一リアルタイム処理による各種統計分布一

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物理乱数の応用 1

一リアルタイム処理による各種統計分布一

岸本俊祐＊

Utilization of physical random digits to get some statistical distributions

Shunsuke KISHIMOTO＊

An instructive system is developed to obtain some typical statistical distributions． Hardware of the system consists of a detector of radioactive ray＄， an electronic circuit which generates physical randoum digits， and a personal computer．

The circuit puts out random digits whenever radioactive rays are detected， and feeds interrupt request signals to the peエso皿al computer． The personaユcomputer reads the random digits at that instant， then counts them up and makes running histograms on the CRT screen on real time basis．

By means of the systern， we can show the some typical statistical distributions ； the poisson distributions with any means， the normai distributions， and x2−distributions of various degrees of freedom．

1．はじめに

ランダムな自然現象を雑音源にして、ハードウェアで発生させる乱数、つまり「物理乱数」を簡易な装置で得る新しい方法が開発された1）。ランダムな自然現象としては代表的な、放射性元素の自然崩壊による放射線を用い、それが生起する時間の偶然性を乱数のでたらめさの根拠として発生させる方法である。放射線生起の時間間隔をゲート時間とし、その間に通過させた周波数の高いクロック信号のパルス数を10進の電子カウンタで計数し、最後の1桁を10進乱数として取り出す。この方法は以前からよく研究され、実用化の試みがなされてきているが2）一4）、単にクロックパルス数を計数するという操作のみでは、その計数値が非現実的なほど極端に大きくないかぎり、得られる乱数の等確率性があまり良くないことがわかっている5）。そこで、その精度を上げるため、カウンタの計数動作や計数値の取り出し方法に色々な工夫がなされてきたが、そのため、大がかりで複雑な装置や、発生のためだけの特別な環境が必要な場合が多

かった。

今回開発された方法では、カウンタに10進1桁の同期型アップ／ダウンカウンタを用いている。そして、ク

＊情報工学科

平成6年8月31日受理

ロック信号に同期させながら、放射線検出パルスでアップカウントモードとダウンカウントモードを交互に切り替えながら計数させる。このちょっとした工夫により、単にクロックパルス数を計数するのとほとんど変わらない簡単な回路構成や手順で、等確率性に対する精度が格段に良い（各乱数の発生確率の1／10からのずれは6×10｝9 以下の）10進整数乱数が発生できる1）。

このように、発生原理がきわめて単純で、それを実現するハードウェアも簡単なため、実際の電子回路は、パソコンの拡張スロット用インタフェースボード上にすべてを組み込んで装着し、通常のパソコンインタフェースと同様に扱うことができる。このため、乱数が必要なときには、いつでもリアルタイムでそれを発生させながら、

直接利用することが可能となった。そこで、この特徴を最大限生かした応用として、物理乱数を発生させながら、

それをリアルタイムで集計・処理することにより、正規分布やポアソン分布等の代表的な統計分布を実験的に直接得ることのできる学習システムを作ることにした。

2．ハードウエア

ハードウェアのシステム構成をFig．1に示す。放射線検出装置（GM−Counter）、インタフェースボードに組み込まれた乱数発生回路（Random digit Generator）、パー

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ソナルコンピュータから成っている。実際は乱数発生ボードがパソコンの後部スロット内に装着されるので、ハードウェア全体の外観は、放射線検出装置とパソコンのみから構成されているように見える。

GM一 Random digit counter Generator

繰

るごとに入力ポートから1個ずつ10進整数乱数を読み取ればよい。Fig．2に乱数発生回路のブロック図を示す。

回oo

日臼凹口□ 椀 ^Timing

Eヨ

［E1ii］

一思監

o ^Quar七z_1a・ヒor^Osci1−

Prese七 Data

4

U／DDecade

counter Buffer

GM一七ube

Fig． 2： Block diagram of the random digits generator．

磁・… _口0ロ

ー 3．適合度検定どλ：2分布

Fig． 1： Schematic diagram of the hardware system．

放射線源は半減期が約30年の137C，である。放射線障害防止法に規定されている線量以下の弱いもので、教材用として市販されている。したがって、その取扱いは、

資格や特別の環境は不要であり、放射線に対する一般的な注意をするだけでよい。それから放出される放射線は GMカウンタで検出される。放射線検出頻度の調整は、 G M管をセットするためのスタンドを用いて、線源とGM 管の距離を変えながら、検出装置のパネルメータを見て簡単に行うことができる。

乱数発生ボード上の電子回路は、10進1桁の同期型アップ／ダウンカウンタ、水晶発振によるクロックパルス発生回路、タイミング回路、カウンタバッファやプリセッ

ト回路等から構成されている。クロック信号発生回路は 2MHzでデューティ比がきっちり50％のクロックパルスを発生する。それを10進カウンタに入力し、パルス数を計数させる。桁あふれは無視するので、カウンタの計数値は、アップカウント状態では0から9まで、ダウ

ンカウント状態では9から0までをくりかえすことになる。そこえ放射線を検出したタイミングで、バッファヘストローブ信号を送り、ちょうどその時のカウンタの内容を一旦バッファに保持し、割り込み要求信号を出力する。続いて、カウンタの動作モードを0にリセット・アップカウント状態か、9にプリセット・ダウンカウント状態に切り替える。

こうして、乱数発生回路は、放射線が1個検出されるごとに1個の10進整数乱数を発生しパソコンに割り込みをかける。したがって、パソコンは乱数が必要なときには、割り込み許可の状態で動作させ、割り込みがかか

実験で得られた任意データの度数分布が、理論的に期待される分布に合っているかどうかを調べる統計的検定の1つにX2値による適合度検定がある。任意のある1 つの事象があり、その生起に関する確率変数の値がある分布をとるものとする。いま、その値の分布をた個の階級に分け、それぞれの階級値が実現する理論的確率を Pi，（i＝1，2，＿，k）、！＞回の事象発生の中で、 Piに対応する事象の観測度数がniであったとする。もちろん

あた

Σ Pl＝1，Σ・・＝κ

i＝1 i＝1

である。統計論によれば、検定統計馬

面＠㍊剛

は、ノVやNPiが適当に大きければ、近似的に自由度k・一1 のX2分布に従うことが知られている。そこで、10進 1桁乱数を発生させながら、0から9までの数が出現する度数をリアルタイムで集計し、そのヒストグラムをパソコンの画面に表示していく。そして200個の乱数が発生されるたびに

ノ＝撃i♂o）2

i＝o

によりX2値を計算する。 niは0から9までの乱数の集計度数である。この手順を多数動くりかえし、x2を求め

ると同時に、その値を適当な階級に分けて集計する。そして、x2値の分布のヒストグラムもリアルタイムでパソコンの画面に表示していく。Fig．3は、そのくりかえしを 500回行って、自由度9のX2分布がきれいに得られた画

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丁をハードコピーにとったものである。この図の折れ線は自由度9のx2分布から期待される理論度数の分布を

あらわす。

3e 2e le

No．5四

90

二

9

Chi−sq．＝ 8．9 75

se

25

Chi−sq． Distribution （df： 9）

e

e 5 二8 雲5 2e 25

Chi−Square

Fig． 3： Uniform distribution and x2−distribution．

のようにして次々と色々な自由度のx2分布を得ることができるが、そのうち自由度が2と6の場合について、実際に得られた分布をFig．4に示す。これらはいずれも上で示した手順で得られた2000個のX2値を適当な階級に分けて集計したときの分布である。図の点線の曲線はそれぞれの数学的期待度数を現す。

Frequency 5ee

4ee

3臼e

2臼9

19臼

df＝2

e

臼 2 4 6

df＝6

ユロエエユそうユロ

Chi＿square

最初、放射線の検出を1．OHz程度のゆっくりした頻度に設定しておき、この実験を開始する。すると、次々に発生される乱数が何であるかを画面上で1つ1つ確認することができる。そして、一様分布のヒストグラム上で、

それぞれの乱数に対応した棒グラフがゆっくり伸びていき全体ができあがっていく6200個の乱数発生でそのヒストグラムが完成すると、ただちに、x2値が計算され、

その分布のヒストグラムが更新される。こうして、それぞれの分布ができあがっていく様子を一部始終ゆっくりと観察することができる。一一reり確認できたら、．放射線の検出頻度を200Hzぐらいまで上げる。200 Hzぐらいにすれば、一様分布はほぼ1秒ごとに得られ、その都度 X2分布のヒストグラムが更新されるので、8分ほどで全体の分布が得られる。

この図において、点線は自由度9のx2分布から期待される度数である。X2値を12の階級に分けて集計したから、実測度数分布と理論度数分布の適合度を自由度11 のx2分布による検定で確かめることができる。この分布のX2値は11．62となり、一方、有意水準5％のX2値は届（0．05）＝16．92なので、観測度数分布は理論度数分布によく合っていると考えてよい。

発生乱数を0と1、2と3、，．．、8と9のように2個ずつ5階級に分けて集計すれば、自由度が4のX2分布が得られる。また、発生乱数を2桁ずつ組み合わせて00

〜99に分布する100個の乱数とみなし、それを4「等分して集計すれば、自由度が3のX2分布が得られる。さらに、99のみを無視し、残りの99個を3等分して集計すれば、自由度が2の分布が、98と99を無視し、残りの 98個を7等分すれば、自由度6のX2分布が得られる。こ

Fig． 4： x2−distributions with 2 and 6 degrees of freedom．

4．ランダム過程とポアソン分布

ある事象が時間的にランダムに発生するとき、単位時間に発生するその事象の個数はポアソン分布にしたがうことが知られている。いま、10進1桁乱数をn個発生させるとき、それにかかる時間は、1つ1つの乱数発生がまったくランダムであり、また、それぞれの乱数が発生する時間間隔の指数分布的特性は、乱数発生の過程で失われるから、nが適当に大きければ、ほぼ一定になると思われる。そこで、これを荒い近似で一定と見なすことにする。そして、10進1桁乱数をn個発生させては、

その時間内で発生した着目乱数（たとえば、 1 ）の度数を集計すれば、その度数分布は平均がn／10のポアソ

ン分布となることが予想される。

そこで、10進1桁乱数をn個発生させては、着目乱数の数を数え集計することを多数回くりかえす。このと

き、集計やその度数分布表示をリアルタイムで行えば、

ポアソン分布のヒストグラムができあがっていく様子を一部始終パソコンのディスプレイ上で見ることができる。

Fig．5は、 n＝47、繰り返し数を1000回として集計したときの、ポアソン分布のヒストグラムが出来上がっていく様子を見たものである。この図で、上のヒストグラムはくりかえし数が100回まで、中のヒストグラムは500 回までの途中経過で、一番下が最終結果である。最初の内は各階級のあちこちの棒グラフがランダムに伸びていくが、100回ぐらいで何か分布らしい形となり、500回

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frequency

20図

1ez

e

1ez

＜＜＜Histogram Qf「count＞＞＞

口

e o

frequency 2鴎

5 IZ ユ5

である。

5。中心極限定理と正規分布

1ZZ

e

5 IZ 15

z 5

count

1図

meen＝ 4．7 ・：Po i sson

15

確率論で最も重要な定理の1つである中心極限定理によれば、平均値μ、分散：σ2を持つ任意の分布にしたがう確率変数があるとき、そのη個の平均値：はπが適当に大きければ、正規分布N（μ，σ2／n）に収束する。いま、

データ処理を簡単にするため、確率変数として区間［0，1）

に分布する実数型一様乱数r1，r2，．．．，rkを考える。そのた

和Σ⊃riは平均μ＝k／2、分散σ2＝扉12の分布を持

ぎコユ

ち、たが大きくなるにつれてその分布は正規分布に近づく。そして

z一曹鋳N2

Fig． 5： Growth of the Poisson distribution

ではポアソン分布らしい特徴のある分布となる。最終結果は平均が4．7のきれいなポアソン分布となっている。

乱数発生のスピードを毎秒200個程度とすると、1つの分布を得るための時間は4分弱である。分布の平均値の調整は、集計個数nを変えればよいので簡単に設定でき、色々な平均値に対する分布を実験的に得ることができる。Fig．6に平均値の異なった3つのポアソン分布を同時に表示した例を示す。これは、nの値を3つ適当に設定しておき、順番に次々とリアルタイムで分布を得たものである。図中の曲線は、いずれもそれぞれのデータと同じ平均値を持ったポアソン分布による理論的期待度数

なる変換を行えば、確率変数ZはN（0，1）の標準正規分布になる。

tE〕臼臼

75e

5臼θ

25g

鵯

teee 75e 5B臼 25e

1ZZZ

一2 e 2

k＝ 1 19箇日 75臼

see 25eF一

e

4 teee

弓2

k＝ 2

臼 2 4

k＝ 3 75e

5三三

25e

k＝ 5

eua e−4 一2 e 2 4 ：q一一 ET−g一一一it 4 Frequency

75Z

frequency

3図＠

15Z

翔

15e

＜＜＜ Poisson Distribution ＞＞＞

15臼

5

mean＝ 8．1 1e

mean＝ 4．1

e

臼

15 2Z

5 IZ

mean＝ 2．1 15

n

2Z

5 1e

counts

15

Fig． 6： Poisson distributions with various means．

5吻 25Z

ノ

r

一^図

一4 一3 一2 一1 Z Z−Ualue

k＝12 Expected Freq．

s／

1 2 3 4

Fig． 7： Verification of the central limit theorem．

この中心極限定理を、物理乱数を用いて、直接実験的に確かめる。連続して発生させた10進1桁乱数4個を

4桁にまとめ、それを104で割って［O，1）に分布する一様乱数に変換する。それがk個得られたら、その都度上

(5)

式のZ値を計算し、その分布を階級に分けて集計する手順をくりかえす。

Fig．7はkを1、2、3、5、12とした場合のそれぞれ20000個のZ値の分布である。k＝1のときのフラットな分布から、k＝2の三角形分布を経て、 kが大きくなるにつれ点線で示した標準正規分布に近づく様子がよくわかる。kが5以上になると、観測度数の分布は正規分布とほとんど見分けがっかなくなる。1つの分布を得る時間は、k ＝＝1のときが約100秒、 ll ＝12のときが約20分である。

6．おわりに

物理乱数をきわめて簡単な装置で発生できるようになったので、それを教育実験に応用することを試みた。乱数発生のためのハードウェアは、パソコンインタフェースの

1部として扱うことができるほど操作も容易である。また、発生装置の中心部を占める電子回路部分は、すべてディジタル動作するため、メンテナンスフリーで特別な調整や環境も不要である。一一般の実験室のような環境でも、必要なときいつでも物理乱数を発生させることができる。そこで、目の前で発生させた物理乱数を実際のデータとし、それをリアルタイム集計・処理することにより、

代表的な統計分布のいくつかを実験的に求めることのできる学習システムとした。

10進1桁乱数を次々と発生させながら、一定個数ごとに各乱数の度数を集計し、それを一様分布と見なして、

x2値による適合度検定を行う。そのとき得られる多くの x2値の分布を集計することによりx2分布を得た。発生乱数を1桁のまま、あるいは2桁にまとめたり、そのうちの1部を無視したりしながら適当に等分することにより、それぞれの区間に入る乱数の個数を集計し、x2値を求めた。こうして、自由度が2、3、4、6、9、13等のx2分布を次々とリアルタイムで求めることができた。

10進1桁の乱数がn個得られるごとに、その中に含まれている着目乱数の個数を数える。そして、その数を階級値としてその階級値が生じた度数をヒストグラムにすることにより、平均値がn／10のポアソン分布を得た。

たとえば、n＝44とすると平均値がほぼ4．4のきれいなポアソン分布が得られるが、階級値に対応した度数の棒グラフをリアルタイムで描くことにより、乱数発生とともにポアソン分布のヒストグラムが成長していく様子をパソコン画面上で一部始終観察することができた。

また、中心極限定理を応用して、正規分布を求めた。それは、10進1桁乱数を数桁まとめて［0，1）に分布する実数型一一ge乱数に変換する。一様乱数k個の和の分布は、

中心極限定理よりkが大きくなるにつれ正規分布に近づ

くので、kを1から始めて1つずつ大きくしていって、その和の分布をリアルタイムでパソコンの画面に描きそのことを確かめた。kが3ぐらいまでは実測度数分布はとても正規分布とは言えないが、leが5以上になると、実際の度数分布は正規分布と区別がつかないくらい近似度がよくなることがわかった。

以上、代表的な統計分布である、色々な自由度のλ12分布、種々の平均値を持つポアソン分布、標準正規分布等を物理乱数をデータにして、リアルタイムで直接パソコンのディスプレイ上に求めることのできる学習システムとなった。いずれの分布も、そのヒストグラムが出来上がっていく様子を一部始終画面上で観察することができ、

しかも、物理乱数発生の源になっている放射線源を検出器に近づけたり遠ざけたりすることにより、それに応じてそれぞれのヒストグラムの成長ぶりが変化するので、

はっきりと物理乱数というデータを直接集計・処理して結果を得ているのだということがわかる。したがって、コ

ンピュータシミュレーション等でよく批判される、「コンピュータの中で計算されたきれいな結果をただ見せているだけ」といった印象をまったく与えないインパクトの強い学習システムとなった。

最：後に、データの統計的扱いについて、多くの助言をいただいた、本校専門共通科目美土路隆治教授に感謝いたします。

参考文献

1） S． Kishimoto； A simple generation method of phys−

ical random digits， J． Japanese Soc． Comp． Statist．，

6 （1993） 67−73．

2）吉沢康和、他；「物理乱数の特徴と算術乱数の欠点」、

日本物理学会誌、3612（1981）885−892．

3） O．Miyatake， et al； Generation of Physical random numbers， Math． Jap． 20 （1975） 207−217．

4） O．Miyatake， et al； On the Generation and Proper−

ties of Physical Random Numbers， Matdh． Jap． 24 （1979） 369−376．

5）仁木直人；「工学的乱数発生」、統計数理研究所彙報、

27 1 （1980） 115−131．