スーパー 超 ナ ビ - 教英出版

１ ⑴ 与式＝－15 21＋14

21＝－１ 21 １ ⑵ 与式＝６＋２＝８

１ ⑶ 与式＝７ｘ－４－４(ｘ－１)

８ ＝７ｘ－４－４ｘ＋４ ８ ＝３

８ｘ

１ ⑷ 与式＝ｘ²＋２ｘｙ－{ｘ²－(３ｙ)²}＝ｘ²＋２ｘｙ－(ｘ²－９ｙ²)＝ｘ²＋２ｘｙ－ｘ²＋９ｙ²＝２ｘｙ＋９ｙ² １ ⑸ 与式＝２ ２＋３ ２－６ ２＝－ ２

２ ⑴

２ ⑴ 与式より，ｘ－４＝± ７ ｘ＝４± ７

１ ⑵ ａ㎝から 10ｘ㎝を引くと７㎝になったので，ａ－10ｘ＝７ １ ⑶

28ｎ＝ ２²×７×ｎ＝２ ７ｎであり，２ ７ｎが自然数になるｎの値は，７×ａ²(ａは自然 数)と表せる(このとき，２ ７ｎ＝２ ７×７×ａ²＝２×７×ａとなる)。このようなｎのうち最小 の数は，ａ＝１のときの，ｎ＝７×１²＝７

１ ⑷

ｙ＝ａ

ｘにｘ＝３，ｙ＝２を代入すると，２＝ａ

３よりａ＝６となる。ｙ＝６

ｘにｘ＝－１を代入すると，

ｙ＝ ６

－１＝－６となるから，求める数は－６である。

３ ⑴

≪作図の手順≫ 資料１参照

１．∠ＸＯＹの二等分線を引き，この直線を ℓ とする。

２．点Ｂを通るような，直線 ℓ の垂線を引く。

３．２で引いた垂線と直線 ℓ との交点をＰとする。

⑵

円があって，角の大きさを求める問題では，主に以下の４つを利用して角度を求める。

１．円周角の定理…同じ弧(または等しい弧)に対する円周角は等しい。

２．円周角の定理…同じ弧に対する円周角と中心角の大きさの比は１：２である。

３．半円の弧に対する円周角は 90°である。

４．円の中心と円周上の２点を結んでできる三角形は二等辺三角形になる。

攻略へのアプローチ

７の平方根は ７と－ ７の２つあり，あわせて± ７と表記する。

攻略へのアプローチ

ａ²＝ａを利用して， の中の数を簡単にしてからｎの値を考える。

攻略へのアプローチ

∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰだから，Ｐは∠ＸＯＹの二等分線上にある。こ の直線上の点で点Ｂとの距離が最も短い点は，点Ｂからこの直線に引 いた垂線との交点の位置にある。

攻略へのアプローチ 資料１

Ｙ

Ｘ Ｐ

Ｂ

Ｏ Ａ

ℓ

反比例の式はｙ＝ａ

ｘまたはｘｙ＝ａ(ａは比例定数)と表せる。このどちらかの式にｘとｙの値を 代入すると，比例定数ａが求められる。

攻略へのアプローチ

高校入試模擬テスト 第１回 2 / 7 ２点Ｏ，Ｃを結ぶ(資料２参照)。

△ＯＡＣはＯＡ＝ＯＣの二等辺三角形だから，∠ＯＣＡ＝∠ＯＡＣ＝35°

△ＯＢＣはＯＢ＝ＯＣの二等辺三角形だから，∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ＝58°

したがって，∠ＡＣＢ＝58－35＝23(°)

中心角は，同じ弧に対する円周角の２倍の大きさだから，

∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ＝２×23＝46(°) ４ ⑴ 資料３のように人数がわかるから，

２＋７＋３＋４＋５＋４＋３＋２＝30(人)

⑵

資料３より，２冊以下が２＋７＋３＝12(人)，３冊以 下が 12＋４＝16(人)だから，15 番目と 16 番目はとも に３冊である。よって，中央値も３冊である。

⑶

１年１組の生徒で読んだ冊数が３冊以上の生徒の相対度数は，４＋５＋４＋３＋２

30 ＝0.6 である。

よって，求める人数をｘ人とすると，この中学校の生徒全体において ｘ

200＝0.6 だから，ｘ＝120 とな る。

５ ⑴

①において，ｘ＝－２のときｙ＝(－２)²＝４，ｘ＝０のときｙ＝０となる。よって，(ｘの増加量)＝

０－(－２)＝２，(ｙの増加量)＝０－４＝－４だから，求める変化の割合は，－４

２ ＝－２

①の式はｙ＝ｘ²＝１×ｘ²で，比例定数が１だから，求める変化の割合は，１×(－２＋０)＝－２ (変化の割合)＝(ｙの増加量)

(ｘの増加量)である。

攻略へのアプローチ

□

^１

関数ｙ＝ｐｘ²において，ｘの値がｍからｎまで増加したときの変化の割合は，

(変化の割合)＝(ｙの増加量)

(ｘの増加量)＝ｐｎ²－ｐｍ²

ｎ－ｍ ＝ｐ(ｎ²－ｍ²)

ｎ－ｍ ＝ｐ(ｎ＋ｍ)(ｎ－ｍ)

ｎ－ｍ ＝ｐ(ｍ＋ｎ) と表せることを利用する。

攻略へのアプローチ

□

２

資料２

58° Ｏ Ｃ

Ｂ

Ａ 35°

０ １ ２ ３ ４ ５ 10

(人)

８ ６ ４ ２

７人

４人 ５人

４人 ２人

６ ７ (冊) ０

３人 ３人

２人

資料３

30 人の中央値は，30÷２＝15 より，少ない方 (または多い方)から 15 番目と 16 番目の冊数の平 均である。

攻略へのアプローチ

相対度数は全体に対する割合を表し，(ある階級の相対度数)＝(その階級の度数)

(度数の合計) である。

この問題では，(３冊以上の生徒の度数)

(度数の合計) から相対度数を求める。

攻略へのアプローチ

⑵

ｙ＝ｘ²にＡのｘ座標のｘ＝－２を代入すると，ｙ＝(－２)²＝４となるから，Ａ(－２，４) ｙ＝ｘ²にＢのｘ座標のｘ＝３を代入すると，ｙ＝３²＝９となるから，Ｂ(３，９)

ｙ＝ｍｘ＋ｎにＡの座標を代入すると，４＝－２ｍ＋ｎ…㋐

ｙ＝ｍｘ＋ｎにＢの座標を代入すると，９＝３ｍ＋ｎ…㋑

㋑－㋐でｎを消去すると，９－４＝３ｍ＋２ｍ ５＝５ｍ ｍ＝１

㋐にｍ＝１を代入すると，４＝－２＋ｎ ｎ＝６ よって，求める式は，ｙ＝ｘ＋６

Ａ(－２，４)，Ｂ(３，９)だから，直線ℓの傾きは， ９－４

３－(－２)＝１である。したがって，直線 ℓ の式をｙ＝ｘ＋ｎとおいてＡ(－２，４)の座標を代入すると，４＝－２＋ｎよりｎ＝６となるから，

直線 ℓ の式はｙ＝ｘ＋６である。

なお，直線 ℓ の傾きが１とわかったあとは以下のように考えることもできる。

直線 ℓ 上ではｘが１増えるとｙは１増えるとわかるから，Ａ(－２，４)からｘが２増えて０になると，

ｙは２増えて４＋２＝６になるので，直線 ℓ は点(０，６)を通る。よって，直線 ℓ の切片は６だから，

直線 ℓ の式はｙ＝ｘ＋６である。

①の式はｙ＝ｘ²＝１×ｘ²で，比例定数が１であり，２点Ａ，Ｂのｘ座標はそれぞれ－２，３だから，

直線ℓの傾きは，１×(－２＋３)＝１である。このあとの求め方は「攻略へのアプローチ

□

２」と同じ である。

直線の式はｙ＝ｍｘ＋ｎと表せる(ｍ，ｎは定数であり，どのような文字で表してもよい)。

２点Ａ，Ｂの座標をそれぞれｙ＝ｍｘ＋ｎに代入することでｍとｎの連立方程式ができるので，

それを解けばよい。

攻略へのアプローチ

□

^１

２点(ｘ₁，ｙ₁)，(ｘ₂，ｙ₂)を通る直線の傾きはこの２点間の変化の割合と等しいから，

(ｙの増加量)

(ｘの増加量)＝ｙ₂－ｙ₁

ｘ₂－ｘ₁で求められる。傾きとその直線上の１点の座標から，直線の切片を求める ことができる。

攻略へのアプローチ

□

２

２点間の変化の割合とその２点を通る直線の傾きは等しいから，⑴の「攻略へのアプローチ

□

^２」を利用して直線 ℓ の傾きを求めることができる。

攻略へのアプローチ

□

^３

高校入試模擬テスト 第１回 4 / 7

⑶

Ｃのｘ座標はＢのｘ座標と同じく３である。ｙ＝ａｘ²にｘ＝３を代入すると，ｙ＝ａ×３²＝９ａとな るから，Ｃ(３，９ａ)と表せる。

四角形ＢＣＤＥが長方形だから，Ｄはｙ軸についてＣと対称なので，Ｄ(－３，９ａ)と表せる。

したがって，ＤＣ＝(Ｃのｘ座標)－(Ｄのｘ座標)＝３－(－３)＝６

⑵よりＢ(３，９)だから，ＢＣ＝(Ｂのｙ座標)－(Ｃのｙ座標)＝９－９ａ ＤＣ＝ＢＣより６＝９－９ａを解くと，ａ＝１

３となる。

２ ⑷

直線ℓの式をｙ＝１

２ｘ＋ｂとし，Ａ(－２，４)の座標を代入する と，４＝１

２×(－２)＋ｂよりｂ＝５となる。

⑶よりＢ(３，９)，Ｄ(－３，９ａ)と表せるから，Ｍの座標は，

(３＋(－３)

２ ，９＋９ａ

２ )＝(０，９＋９ａ

２ )と表せる。つまり，

Ｍはｙ軸上の点だから，Ｍが直線 ℓ の切片となるようなａの値を 求めればよい。直線 ℓ の切片は５だから，９＋９ａ

２ ＝５を解く と，ａ＝１

９となる。

６ ⑴

ｘ＝３のとき２点Ｐ，Ｑは２×３＝６(㎝)進んでいるから，図は 資料６のようになる。よって，ｙ＝１

２×ＲＱ×ＡＰ＝１

２×６×６＝18

平行四辺形(正方形，長方形，ひし形を含む)の面積を２等分する直線は，２本の対角線の交点 を通る。平行四辺形の２本の対角線は互いの中点で交わるから，ＢＤの中点をＭとすると，直線 ℓ がＭを通るようなａの値を求めればよい(資料５参照)。２点(ｘ₁，ｙ₁)，(ｘ₂，ｙ₂)の中点の座標 は，(ｘ₁＋ｘ₂

２ ，ｙ₁＋ｙ₂

２ )である。

なお，直線 ℓ の式は点Ａの座標と傾きによって決まる。ａの値が変化することでＣ，Ｄの座標が 変化し，それにともなってＭの座標が変化することになる。

攻略へのアプローチ

資料６

Ｃ

Ｐ Ｂ

Ａ Ｄ

Ｑ Ｒ

18 ㎝

８㎝

ｘ＝３のときの図をかいて２点Ｐ，Ｑの位置を確認する。

攻略へのアプローチ

②ｙ＝ａｘ²

①ｙ＝ｘ² ｙ Ｅ

Ｄ

Ｂ

Ｃ

資料５

Ｏ ｘ

Ａ

ℓ

Ｍ

②ｙ＝ａｘ²

①ｙ＝ｘ²

Ｏ ｙ

ｘ Ｅ

Ｄ Ｃ

Ｂ

資料４ 長方形ＢＣＤＥが正方形となるのは，縦の辺と横の辺の長

さが等しくなるときだから，ＤＣ＝ＢＣとなるときである。

ＤＣの長さは一定だから，ＢＣの長さをａの文字式で表し，

ａの方程式を立てて解けばよい(資料４参照)。

なお，ａの値が変化すると放物線②の開きぐあいが変化す る。それにともなって，ＣＤは長さが一定のまま上下に移動 し，ＢＣとＥＤの長さが変化する。

攻略へのアプローチ

⑵

ＰはＡからＢまで 18÷２＝９(秒)で，ＱはＤからＡまで８÷２＝

４(秒)で，ＲはＤからＣまで 18÷３＝６(秒)で移動するから，Ｐ，Ｑ，

Ｒが動いている間のｘの変域はそれぞれ，０≦ｘ≦９，０≦ｘ≦４，

４≦ｘ≦10 である。したがって，資料７，８，９の３つの場合に分けて 考える。

０≦ｘ≦４のとき，ｙ＝１

２×ＲＱ×ＡＰ＝１

２×２ｘ×２ｘ＝２ｘ² ４≦ｘ≦９のとき，ｙ＝１

２×ＱＰ×ＤＡ＝１

２×２ｘ×８＝８ｘ ９≦ｘ≦10のとき，ｙ＝１

２×ＱＰ×ＤＡ＝１

２×18×８＝72

また，ｙ＝２ｘ²(０≦ｘ≦４)のグラフは，点(０，０)，(１，２)，

(２，８)，(３，18)，(４，32)をなめらかにつないだ曲線である。

ｙ＝８ｘ(４≦ｘ≦９)のグラフは，点(４，32)，(９，72)を結んだ線 分である。

ｙ＝72(９≦ｘ≦10)のグラフは，点(９，72)，(10，72)を結んだ線 分である。

よって，グラフは資料 10のようになる。

⑶

⑵より，０≦ｘ≦４や９≦ｘ≦10 のときにＡＰ＝ＣＲとなることは ないとわかるから，ｘの変域は，４≦ｘ≦９である。

ＡＰ＝２ｘ㎝である。Ｒはｘ＝４のときに動き出すから，ＤＲはＲが (ｘ－４)秒間で動いた長さなので，ＤＲ＝３(ｘ－４)㎝である。

したがって，ＣＲ＝ＤＣ－ＤＲ＝18－３(ｘ－４)＝－３ｘ＋30(㎝)

よって，ＡＰ＝ＣＲより２ｘ＝－３ｘ＋30を解くと，ｘ＝６となり，４≦ｘ≦９にあう。

ＡＣとＰＲの交点をＳとする。△ＡＰＳと△ＣＲＳにおい て，∠ＡＳＰ＝∠ＣＳＲ(対頂角)，∠ＰＡＳ＝∠ＲＣＳ(平行 線の錯角)だから，つねに△ＡＰＳ∽△ＣＲＳが成り立つ。

したがって，ＳがＡＣの中点のとき(ＡＳ＝ＣＳのとき)，

△ＡＰＳ≡△ＣＲＳとなり，ＡＰ＝ＣＲとなる(資料 11 参 照)。ＡＰとＣＲをそれぞれｘの式で表し，ｘの方程式を立てて 解く。

攻略へのアプローチ

３点Ｐ，Ｑ，Ｒそれぞれが動いているのは，点Ｐが出発してから 何秒後から何秒後までかを調べ，△ＰＱＲの面積の変化のしかたに よって場合を分けてｙをｘの式で表す。

攻略へのアプローチ 資料７

Ｃ

Ｐ Ｂ

Ａ Ｄ

Ｑ Ｒ

18 ㎝

８㎝

０≦ｘ≦４(ＰとＱが動いている)

資料９

Ｃ

Ｐ Ｂ Ａ

Ｄ

Ｑ

Ｒ

18 ㎝

８㎝

９≦ｘ≦10(Ｒだけが動いている)

資料８

Ｃ

Ｐ Ｂ Ａ

Ｄ

Ｑ Ｒ

18 ㎝

８㎝

４≦ｘ≦９(ＰとＲが動いている)

資料 10

ｙ(㎠)

72 64 56 48 40

16 8 80

32 24

０ 2 ｘ(秒)

12 10 8 6 4

資料 11

Ｃ

Ｐ Ｂ Ａ

Ｄ

Ｑ Ｒ

18 ㎝ Ｓ ８㎝

高校入試模擬テスト 第１回 6 / 7 ７ ⑴

資料 12で○印をつけた辺は辺ＡＢと同一平面上にあるので除外する。

残りの辺のうち辺ＡＢと平行な辺はない。延長したときに直線ＡＢと交わる辺もない。

よって，辺ＡＢとねじれの位置にある辺は，辺ＣＦ，辺ＤＦ，辺ＥＦである。

⑵

ＦＰ＝(８－ｘ)㎝だから，ＤＥ²－ＥＰ²＝ＤＦ²－ＦＰ²より，７²－ｘ²＝９²－(８－ｘ)² これを解くとｘ＝２となるので，ＥＰ＝２㎝である。

⑶

ねじれの位置にある辺を見つけるときは，以下の手順によって消 去法で探せばよい。

① 同じ面上にある辺とは，交わるか平行であるかのどちらかな ので，ねじれの位置にはないため，同じ面上の辺は除外する。

② 残りの辺のうち平行の関係にある辺を除外する。

③ 残りの辺のうち延長したときに交わる辺を除外する。

④ 残った辺がねじれの位置にある辺である。

攻略へのアプローチ

資料 12

Ｃ

Ｂ Ａ

Ｄ

Ｅ

Ｆ

三平方の定理より，ＤＰ²＝ＤＥ²－ＥＰ²，また，ＤＰ²＝ＤＦ²－ＦＰ²だから，

ＤＥ²－ＥＰ²＝ＤＦ²－ＦＰ²である。ＥＰ＝ｘとし，ｘの方程式を立てて解けば，ＥＰの長さを 求められる。

ＥＰの長さがわかれば，三平方の定理からＤＰの長さを求めることもできる。このように，三角 形の３辺の長さがわかっていれば，１つの頂点から向かいの辺に引いた垂線の長さを求めること ができ，垂線の長さがわかるということは面積を求めることもできるということである。いろい ろな場面で利用することができる重要な解き方なので，必ず身につけよう。

攻略へのアプローチ

点Ｄから辺ＡＰに引いた垂線と辺ＡＰとの交点をＨとする(資料 13参照)。体積を求める立体は，底面の半径がＤＨで高さが ＨＡの円すいと，底面の半径がＤＨで高さがＨＰの円すいをあわ せた立体(資料 14参照)だから，その体積は，

１

３×ＤＨ²π×ＨＡ＋１

３×ＤＨ²π×ＨＰ＝

１

３×ＤＨ²π×(ＨＡ＋ＨＰ)＝１

３×ＤＨ²π×ＡＰで求められる。

このように，底面が合同な２つの円すいをあわせた立体の体積 は，１

３×(底面積)×(高さの和)で求めることができる。

ＤＨの長さの求め方については，以下の３通りの方法がある。

攻略へのアプローチ

資料 13

Ａ

Ｈ

Ｄ Ｐ

６㎝

資料 14

Ｈ Ａ

Ｄ Ｐ

高さの和

⑵より，ＤＰ＝ ＤＥ²－ＥＰ²＝ ７²－２²＝３ ５(㎝) 三平方の定理より，ＡＰ＝ ＡＤ²＋ＤＰ²＝ ６²＋45＝９(㎝)

△ＡＤＰ∽△ＡＨＤだからＰＤ：ＤＨ＝ＡＰ：ＡＤより，３ ５：ＤＨ＝９：６ ＤＨ＝２ ５(㎝) よって，求める体積は，１

３×ＤＨ²π×ＡＰ＝１

３×(２ ５)²π×９＝60π(㎤)

ＤＰ＝３ ５㎝，ＡＰ＝９㎝だから，△ＡＤＰの面積について，１

２×ＤＰ×ＡＤ＝１

２×ＡＰ×ＤＨ より，１

２×３ ５×６＝１

２×９×ＤＨ ＤＨ＝２ ５(㎝) よって，求める体積は，１

３×ＤＨ²π×ＡＰ＝１

３×(２ ５)²π×９＝60π(㎤)

ＤＰ＝３ ５㎝，ＡＰ＝９㎝だから，ＨＡ＝ｙとすると，ＡＤ²－ＨＡ²＝ＤＰ²－ＨＰ²より，

６²－ｙ²＝(３ ５)²－(９－ｙ)² これを解くとｙ＝４となる。

三平方の定理より，ＤＨ＝ ＡＤ²－ＨＡ²＝ ６²－４²＝２ ５(㎝) よって，求める体積は，１

３×ＤＨ²π×ＡＰ＝１

３×(２ ５)²π×９＝60π(㎤)

△ＡＤＰ∽△ＡＨＤが成り立つことを利用して，ＤＨの長さを求めることができる。

攻略へのアプローチ

□

^１

「攻略へのアプローチ

□

^１」のようにＤＰとＡＰの長さを求めたあとは，△ＡＤＰの面積につい てのＤＨの方程式を解くことで，ＤＨの長さを求めることができる。

攻略へのアプローチ

□

^２

「攻略へのアプローチ

□

^１」のようにＤＰとＡＰの長さを求めたあとは，⑵の「攻略へのアプロ ーチ」と同様にして，ＤＨの長さを求めることができる。

しかし，この方法は計算が複雑になりがちである。直角三角形の場合は，「攻略へのアプローチ

□

^１」か「攻略へのアプローチ

□

^２」を利用して垂線の長さを求められるので，直角三角形ではな い場合のみ，「攻略へのアプローチ

□

^３」を利用しよう。

攻略へのアプローチ

□

^３

高校入試模擬テスト 第２回 1 / 6 １ ⑴ 与式＝12－２＝10

１ ⑵ 与式＝３ｘ＋15ｙ－14ｘ＋12ｙ＝－11ｘ＋27ｙ １ ⑶ 与式＝９ａ²ｂ× ２

３ａｂ×ｂ＝６ａｂ １ ⑷ 与式＝( ７)²－(２ ３)²＝７－12＝－５ １ ⑸ 与式＝12 ６

６ －４ ６＝２ ６－４ ６＝－２ ６ ２ ⑴

与式＝ａ²＋{５＋(－３)}ａ＋５×(－３)＝(ａ＋５)(ａ－３) １ ⑵

２次方程式の解の公式より，ｘ＝－５± ５²－４×２×１

２×２ ＝－５± 25－８

４ ＝－５± 17 ４ １ ⑶

ｙ＝ａ

ｘにｘ＝－４，ｙ＝６を代入すると，６＝ ａ

－４よりａ＝－24 となる。ｙ＝－24

ｘにｘ＝３を代入す ると，ｙ＝－24

３＝－８となるから，求める数は－８である。

１ ⑷

大小２個のさいころの目の出方は全部で６×６＝36(通り)ある。ｎは最 大で６×６＝36 であり，36 以下の平方数は，１²＝１，２²＝４，３²＝９，

４²＝16，５²＝25，６²＝36である。ｎがこれらの値になる出方は，資料１ の○印の８通りある。よって，求める確率は，８

36＝２ ９ ３

かけると－15，足すと２になる２数を探す。かけると－15 になる２つの整数の組み合わせは 限られるので，そちらを先に探すのがポイントである。

攻略へのアプローチ

ｘ²の係数が１ではない２次方程式を解くときは，２次方程式の解の公式を利用する。

２次方程式ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の解は，ｘ＝－ｂ± ｂ²－４ａｃ ２ａ

攻略へのアプローチ

ｎが自然数となるのは，ｎが平方数(自然数を２乗してできる数)のときである。

攻略へのアプローチ 反比例の式はｙ＝ａ

ｘまたはｘｙ＝ａ(ａは比例定数)と表せる。このどちらかの式にｘとｙの値を 代入すると，比例定数ａが求められる。

攻略へのアプローチ

線分ＡＢは円Ｐの弦であり，円の中心は弦の垂直二等分線上にある。

したがって，線分ＡＢの垂直二等分線と辺ＢＣの交点をＰとする(資料２ 参照)。

攻略へのアプローチ

資料１

小 １ ２ ３ ４ ５ ６

大

１ ○ ○ ２ ○ ３ ○ ４ ○ ○ ５ ○

６ ○

資料２

Ｃ Ａ

Ｂ Ｐ

４ 「いろいろな関数」という分類の問題である。「いろいろな関数」の問題では，重さと郵便料金との関 係や，鉄道・タクシー・バスなどの乗車距離と料金との関係が扱われることが多い。「●はその点を含む ことを，○はその点を含まないことを」表すのはグラフのルールとして決まっていることなので，問題に そのことが書いていなくてもわかるようになろう。

⑴ ●と○の違いに注意してグラフをかくと，資料３のようになる。

⑵ 関数の定義をしっかりと覚えておくこと。「ｘの値が１つに決ま るとｙの値が１つに決まるとき，ｙはｘの関数である」という定義 と照らし合わせて考えると，比例・反比例や１次関数では，ｙはｘ の関数であると同時にｘはｙの関数であるが，関数ｙ＝ａｘ²やこの 問題の関数では，ｙはｘの関数であるがｘはｙの関数ではないとわ かる(ｙの値が決まってもｘの値が１つには決まらない)。

⑶

送り方Ａだと，40÷７＝５余り５より，_㋐パンフレットが７部入った小さい封筒５つと，_㋑パンフ レットが５部入った小さい封筒１つに分けられる。表１，２より，㋐は１つ 47ｇだから 92 円，㋑は １つ 35ｇだから 92 円なので，送り方Ａの料金は，92×５＋92＝552(円)である。

また，表２からパンフレットは１部６ｇとわかるので，大きい封筒の重さは 19－６＝13(ｇ)とわか る。したがって，大きい封筒にパンフレットを 40 部入れると，13＋６×40＝253(ｇ)になるので，送 り方Ｂの料金は380円である。

よって，送り方Ｂの方が，552－380＝172(円)安い。

５ ⑴

バスは 20 秒後までに 120ｍ進んだから，平均の速さは，120÷20＝６(ｍ/秒)

⑵

ｘ＝15 のときまでにバスは３

10×15²＝135

２(ｍ)進み，英太さんもこのとき同じ地点にいる。したがっ て，英太さんの速さは135

２÷15＝９

２(ｍ/秒)なので，ｘ＝20 のとき９

２×20＝90(ｍ)進んでいる。

よって，ｘ＝20 のとき，バスと英太さんは 120－90＝30(ｍ)離れている。

送り方Ｂの料金を計算するときは，封筒の重さとパンフレッ トの重さを分けて考える。

攻略へのアプローチ

(平均の速さ)＝(進んだ道のりの合計)÷(かかった時間の合計)である。

バスの速さは出発してから 20 秒後までに変化している(次第に速くなっている)。移動の途中で 速さが変化していても，ある時点からある時点までの速さがおよそどのくらいかを表したもの が，平均の速さである。

攻略へのアプローチ

まず英太さんの速さを求めてから，20 秒後に英太さんがいる地点を求める。

攻略へのアプローチ

資料３

100

100 200 300 400 500 300

200 350 ｙ

250

150

50

0 0 ｘ

高校入試模擬テスト 第２回 3 / 6

⑶

バスが出発してから 20 秒後までに教子さんは３×(10＋20)＝90(ｍ)進むから，この時点で教子さ んとバスは 600－120－90＝390(ｍ)離れている。したがって，ｔ秒間で教子さんとバスが進む道のり の合計は390ｍである。出発してから 20 秒後以降のバスの速さは，(600－120)÷(60－20)＝12(ｍ/秒) だから，３ｔ＋12ｔ＝390となり，ｔ＝26 となる。よって，求める時間は，20＋26＝46(秒後)

20≦ｘ≦60 の範囲においてバスのグラフの式は ｙ＝ａｘ＋ｂであり，点(20，120)を通るから，

120＝20ａ＋ｂ，点(60，600)を通るから，

600＝60ａ＋ｂが成り立つ。これらを連立方程式と して解くと，ａ＝12，ｂ＝－120 となるから，バス のグラフの式は，ｙ＝12ｘ－120…①である。

教子さんについても，バスがＰ地点を出発してから ｘ秒後のＰ地点からの道のりをｙｍとすると，速さが ３ｍ/秒だからグラフの式はｙ＝－３ｘ＋ｃと表すこ

とができる。ｘ＝０のときｙ＝600－３×10＝570 となるから，教子さんのグラフの式は，

ｙ＝－３ｘ＋570…②である。

①，②を連立させてｙを消去すると，12ｘ－120＝－３ｘ＋570 15ｘ＝690 ｘ＝46 ｘ＝46 は 20≦ｘ≦60 を満たすから，求める時間は 46 秒後である。

６ ⑴

ＡＢ＝ ＢＤ²－ＡＤ²＝ 13²－12²＝５(㎝) これより，ＡＥ＝５－２＝３(㎝)

また，長方形の２本の対角線は互いの中点で交わるから，ＧはＡＣの中点である。このことと ＡＢ//ＧＨより，△ＡＥＣにおいて中点連結定理を利用できるので，ＧＨ＝１

２ＡＥ＝３ ２(㎝)

△ＢＥＦと△ＧＨＦの相似比はＢＥ：ＧＨ＝２：３

２＝４：３だから，ＥＦ：ＦＨ＝４：３

バスの速さが出発の 20 秒後から一定になるので，バスが出発してから 20 秒後の教子さんの 位置をまず調べる。そこからｔ秒後に教子さんとバスがすれちがうものとし，ｔについての方 程式を立てて解く。

攻略へのアプローチ

□

^１

∠ＢＡＤ＝90°だから，三平方の定理より，ＡＢ＝ ＢＤ²－ＡＤ²

また，ＡＢ//ＧＨより△ＢＥＦ∽△ＧＨＦが成り立ち，ＥＦ：ＦＨはその相似比と等しい。

攻略へのアプローチ

15 20 60 ｘ 600

120 ｙ

Ｏ

教子さん

バス

①

② 資料４

教子さんとバスがすれちがうのは 20≦ｘ≦60 の範囲であることを確認したあとは，教子さん のグラフとバスのグラフの式をそれぞれ求め，２つのグラフの交点のｘ座標を求めればよい(資 料４参照)。

攻略へのアプローチ

□

２

⑵

△ＡＥＣ＝１

２×ＡＥ×ＡＤ＝１

２×３×12＝18(㎠)

△ＡＥＩと△ＣＤＩの相似比がＡＥ：ＣＤ＝３：５だから，

ＡＩ：ＣＩ＝３：５より，ＩＣ：ＡＣ＝５：８である。

これより，△ＩＥＣ＝△ＡＥＣ×ＩＣ

ＡＣ＝18×５ ８＝45

４(㎠)

⑴よりＥＦ：ＦＨ＝４：３だから，ＥＦ：ＥＨ＝４：７

これとＥＨ：ＨＣ＝１：１より，ＥＦ：ＥＣ＝４：(７×２)＝２：７だから，ＦＣ：ＥＣ＝５：７ また，ＧＣ：ＡＣ＝１：２だから，△ＧＦＣ＝△ＡＥＣ×ＦＣ

ＥＣ×ＧＣ

ＡＣ＝18×５ ７×１

２＝45 ７(㎠) よって，四角形ＥＦＧＩの面積は，△ＩＥＣ－△ＧＦＣ＝45

４－45 ７＝135

28(㎠)

△ＢＥＤ＝１

２×ＢＥ×ＡＤ＝１

２×２×12＝12(㎠)

△ＢＥＦと△ＤＣＦの相似比がＢＥ：ＤＣ＝２：５だから，

ＢＦ：ＤＦ＝２：５より，ＦＤ：ＢＤ＝５：７である。

これより，△ＥＦＤ＝△ＢＥＤ×ＦＤ

ＢＤ＝12×５ ７＝60

７(㎠)

△ＡＥＩと△ＣＤＩの相似比がＡＥ：ＣＤ＝３：５だから，

ＥＩ：ＤＩ＝３：５より，ＩＤ：ＥＤ＝５：８である。

また，ＧＤ：ＢＤ＝１：２だから，△ＩＧＤ＝△ＢＥＤ×ＩＤ ＥＤ×ＧＤ

ＢＤ＝12×５ ８×１

２＝15 ４(㎠) よって，四角形ＥＦＧＩの面積は，△ＥＦＤ－△ＩＧＤ＝60

７－15 ４＝135

28(㎠) ７ ⑴

立方体の体積は，10×10×10＝1000(㎤)

三角すいＡＢＤＥの底面を△ＡＢＤとみると，高さはＡＥ＝10 ㎝である。

立方体の体積から，三角すいＡＢＤＥの体積を引けばよい。

攻略へのアプローチ

資料７

Ａ ３㎝

Ｂ Ｃ

Ｉ

Ｈ Ｇ Ｆ Ｅ

Ｄ

５㎝

２㎝

12 ㎝

四角形ＥＦＧＩの面積は，△ＥＦＤ－△ＩＧＤで求めることができる。その際，ＡＢ//ＤＣ より，△ＡＥＩ∽△ＣＤＩと△ＢＥＦ∽△ＤＣＦが成り立つことを利用する(資料７参照)。

攻略へのアプローチ

□

^２

四角形ＥＦＧＩの面積は，△ＩＥＣ－△ＧＦＣで求めることができる。その際，ＡＢ//ＤＣ より，△ＡＥＩ∽△ＣＤＩが成り立つことを利用する(資料６参照)。

攻略へのアプローチ

□

^１

四角形ＥＦＧＩを含む大きい三角形の面積か らいくつかの小さい三角形の面積を引くこと で，四角形ＥＦＧＩの面積を求める。

資料５の計算を使うことで，それぞれの三角形 の面積を手際よく計算できる。

攻略へのアプローチ

１つの角を共有する三角形の面積

右図のように△ＰＱＲと△ＰＳＴが １つの角を共有するとき，△ＰＳＴ の面積は，

△ＰＳＴ＝△ＰＱＲ×ＰＳ ＰＱ×ＰＴ

ＰＲ で求められる。

Ｒ Ｔ

Ｓ Ｑ

Ｐ

資料５

資料６

Ａ ３㎝

Ｂ Ｃ

Ｉ

Ｈ Ｇ Ｆ Ｅ

Ｄ

５㎝

２㎝

12 ㎝

高校入試模擬テスト 第２回 5 / 6

△ＡＢＤ＝１

２×10×10＝50(㎠)だから，三角すいＡＢＤＥの体積は，１

３×50×10＝500 ３(㎤) よって，図１の立体の体積は，1000－500

３＝2500 ３ (㎤)

⑵

△ＡＢＤは直角二等辺三角形だから，ＢＤ＝ ２ＡＢ＝10 ２(㎝) １辺が10 ２㎝の正三角形の高さは，10 ２× ３

２ ＝５ ６(㎝)だから，１辺が10 ２㎝の正三角形 の面積は，１

２×10 ２×５ ６＝50 ３(㎠)

よって，図２の立体の表面積は，50 ３×４＝200 ３(㎠) ⑶

４点Ｊ，Ｋ，Ｌ，Ｍはすべて，元の立方体の面のちょう ど真ん中の点(対角線の交点)だから，四角形ＪＫＬＭは正 方形である。正方形の面積はひし形と同様に，

１

２×(対角線)×(対角線)で求められ，ＪＬ＝ＫＭ＝10 ㎝だ から，Ｓ＝１

２×10×10＝50(㎠)

ＩＮ＝10 ㎝だから，図３の立体の体積は，

１

３×Ｓ×ＩＮ＝１

３×50×10＝500 ３(㎤)

資料９のように，元の立方体を重ねてイメージすると考えやすい。図３の立体は，合同な２つ の四角すいＩ‐ＪＫＬＭとＮ‐ＪＫＬＭをあわせた立体である。四角形ＪＫＬＭの面積をＳ，

ＩＮと四角形ＪＫＬＭの交点をＯとすると，図３の立体の体積は，

１

３×Ｓ×ＩＯ＋１

３×Ｓ×ＮＯ＝１

３×Ｓ×(ＩＯ＋ＮＯ)＝１

３×Ｓ×ＩＮで求められる。

このように，底面が合同な２つの角すいをあわせた立体の体積は，１

３×(底面積)×(高さの和)で 求めることができる。

攻略へのアプローチ

□

^１

資料９

Ａ

Ｃ Ｂ

Ｉ

Ｈ Ｇ

Ｅ Ｆ

Ｄ

Ｊ

Ｋ

Ｌ Ｍ

Ｎ

Ｏ

図２の立体の辺はすべて，元の立方体の面の対角線と長さが等しい。

したがって，図２の立体の面はすべて正三角形である。

資料８のように，正三角形の１辺の長さと高さの比は２： ３と決まって いるので，正三角形の面積は１辺の長ささえわかれば求めることができ る。

攻略へのアプローチ

資料８

１ ３ ２

三角すいＥ‐ＤＢＧは，元の立方体から三角すいＡＢＤＥと合同な４つの三角すいを取り除いてで きた立体なので，⑴より，三角すいＥ‐ＤＢＧの体積は，1000－500

３×４＝1000 ３ (㎤) 三角すいＥ‐ＪＫＮは，三角すいＥ‐ＤＢＧの各辺を１

２倍に縮小した立体だから，

三角すいＥ‐ＪＫＮと三角すいＥ‐ＤＢＧは相似であり，相似比は１：２である。

したがって，体積比は１³：２³＝１：８だから，図３の立体をつくるときに取り除いた４つの三角す いの体積の合計と三角すいＥ‐ＤＢＧの体積比は，(１×４)：８＝１：２である。

よって，三角すいＥ‐ＤＢＧと図３の立体の体積比は２：１だから，図３の立体の体積は，

1000 ３ ×１

２＝500 ３(㎤)

図２の立体(三角すいＥ‐ＤＢＧ)と，図３の立体をつくるときに取り除いた合同な４つの三 角すいは相似であることを利用して，三角すいＥ‐ＤＢＧと図３の立体の体積比を求める。あ とは三角すいＥ‐ＤＢＧの体積がわかれば，図３の立体の体積を求められる。

「攻略へのアプローチ

□

^１」より考え方も計算も複雑なので，できれば「攻略へのアプローチ

□

^１」の方法で解きたい問題である。

攻略へのアプローチ

□

^２

高校入試模擬テスト 第３回 1 / 5 １ ⑴ 与式＝11＋(－18)＝11－18＝－７

１ ⑵ 与式＝３(３ａ－５ｂ)－２(ａ＋２ｂ)

６ ＝９ａ－15ｂ－２ａ－４ｂ

６ ＝７ａ－19ｂ ６ １ ⑶ 与式＝３ｘ²ｙ÷４ｘ²ｙ²×(－ｘｙ)＝－３ｘ²ｙ×ｘｙ

４ｘ²ｙ² ＝－３ ４ｘ １ ⑷ 与式＝２ｘ²－12ｘｙ＋３ｘｙ－18ｙ²＝２ｘ²－９ｘｙ－18ｙ²

１ ⑸ 与式＝５ ２＋６ 18＝５ ２＋６ ３²×２＝５ ２＋６×３ ２＝５ ２＋18 ２＝23 ２ ２ ⑴

２ ⑴ 与式＝－２(ｘ²－６ｘｙ＋９ｙ²)＝－２{ｘ²－２×ｘ×３ｙ＋(３ｙ)²}＝－２(ｘ－３ｙ)² １ ⑵

２

３＝ ２²

３＝ ４ ３ ， ５

３ ＝ ５

３²＝ ５

９ ， 1.2＝ ６

５ となる。５ ９＜６

５＜４

３より，最も大きい 数は ２

３である。

１ ⑶

１ ⑶ 与式＝３ａ－６ｂ－ａ＋３ｂ＝２ａ－３ｂとなる。この式にａ＝１

２ ，ｂ＝－３を代入すると，

２×１

２－３×(－３)＝１＋９＝10 １ ⑷

ｘが６増えるとｙは－２

３×６＝－４増える，つまり，４減る。増加量を答えるので，答えは－４で ある。

３ ⑴

３ ⑴ 教子さんの記録が含まれるのは 14ｍ以上 17ｍ未満の階級だから，その度数は30人である。

よって，求める相対度数は，30

200＝0.15

⑵

因数分解の基本は共通因数をくくり出すこと。これがすんだら公式を利用する。

攻略へのアプローチ

計算ミスを防ぐため，値を求める式をなるべく簡単な形に直してから，数値を代入すること。

攻略へのアプローチ

ａ＝ ａ²を利用して， の外にある数を の中に入れる。その後， の中の数の大きさ を比較する。

攻略へのアプローチ

１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂにおいて，ｘの値が１増えるとｙの値はａだけ増える。

１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂのグラフにおいて，ａはグラフの傾きを表す。

攻略へのアプローチ

(ある階級の相対度数)＝(その階級の度数)

(総度数) である。

攻略へのアプローチ

平均値，中央値，最頻値の意味を理解し，どの代表値を用いるのが適切かを判断する。

平均値…資料の総和を資料の個数で割った値

中央値…資料を大きさの順に並べたとき，中央にくる値

最頻値…資料の中で最も多く出てくる値，または，度数が最も多い階級の階級値 攻略へのアプローチ

順位について考えるので，教子さんの記録と中央値を比べればよい。全体が 200 人だから，中央値は，

大きい方(または小さい方)から 100 番目と 101 番目の記録の平均である。中央値が 16ｍだから，大きい 方から 100 番目と 101 番目の記録は，16ｍと 16ｍや，17ｍと 15ｍなどが考えられ，大きい方から 100 番 目の記録は必ず 16ｍ以上なので，イが正しい。

４

大人２人と中学生３人の個人料金について，２ｘ＋３ｙ＝3400…①が成り立つ。また，大人 10 人と中学 生 30 人の団体料金について，0.8ｘ×10＋0.9ｙ×30＝21100…②が成り立つ。②より，８ｘ＋27ｙ＝21100…③ となるから，③－①×４でｘを消去すると，27ｙ－12ｙ＝21100－13600 15ｙ＝7500 ｙ＝500

①にｙ＝500 を代入すると，２ｘ＋1500＝3400 より，２ｘ＝1900 ｘ＝950 よって，１人あたりの個人料金は，大人が 950 円，中学生が 500 円となる。

５ ⑴

点Ａは放物線①上の点でｘ座標が２だから，ｙ＝ｘ²にｘ＝２を代入する と，ｙ＝２²＝４となり，Ａ(２，４)となる。よって，Ｂ(－２，４) ⑵

ｙ＝ｍｘ＋２にｘ＝２，ｙ＝４を代入すると，４＝２ｍ＋２より，ｍ＝１ よって，求める式は，ｙ＝ｘ＋２

１ ⑶

資料１

Ｏ (－ａ，ｂ)

ｙ

ｘ ｂ

(ａ，ｂ)

－ａ ａ

資料２

ｘ Ａ

Ｏ Ｂ

①

Ｃ Ｄ

Ｅ

ｙ＝ｘ＋２ ｙ

４

４

大人の団体料金をｘを使った式で，中学生の団体料金をｙを使った式で表して，方程式を立てる。

大人の団体料金は個人料金の 20％引きだから，１人あたりｘ×(１－0.2)＝0.8ｘ(円)と表せる。

同様に，中学生の団体料金は，１人あたりｙ×(１－0.1)＝0.9ｙ(円)と表せる。

攻略へのアプローチ

放物線①のグラフはｙ軸について対称である。したがって，点Ａ の座標がわかれば，点Ｂは点Ａとｙ軸について対称な点となるので，

その座標はすぐにわかる。

点(ａ，ｂ)とｙ軸について対称な点の座標は，(－ａ，ｂ)である (資料１参照)。

攻略へのアプローチ

直線ＡＣはＥ(０，２)を通るから，その切片は２である。したがって，直線ＡＣの式を ｙ＝ｍｘ＋２とおくことができる。直線ＡＣはＡ(２，４)を通ることから，ｍの値を求めること ができる。

攻略へのアプローチ

放物線②は点Ｃを通るので，点Ｃの座標がわかれば，ａの値 を求めることができる。

ＡＢはｘ軸に平行だから，その長さは２点Ａ，Ｂのｘ座標の 差に等しく，２－(－２)＝４である。平行四辺形の性質から，

ＣＤ＝ＡＢ＝４となるので，点Ｃのｘ座標は－４とわかる(資 料２参照)。ｙ座標は，直線ＡＣの式から求められる。

攻略へのアプローチ

高校入試模擬テスト 第３回 3 / 5

ｙ＝ｘ＋２にｘ＝－４を代入すると，ｙ＝－４＋２＝－２となるから，Ｃ(－４，－２)である。

放物線②は点Ｃを通るから，ｙ＝ａｘ²にｘ＝－４，ｙ＝－２を代入すると，－２＝ａ×(－４)²より，

ａ＝－１ ８ ２ ⑷

点Ｐは放物線①上の点だからｙ座標はｐ²となり，これが点Ａの

ｙ座標４より小さいので，△ＡＢＰの高さは４－ｐ²となる。また，点Ｑは放物線②上の点だからｙ座 標は－１

８ｐ²となり，これが点Ｃのｙ座標－２より大きいので，△ＣＤＱの高さは－１

８ｐ²－(－２)＝

－１

８ｐ²＋２となる。これより，４－ｐ²＝－１

８ｐ²＋２ 32－８ｐ²＝－ｐ²＋16 －７ｐ²＝－16 ｐ²＝16

７ ｐ＝± 16

７＝± ４

７＝±４ ７ ７

点Ｐが原点Ｏから点Ｂまで動くとき，ｐ≦０となるから，ｐ＝－４ ７ ７ よって，求めるｘ座標は，－４ ７

７ である。

６ ⑴

≪作図の手順≫

１．点Ｂを中心とする適当な半径の円をかき，直線ＡＭとの交点を Ｅ，Ｆとする。

２．点Ｅ，Ｆをそれぞれ中心とする等しい半径の円をかき，その交 点の１つをＧとする。

３．直線ＡＭと直線ＢＧとの交点をＱとする。

４．点Ｑを中心とする半径ＱＢの円をかき，直線ＢＧとの交点のうち，Ｂ以外の点をＰとする。

資料３

Ｑ ｐ

ｘ Ａ

Ｏ Ｂ

Ｃ Ｄ

ｙ＝ｘ² ｙ

ｙ＝－１ ８ｘ² Ｐ

４

－２

点Ｐは点Ｂと直線ＡＭについて対称な点だから，線分ＢＰと ＡＭとの交点をＱとすると，ＢＰ⊥ＡＭ，ＰＱ＝ＢＱとなる点 Ｐを作図すればよい(資料４参照)。

攻略へのアプローチ

□

^１ _資料４

Ｄ Ａ

Ｂ Ｍ Ｃ

Ｐ Ｎ

Ｑ Ｆ

Ｇ

△ＡＢＰと△ＣＤＱの底辺を，それぞれＡＢ，ＣＤとすると，

底辺の長さが等しくなる。このため，△ＡＢＰと△ＣＤＱの面 積が等しいとき，高さが等しくなる(資料３参照)。

△ＡＢＰ，△ＣＤＱの高さは，それぞれ「ＡとＰのｙ座標の 差」，「ＱとＣのｙ座標の差」となるので，点Ｐのｘ座標をｐと し，点Ｐ，Ｑのｙ座標をｐで表す。

攻略へのアプローチ

Ｅ

⑴

≪作図の手順≫

１．点Ａを中心とする半径ＡＢの円をかく。

２．点Ｍを中心とする半径ＭＢの円をかく。

３．２つの円の交点のうち，Ｂ以外の点をＰとする。

⑵

ＡＢ＝４㎝，ＢＭ＝４÷２＝２(㎝)より，ＡＭ＝ ４²＋２²＝ 20＝２ ５(㎝) ⑶

資料７の，面ＡＧＫＨ上で２点Ａ，Ｎを結び，

面ＨＫＪＩ上で２点Ｎ，Ｍを結ぶ。

資料７

Ｍ

Ａ Ｈ Ｉ

Ｅ Ｆ

Ｊ

Ｇ Ｋ

Ｈ Ｉ

Ｇ Ａ

Ｆ Ｅ

Ｎ Ｍ

資料６

Ｍ Ｎ

Ａ Ｅ

Ｇ Ｆ

Ｈ Ｉ

Ｋ Ｊ

正方形の性質より，∠ＡＢＭ＝90°だから，△ＡＢＭにおいて三平方の定理を用いる。

ＡＭ²＝ＡＢ²＋ＢＭ²より，ＡＭ＝ ＡＢ²＋ＢＭ²となる。

資料８

Ｍ

Ａ Ａ

Ｎ₁ Ｍ

Ｎ₂

資料５

Ｄ Ａ

Ｂ Ｍ Ｃ

Ｐ Ｎ

攻略へのアプローチ

資料６のように，立方体のＡ以外の頂点をＥ～Ｋとし，それぞ れの頂点が資料７の展開図上でどの位置にくるかを考える。

資料６で，２点Ａ，Ｍを含む面は面ＡＥＩＨだから，資料７の ように点Ｅ，Ｉ，Ｈが決まる。次に，資料６で，辺ＥＩを含むも う１つの面は面ＥＦＪＩだから，資料７のように点Ｆ，Ｊが決ま る。同じようにして，他の点も決めていく。辺ＨＩの中点がＭ，

辺ＫＨの中点がＮである。

攻略へのアプローチ

□

^１

折り返した図形だから，△ＡＰＭ≡△ＡＢＭとなる。合同な図 形の対応する辺は等しいから，ＡＰ＝ＡＢ，ＭＰ＝ＭＢとなる 点Ｐを作図すればよい(資料５参照)。

攻略へのアプローチ

□

２

資料８のように，展開図を組み立てたとき に，どの点とどの点が重なるかを考えることが できる。

点Ａ，Ｍは，それぞれ資料８のように矢印で 結んだ点と重なる。図３のＭＮの長さから，点 ＮはＮ₁またはＮ₂の位置にある。ＡＮ＝ＡＭだ から，点ＮがあるのはＮ₁の位置であるとわか る。

攻略へのアプローチ

□

２

高校入試模擬テスト 第３回 5 / 5 ⑷

ＬＱ＝ＬＲ＝２－１ ２＝３

２(㎝)より，△ＬＱＲは直角二等辺三角形 だから，ＱＲ＝ ２ＬＱ＝３ ２

２ (㎝)となる。

よって，求める面積は，ＱＲ×ＱＴ＝３ ２

２ ×１＝３ ２ ２ (㎠)

資料９

Ｎ

Ｌ

Ａ

Ｍ Ｒ

Ｓ Ｑ

Ｔ

４㎝

２㎝

切り口と辺ＡＮ，ＡＭとの交点をそれぞれＳ，Ｔとすると，

面積を求める切り口は，四角形ＱＲＳＴとなる(資料９参照)。

面ＱＲＳＴは線分ＡＬに平行だから，ＳＲ//ＡＬ，ＴＱ//ＡＬ となる。したがって，△ＭＱＴ∽△ＭＬＡ，△ＮＲＳ∽△ＮＬＡ となり，相似比はともに１

２：２＝１：４となるため，ＳＲ＝

ＴＱ＝１

４ＡＬ＝１(㎝)である。また，∠ＳＲＱ＝∠ＴＱＲ＝90°

より，切り口の図形は長方形となる。

攻略へのアプローチ

１ ⑴ 与式＝－１ ２＋２

３－１ ４＝－６

12＋８ 12－３

12＝－１ 12 １ ⑵ 与式＝４－(－９)×５＝４－(－45)＝４＋45＝49 １ ⑶ 与式＝５ｘ－30ｙ＋15－６ｘ＋15ｙ－15＝－ｘ－15ｙ

１ ⑷ 与式＝４(ｘ²＋６ｘ＋９)－(４ｘ²－25)＝４ｘ²＋24ｘ＋36－４ｘ²＋25＝24ｘ＋61 １ ⑸ 与式＝(２ ３＋３ ２)(３ ３－２ ２)＝18－４ ６＋９ ６－12＝６＋５ ６ ２ ⑴

資料１より，０からの距離が２以上４未満の整数 は，－３，－２，２，３の４個ある。

⑵

ｘ²－ａｘ＋18＝０にｘ＝３を代入すると，３²－３ａ＋18＝０より，－３ａ＝－27 ａ＝９ したがって，もとの方程式はｘ²－９ｘ＋18＝０となるから，(ｘ－６)(ｘ－３)＝０ ｘ＝６，３ よって，求める解は，ｘ＝６

(ｘ－３)(ｘ－ｂ)＝ｘ²－(３＋ｂ)ｘ＋３ｂとなり，この式はｘ²－ａｘ＋18 と同値なので，３ｂ＝18 より，ｂ＝６ なお，このとき左辺は(ｘ－３)(ｘ－６)＝ｘ²－９ｘ＋18 となり，問題に適している。

⑶

ｙ＝ａｘ²にｘ＝－１を代入するとｙ＝ａ×(－１)²＝ａとなり，ｘ＝３を代入するとｙ＝ａ×３²＝９ａ となる。したがって，ｘの値が－１から３まで増加したときの変化の割合をａを用いて表すと，

(ｙの増加量)

(ｘの増加量)＝ ９ａ－ａ

３－(－１)＝２ａとなる。よって，２ａ＝１となるから，ａ＝１ ２

関数ｙ＝ａｘ²において，ｘの値が－１から３まで増加したときの変化の割合は，ａ(－１＋３)＝２ａ と表せるから，２ａ＝１より，ａ＝１

資料１

－５ －４ －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ ４ ５

※ 図中の●はその数を含むことを表し，○はその数を含ま ないことを表している。

絶対値とは，０からの距離のことである。

資料１のような数直線をかくとわかりやすい。

攻略へのアプローチ

１つの解がわかっているので，この解をもとの方程式に代入すると，ａの値を求めることがで きる。ａの値がわかれば，他の解を求められる。

攻略へのアプローチ

□

^１

(変化の割合)＝(ｙの増加量)

(ｘの増加量)を利用して，関数ｙ＝ａｘ²においてｘの値が－１から３まで増加し たときの変化の割合をａの式で表す。

攻略へのアプローチ

□

１

ｘ＝３が１つの解なので，２次方程式の左辺は(ｘ－３)(ｘ－ｂ)の形に因数分解できる。

このとき，ｂの値が求める解となる。

攻略へのアプローチ

□

２

関数ｙ＝ａｘ²において，ｘの値がｍからｎまで増加したときの変化の割合は，

(変化の割合)＝(ｙの増加量)

(ｘの増加量)＝ａｎ²－ａｍ²

ｎ－ｍ ＝ａ(ｎ²－ｍ²)

ｎ－ｍ ＝ａ(ｎ＋ｍ)(ｎ－ｍ)

ｎ－ｍ ＝ａ(ｍ＋ｎ) と表せることを利用する。

攻略へのアプローチ

□

^２

高校入試模擬テスト 第４回 2 / 6 ⑷

(ａ＋１)²＝{( ５－２)＋１}²＝( ５－１)²＝５－２ ５＋１＝６－２ ５ ３ ⑴

資料２より，４×３＝12(通り) ⑵

２桁の整数が３の倍数となるのは，資料３で○印を付けた４通りだから，求める確率は，４ 12＝１

３

１，２，３，４のうち，和が３の倍数になる２つの数の組み合わせは，１と２，２と４の２組であ る。それぞれの組から２桁の整数は２個ずつ作ることができるから，３の倍数は，２×２＝４(通り) 作れる。よって，求める確率は，４

12＝１ ３ ⑶

３を５に入れかえると，資料４のような樹形図 をかくことができ，３の倍数は●印の８通りだから，

入れかえたあとの確率は，８ 12＝２

３となる。よって，アが正しい。

１，２，４，５のうち，和が３の倍数になる２つの数の組み合わせは，１と２，１と５，２と４，

４と５の４組である。それぞれの組から２桁の整数は２個ずつ作ることができるから，３の倍数は，

４×２＝８(通り)作れる。よって，入れかえたあとの確率は，８ 12＝２

３となるので，アが正しい。

資料２

１ ２ ２ １ ３ １ ４ １

３ ３ ２ ２

４ ４ ４ ３

４＜ ５＜ ９より，２＜ ５＜３となるから， ５の整数部分は２である。したがって，

５の小数部分は，ａ＝ ５－２となる。

攻略へのアプローチ

すべての場合を樹形図にまとめる。

攻略へのアプローチ

資料４

１ ２● ２ １● ４ １ ５ １●

４ ４● ２● ２

５● ５ ５● ４●

資料３

１ ２○ ２ １○ ３ １ ４ １

３ ３ ２ ２○

４ ４○ ４ ３

資料２でかいた樹形図を利用し，３の倍数 になる場合が何通りか数える。

攻略へのアプローチ

□

１

すべての場合を樹形図にまとめる。

攻略へのアプローチ

□

^１

樹形図ですべての場合を１つ１つ調べなくても，３の倍数は，各位の数の和が３の倍数になる ことを利用すれば，３の倍数になる場合の数をすばやく計算することができる。

攻略へのアプローチ

□

２

樹形図ですべての場合を１つ１つ調べなくても，３の倍数は，各位の数の和が３の倍数になる ことを利用すれば，３の倍数になる場合の数をすばやく計算することができる。

攻略へのアプローチ

□

２

４ ⑴

右上すみの自然数は，１番目が４＝２²，２番目が９＝３²，３番目が 16＝４²，…のようになる。したがって，４番目は５²＝25 である。

⑵

ｎ番目の右上すみの自然数は，Ａ＝(ｎ＋１)²である。

Ｄは，(ｎ－１)番目の右上すみの自然数だから，{(ｎ－１)＋１}²＝ｎ² よって，Ｃ＝ｎ²＋１である。

⑴より，Ａ＝(ｎ＋１)²である。１番目，２番目，３番目を見ると，ＢはＡよりｎだけ小さく，Ｃ はＢよりｎだけ小さいことがわかる。よって，Ｃ＝Ａ－２ｎ＝(ｎ＋１)²－２ｎ＝ｎ²＋１

⑶

(ｎ＋１)²＋(ｎ²＋１)＝146 より，ｎ²＋２ｎ＋１＋ｎ²＋１－146＝０ ２ｎ²＋２ｎ－144＝０ ｎ²＋ｎ－72＝０ (ｎ＋９)(ｎ－８)＝０ ｎ＝－９，８

ｎは自然数だからｎ＝８となるので，８番目である。

５ ⑴

ｙ＝18

ｘにｘ＝３を代入すると，ｙ＝18

３＝６となるから，Ａ(３，６)である。

ｙ＝ａｘ²にｘ＝３，ｙ＝６を代入すると，６＝ａ×３²より，ａ＝２ ３

資料５

１ ４ ９ 16 ２ ３ ８ 15 ５ ６ ７ 14 10 11 12 13

右上すみの数の規則性を探す。規則性として最もよくあるのは，

「同じ数ずつ増えている」と「整数を２乗した数になっている」の ２パターンである。

攻略へのアプローチ

題意より，(ｎ＋１)²＋(ｎ²＋１)＝146 が成り立つから，これを解けばよい。ｎは自然数であ ることに注意する。

攻略へのアプローチ

資料６

１ ４

・・・ Ｄ Ａ

２ ３ ・ ・ ・

Ｃ

ｎ番目

Ｂ

点Ａは双曲線㋐上にあり，ｘ座標が３だから，その座標を求めることができる。

放物線㋑は点Ａを通ることから，ａの値がわかる。

攻略へのアプローチ

右上すみの自然数の規則性は⑴の解説のとおりである。

自然数は資料５のように並んでいるから，ｎ番目の図である資 料６のＣの自然数は，Ｄの自然数の次の数である。

攻略へのアプローチ

□

^１

資料６のＡとＢの差，ＢとＣの差に注目する。

攻略へのアプローチ

□

^２

高校入試模擬テスト 第４回 4 / 6

⑵①

ＡＢとｙ軸との交点をＥとする。辺ＡＢとｘ軸が平行だから，

２点Ａ，Ｂはｙ軸について対称なので，ＥはＡＢの中点である。

これより，ＡＢ＝２ＡＥ＝２×３＝６である。

ＣＤ＝ＡＢ＝６より，点Ｄのｘ座標は－２＋６＝４となる。

また，ｙ＝18

ｘにｘ＝－２を代入すると，ｙ＝ 18

－２＝－９となるから，点Ｃのｙ座標は－９となる。

よって，求める座標は，Ｄ(４，－９)

②

点Ｂは点Ａとｙ軸について対称なので，Ｂ(－３，６)とわかる。Ｄ(４，－９)だから，Ｍのｘ座 標は(－３)＋４

２ ＝１

２ ，ｙ座標は６＋(－９) ２ ＝－３

２となる。式を求める直線は原点を通るから切片 が０なので，その式をｙ＝ｍｘとする。この直線はＭ(１

２ ，－３

２)を通るから，－３

２＝ｍ×１

２より，

ｍ＝－３となる。よって，求める式は，ｙ＝－３ｘ

なお，ＭはＡＣの中点でもあるから，ＡとＣの座標からＭの座標を求めることもできる。

６ ⑴

線分ＢＣは円Ｏの直径だから，ＢＣ^⌒ は半円の弧である。

よって，∠ＢＡＣ＝90°

資料７

ｙ ㋐

㋑

ｘ

Ｄ

㋐

Ｃ

Ｂ Ａ

Ｏ Ｅ

３

－２

円周角の定理より，同じ弧に対する円周角の大きさは，中心角の 大きさの１

２倍である。半円の弧に対する中心角の大きさは 180°だか ら，円周角の大きさは 180°×１

２＝90°である(資料９参照)。

資料８

ｙ ㋐

㋑

ｘ

Ｄ

㋐

Ｃ

Ｂ Ａ

Ｏ Ｍ

資料９

Ａ

Ｂ Ｏ Ｃ

180°

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいから，ＣＤ＝ＡＢ となるので，ＡＢの長さと点Ｃのｘ座標から，点Ｄのｘ座標が わかる。また，点Ｄのｙ座標は点Ｃのｙ座標と同じである(資 料７参照)。

攻略へのアプローチ

平行四辺形の面積を２等分する直線は，２本の対角線の交 点を通る。平行四辺形の２本の対角線は互いの中点で交わる ので，ＢＤの中点をＭとすると，直線ＯＭの式を求めればよ い(資料８参照)。２点(ｘ₁，ｙ₁)，(ｘ₂，ｙ₂)の中点の座標は，

(ｘ₁＋ｘ₂

２ ，ｙ₁＋ｙ₂

２ )である。

この解き方は，正方形，長方形，ひし形(すべて平行四辺形に 含まれる)の面積を２等分するときも利用できる重要な解き方な ので，覚えておこう。

攻略へのアプローチ

攻略へのアプローチ

６ ⑵①

題意より，ＢＤ＝１

２ＢＯ＝１

２×６＝３(㎝)より，ＤＣ＝６×２－３＝

９(㎝)となるから，△ＡＤＣ＝１

２×ＤＣ×ＡＯ＝１

２×９×６＝27(㎠)

△ＡＢＣにおいて，ＡＢ：ＡＣ：ＢＣ＝１：１： ２だから，ＡＢ＝ＡＣ＝ １

２ＢＣ＝ １

２×12＝

６ ２(㎝) よって，△ＡＢＣ＝１

２×ＡＢ×ＡＣ＝１

２×６ ２×６ ２＝36(㎠)

△ＡＤＣ：△ＡＢＣ＝ＤＣ：ＢＣ＝９：12＝３：４だから，△ＡＤＣ＝３

４△ＡＢＣ＝３

４×36＝27(㎠)

③

ＤＯ＝３㎝だから，ＡＤ＝ ６²＋３²＝ 45＝３ ５(㎝)となる。

よって，求める相似比は，ＡＤ：ＢＤ＝３ ５：３＝ ５：１

④

△ＡＤＣ：△ＢＤＥ＝( ５)²：１²＝５：１だから，

△ＢＤＥ＝１

５△ＡＤＣ＝１

５×27＝27 ５(㎠)

△ＥＢＣ：△ＢＤＥ＝ＢＣ：ＢＤ＝12：３＝４：１だから，△ＥＢＣ＝４△ＢＤＥ＝４×27 ５＝108

５(㎠) よって，求める面積は，△ＡＢＣ＋△ＥＢＣ＝36＋108

５＝288 ５(㎠)

資料 10

Ａ

Ｂ Ｄ Ｏ Ｃ

資料 1２

Ｅ

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ Ｏ

資料 11

Ａ

Ｂ Ｄ Ｏ Ｃ

Ｅ

△ＡＤＣと△ＢＤＥの相似比は，ＡＤ：ＢＤに等しい。

△ＡＤＯは∠ＡＯＤ＝90°の直角三角形だから，三平方の定理よ り，ＡＤ＝ ＡＯ²＋ＤＯ²となる。

攻略へのアプローチ

(四角形ＡＢＥＣの面積)＝△ＡＢＣ＋△ＥＢＣとして考える。

⑵①の解説より△ＡＢＣ＝36 ㎠である。

△ＥＢＣの面積の求め方については，以下の３通りの方法が考えられる。

攻略へのアプローチ

題意より，△ＡＢＣは直角二等辺三角形となる。したがって，

２点Ａ，Ｏを結ぶと，ＡＯ⊥ＢＣとなるから，△ＡＤＣの底辺を ＤＣとしたときの高さはＡＯとなる(資料 10参照)。

攻略へのアプローチ

□

^１

面積の比は相似比の２乗だから，⑵①～③から△ＢＤＥの面積 を求められる。△ＥＢＣと△ＢＤＥは，底辺をそれぞれＢＣ，ＢＤ としたときの高さが等しいから，面積比は底辺の長さの比に等し い(資料 1２参照)。

攻略へのアプローチ

□

^１

△ＡＢＣは直角二等辺三角形だから，△ＡＢＣ＝１

２×ＡＢ×ＡＣである。

△ＡＤＣと△ＡＢＣは，底辺をそれぞれＤＣ，ＢＣとしたときの高さが等しいから，面積比は 底辺の長さの比に等しい。

攻略へのアプローチ

□

^２

高校入試模擬テスト 第４回 6 / 6

△ＢＤＥ＝27

５㎠，ＢＤ＝３㎝だから，△ＢＤＥの面積について，

１

２×３×ＥＨ＝27

５ ＥＨ＝27 ５×２

３＝18 ５(㎝) したがって，△ＥＢＣ＝１

２×ＢＣ×ＥＨ＝１

２×12×18 ５＝108

５(㎠)だから，求める面積は，

△ＡＢＣ＋△ＥＢＣ＝36＋108 ５＝288

５(㎠)

⑵①よりＡＣ＝６ ２㎝，⑵③より△ＡＤＣと△ＢＤＥの相似比が ５：１だから，ＢＥ＝ １

５ＡＣ＝６ ２

５ (㎝)となる。

三平方の定理より，ＥＣ＝ ＢＣ²－ＢＥ²＝ 12²－(６ ２

５ )²＝ 648

５＝18 ２

５ (㎝)となる。

したがって，△ＥＢＣ＝１

２×ＢＥ×ＥＣ＝１

２×６ ２

５ ×18 ２ ５ ＝108

５(㎠)となるから，求める面積 は，△ＡＢＣ＋△ＥＢＣ＝36＋108

５＝288 ５(㎠)

資料 1３

Ａ

Ｂ Ｈ Ｄ Ｏ Ｃ

Ｅ

資料 14

Ｅ

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｏ Ｄ

ＢＣが直径だから∠ＢＥＣ＝90°なので，線分ＢＥ，ＥＣの長 さを求めれば，△ＥＢＣの面積がわかる。

△ＡＤＣ∽△ＢＤＥを利用して，まず線分ＢＥの長さを求める。

攻略へのアプローチ

□

^３

資料 1３のように点Ｈをとると，△ＥＢＣ＝１

２×ＢＣ×ＥＨとな る。「攻略へのアプローチ

□

１」と同様に△ＢＤＥの面積を求め，

△ＢＤＥの面積と線分ＢＤの長さから線分ＥＨの長さを求める。

攻略へのアプローチ

□

^２

１ ⑴ 与式＝－18－(－15)＝－18＋15＝－３ １ ⑵ 与式＝４×３

８－１ ４＝３

２－１ ４＝６

４－１ ４＝５

４ １ ⑶ 与式＝８ｘ－28－３ｘ－11＝５ｘ－39 １ ⑷ 与式＝４ｘ²ｙ⁴× １

３ｘ²ｙ＝４ ３ｙ³ １ ⑸ 与式＝21 ３

３ －２ ３＋５ ３＝７ ３－２ ３＋５ ３＝10 ３ ２ ⑴

２ ⑴ ４：(ｘ＋３)＝12：６ｘより，４×６ｘ＝(ｘ＋３)×12 24ｘ＝12ｘ＋36 12ｘ＝36 ｘ＝３ １ ⑵