システム法 A 法その他 R 法法異常判定予測田口玄一博士が開発タグチ流多変量解析法その他 : S 法マルチ法誤圧などタグチメソッド品質工学の主要な柱のひとつ全体的な解説 : 品質工学会 7 立林手島長谷川 8 本稿 : 法 A 法 R 法法の性質注意点を述べ改良

(1)

1

ＭＴシステムの諸問題と改良手法

早稲田大学創造理工学部経営システム工学科

永田靖

1/84

印のページは配布資料に追記・修正しています．

(2)

異常判定予測 MTシステム MT法 MTA法 その他 RT法 T法タグチ流多変量解析法タグチメソッド（品質工学）の主要な柱のひとつ田口玄一博士が開発全体的な解説：品質工学会(2007)，立林・手島・長谷川(2008) 本稿：MT法，MTA法，RT法，Ｔ法の性質・注意点を述べ，改良手法を示す．報告者らの研究を中心に紹介．その他： TS法，マルチ法，誤圧など

2/84

(3)

3 １．はじめにＭＴ法・・・マハラノビス・タグチ法 No. 良・不良 x₁ x₂ ・・・ x_p 1 良 x₁₁ x₁₂ ・・・ x_1p 2 良 x₂₁ x₂₂ ・・・ x_2p ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ n 良 x_n1 x_n2 ・・・ x_np 1 不良 y₁₁ y₁₂ ・・・ y_1p 2 不良 y₂₁ y₂₂ ・・・ y_2p ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ m 不良 y_m1 y_m2 ・・・ y_mp 表１.1 データの形式 1. データの形式は判別分析 2. 良品は１つの群をなす 3. 不良品は１つの群をなさない （例）自動販売機の貨幣認識正貨は１つの群偽造貨幣はいろいろなタイプ判別分析ではなく，ＭＴ法

3/84

(4)

4 ＭＴ法（マハラノビス・タグチ法）

のステップ

1. 良品で１つの群（母集団）を想定する（単位空間と呼ぶ） 2. 単位空間のデータからマハラノビスの距離を算出する 3. 不良品のデータを2で算出したマハラノビスの距離に代 入して，変数を選択する 4. 良・不良を判定するためのデータをマハラノビスの距離 に代入して判定する

4/84

(5)

5 ＭＴ法 _{vs 判別分析・管理図} ＭＴ法判別分析多変量管理図良品で１つの群（母集団）を想定する（単位空間と呼ぶ）２群を想定正常群を想定単位空間のデータからマハラノビスの距離を算出する２群のデータから算出ＭＴ法と同じ不良品のデータより変数選択２群のデータから変数選択通常，変数選択しない予測する（判定する）判別する判定する

5/84

(6)

6 ・統計学を学んだ者にとっては，MT法の原型は統計学の枠組みにおける自然な発想という印象．・統計学と一線を画していた人々へMTシステムが急速に普及していったことにも興味がある（観察研究の必要性，田口博士の影響力，手法の簡便さ）．・一方，MT法に関連して田口博士が追加していった新たなアイディアや考え方（総じて，MTシステムと呼ぶ）には興味がある．・MTシステムが普及している現在，その方法論の妥当性を検討しておきたい．

6/84

(7)

２. ＭＴ法 2.1 ＭＴ法と判別分析 判別分析・・・２つの群を想定する．ＭＴ法・・・１つの群（単位空間）を想定する．田口先生のＭＴ法の着想のきっかけ：良品群・不良品群といっても，良品群は１つの群をなすが，不良品群は群をなすとは考えにくいなら，ＭＴ法を用いる．「幸福な家庭は互いにすべて似かよったものであり，不幸な家庭はどこもその不幸のおもむきが異なっているものである」（トルストイ『アンナ・カレーニナ』） MTシステム MT法 MTA法 その他 RT法 T法

7/84

(8)

8 判別分析の考え方母集団[2] 母集団[1] ) , (₁  N ) , (₂  N 第１母集団 [1] 第２母集団 [2]

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

2 1 2 2 ] 2 [ 1 1 1 2 ] 1 [





















 

x

D

x

D

T T ) ˆ ˆ ( 2 1 _[₁_]₂ _[₂_]₂ D D z   線形判別関数は第１母集団は第２母集団 x z x z       0 0

8/84

(9)

9 単位空間 × マハラノビスの距離ＭＴ法判別分析母集団１母集団２ × × ＭＴ法が有効なデータパターン不良のデータ図2.1 図_2.2

9/84

(10)

10 2.2 ＭＴ法における予測バイアスの問題 （宮川・永田（_2003)）

)

,

(

,...,

,

₂ 1











_x

_N

x

_n

～

)

,...,

2 ,

1 (

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

2

_x

1

_x

_z

_R

1

_z

_i

_n

D

_i





_i







T







_i











_iT 



_i



)

(

)

(

1 2



_x













_x









D

T

)

(

2 2

_p

D

～



p 次元正規分布

p

D

V

p

D

E

(

2

)



,

(

2

)



2 ：棄却限界値

p

a

p



2

真値

10/84

1 ˆ

ˆ

1 ˆ

2 * 2 2 *







i i i

D

p

D

『単位空間』の名称由来

(11)

11 n p E(D₀2₎ _bias 100 100 100 100 100 100 10 30 50 70 90 95 11.5 44.6 105.2 252.5 1136.3 3198.3 1.5 14.6 55.2 182.5 1046.3 3103.3

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

0 1 0 2 0























_x

x

D

T

)

,

(

0









_N

x ～

2 )

1 (

)

ˆ

(

2 0

_





p

n

p

D

E

p

D

E

p

n







(

ˆ

2

)

0

なら　

表2.1 推定量 n>>pでないなら， バイアス調整が必要

11/84

(12)

12 ３. ＭＴＡ法（マハラノビス・タグチ・アジョイント法） （田口_(2002)） 1 1 1 2 2 ... p p 0, i R n p a x a x a x a        多重共線性：が存在しない（１）サンプル数より変数の個数が多い（）（２）変数間に線形関係がある（少なくとも２つの 0 ）

z

R

z

x

D

T T



1 1 2

₍

ˆ

₎

ˆ

₍

ˆ

₎

ˆ

 













MTシステム MT法 MTA法 その他 RT法 T法

12/84

(13)

13

z

R

z

x

D

T T



1 1 2

₍

ˆ

₎

ˆ

₍

ˆ

₎

ˆ

 













R-1 _を _{R の}_{余因子行列}_{で置き換える}

z

R

z

D

ˆ

_A2



 ~

T



の行列要素が：余因子行列の余因子をと表すとき，行列の行列式を次の列を取り除いた行，第から第余因子：行列 ji ij ij ij j i ij R j i R r R p j i R ) , ( ~ ) ( ) 1 ( ) 1 (      

13/84

(14)

           1 2 / 3 2 / 1 2 / 3 1 2 / 3 2 / 1 2 / 3 1 ) 1 . 3 ( R 例

0

3

₂ ₃ 1



z



z



z

単位空間では

) 2 0 | |     R R の逆行列は存在しない（rank R 4 1 ) 1 ( 4 1 1 2 / 3 2 / 3 1 11 1 1 11 11         _R  4 3 ) 1 ( 4 3 1 2 / 3 2 / 1 2 / 3 21 1 2 21 21          _R  3.1 MTA法の特徴 （宮川(2003)，宮川・永田（2003)）

14/84

(15)

15                 1 3 1 3 3 3 1 3 1 4 1 ~ R 2 3 2 1 2

₍

₃

₎

4

1 ~

ˆ

_z

_R

_z

D

T A











ない．なら判定の尺度になら単位空間外で ★ ．なら判定の尺度になる単位空間外で ★ 単位空間では 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 2 2 2    A A A D D D

0

3

₂ ₃ 1



z



z



z

単位空間では

15/84

(16)

16

次の単位行列）

は

（

_I

_p

I

R

~ 

|

_p _p 1 1

~

_|

 

_R

_

_R

R が存在するなら

z

R

z

R

z

R

z

D

ˆ

_A2





T

~





|



T 1





一方，

16/84

(17)

17              1 1 5 . 0 5 . 0 1 1 5 . 0 5 . 0 5 . 0 5 . 0 1 1 5 . 0 5 . 0 1 1 3.2 R ）（例

0 ,

0

₃ ₄ 2 1



z



z



z



z

単位空間では

) 2 0 | |     R R の逆行列は存在しない（rank R 0 ) 1 ( 0 1 1 5 . 0 1 1 5 . 0 5 . 0 5 . 0 1 11 1 1 11 11         _R  0 ) 1 ( 0 1 1 5 . 0 1 1 5 . 0 5 . 0 5 . 0 1 21 1 2 21 21         R 

17/84

(18)

18

0 ~

ˆ

2

_



D

_A

z



T

R

z



．ＭＴＡ法は機能しない　つと）（線形）関係が成り立（変数間に２つ以上のちるとのランクが２つ以上落      0 ˆ ~ 0 ~ ₂ z R z D R R T A                 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ R

18/84

(19)

19 2 1 2 1 ˆ | | | | ~ ˆ _z _R_z _R _z _R _z _R _D D R T T A          が存在するとき：（１）　まとめ）　　ＭＴＡ法の本質（能しない．となってＭＴＡ法は機　常に，ちるとき：のランクが２つ以上落（３）　 0 ˆ 2 _ A D R は無効　　・・・　　　②単位空間外：は有効　　・・・　　　①単位空間外：　　単位空間内：線形関係式単位空間での変数間のちるとき：のランクが１つだけ落（２）　 2 2 2 2 2 2 2 ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ 0 ˆ ) ( ˆ A A A A A A D D D D D a D R    

19/84

田口博士：「分散がゼロの変数に着目しなさい．」「単位空間外で変動するなら有効な変数」

(20)

20 3.2 ＭＴＡ法の改良手法 （宮川・永田（2003)） T p p p T T

_w

w

R





₁



₁



₁





₂



₂



₂



...







スペクトル分解：

有ベクトル

に対応する長さ１の固

：固有値

i i p

w



:

...

2 1





T p p p T T

_w

w

R





1 ...

1

2 2 2 1 1 1 1 1







 

_{が存在するなら}

20/84

(21)

21 が線形関係式の係数の固有ベクトル　が１つ成立　変数間に線形関係式）ちる（のランクが１つだけ落 p p p w R 



   0 T T T w w w                  _             5 1 , 5 3 , 5 1 , 0 2 1 , 0 , 2 1 , 2 1 10 3 , 10 2 , 10 3 , 2 5 3 3 2 2 1 1                  1 2 / 3 2 / 1 2 / 3 1 2 / 3 2 / 1 2 / 3 1 ) 3 . 3 ( R 例

0

3

₂ ₃ 1



z



z



z

単位空間では

21/84

(22)

22 が線形関係式の係数の固有ベクトル　個成立が　変数間に線形関係式）個落ちる（のランクが p q q p q q q p q p R       ,..., , ) ( 0 ... ) ( 2 1 2 1                          1 1 5 . 0 5 . 0 1 1 5 . 0 5 . 0 5 . 0 5 . 0 1 1 5 . 0 5 . 0 1 1 3.4 R ）（例 0 , 0 ₃ ₄ 2 1  z  z  z  z 単位空間では









T T T T w w w w                         2 1 , 2 1 , 0 , 0 , 0 0 , 0 , 2 1 , 2 1 , 0 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 , 1 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 , 3 4 4 3 3 2 2 1 1        

22/84

(23)

23 削除する T p p p T q q q T q q q T p q q p q q w w w w w w w w R c c c c        

_



                      ... ... 0 ... ..., , , 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 とみなす．を設定閾値



 



2





2 2 2 1 2 ) 2 ( 2 ) 1 ( ... ˆ ˆ p T q T q T T w z w z w z D z R z D                  　第２種の距離の２乗：　第１種の距離の２乗： T q q q T _w _w w w R    



1 ... 1 1 1 1     

23/84

(24)

24                                                   2 1 , 0 , 2 1 2 1 02 1 1 2 10 3 , 10 2 , 10 3 10 3 10 2 10 3 5 2 T T _w _w w w R ₂ ₂ 2 1 1 1 1 1 3.3 3.5) (          に基づいて例例 z R z D  T    2 ) 1 (              28 3 2 22 3 2 4 3 2 22 3 2 28 25 1

24/84

(25)

25 2 3 2 1 2 3 2 ) 2 ( ( 3 ) 5 1 ) (z w z z z D  T       





( 3 ) 5 1 5 1 5 3 5 1 , , ₂ ₃ ₁ ₂ ₃ 1 3 z z z z z z w zT _ _ _                      

0

3

₂ ₃ 1



z



z



z

単位空間では

25/84

(26)

26 T T _w _w w w R ₂ ₂ 2 1 1 1 1 1 3.4 3.6) (          に基づいて例例                      1 1 5 . 0 5 . 0 1 1 5 . 0 5 . 0 5 . 0 5 . 0 1 1 5 . 0 5 . 0 1 1 3 1







0.5, 0.5, 0.5, 0.5



5 . 0 5 . 0 5 . 0 5 . 0 1 1 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 5 . 0 5 . 0 5 . 0 3 1                               z R z D  T    2 ) 1 (

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(27)

27 2 4 3 2 2 1 2 4 2 3 2 ) 2 ( ( ) 2 1 ) ( 2 1 ) ( ) (z w z w z z z z D  T  T          









( ) 2 1 2 1 2 1 0 0 , , , ) ( 2 1 0 0 2 1 2 1 , , , 4 3 4 3 2 1 4 2 1 4 3 2 1 3 z z z z z z w z z z z z z z w z T T                                               0 , 0 ₃ ₄ 2 1  z  z  z  z 単位空間では

27/84

(28)

28 ＝要点＝・ＭＴＡ法では情報の一部しか使用しておらず，しかもＭＴＡ法では判別能力を有しない場合もある．・ＭＴＡ法は多重共線性の問題を部分的に解決．・多重共線性を構成する変数とそれ以外の変数に基づいて２種類の距離を作成することにより，ＭＴ法が抱える多重共線性の問題を解決できる．（補足）固有値の小さな部分の対処の方法については，いろいろなアイディアが提出されている．

28/84

(29)

29 ４_{. RT法（Recognition Taguchi法）} → 画素データのような「２値データ」だけでなく，「連続量ないしは多値離散量と呼ぶ」に対しても適用できる．・_{MT法の中では一番新しい手法} ・_{RT法では，パラメータ設計と同様の簡便な計算だけ．} ・標準_{SN比の考え方を応用して信号のない場合を取り扱う．} ・・・独特のアイディアに満ちた方法． MTシステム MT法 MTA法 その他 RT法 T法

29/84

(30)

30 「連続量や多値離散量のデータ」にRT法：・注意が必要．・RT法で用いられている距離には望ましくない性質本章では，そのような性質について議論改良する方法を提示

30/84

(31)

31 4.1 RT法の概要 （田口_(2006a)） No. x₁ x₂ … x_p L S_T V_e Y₁ Y₂ D2 1 x₁₁ x₁₂ … x_1p 2 x₂₁ x₂₂ … x_2p ・・・・・・・・・ … ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ n x_n1 x_n2 … x_nk 平均表4.1 初期データの形式と統計量



  p j j m r 1 2 p p j p j j x m x m x m x m L ₁ ₁ ₁₁ ₂ ₁₂ ₁ 1 1 



   ...  1 , / 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1      



 k S V r L x S S S e e p j j T e 

r

L

Y

₁₁





₁



₁

/

1 21

V

e

Y



m₁ m₂ … m_p m₁ m₂ … m_p x₁₁ x₁₂ … x_1p L₁ S_T1 V_e1 Y₁₁ Y₂₁ L₂ S_T2 V_e2 Y₂₁ Y₂₂ L_n S_Tn V_en Y_n1 Y_n2

31/84

(32)

32 No. x₁ x₂ … x_p L S_T V_e Y₁ Y₂ D2 1 x₁₁ x₁₂ … x_1p L₁ S_T1 V_e1 Y₁₁ Y₂₁ 2 x₂₁ x₂₂ … x_2p L₂ S_T2 V_e2 Y₂₁ Y₂₂ ・・・・・・・・・ … ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ n x_n1 x_n2 … x_np L_n S_Tn V_en Y_n1 Y_n2 平均 m₁ m₂ … m_p 表4.1 初期データの形式と統計量 1 ) ( 1 1 2 1 1 11 11 _    



 n Y Y n S V n i i 1 ) ( 1 1 2 2 2 22 22     



 n Y Y n S V n i i 1 ) )( ( 1 1 2 2 1 1 12 12      



 n Y Y Y Y n S V n i i i ] ) ( ) )( ( 2 ) ( )[ 2 / 1 ( ₂₂ ₁ ₁ 2 ₁₂ ₁ ₁ ₂ ₂ ₁₁ ₂ ₂ 2 2 _V _Y _Y _V _Y _Y _Y _Y _V _Y _Y D_i  _i   _i  _i   _i  RT法で用いられている マハラノビスの距離 D2 1 D2 2 D2 n

32/84

(33)

33 x₁ x₂ … x_p L S_T V_e Y₁ Y₂ D2 新 x₁ x₂ … x_p L S_T V_e Y₁ Y₂ 新たなデータの採取と統計量の計算した値を使う：初期データより計算 2 1 12 22 11 2 1 2 2 2 11 2 2 1 1 12 2 1 1 22 2 , , , , , ,..., , ] ) ( ) )( ( 2 ) ( )[ 2 / 1 ( Y Y V V V m m m Y Y V Y Y Y Y V Y Y V D p        RT法で用いられている マハラノビスの距離初期データより定めた閾値と比較して異常かどうか判定 D2

33/84

(34)

34 4.2 RT法の適用上の注意 （永田・土居_(2009)） －変数の単位の問題－一番初期に提案された_{MTシステムでは} ・マハラノビスの距離では各変数間の単位が異なってもよい・マハラノビスの距離は変数の単位に依存しない量

)

,...,

2 ,

1 (

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

2

_x

1

_x

_z

_R

1

_z

_i

_n

D

_i





_i







T







_i











_iT 



_i



)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

0 1 0 2 0























_x

x

D

T

34/84

(35)

35 ・変数間で単位が異なると，_{r や L などの計算において単位} が異なるものを加える _→ 加え合わさった量の意味が不明



   ...  1 , / 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1   



  _  k S V r L x S S S e e p j j T e  RT法の適用では： ・全ての変数（項目）の単位が揃っている，または，無次元数・田口：「p個の項目 x₁, x₂, …, x_pが全て同一次元のデータ (たとえば画素のデータ，時系列のデータなど)であるとき」 ・田口_{(2006a,b)では}文字認識問題を意図して_{RT法が提案} ・単位の問題に配慮せずに適用されている事例が散見

35/84

(36)

36 全ての項目の単位が揃っていても，揃っていなくても・・・大久保・永田（_{2012)は次を示した．} ・他の項目よりも非常に大きな絶対値をとる項目があれば，その項目により判定結果がほぼ決まる．・他の項目に比べ微小な値しかとらない項目は，判定結果にほとんど寄与しない．

36/84

(37)

37 4.3 統計量の意味と基本的性質 （永田・土居_(2009)） i t r ≠ 0(少なくとも１つの m _j はゼロではない_{)を仮定している} もし， _{r = 0 (m}₁ _{= m}₂ _{=…= m}_p _{=0)なら，Y}_i1は定義できない i ip p i i T ip i i i t m t m t m t m x x x x           ) ,..., , ( ) ,..., , ( 2 2 1 1 2 1 T p m m m m  ( ₁, ₂,..., ) T p t t t t  ( ₁, ₂,..., ) x1

m

2 m 1 m 2 x i

x

p =2 の場合



  p j j m r 1 2

0 

 

t

単位空間のn 個の点を次のように表す

r

L

Y

₁_i





₁



₁

/

37/84

(38)

38 r t m Y_i₁  1   T _i / ) ) 1 /( ( / ) ( 2 2      k S V Y r t m t t S ei ei i i T i T i ei     1 / 1 ) / 1 ( 1 1 1 1 1 1      



  r t m r t m n Y n Y T i T n i n i i     i T i ei i T i t t S t m Y          1 0 1 0 1 2 1   i i Y Y ) ( 0 x m t_i    _i   i

t



1 x

m

2 m 1 m 2 x i

x

単位空間 ] ) ( ) )( 1 ( 2 ) 1 ( )[ 2 / 1 ( 2 2 2 11 2 2 1 12 2 1 22 2 _V _Y _V _Y _Y _Y _V _Y _Y D_i  _i   _i  _i   _i  0 ] )[ 2 / 1 ( ₁₁ ₂2 2 _ _V _Y _ D_i 中心位置でのマハラノビスの距離が_0でない

0 

 

t

38/84

iが抜けて いました

(39)

39 4.4 RT法で用いるマハラノビスの距離の性質 （永田・土居_(2009)） ] ) ( ) )( 1 ( 2 ) 1 ( )[ 2 / 1 ( ₂₂ ₁ 2 ₁₂ ₁ ₂ ₂ ₁₁ ₂ ₂ 2 2 _V _Y _V _Y _Y _Y _V _Y _Y D_i  _i   _i  _i   _i  ・項目数_{p，各項目の従う確率分布，各項目間の相関関係を設定} ・200組(n=200)の乱数を発生 ・200個の D_i2 _{(i=1,2,…,200)の値を求める} ・各データに対して平均ベクトルからのユークリッド距離の２乗を求め，(d_Ei2_,D i2) (i=1,2,…,200)の散布図を考察対象 2 2 2 2 2 1 1 2 ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( p ip i i i T i Ei m x m x m x m x m x d              

39/84

(40)

40 (例4.1) 2項目(p=2)，x₁～_U(1,2)，x₂～_{U(4,5)，独立} (_d_Ei2_,_D i2)の散布図図4.1 RT法のマハラノビスの距離のプロット(_{p=2，一様分布，独立)} i

t



1 x

m

2 m 1 m 2 x i

x

単位空間 ) ( ) ( 2 _x _m _x _m d_Ei  _i   T _i   ] ) ( ) )( 1 ( 2 ) 1 ( )[ 2 / 1 ( 2 2 2 11 2 2 1 12 2 1 22 2 Y Y V Y Y Y V Y V D i i i i i       

40/84

(41)

41 (例4.2) 2項目(p=2)，x₁～_N(1,12_)，x 2～N(2,12)，独立 図4.2 RT法のマハラノビスの距離のプロット(p=2，正規分布，独立) ) ( ) ( 2 _x _m _x _m d T _i i Ei        (_d_Ei2_,_D i2)の散布図 ] ) ( ) )( 1 ( 2 ) 1 ( )[ 2 / 1 ( 2 2 2 11 2 2 1 12 2 1 22 2 Y Y V Y Y Y V Y V D i i i i i        ) ( ) ( 2 _x _m _x _m d_Ei  _i   T _i  

1/84

41/84

(42)

42 (例4.3) 2項目(p=2)，x₁～_N(1,12_)，x 2～N(2,12)，相関あり 図4.3 RT法のマハラノビスの距離のプロット (_{p=2，正規分布，相関=0.5)} (_d_Ei2_,_D i2)の散布図 ] ) ( ) )( 1 ( 2 ) 1 ( )[ 2 / 1 ( 2 2 2 11 2 2 1 12 2 1 22 2 Y Y V Y Y Y V Y V D i i i i i        ) ( ) ( 2 _x _m _x _m d T _i i Ei        i

t



1 x

m

2 m 1 m 2 x i

x

単位空間

42/84

(43)

43 (例4.4) 5項目(p=5)，x₁～_U(1,2)，x₂～_U(2,3)，

x₃～_U(3,4)，x₄～_{U(4,5)， x}₅～_{U(5,6) ，独立}

図4.4 RT法のマハラノビスの距離のプロット (_{p=5，一様分布，独立)}

(_d_Ei2_,_D

i2)の散布図

(44)

44 図4.5 RT法のマハラノビスの距離のプロット (_{p=5，正規分布，独立)} (例4.5) 5項目(p=5)，x₁～_N(1,12_)，x 2～N(1,12)， x₃～_N(1.5,12_)，x 4～N(2,12)， x5～N(2,12) ，独立 (_d_Ei2_,_D i2)の散布図

44/84

(45)

45 4.5 RT法で用いるマハラノビスの距離の改良１ （永田・土居_(2009)） 距離についての望ましい性質・単位空間の中心位置では 0 ・中心位置から離れるにしたがって増加していくと考えられる距離

]

)

(

2 )

(

)[

2 /

1 (

₂₂# ₁ ₁ 2 ₁₂# ₁ ₁ ₂ ₁₁# ₂2 2 # i i i i i

V

Y

V

Y

V

Y

D









   n i i Y n Y V 1 2 1 1 # 11 ( ) /



  n i i n Y V 1 2 2 # 22 /



   n i i i Y Y n Y V 1 2 1 1 # 12 ( ) / ] ) ( ) )( 1 ( 2 ) 1 ( )[ 2 / 1 ( ₂₂ ₁ 2 ₁₂ ₁ ₂ ₂ ₁₁ ₂ ₂ 2 2 _V _Y _V _Y _Y _Y _V _Y _Y D_i  _i   _i  _i   _i 

45/84

(46)

46 (例4.6) 例4.1と同じ乱数 2項目(p=2)， x₁～_U(1,2)，x₂～_U(4,5) 独立図4.7 (_d_Ei2_,_D i#2)の散布図 (_{p=2，正規分布，独立)} (例4.7) 例4.2と同じ乱数 2項目(p=2)， X₁～_N(1,12_)，X 2～N(2,12) 独立図4.6 (_d_Ei2_,_D i#2)の散布図 (_{p=2，一様分布，独立)}

46/84

(47)

47 図4.8 (_d_Ei2_,_D i#2) および (MDi2,Di#2) の散布図 (_{p=2，正規分布，相関係数=0.5)} (例4.8) 例4.3と同じ乱数， 2項目(p=2)， X₁～_N(1,12_)，X 2～N(2,12) 相関係数=0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 MD2 D # 2 (a) (_d_Ei2_,_D i#2) の散布図 (b) (MD_i2,D_i#2) の散布図 ) ( ˆ ) ( 1 2 _x _m _x _m MD_i  _i   T  _i  

)

(

)

(

2

_x

_m

_x

_m

d

_Ei





_i





T



_i





47/84

(48)

48 (例4.9) 例5.4と同じ乱数 5項目(p=5)， x₁～_U(1,2)，x₂～_U(2,3), x₃～_U(3,4)，x₄～_U(4,5), x₅～_U(5,6) 独立図4.10 (_d_Ei2_,_D i#2)の散布図 (_{p=5，正規分布，独立)} (例4.10) 例4.5と同じ乱数 5項目(p=5)， x₁～_N(1,12_)，x 2～N(1,12), x₃～_N(1.5,12_)，x 4～N(2,12), x₅～_N(2,12₎ 独立図4.9 (d_Ei2_,_D i#2)の散布図 (_{p=5，一様分布，独立)}

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(49)

49 1 , 2 2 _ _b __k_ a_l  _l    図4.10 (_d_Ei2_,_D i#2)の散布図 (_{p=5，正規分布，独立)} 図4.9 (_d_Ei2_,_D i#2)の散布図 (_{p=5，一様分布，独立)} ] ) 1 ( 2 ) 1 ( )[ 2 / 1 ( # ₂2 11 2 1 # 12 2 1 # 22 2 # i i i i i V Y V Y Y V Y D      } ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) 1 {( 2 1 _# 11 2 2 # 12 2 1 # 22 2 1 2 # _Y _V _Y _Y _p _V _Y _p _V DC_i  _i   _i  _i   _i  0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 dE 2 D C #2 図4.11 (_d_Ei2_,_DC i#2)の散布図 (_{p=5，一様分布，独立)} 図4.12 (_d_Ei2_,_DC i#2)の散布図 (_{p=5，正規分布，独立)} さらなる改良

49/84

(50)

50 ・ＲＴ法の距離は，単位空間の中心位置で大きめの値を取ってしまい，中心から少し離れたところでゼロになるという望ましくない性質がある．＝要点＝・ＲＴ法を適用する際には，各変数の単位が同じか各変数が無次元数でなければならない．・距離

DC

#2_{はRT法の望ましくない性質を改良する．}

50/84

(51)

51 RT法：すべての項目の単位が同じ，または，無次元数 4.6 RT法で用いるマハラノビスの距離の改良2 （大久保・永田_(2012)） No. x₁ x₂ … x_p L S_T V_e Y₁ Y₂ D2 1 x₁₁ x₁₂ … x_1p 2 x₂₁ x₂₂ … x_2p ・・・・・・・・・ … ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ n x_n1 x_n2 … x_nk 平均表4.1 初期データの形式と統計量



   ...   r L Y₁₁  ₁  ₁ / m₁ m₂ … m_p m₁ m₂ … m_p x₁₁ x₁₂ … x_1p L₁ S_T1 V_e1 Y₁₁ Y₂₁ L₂ S_T2 V_e2 Y₂₁ Y₂₂ L_n S_Tn V_en Y_n1 Y_n2 通常の標準化⇒_{RT法では機能しない（}_r=0となるから）

51/84

(52)

52 ・_RT-PC法： Y1:相関係数行列に基づく第１主成分 Y2：残差の標準偏差 ・_RT-SD法：項目ごとにその標準偏差で割って無次元化・_RT-M法：項目ごとにその平均で割って無次元化・_RT-PC+法： Y1:相関係数行列に基づく第１主成分 Y2：第２主成分 ・・・ Yq：残差の標準偏差

52/84

(53)

53 ★_{34項目（単位が異なる）のベンチマークデータで検討} ・単位空間のサンプルサイズが十分大きい： MT＞_{RT-PC+＞RT-PC≒RT-SD≫RT-M≫RT} A＞B⇔A法のほうがB法より精度がよい ・単位空間のサンプルサイズが十分大きくない： RT-PC+＞RT-PC≒RT-SD≫MT≫_RT-M≫RT ・_{RT-SD：ベクトルの方向によって検出力に違い} ・_{RT-PC：ベクトルの方向によって検出力に違いはない} ★数理的検討＋シミュレーション

53/84

(54)

５．_T法 ・サンプル数が項目数よりも少ない場合でも実行可能・多重共線性の問題がない・計算が簡便である MT法 MTA法 その他 T法 RT法 MTシステム

54/84

(55)

5.1 Ｔ法の概略（田口(2005b)） 表5.1 全メンバーのデータ 表5.2 単位空間のデータ 表_{5.3 信号メンバーのデータ} 中位残り

a

No. 項目1…項目p 出力値 1 N No. 項目1…項目p 出力値 1 a No. 項目1…項目p 出力値 1 l 項目＝説明変数出力値＝目的変数

55/84

(56)

　 ) ( 1 2 1j j aj j x x x a x   _ ) ( 1 2 1 0 y y ya a M y    _ 信号データの規準化　 j ij ij x x X    i M 表_{5.4 規準化された信号データ} 表5.2 単位空間のデータ 表5.3 信号メンバーのデータ No. 項目1…項目p 出力値 1 a No. 項目1…項目p 出力値 1 l ij

x

y

i No. 項目1…項目p 出力値 1 l ij X 　 y y M_i  _i 

56/84

ＭＴシステムの諸問題と改良手法

永田 靖

1/84

2/84

3/84

のステップ

4/84

5/84

6/84

7/84

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ









































x

x

D

x

x

D

8/84

9/84

)

,

(

,...,

,













x

x

N

x

～

)

,...,

2

,

1

(

)

ˆ

(

ˆ

永田靖

_x

_x

_N

_x

_x

_z

_R

_z

_i

_n

_x

_x

_p