１ ⑴ 与式＝２
５×10－３×10＋19＝４－30＋19＝－７ １ ⑵ 与式＝５(ｘ－ｙ)－２(２ｘ－ｙ)
10 ＝５ｘ－５ｙ－４ｘ＋２ｙ
10 ＝ｘ－３ｙ 10 １ ⑶ 与式＝ｘ²－３ｘｙ＋ｘｙ－３ｙ²－９ｘｙ＝ｘ²－11ｘｙ－３ｙ² １ ⑷ 与式＝４－４ ３＋３＝７－４ ３
１ ⑸ 与式＝ ３²×３＋ 15× ３
３× ３＝３ ３＋５ ３＝８ ３ ２ ⑴
ｘ－２＝Ａとおくと，与式＝Ａ²＋６Ａ＋５＝(Ａ＋１)(Ａ＋５) Ａを元にもどすと，(ｘ－２＋１)(ｘ－２＋５)＝(ｘ－１)(ｘ＋３) １ ⑵
１ ⑵ ｘ²＋４ｘ＋４＝(ｘ＋２)²にｘ＝ ５－２を代入すると，( ５－２＋２)²＝５ ３
１
ＡＢが直径だから，∠ＡＤＢ＝90°
円周角の定理より，∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ＝41°(資料１参照)
△ＡＢＤの内角の和より，∠ｘ＝180－90－41＝49(°) ４ ⑴
１ ⑵ この間，ＡとＢの２台を使い，１時間あたり 50＋30＝80(㎥)の雪を降らせる。
１ ⑵正午から２時30分までは２＋30 60＝５
２(時間)あるから，降らせる雪の量の合計は，80×５
２＝200(㎥) 因数分解するとき，式の一部を文字に置きかえることで，ｘ²＋ａｘ＋ｂやｘ²－ａ²などの因数 分解しやすい形にならないかを考える。
攻略へのアプローチ
式の値を求めるとき，すぐに代入せず，式を簡単な形に変形してから代入することで計算が簡 単にならないかを考える。
攻略へのアプローチ
円があって角度を求める問題では，
①半円の弧に対する円周角は 90°である
②同じ弧に対する円周角は等しい(円周角の定理)
③同じ弧に対する中心角と円周角の比は２：１である(円周角の定 理)
以上の３つからわかる角度を，まず図にかきこむ。
攻略へのアプローチ
１日目の正午から午後２時 30 分までの間に使った降雪機を，問題文から正確に読み取る。
また，１時間は 60 分だから，ａ分＝ａ
60時間である。
攻略へのアプローチ
Ｃ
Ｄ Ｂ
Ａ ｘ
41°
Ｏ 41°
資料１
１ ⑵
正午から午後３時までに降らせた雪の量は 80×３＝240(㎥)であり，
320 ㎥まではあと 320－240＝80(㎥)である。
午後３時から午後５時までは１時間あたり 50 ㎥の雪を降らせるから，
午後３時から 80÷50＝８ ５＝１３
５(時間)後が，求める時刻である。
１ ⑵１３
５時間＝１時間(60×３
５)分＝１時間36分だから，求める時刻は，午後４時 36 分である。
１ ⑵
１ ⑵ 午後３時から午後５時までは１時間あたり50㎥の雪を降らせるから，
１ ⑵午後３時から午後５時までのグラフの式をｙ＝50ｘ＋ｃとおく。
正午から午後３時までに降らせた雪の量は 80×３＝240(㎥)だから，直線ｙ＝50ｘ＋ｃは点(３，240) を通るので，ｘ＝３，ｙ＝240 を代入すると，240＝50×３＋ｃより，ｃ＝90 となる。
したがって，ｙ＝50ｘ＋90 にｙ＝320 を代入すると，320＝50ｘ＋90 より，50ｘ＝230 ｘ＝23 23 ５
５時間＝４３
５時間＝４時間(60×３
５)分＝４時間36分だから，求める時刻は，午後４時 36 分である。
１ ⑶①
正午から午後５時までは１時間あたり 80 ㎥の雪を降らせるから，この間の５時間で降らせる雪 の量の合計は，80×５＝400(㎥)である。
午後５時から午後 10 時までは１時間あたり 30 ㎥の雪を降らせるから，この間の５時間で降らせる 雪の量の合計は，30×５＝150(㎥)である。したがって，午後10時の「正午から降らせる雪の量の 合計」は 400＋150＝550(㎥)となる。
以上より，点(０，０)と点(５，400)，点(５，400)と点(10，550)をそれぞれ直線で結べばよい。
図１のグラフより，求める時刻は午後３時から午後５時までの間とわかる。
使う降雪機がかわる午後３時までに降らせる雪の量を計算してから，320 ㎥に足りない分を降ら せるのにあと何時間かかるかを計算する。
また，１時間は 60 分だから，ｂ時間＝60ｂ分である。
攻略へのアプローチ
□
１使う降雪機は午後５時に１回かわっただけで，降らせる雪の量はその前後でそれぞれ一定だ から，グラフは２本の直線を午後５時のところでつないだ形になる。
したがって，午後５時と午後 10 時それぞれの時刻の「正午から降らせる雪の量の合計」がわ かればよい。
攻略へのアプローチ
図１のグラフより，求める時刻は午後３時から午後５時までの間とわかる。
グラフの横軸の値をｘ，縦軸の値をｙとし，午後３時から午後５時までのグラフの式を求めて から，ｙ＝320 を代入する。
攻略へのアプローチ
□
２１ ⑶②
１日目と２日目の条件をまとめると資料３のようになる。
資料３より，直線ℓの傾きは 80 だから，その式をｙ＝80ｘ＋ｄ とおく。１日目の正午から午後７時までに降らせる雪の量の 合計は 240＋50×２＋30×２＝400(㎥)だから，ｙ＝80ｘ＋ｄ にｘ＝７，ｙ＝400 を代入すると，
400＝80×７＋ｄ ｄ＝－160
したがって，直線ℓの式はｙ＝80ｘ－160 である。
１ ⑶②直線ℓと同様にして直線ｍの式を調べると，ｙ＝30ｘ＋250 とわかる。
ｙ＝80ｘ－160 とｙ＝30ｘ＋250 を連立させると，80ｘ－160＝30ｘ＋250 より，ｘ＝41
５となる。
１ ⑶②41
５時間＝８１
５時間＝８時間(60×１
５)分＝８時間 12 分だから，求める時刻は午後８時 12 分である。
１ ⑶② 午後７時の「正午から降らせる雪の量の合計」は，１日目が 240＋50×２＋30×２＝400(㎥)，
１ ⑶②２日目が 400＋30×２＝460(㎥)だから，その差は 460－400＝60(㎥)である。
このあと１時間あたり 80－30＝50(㎥)の割合で差は小さくなっていくから，
60÷50＝６ ５＝１１
５(時間)後に「正午から降らせる雪の量の合計」が等しくなる。
１１
５時間＝１時間(60×１
５)分＝１時間 12 分だから，求める時刻は，
午後７時＋１時間 12 分＝午後８時 12 分
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 (時間) (㎥)
600 500 400 300 200 100 (正午) ０
資料２
：１日目 ：２日目
時間 ０～３時 ３～５時 ５～７時 ７～10 時 １
日 目
降雪機 ＡとＢ Ａ Ｂ ＡとＢ １時間あたり
に降らせる雪 の量
80 ㎥ 50 ㎥ 30 ㎥ 80 ㎥
２ 日 目
降雪機 ＡとＢ Ｂ
１時間あたり に降らせる雪 の量
80 ㎥ 30 ㎥
資料３
⑶①でかいたグラフを図１にかきこむと，資料２のように なる。これより，求める時刻は午後７時から午後 10 時まで の間とわかる。資料２の横軸の値をｘ，縦軸の値をｙとし，
１日目の午後７～10 時のグラフ(直線ℓとする)の式と，２日 目の午後５～10 時のグラフ(直線ｍとする)の式を調べ，そ の交点のｘ座標を求める。
攻略へのアプローチ
□
１１日目と２日目の条件をまとめると資料３のようになる。「１時間あたりに降らせる雪の 量」の割合に注目して資料３を見ると，１日目と２日目の，「正午から降らせる雪の量の合 計」は，午後３時では等しく，午後５時では２日目の方が多く，午後７時でもまだ２日目の方 が多いとわかる。これより，求める時刻は午後７時から午後 10 時までの間とわかる。
午後７時の「正午から降らせる雪の量の合計」をそれぞれ計算してから，それが等しくなるま でにあと何時間かかるかを求める。
攻略へのアプローチ
□
２５ ⑴
５ ⑴ ｙ＝ａｘ²にｘ＝２，ｙ＝２を代入すると，２＝ａ×２²より，ａ＝１ ２ ５ ⑴ｙ＝１
２ｘ²にｘ＝ｔ，ｙ＝18 を代入すると，18＝１
２ｔ² ｔ²＝36 ｔ＝±６ ｔ＜０より，ｔ＝－６
１ ⑵
１ ⑵ 点Ｑの座標より，直線ℓの傾きは 18
－６＝－３だから，直線ℓの式はｙ＝－３ｘである。
１ ⑵ｙ＝－３ｘにｘ＝２を代入すると，ｙ＝－３×２＝－６より，Ｒ(２，－６)である。
㋑のグラフは点Ｒを通るから，ｙ＝ｂ
ｘにｘ＝２，ｙ＝－６を代入すると，－６＝ｂ
２より，ｂ＝－12 １ ⑶①
Ｐ(２，２)，Ｑ(－６，18)であり，ＰＲはｙ軸に平行だから，
△ＰＲＳと△ＰＱＲの高さの比より，ＡＳ：ＢＱ＝１：２ ＡＳ：{２－(－６)}＝１：２ ＡＳ＝４
したがって，点Ｓのｘ座標は２＋４＝６であり，ｙ＝－12 ｘに ｘ＝６を代入するとｙ＝－２になるから，Ｓ(６，－２)である。
１ ⑶②
１ ⑶② Ｒ(２，－６)，Ｓ(６，－２)より，ＲＳ＝ (６－２)²＋{－２－(－６)}²＝ 32＝４ ２
ｙ
Ｏ ｘ
Ｓ Ｒ Ｑ
Ｐ
②
①
資料４
Ａ Ｂ
△ＰＲＳと△ＰＱＲではＰＲが共通しているから，ともに ＰＲを底辺としたときの高さの比(資料４のＡＳ：ＢＱ)は，
面積比に等しく，１
２：１＝１：２になる。
攻略へのアプローチ
㋐のグラフは点Ｐを通るから，ｙ＝ａｘ²にｘ＝２とｙ＝２を代入すると，ａの値を求められる。
それによって，㋐のグラフの式がわかり，点Ｑは㋐のグラフ上の点なので，㋐のグラフの式に ｘ＝ｔ，ｙ＝18 を代入すると，ｔの値を求められる。
攻略へのアプローチ
㋑のグラフは点Ｒを通るから，点Ｒの座標がわかれば，ｂの値を求められる。
直線ℓの式を調べ，その式に点Ｒのｘ座標のｘ＝２を代入すると，点Ｒの座標がわかる。
攻略へのアプローチ
座標平面上の２点間の距離は，三平方の定理を利用して，
(ｘ座標の差)²＋(ｙ座標の差)²で求められる。
攻略へのアプローチ
６
６ ⑴ ６ ⑴
アは 12÷１＝12 である。そのときのｙの値は長方形ＡＢＣＤ の面積に等しく６×12＝72 だから，イは 72 である。
１ ⑵
①から②の間，２つの長方形はａ㎝進み，その間の時間は 20－ア＝20－12＝８(秒)だから，ａ＝１×８＝８
１ ⑶
ＧがＳに重なるまでに 60 秒かかるから，図１では，ＧＳ＝１×60＝60(㎝)である。
したがって，図１で考えると，ＧＨ＝ＧＳ－ＣＨ－ＣＤ－ＲＳ＝16(㎝)
資料５⑤のとき，ｙの値は長方形ＥＦＧＨの面積と等しいから，長方形ＥＦＧＨの面積は 64 ㎠とわか る。よって，ＥＨ＝64÷16＝４(㎝)
１ ⑷
資料５③において，ＲＨ＝ＲＳ－ＣＨ－ＣＤ＝４(㎝)であり，長方形ＡＢＣＤの面積は 72(㎠)だか
② ｙ
ｘ 64
0 ① ③ ④ ⑤ ⑥
資料５
Ｓ
Ｑ Ｐ
Ｇ Ｈ Ｆ Ｅ
Ｃ Ｄ (Ｒ) Ｂ Ａ ℓ
資料５①
Ｓ
Ｑ Ｐ
Ｇ Ｆ Ｅ
Ｃ Ｄ Ｂ Ａ ℓ
資料５②
Ｈ (Ｒ)
Ｄ (Ｓ)
Ｑ Ｐ
Ｈ Ｇ Ｆ Ｅ
Ｃ Ｒ
Ｂ Ａ ℓ
資料５③
Ｒ
Ｑ Ｐ
Ｈ Ｇ Ｆ Ｅ
Ｃ Ｄ (Ｓ) Ｂ Ａ ℓ
資料５④
Ｒ
Ｑ Ｐ
Ｇ Ｃ Ｆ Ｅ
Ｈ Ｄ (Ｓ)
Ｂ Ａ ℓ
資料５⑤
Ｒ
Ｑ Ｐ
Ｈ Ｃ Ｆ Ｅ
Ｇ Ｄ (Ｓ)
Ｂ Ａ ℓ
資料５⑥ 図３のグラフで直線の傾きが変化しているところ(グラフが折れ
まがっているところ)では，３つの長方形の位置関係がどうなって いるかを，順を追って考える。
攻略へのアプローチ
資料５③のときのｙの値を求めればよい。
攻略へのアプローチ
資料５において，移動が始まってから①までｙの値は増え続 け，そのあと②までは変化しないから，①はＣがＲに重なると き(資料５①参照)とわかる。
攻略へのアプローチ
資料５において，①から②の間はＲがＣとＨの間にあるか ら，②はＨがＲに重なるとき(資料５②参照)とわかる。
攻略へのアプローチ
資料５において，②から③の間はグラフの傾きが変化せず，
③のあとｙは初めて減り始めるから，③はＤがＳに重なるとき (資料５③参照)とわかる。
④から⑤の間は，ｙの値が変化しないから，ＳがＣとＨの間に あるとわかる。したがって，④はＣがＳに重なるとき(資料５
④参照)，⑤はＨがＳに重なるとき(資料５⑤参照)とわかる。
⑥のときｙの値が０になるから，⑥はＧがＳに重なるとき(資 料５⑥参照)とわかる。
攻略へのアプローチ
７ ⑴
円と台形の４辺との接点をそれぞれＦ，Ｇ，Ｈ，Ｉとする(資料６参照)。
ＡＦ＝ＡＧ，ＢＧ＝ＢＨ，ＣＨ＝ＣＩ，ＤＩ＝ＤＦとなるため，
ＡＤ＋ＢＣ＝(ＡＦ＋ＤＦ)＋(ＢＨ＋ＣＨ)＝ＡＧ＋ＤＩ＋ＢＧ＋ＣＩ＝ＡＢ＋ＤＣが成り立つ。
したがって，ＡＥ＝ＢＣ＝(ＡＤ＋ＢＣ)－ＡＤ＝(ＡＢ＋ＤＣ)－ＡＤ＝18－ｘ(㎝) また，ＥＤ＝ＤＣ－ＥＣ＝６(㎝)
ＡＤ²＝ＡＥ²＋ＥＤ²より，ｘ²＝(18－ｘ)²＋６² ｘ²＝324－36ｘ＋ｘ²＋36 36ｘ＝360 ｘ＝10 よって，ＡＤ＝10 ㎝である。
１ ⑵
⑴の解説より，資料６においてＡＥ＝18－10＝８(㎝)だから，ＢＣ＝８㎝より，球の半径と立体Ｐ の底面の半径は８÷２＝４(㎝)である。
また，元の円柱の高さはＡＢ＋ＤＣ＝18(㎝)である。
以上より，立体Ｐの体積は(４²π×18)÷２＝144π(㎤)，球の体積は４
３π×４³＝256
３π(㎤)である。
よって，立体Ｐの体積は球の体積の，144π÷256 ３π＝27
16(倍)
６㎝
Ｅ Ｄ
Ｃ Ｂ
Ａ 12 ㎝
Ｉ
Ｈ Ｇ
Ｆ
資料６ 図２の立面図において，資料６のように，点ＡからＣＤに垂
線ＡＥをひくと，三平方の定理より，ＡＤ²＝ＡＥ²＋ＥＤ²と なる。ＡＤ＝ｘ㎝とし，ＡＥの長さをｘの文字式で表すと，ｘ の方程式を立てることができる。
また，円外の定点からひいた２本の接線において，定点と円 の接点との間の長さは等しいことを利用する。
攻略へのアプローチ
球の半径と立体Ｐの底面の半径は，⑴の解説から求めることができる。
立体Ｐと合同な立体を２つ合わせると元の円柱と合同な円柱ができることから，元の円柱の高さ を求めることができる。
攻略へのアプローチ
