作用

3.4 ^作用

集合Sの集合Xへの作用とは

f :S×X →X

の形の写像のことであった。定理1.1.22によれば、これを与えることと ρ:S→Map(X, X)

を与えることとは同値である。s∈Sに対しρ(s) :X →Xであるからρ(s)(x)∈X。これを s·x:=ρ(s)(x)

と表記することが多い。

例 3.4.1.

Xを集合、S_XをX上の対称群とする。

SX×X →X, (σ, x)7→σ(x) を与える。

Kを体とする。行列環と縦ベクトルの掛け算は、

GL_n(K)×Kⁿ →Kⁿ, (A,x)7→Ax を与える。

定義3.4.2. 集合S, XとSのX への作用

ρ:S→Map(X, X) が与えられているとする。

1. Sがマグマ(S,◦S)であるとき、ρが「マグマとしてのSのXへの作用」であるとはρ が

(S,◦S)→(Map(X, X),◦)

なるマグマ準同型であることである。さらにSが半群であるとき「SのX への半群作 用」という。

2. Sがモノイド(S,◦S, eS)とする。ρが

(S,◦S, eS)→(Map(X, X),◦,idX)

なるモノイド準同型であるとき、「SのXへのモノイド作用」という。

3. Sが群(S,◦S, e_S)とする。ρが

(S,◦S, eS)→(Map(X, X)^×,◦,idX) なる群準同型であるとき、「SのXへの群作用」という。

問題3.6. 定義3.4.2と同じ設定とする。以下を確かめよ。

1. Sがマグマ（あるいは半群）であるとき、ρがマグマとしての作用（あるいは半群作用）

である必要十分条件は

AB ∀s₁, s₂∈S,∀x∈X, ρ(s₁)(ρ(s₂)(x)) =ρ(s₁◦Ss₂)(x) をみたすことである。言い換えると、

s1·(s2·x) = (s1◦Ss2)·x となることである。

2. Sがモノイドであるとき、ρがモノイド作用となる必要十分条件は、上のABに加えて AC ρ(eS) = idX

を満たすことである。言い換えると

∀x∈X, eS·x=x を満たすことである。

3. Sが群であるとき、ρが群作用であるとは上に加えて AD ρ(s⁻¹) =ρ(s)⁻¹

が成立することである。

しかし、命題2.4.20により、Sが群であるときにはABとACからADは従うことが わかる。

Xに代数構造が入っていると、自己準同型(endomorphism)モノイドEnd(X)が定義でき る。例えばXが加法群であればEnd(X)はXからXへの準同型の集合であり、Xが体K上 の線形空間であればEnd(X)はXからX自身への線形写像の全体である。End(X)は合成◦ と単位元id_Xによりモノイドとなる。End(X)の可逆元の集合End(X)^×は命題2.4.9により 群となる。この群をAut(X)といい、Xの自己同型群(automorphism group)という。

例3.4.3. Kを体とする。Xをn次元縦ベクトル空間Kⁿとするとき、End_K(X)はKⁿからそ れ自身へのK線形写像の全体である。n次正方行列の集合をMn(K)であらわす。A∈Mn(K) に対し、AをXの元に左から掛ける写像を

LA:X →X, x7→Ax と表すと、

ρ:M_n(K)→End_K(X), A7→L_A なる作用が定まる。

ρが一対一写像であることは、線形代数でよく知られた事実である。

M_n(K)は環である。End_K(X)も環であり、ρは同型となっている(後述???)。

AutK(X) := (EndK(X))^× は加逆な自己準同型写像の全体であり、GLn(K)と同型になっ ている。

3.4. 作用 87

定義 3.4.4. Xを加法群とし、Sをマグマ(半群、モノイド) とする。マグマ(半群、モノイ

ド)準同型

ρ:S→End(X)

をSの加法群Xへのマグマ(半群、モノイド)作用という。Sが群であるときは、モノイド準 同型

ρ:S→End(X)

をSの加法群Xへの群作用(group action)という。このとき、XをS-加群(S-module)とい う。ρをSのX における表現という。

ρの像はAut(X)に入る（例えば命題2.4.20をf =ρに対して使えばよい）ので、群準同型

ρ:S →Aut(X) をSのXへの群作用という、といっても良い。

上の定義で、Xは加法群としたが、線形空間としても同様の定義がなされる。あるいはモ ノイド、群としてもよい。

例 3.4.5. (S,·)をマグマとする。a, b∈Sに対してL_a(b) :=a·bとおくとL_a ∈Map(S, S)。

こうして与えられる

ρ:S→Map(S, S), a7→L_a をSの左正則作用(left regular action)という。

ρが(S,·)→(Map(S, S),◦)なるマグマ準同型であるという条件を記述すると L_a·b =L_a◦L_b

すなわち

La·b(c) =La◦Lb(c) であるが、これは

(a·b)·c=a·(b·c)

と書き直せる。すなわち、(S,·)が半群であることとSの左正則作用がマグマ作用であること とは同値である。

例 3.4.6. (M,+,0)を加法群とする。f, g∈End(M)に対してf+End^(M)g∈End(M)を (f+End(M)g)(x) :=f(x) +_M g(x)

で定義すると、加法群になる。

一方、合成◦により(End(M),◦,id_M)はモノイドである。

f◦(g+h) =f◦g+f◦h, (f+g)◦h=f◦h+g◦h が証明できるので、End(M)は環となる。

MがK線形空間であるときも同様のことが言える。特にEnd_K(Kⁿ)は環である。End_K(Kⁿ) とMn(K)の間には自然な一対一対応があり、これが行列の集合が環となる理由である。

例3.4.7. (M,+,0)を加法群とし、(M,·,1)を同じ集合に入ったモノイドの構造とする。L_a(b) = a·bとし、

ρ:M →Map(M, M), a7→La

を考える。このρが

ρ:M →End(M) (⊂Map(M, M)) なる加法群の準同型である条件を書き下してみると二つの条件：

1. ρの像がEnd(M)に入る 2. ρが準同型である に分けられる。

前者はρ(a) :M →Mが単なる写像ではなく準同型であるということであるから

ρ(a)(b+c) =ρ(a)(b) +ρ(a)(c) ということであり、言い換えると

a·(b+c) =a·b+a·c であることである。

後者の条件は

ρ(a+b)(c) = (ρ(a) +ρ(b))(c) すなわち

(a+b)·c=a·c+b·c である。分配法則はこのようにして自然に現れる。