるとします．

消費者が予算 を全額消費して を購入するとします．ここでの問題は 予算制約と呼ばれる制約条件

= の下で ( , )_{を最大化して需要関数}

= ( , , ), = ( , , ) と所得の限界効用

= ( , , ) を得ることです．

-_- 業

で

一

※

e n

孿 舙 最

消費者理論（ ）

偏微分係数と極大・極小の必要条件

、

開集合

CA_,¹3 )^の各

点

回り

含ま

] A

, B[

開 区間

ltoc_。 e

(

)

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Ames

-

Ooxstc sogou.es )

x_。-8 ^か

し た

。s ^C CA_,^B

)

開円盤

開円盤

> ( , )2 に対して

( ) :={ 2 ; ( , )< } を中心 半径 > の開円盤と呼びます．こ こで ( , )_{は 点 の距離です．} ( , ) のとき

( , ) = q

( ) + ( )

注意今後「 の近くで〜」という言い方をしますが，これはある正数

> _に対して

任意の 2 ( )において〜

偏微分係数と極大・極小の必要条件

Edius 半径

.name

巨岩

一、

i n mes t re u re

l

'

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い、

ユークリッド

に

離

.

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~

癌

開集合（ ）

の部分集合 があるとします． が開集合 であるとは任意の 2 に対して > _が存 在して

( ) :={ 2 ; ( , )< }⇢ が成立することです．

注意 の任意の点 の周りが に含まれてい るということです．

「 点

命題・命題関数

命題とは真偽が明らかな文のことです．例えば

> _{真（ ）}

> _{偽（ ）}

集合 上の命題関数とは 2 に対して命題 ( )_{を対応させるもので} す．例えば = _のとき

( ) : <

と定めると

( ) : < _偽 ( ) : < _真 となります．

偏微分係数と極大・極小の必要条件

-

oc^{= o}

t

つく こて

VaEx (P ^い

)

ヨ、₍ EX

(

)

偽

は

真

命題・命題関数

集合 上の命題関数 ( )があるとき付随して命題を定めることができ ます．

8 2 ( ( ))

はすべての 2 に対して ( )が真であるという命題です．前ページの 例では ( )_{が偽ですから}8 2 ( ( ))_{は偽です．}

さらに

9 2 ( ( ))

はある 2 に対して ( )が真であるという命題です．前ページの例で は ( )_{が真ですから}9 2 ( ( ))_{は真です．}

、

命題・命題関数 重要な公式

集合 上の命題関数 ( )に対して

(8 2 ( ))⌘ 9 2 ( ( )) (9 2 ( ))⌘ 8 2 ( ( ))

偏微分係数と極大・極小の必要条件

_

t

常に

真偽 笈 紫

~ ~

- _ -

開集合の例

以下の の部分集合は開集合です．

上半平面

:={( , )2 ; > }

f いない で 籅

。 だ

_

〇 が

いい

にが

が いい )

- _ - - _ - - _ - yeo

開集合の例

第 象限（ ）

++:={( , )2 ; , > } 開円盤

( ) :={ 2 ; ( , )< }

偏微分係数と極大・極小の必要条件

Each) ^E

が

、

「

今

〇

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開 開

.

Q

Bs CP )

Q d CQ

、

P

)

.lt?.Ed(Q.P)tdcppypTP

た 。

二

r

Q E B 国

開集合の性質

が の開集合ならば \ も開集合である．

②

Po

P.EU

n

P.EU て

考える

- _ -

ヨ S

, s ^o ヨ 8_、^{2 o}

Br

BS

、 (P。) ^C

Ue

oc 8 ⁼

いい か

ーー

い

た

いで

一)

Bs

、 (

Polo Brio )

V.nu

「開集合でない」とは

⇢ に対して

は開集合でない⌘ (8 2 9 > ( )⇢ )

⌘ 9 2 (9 > ( )⇢ )

⌘ 9 2 8 > ( ( )⇢ )

⌘ 9 2 8 > ( )6⇢

偏微分係数と極大・極小の必要条件

ー

「開集合でない」とは

の部分集合 に対して

⇢ ⌘ 8 2 ( 2 ) なので

6⇢ ⌘ 9 2 ( 2 )⌘ 9 2 ( 62 ) 従って

は開集合でない⌘ 9 2 8 > 9 2 ( ) ( 62 )

-

mren

開集合 反例

以下の の部分集合は開集合ではありません．

2 のなす集合{ } 閉上半平面

:={( , )2 ; }

偏微分係数と極大・極小の必要条件

Q

same

が

。

最 ○ イ

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、

-

ーー

き た と 炉

開集合 反例

閉第 象限

++:={( , ) ; , } 閉円盤

( ) :={ 2 ; ( , ) }

iL :

○

開

境

社会

偏微分係数と極大・極小

偏微分係数と極大・極小の必要条件

の開集合 上の関数

: !

が定義されているとします．

( , )2 に対して の関数 ( ) := ( , )

を = の近くで定義できます．さらに の関数

( ) := ( , )

を = の近くで定義することができます．

ヨ _r>o

Br

で

x= a a^=a.

min c ^' i

し

、

1 ¹

(a^-r ^{く とく atr} ) ^し、 ^{- _ --}f^{- _ -- _ -}

、 1 y^{= e}

し 、

E

Di

i

y^{= e .}

この状況で，定義の中の極限が存在すれば， と に関する偏微分係数を

( , ) := ⁰( ) = lim

!

( , ) ( , )

( , ) := ⁰( ) = lim

!

( , ) ( , ) と定義できます．

偏微分係数と極大・極小の必要条件

話 で 嘉

巌

上の関数

( , ) = + +

について考えます．( , )2 の周りで考えるとして

( ) := ( , ) = + + , ( ) := ( , ) = + + と定義します．このとき

0( ) = + , ⁰( ) = +

から

( , ) = + , ( , ) = +

を得ます．

x⁼ a

- 一~ ~

十ば

t.mn

terre

ll ll

Fin de

変数の極大点（極小点） 定義

開区間] , [上の関数 : ] , [) が与えられているとき が = で極小（ 極大）

,ある > _{に対して が}] , + [_{上最小（ 最大）}

,ある > _に対して

( ) ( ) ( < < + ) ( ) ( ) ( < < + )

偏微分係数と極大・極小の必要条件

さ ・ t

m e re

n t が

-_- 孝

t⁼ c の 近く _で

最小

金品 に

、

変数の極大点（極小点）

微分可能な 変数関数の極小点（極大点）に関する次の定理を紹介します．

微分可能な関数 : ] , [! があるとします． が 2] , [_{で極小（極} 大）ならば

0( ) = 注意 これは中身を理解して欲しい定理です．

だが

-

t.in ^の土

影

- 舅

だ き て 点

t.ie?:I

の開集合 上の関数

: !

に対して， が ( , ) で極小（ 極大）であるとはある > _が存 在して

( , ) ( , ) (( , )2 ( )) ( , ) ( , ) (( , )2 ( )) が成立するときです．

偏微分係数と極大・極小の必要条件

P。いいの近く _で

最も

極 光

癌

P

。(a

,t)

の開集合 上の関数

: !

が の各点 2 で について偏微分できると仮定します．

が ( , )2 で極小（極大）ならば ( , ) = ( , ) = が成立します．

この状況で を満たす点 ( , ) を の停留点と呼びます．

sinh

(

ここ が )

が ( , )で極小とします．このとき ( ) = ( , ) は = で極小と なります．実際

( , ) ( , ) (( , )2 ( )) から ( , ) ( , ) ( < < + ) 従って

( ) ( ) ( < < + ) となります．よって

0( ) = _従って ( , ) = であることが分かります．

偏微分係数と極大・極小の必要条件

く^ー

き8>0 でok_、 ^The

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-

ic

c

惣 を 無し か

関数

( , ) = + +

について考えます．

( , ) = + · +

= + =

( , ) = + · +

= + =

を解くと，( , ) = ( , ) が の唯一の停留点であることが分かります．

姓

~

I

←

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= 8^-1 6 4^つく+4に 8 ←

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クラメールの公式

偏微分係数と極大・極小の必要条件

クラメールの公式

連立 次方程式 ⇢

+ = ↵ · · ·( )

+ = · · ·( )

を考える． を消去するために( )⇥ ( )⇥ を考える．

+ = ↵

) + =

( ) = ↵

を消去するために( )⇥ ( )⇥ を考える．

+ = ↵

) + =

( ) = ↵

O

t

s

は 1

X

._.

に

なし で

~

ざる

一

行列式・クラメールの公式

行列式

= これを用いると

= ↵

, = ↵

特に := 6= _のとき

= ↵

, = ↵

これをクラメールの公式と言います．

偏微分係数と極大・極小の必要条件

←

。

係数

も

角 を

← ^になる 。

逆行

であること を示す^。

クラメールの公式 例

⇢ + =

+ =

を解きます．

= = · · = 6=

からクラメールの公式が適用できます．実際

= = ( · · ) = ( ) =

= = ( · · ) = ( ) =

o

8)

が.. . に

蕞 洽 習

大事