イントロ (2 変数関数版 )

9^◦ fe⁻¹ が C¹級であること。fe⁻¹ のヤコビ行列 (fe⁻¹)^′(y) は f^′(x) の逆行列であり、成分は Cramerの公式から、分母が detf^′(x),分子は ∂f_i

∂x_j(x) の多項式として表現できる。これは y の関数として見て連続である。ゆえに fe⁻¹ は C¹級である。

11 陰関数定理

æ æ

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

図 3: a=−1

æ æ

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

図 4: a= 0

æ æ

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

図 5: a= 1

(5) (ヤコブ・ベルヌーイのレムニスケート, 1694年) F(x, y) = (x² +y²)²−2(x² −y²) のと

き、F(x, y) = 0 は、いわゆるヤコブ・ベルヌーイのレムニスケート (連珠形, 図 6) と呼

ばれる。F(x, y) = 0 は y についての 4 次方程式であるが、2次方程式を解くことを2回 行って、y について解ける。

-2 -1 0 1 2

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

図 6: ヤコブ・ベルヌーイのレムニスケート(x²+y²)²−2(x²−y²) = 0

(6) (デカルトの葉線, folium cartesii, 1638年) F(x, y) = x³+y³−3xy のとき、F(x, y) = 0 の定める曲線は、いわゆるデカルトの葉線で、原点において自分自身と交差する曲線であ る(図 7)。F(x, y) = 0 は y についての3 次方程式である。これはy について簡単に解く ことは…？出来ないと思ったら、Mathematica は答を返して来た。あ、そうか。でも使い にくそう。例11.4 (p. 85) を参照せよ。

余談 11.1 (Decartesの葉線の伝統的な描き方) 極座標を使うと、

r= 3 cosθsinθ cos³θ+ sin³θ という極方程式がすぐに得られる。あるいは y=tx として、

x= 3t

1 +t³, y= 3t² 1 +t³

という有理パラメーター表示も得られる。x+y=−1が漸近線になっている。

次のことが分かる。

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

図 7: Decartesの葉線 x³+y³−3xy= 0

• F によっては、F(x, y) = 0 を具体的な式変形で y について解くことは不可能である。

→ 抽象的な「存在定理³³」が望み得るゴールとなる。

• 1つのx に 2つ以上の y が対応したり、逆に 1つも y がなかったりする。

→ 最初に F(a, b) = 0 を満たす点 (a, b) があったとして、その点の「近傍」で考えるこ とにする。とっかかりは要求することにする。(a, b)によってうまく行ったり行かなかっ たりする。

• 1つの x に複数のyが対応する場合も、注目している点を中心とした十分小さい範囲に 限れば、1 つのx に 1 つのy が対応するようになることもある。

→ a を含む開集合U, b を含む開集合V をとり、U ×V (イメージとしては窓枠、ウィ ンドウ) に考察を限定する、という方針が良さそう。

もっとも、どんなに小さい範囲にしぼってもダメなこともある(その点で曲線が自己 交差していたり、x について片側にしか対応する y がない)。うまく行くための十分条 件はないか？

→ 実は det∂F

∂y(a, b)̸= 0 という条件が満たされればOK, と後で分かる。

• 陰関数の導関数は (そもそも存在するかはすぐには分からないことであるが、存在する ならば)、合成関数の微分法で計算するのは簡単である。

例: x²+y² = 1 より、2x+ 2y· dy

dx = 0 だから、dy

dx =−x y. 一般には、F(x, φ(x)) = 0 より、

∂F

∂x(x, φ(x)) + ∂F

∂y(x, φ(x))φ^′(x) = 0 より φ^′(x) =−∂F

∂y(x, φ(x))⁻¹∂F

∂x(x, φ(x)).

33アナロジーとして、中間値の定理を思い出させる。