スーパー 超 ナ ビ

高校入試模擬テスト 第５回 1 / 4 １ ⑴ 与式＝１

６×９ ４－３

４＝３ ８－６

８＝－３ ８ １ ⑵ 与式＝５(３ｘ－ｙ)－２(７ｘ－ｙ)

10 ＝15ｘ－５ｙ－14ｘ＋２ｙ

10 ＝ｘ－３ｙ 10 １ ⑶ 与式＝３ａ²ｂ

ａ ＋８ａ

ａ ＝３ａｂ＋８

１ ⑷ 与式＝(ｘ²＋４ｘ＋４)－(ｘ²＋５ｘ－６)＝ｘ²＋４ｘ＋４－ｘ²－５ｘ＋６＝－ｘ＋10 １ ⑸ 与式＝{３²－( ２)²}＋{( ２)²－２× ２×１＋(－１)²}

＝(９－２)＋(２－２ ２＋１)＝７＋３－２ ２＝10－２ ２ ２ ⑴

与式にｘ＝－２を代入すると，

－２ａ－３(ａ－２)×(－２)＝８－４×(－２) －２ａ＋６(ａ－２)＝８＋８

－２ａ＋６ａ－12＝16 ４ａ＝16＋12 ４ａ＝28 ａ＝７ １ ⑵

１冊 120 円のノートｘ冊分の代金は 120ｘ円，１冊ｙ円の本２冊分の代金は２ｙ円で，これらの合計 が 2000 円未満だから，120ｘ＋２ｙ＜2000 となる。

１ ⑶

与式＝２(ｘ²－８ｘｙ＋16ｙ²)＝２(ｘ－４ｙ)² １ ⑷

１ ⑷ ｘ＝１のときｙ＝３×１²＝３，ｘ＝４のときｙ＝３×４²＝48より，求める変化の割合は，

１ ⑷48－３ ４－１＝45

３＝15

１ ⑶ ｙ＝３ｘ²について，ｘの値が１から４まで増加するときの変化の割合は３×(１＋４)＝15 である。

超 _{ナ ビ}

スーパー

方程式の１つの解，つまりｘの値が決まっているから，そのｘの値を方程式に代入して，ａの 値を求める。

攻略へのアプローチ

不等号を用いて表す問題では，問題文の「以下」「未満」「以上」の言葉に注意する。

攻略へのアプローチ

まず，共通な因数を見つけて，すべてくくり出す。そして，因数分解の公式を使って因数分解 できるかどうかを考える。

攻略へのアプローチ

(変化の割合)＝(ｙの増加量)

(ｘの増加量)である。ｙの増加量は，ｘ＝４のときのｙの値からｘ＝１のときのｙ

の値をひいた値である。

攻略へのアプローチ□^１

関数ｙ＝ｍｘ²について，ｘの値がｐからｑまで増加するときの変化の割合は，

ｍｑ²－ｍｐ²

ｑ－ｐ ＝ｍ(ｑ＋ｐ)(ｑ－ｐ)

ｑ－ｐ ＝ｍ(ｐ＋ｑ)で求められる。

攻略へのアプローチ

□

高校入試模擬テスト 第５回 2 / 4 ３ ⑴

３ ⑴

３ ⑴ この半球の曲面部分の面積は，半径が３㎝の球の表面積の半分で，４π×３²×１

２＝18π(㎠) 平面部分は半径３㎝の円だから，その面積は，３²π＝９π(㎠)

よって，求める表面積は，18π＋９π＝27π(㎠) １ ⑵

三角形の１つの外角は，これととなり合わない２つの内角の 和に等しいから，△ＡＰＣにおいて，

∠ＡＰＧ＝25＋90＝115(°)

よって，∠ＡＰＥ＝115－78＝37(°) ４ ⑵

長方形の面積はｘ×２ｘ＝２ｘ²(㎠)，正方形の面積は (ｘ＋５)²(㎠)だから，２ｘ²＝(ｘ＋５)²－１が成り立つ。

これより，２ｘ²＝ｘ²＋10ｘ＋25－１ ｘ²－10ｘ－24＝０ (ｘ＋２)(ｘ－12)＝０ ｘ＝－２，12

ｘ＞０よりｘ＝12 だから，求める長さは 12 ㎝である。

５ ⑴

資料４のように，△ＡＢＣは点Ｇを中心とする円に内接する。

△ＡＢＣにおいて三平方の定理より，ＡＣ＝ ＡＢ²＋ＢＣ²＝

10(㎝)だから，ＡＧ＝１

２ＡＣ＝５(㎝)，ＢＧ＝ＡＧ＝５㎝

また，ＢＥ＝６㎝だから，△ＥＢＧにおいて，三平方の定理より，ＥＧ＝ ＢＧ²＋ＢＥ²＝ 61(㎝)

Ｂ Ｇ Ｃ Ａ

超 _{ナ ビ}

スーパー

資料４ ４点Ａ，Ｅ，Ｇ，Ｃを通る面上で考える(資料２参照)。

攻略へのアプローチ

資料３

ｘ㎝

２ｘ㎝

(ｘ＋５)㎝

長方形の面積と正方形の面積をｘを使った式で表し，長方 形の面積が正方形の面積より１㎠小さくなることについて方 程式をつくり，それを解く(資料３参照)。

攻略へのアプローチ

２点Ｂ，Ｇを結ぶと，△ＥＢＧは∠ＥＢＧ＝90°の直角三 角形になることから，三平方の定理を利用して，２点Ｅ，Ｇ 間の距離を求められる。また，直角三角形は，斜辺を直径と する円に内接することを利用する。

攻略へのアプローチ

できる立体は半径が３㎝の半球である(資料１参照)。半球 の表面積を求めるときは，平面部分の面積を加えるのを忘れ ないようにする。また，半径がｒの球の表面積は４πｒ²で ある。

攻略へのアプローチ

３㎝

(ｘ＋５)㎝

資料２

78°

Ｅ Ａ

25° Ｃ

Ｐ Ｇ

資料１

高校入試模擬テスト 第５回 3 / 4 １ ⑵

１ ⑵ 平行四辺形ＰＱＲＳの底辺をＰＱとしたときの高さは８＋10＋６＝24(㎝)だから，

求める面積は，２×24＝48(㎠) ６ ⑴

解答の「∠ＥＯＦ＋∠ＢＯＤ＝∠ＯＤＢ＋∠ＢＯＤ＝90°よ り，∠ＥＯＦ＝∠ＯＤＢ…③」の部分は，

「∠ＯＥＦ＋∠ＥＯＦ＝∠ＤＯＢ＋∠ＥＯＦ＝90°より，

∠ＯＥＦ＝∠ＤＯＢ…③」でもよい(資料６参照)。

６ ⑵

△ＡＯＣはＡＯ＝ＣＯ＝３ ２㎝の直角二等辺三角形だから，

ＡＣ＝ ２ＡＯ＝６(㎝)

△ＡＯＣ＝１

２×３ ２×３ ２＝９(㎠)だから，

△ＡＢＣ＝(四角形ＡＯＣＢの面積)－△ＡＯＣ＝11－９＝２(㎠) ６ ⑵△ＡＢＣの底辺をＡＣとしたときの高さをｈ㎝とすると，１

２×６×ｈ＝２が成り立つ。

これを解くとｈ＝２

３となるから，求める距離は２

３㎝である。

７ ⑴

点Ａは関数ｙ＝ａｘ²のグラフ上の点だから，ｘ＝４を代入すると，ｙ＝ａ×４²＝16ａより，

Ａ(４，16ａ)と表せる。

超 _{ナ ビ}

スーパー

△ＥＯＦ≡△ＯＤＢを証明できれば，ＥＦ＝ＯＢが証明 できる。直角三角形の合同または相似の証明では，２つの 鋭角の和が 90°になることを利用して等しい角を示すことが よくある。

攻略へのアプローチ

点Ｂと直線ＡＣの距離は，△ＡＢＣの底辺をＡＣとしたと きの高さにあたるから，四角形ＡＯＣＢを△ＡＯＣと

△ＡＢＣに分けて考える(資料７参照)。△ＡＢＣの面積と ＡＣの長さがわかれば，その高さを求められる。

攻略へのアプローチ

資料５

８㎝ Ｆ ２㎝

10 ㎝ ６㎝

Ｐ(Ｅ) Ｄ Ｅ

資料５のように，三角柱の側面の展開図に四角形ＰＱＲＳ を合わせてみると，四角形ＰＱＲＳは平行四辺形であること がわかる。立体の表面に長さが最短になるように糸をかける 問題と同様に，展開図上で考えるのがコツである。

攻略へのアプローチ

Ｓ

資料６

６㎝ Ｑ

Ｃ

Ｒ(Ｂ)

Ｏ Ｂ

Ｅ

Ａ Ｃ

Ｆ Ｂ

Ａ

Ｄ

資料７

Ｏ Ｃ Ｅ

Ａ Ｆ

Ｂ

Ｄ ｈ㎝

点Ａのｙ座標をａの式で表し，正方形ＡＢＣＤの１辺の長さをひくことで，点Ｅのｙ座標をａ の式で表せる。また，正方形ＡＢＣＤの１辺の長さとＣＤ：ＥＦ＝２：１から，点Ｅのｘ座標が わかる。ｙ＝ａｘ²のグラフが点Ｅを通ることから，ａの方程式をつくることができる。

攻略へのアプローチ

□

高校入試模擬テスト 第５回 4 / 4

７ ⑴点Ｂは点Ａとｙ軸について線対称な点だから，ｘ座標の符号のみ変わって，Ｂ(－４，16ａ)と表せる。

これより，正方形ＡＢＣＤの１辺の長さは４－(－４)＝８とわかる。ＣＤ＝８よりＥＦ＝１

２ＣＤ＝４ だから，点Ｅのｘ座標は－４×１

２＝－２で，ＢＣ＝８よりｙ座標は 16ａ－８である。

点Ｅの座標より，ｙ＝ａｘ²にｘ＝－２，ｙ＝16ａ－８を代入すると，

16ａ－８＝ａ×(－２)² 12ａ＝８ ａ＝２ ３

７ ⑴ 「攻略へのアプローチ

□

－２である。ｙ＝ａｘ²にｘ＝－２を代入するとｙ＝ａ×(－２)²＝４ａとなるから，Ｅ(－２，４ａ) ２点Ａ，Ｅのｙ座標の差は８だから，16ａ－４ａ＝８より，ａ＝２

３ １ ⑵

１ ⑵ 点Ａのｙ座標は 16ａ＝16×２ ３＝32

３だから，Ａ(４，32 ３)，

１ ⑵Ｂ(－４，32

３)である。

点Ｅのｙ座標は４ａ＝４×２ ３＝８

３だから，Ｅ(－２，８

３)である。

１ ⑵直線ＡＥの傾きは，(32 ３－８

３)÷{４－(－２)}＝８ ６＝４

３より，

直線ＰＢの傾きも４

３となる。

１ ⑵したがって，直線ＰＢの式は，ｙ＝４

３ｘ＋ｎと表せる。

１ ⑵直線ｙ＝４

３ｘ＋ｎが点Ｂを通るので，ｘ＝－４，ｙ＝32

３を代入すると，

１ ⑵32 ３＝４

３×(－４)＋ｎ ｎ＝32 ３＋16

３＝16 １ ⑵よって，求める点Ｐの座標は(０，16)である。

資料８

超 _{ナ ビ}

スーパー

△ＡＢＥと△ＡＰＥではＡＥが共通していることから，

△ＡＢＥ＝△ＡＰＥのとき，ＡＥを底辺としたときの高さが 等しくなる。つまり，ＰＢ//ＡＥとなる(資料８参照)。

攻略へのアプローチ

２点Ａ，Ｅのｙ座標をそれぞれａの式で表し，その差が正方形ＡＢＣＤの１辺の長さと等しく なることから，ａの方程式をつくる。

攻略へのアプローチ

□

ｙ

Ｄ

Ｂ Ａ

Ｐ

Ｃ Ｅ Ｆ Ｏ ｘ