１ ⑴ 与式＝(１－９)×３
４＝－８×３
４＝－６ １ ⑵ 与式＝２(７ｘ－４ｙ)－５(ｘ－３ｙ)
10 ＝14ｘ－８ｙ－５ｘ＋15ｙ
10 ＝９ｘ＋７ｙ 10 １ ⑶ 与式＝８ａ²
４ａ－28ａｂ
４ａ ＝２ａ－７ｂ
１ ⑷ 与式＝(ｘ²＋10ｘ＋25)－(ｘ²－９)＝ｘ²＋10ｘ＋25－ｘ²＋９＝10ｘ＋34 １ ⑸ 与式＝ 10× ５
５× ５－(３－ ５＋３ ５－５)＝10 ５
５ －(－２＋２ ５)＝２ ５＋２－２ ５＝２ ２ ⑴ 与式より，２ｂ＝ａ＋４ｃ ａ＝２ｂ－４ｃ
１ ⑵
３ｘ＋８ｙ＝４にｘ＝２ｙ＋６を代入すると，
３(２ｙ＋６)＋８ｙ＝４ ６ｙ＋18＋８ｙ＝４ ６ｙ＋８ｙ＝４－18 14ｙ＝－14 ｙ＝－１ ｘ＝２ｙ＋６にｙ＝－１を代入すると，
ｘ＝２×(－１)＋６＝－２＋６＝４ １ ⑶
１ ⑶ ｙ＝ｘ²において，ｘ＝１のときｙ＝１²＝１で，ｘ＝３のときｙ＝３²＝９だから，変化の割合は １ ⑶９－１
３－１＝４である。また，ｙ＝ａｘ＋２の変化の割合はａだから，ａ＝４となる。
１ ⑶ ｙ＝ｘ²について，ｘの値が１から３まで増加するときの変化の割合は１×(１＋３)＝４である。
１ ⑶また，ｙ＝ａｘ＋２の変化の割合はａだから，ａ＝４となる。
１ ⑷
１ ⑶ ＡＢ＝ (４－２)²＋{３－(－２)}²＝ 29 １ ⑶
資料１
連立方程式は，加減法と代入法の２つの解き方がある。式の形によって，解きやすい方法で解 けばよい。
攻略へのアプローチ
(変化の割合)＝(ｙの増加量)
(ｘの増加量)である。ｙの増加量は，ｘ＝３のときのｙの値からｘ＝１のときのｙ
の値をひいた値である。また，ｙ＝ａｘ＋２の変化の割合は常にａである。
攻略へのアプローチ□１
関数ｙ＝ｍｘ²について，ｘの値がｐからｑまで増加するときの変化の割合は，
ｍｑ²－ｍｐ²
ｑ－ｐ ＝ｍ(ｑ＋ｐ)(ｑ－ｐ)
ｑ－ｐ ＝ｍ(ｐ＋ｑ)で求められる。
攻略へのアプローチ
□
２Ｂ(２，－２)
Ａ(４，３)
(４，－２) ｘ ｙ
三平方の定理を利用すると，２点(ａ，ｂ)，(ｃ，ｄ)の間 の距離は， (ａとｃの差)²＋(ｂとｄの差)²で求められる。
資料１のように直角三角形をイメージするとわかりやすい。
攻略へのアプローチ
３ ⑴
３ ⑴ ＡＤ＝ＡＢ＝６だから，点Ａのｘ座標の絶対値は６÷２＝３となるため，Ａ(－３，６) ｙ＝ａｘ²にｘ＝－３，ｙ＝６を代入すると，６＝ａ×(－３)² ９ａ＝６ ａ＝２
３ １ ⑵
点Ｄは点Ａとｙ軸について対称な点だから，Ｄ(３，６)とな るため，直線ＤＯの傾きは６
３＝２である。これより，直線ＰＥ の傾きも２である。点Ｅの座標は(－３，２)だから，直線ＰＥ の式をｙ＝２ｘ＋ｂとし，ｘ＝－３，ｙ＝２を代入すると，
２＝２×(－３)＋ｂ ｂ＝２＋６＝８
したがって，直線ＰＥの式はｙ＝２ｘ＋８となる。
４ ⑴点Ｐは，ｙ座標が６で直線ｙ＝２ｘ＋８上の点だから，ｙ＝６を代入すると，６＝２ｘ＋８ ２ｘ＝－２ ｘ＝－１
よって，点Ｐの座標は(－１，６)である。
４ ⑴
１回目は５番の石と５番より左側にあるすべての石を裏返し，
２回目は２番の石だけを裏返すから，上になっている部分が白 の石を○，黒の石を●と表すと，資料３のようになる。
よって，黒の部分が上になっている石は４個である。
１ ⑵
黒の部分が上になっている石が２個となる目の出方は，
(１回目，２回目)＝(１，２)(１，３)(２，１)(２，３)
(３，１)(３，２)(４，６)(６，４)の８通りある(資料５参照)。
さいころを２回投げたときの目の出方は，全部で６²＝36(通り) あるから，求める確率は，８
36＝２ ９
最初 ○○○○○○
↓ １回目 ●●●●●○
↓ ２回目 ●○●●●○
資料３
点Ａの座標がわかれば，関数ｙ＝ａｘ²のグラフが点Ａを通ることから，ａの値を求められる。
線分ＡＤはｙ軸によって２等分されるから，点Ａのｘ座標の絶対値は線分ＡＤの長さの半分に等 しい。
攻略へのアプローチ
△ＥＯＤと△ＰＯＤではＯＤが共通していることから，
△ＥＯＤ＝△ＰＯＤのとき，ＯＤを底辺としたときの高さが 等しくなる。つまり，ＰＥ//ＤＯとなる(資料２参照)。
攻略へのアプローチ
資料４
１ …●○○○○○
２ …○●○○○○
３ …○○●○○○
４ …●●●●○○
５ …●●●●●○
６ …●●●●●●
１回目の目 操作後の状態 Ｅ
Ｏ Ｃ
Ｂ Ａ
ｙ
Ｐ Ｄ
ｘ
資料２
順を追って，１回目の操作後の状態と，２回目の操作後の 状態を実際にかいてみる。
攻略へのアプローチ
資料４のように１回目の操作後の状態を６通りかいてか ら，それぞれの場合において２回目にどの目が出れば条件に あうかを，１つ１つ考える。
攻略へのアプローチ
□
１１ ⑵ ａが３以下でｂが４以上，または，ａが４以上でｂが３以下のとき，黒の部分が上になっている石 が２個になることはない。また，ａ＝ｂのときもやはり条件にあわない。
したがって，条件にあうのは，①ａとｂがともに３以下でａ≠ｂのとき，②ａとｂがともに４以上で ａとｂの差が２のとき，のいずれかである。
①の場合，ａは３通り(１，２，３)，ｂは２通り(１，２，３のうちａと違う目)だから，条件にあう 出方は３×２＝６(通り)ある。
②の場合，ａは２通り(４，６)，ｂは１通り(４，６のうちａと違う目)だから，条件にあう出方は ２×１＝２(通り)ある。
さいころを２回投げたときの目の出方は，全部で６²＝36(通り)あるから，求める確率は，
６＋２ 36 ＝２
９ ５ ⑴
① 資料６より，11 本
１ ⑴② 資料６より，11＋２＝13(本) ５ ⑴
１ ⑴① 資料７より，短い棒は，１番目の図形では２本で，そのあと，偶数番目の図形を作るときに２本，
奇数番目の図形を作るときに１本増えるとわかる。
よって，７番目の図形では，７＋１＋２＋１＝11(本) １ ⑴② ①の解説より，11＋２＝13(本)
１ ⑵
資料８より，偶数番目(２ｎ番目)の図形だけ見ると短い棒の本数は，初めが４本で，そのあとｎが １増えるたびに３本ずつ増えていくとわかる。よって，２ｎ番目の図形の短い棒の本数は，
４＋３(ｎ－１)＝３ｎ＋１(本)
図形(番目) １ ２ ３ ４ … 短い棒(本) ２ ４ ５ ７ …
資料７ 資料５
(１，２)…●○○○○○→●●○○○○
(１，３)…●○○○○○→●○●○○○
(２，１)…○●○○○○→●●○○○○
(２，３)…○●○○○○→○●●○○○
(３，１)…○○○●○○→●○●○○○
(３，２)…○○●○○○→○●●○○○
(４，６)…●●●●○○→○○○○●●
(６，４)…●●●●●●→○○○○●●
１回目 ２回目
１回目と２回目の目をそれぞれａ，ｂとすると，黒の部 分が上になっている石が２個になるような，ａ，ｂの出方 の条件を考える。また，ａの決まり方がｍ通り，ｂの決ま り方がｎ通りあるとき，(ａ，ｂ)の組み合わせは(ｍ×ｎ) 通りになることを利用する。
攻略へのアプローチ
□
２８番目の図形を実際にかいてみて数える。
攻略へのアプローチ
□
１問題で図示されている１～４番目の図形について，短い棒 の本数を数えて資料７のように表にまとめ，数字の変化の仕 方から規則性を考える。
攻略へのアプローチ
□
２資料６
３ ４ ５ １２ ６ ７ ８
２ｎは偶数だから，偶数番目の図形の短い棒の本数を表に まとめ，数字の変化の仕方から規則性を考える。
攻略へのアプローチ
□
１図形(番目) ２ (２×１)
４ (２×２)
６ (２×３)
８ (２×４) … 短い棒(本) ４ ７ 10 13 …
資料８
２ｎは偶数だから，２ｎ番目までに奇数番目と偶数番目の図形はｎ個ずつある。したがって，１番 目を除くと，奇数番目の図形は(ｎ－１)個ある。
２ｎ番目の図形の短い棒の本数は，１番目の２本に，２本をｎ回，１本を(ｎ－１)回加えた本数だか ら，２＋２ｎ＋１×(ｎ－１)＝３ｎ＋１(本)
１ ⑶
１ ⑶ ３ｎ＋１＝200 ３ｎ＝199 ｎ＝199
３でｎは自然数にならないため，奇数番目について考える。
１ ⑶２ｎ番目の１つ前の(２ｎ－１)番目は奇数番目の図形であり，短い棒の本数は２ｎ番目より２本少な く，(３ｎ＋１)－２＝３ｎ－１(本)である。３ｎ－１＝200 を解くと，３ｎ＝201 ｎ＝67
ｎ＝67 のとき，２ｎ－１＝２×67－１＝133 だから，短い棒の本数が 200 本になるのは 133 番目の図 形である。
１ ⑶ ３ｎ＋１＝200 よりｎ＝199
３＝66.3…だから，ｎ＝66のときの２ｎ＝２×66＝132(番目)の図形の本 １ ⑶数を調べると，３ｎ＋１＝３×66＋１＝199(本)となる。よって，133 番目を作るときの本数は
199＋１＝200(本)となるから，短い棒の本数が 200 本になるのは 133 番目の図形である。
６ ⑵
線分ＡＣは円の直径だから，△ＡＢＣにおいて三平方の定理より，
ＡＣ＝ ＡＢ²＋ＢＣ²＝６ ５(㎝)
∠ＣＢＥ＝180－90＝90(°)，ＢＣ＝ＢＥ＝６㎝より，△ＢＣＥは直角二等辺三角形だから，
ＣＥ＝ ２ＢＣ＝６ ２(㎝)
⑴の「このように考えよう
□
２」の解説より，短い棒は，１番目の図形では２本で，そのあ と，偶数番目の図形を作るときに２本，奇数番目の図形を作るときに１本増えることをもとに 計算する。攻略へのアプローチ
□
２⑵で求めた式より，３ｎ＋１＝200 の解が自然数になれば，200 本になるのは偶数番目とわか る。解が自然数にならなければ200 本になるのは奇数番目なので，奇数番目の図形の短い棒の本 数を，⑵のようにｎの式で表すことを考える。
攻略へのアプローチ
□
１３ｎ＋１＝200 の解が自然数になれば，200 本になるのは偶数番目とわかる。解が自然数にな らなければ短い棒の本数が200 本に最も近い偶数番目の図形は何番目かを調べる。
攻略へのアプローチ
□
２ＦＢ//ＣＥより，△ＡＢＦ∽△ＡＥＣとなるから，
⑴より△ＤＣＦ∽△ＡＥＣであり，対応する辺の長さの比 は等しく，ＤＦ：ＡＣ＝ＦＣ：ＣＥとなる(資料９参照)。
したがって，ＡＣ，ＦＣ，ＣＥの長さがわかればＤＦの長 さを求められる。
攻略へのアプローチ
資料９
Ｃ
Ｂ Ｅ Ａ
Ｄ
Ｏ Ｆ
また，平行線と線分の比の定理より，ＡＣ：ＦＣ＝ＡＥ：ＢＥ＝(12＋６)：６＝３：１だから，
ＦＣ＝１
３ＡＣ＝２ ５(㎝)で，
ＤＦ：ＡＣ＝ＦＣ：ＣＥより，ＤＦ：６ ５＝２ ５：６ ２ ＤＦ＝６ ５×２ ５
６ ２ ＝５ ２(㎝) ７ ⑴
７ ⑴
７ ⑴ 資料 10の図はＯＣについて線対称だから，∠ＡＦＯ＝90°となるため，
△ＡＯＦはＯＦ：ＯＡ：ＡＦ＝１：２： ３の直角三角形である。
よって，ＯＦ＝１
２ＯＡ＝３(㎝)だから，ＦＣ＝６－３＝３(㎝) １ ⑵
１ ⑵
資料 11 において，△ＡＧＥと△ＯＦＥにおいて，
∠ＡＧＥ＝∠ＯＦＥ＝90°，∠ＡＥＧ＝∠ＯＥＦ(対頂角)，ＡＥ＝ＯＥ(△ＥＡＯが二等辺三角形)よ り，△ＡＧＥ≡△ＯＦＥとなるから，ＡＧ＝ＯＦ＝３㎝
また，△ＯＦＥはＥＦ：ＯＥ：ＯＦ＝１：２： ３の直角三角形だから，
ＯＥ＝ ２
３ＯＦ＝２ ３㎝となるため，ＢＥ＝(６－２ ３)㎝
よって，求める面積は，１
２×(６－２ ３)×３＝９－３ ３(㎠) 立体の表面に長さが最短になるように糸をかけるとき，糸 は展開図において直線になる。
資料 10 は正四角すいＯ‐ＡＢＣＤの側面の展開図であり，
青線が糸にあたる。また，30°の角があるので，３辺の長さ の比が１：２： ３の直角三角形を利用できないかを考え る。
攻略へのアプローチ
⑴と同様に側面の展開図上で考える。資料 11 のように作 図すると，ＡＧとＢＥの長さから△ＡＢＥの面積を求められ る。また，３辺の長さの比が１：２： ３の直角三角形を利 用できないかを考える。
攻略へのアプローチ
資料 10
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ (Ａ) 30°
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｃ Ｄ (Ａ) Ｇ
Ｅ Ｆ 30°
資料 11
