13 略解 : 確率密度関数の変数変換と逆関数法 13.1 略解 :

龍谷大学>^理工学部>^{数理情報学科}>^樋口>^担当科目>2011^年>^{計算科学☆演習}II>13^回め

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計算科学☆演習 II

樋口さぶろお

13 ^略解 : 確率密度関数の変数変換と逆関数法 13.1 ^略解 :

1. p

(y) =

 



1

a

(0 ≤ y < a) 0 ( 他 )

. E(Y ) =

.

2.

= (1 − y)

. p

(x) =

(

)

=

· (1 − y)

=

. よって , p

(x) =

 



1

ax²

(1 ≤ x <

) 0 ( 他 )

E(X) =

∫

1−a

1

x · 1

ax

dx = [

log | x | ]

1 1−a

1

= −

log(1 − a) この結果は , Y に関する期待値

E(

) =

∫

1 1 − y

1

a dy = − 1

a log(1 − a) と等しい .

14 ラグランジュ表現とオイラー表現

今日の目標

• 複数ウォーカーの位置を , ラグランジュ表現 , オイラー表現それぞれの変数で表現 できる

*1 Copyright c°2011Saburo HIGUCHI. All rights reserved.

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号館5^階502.

14.1 quiz:

座標が整数値のみをとる離散型のランダムウォークを考える . 座標は x = 0, 1, 2, . . . , 9 に 制限されているとする .

6 人のウォーカーが , x = 1 に 2 人 , x = 3 に 3 人 , x = 8 に 1 人いるとする .

1. ラグランジュ表現を用いたとき , 配列 x[] のサイズはどれだけ必要か . また , 配列の各 要素はどのような値をとるか .

2. オイラー表現を用いたとき , 配列 u[] のサイズはどれだけ必要か . また , 配列の各要素 はどのような値をとるか .

ラグランジュ / オイラー表現のサンプル

ソースコード1 ラグランジュ表現

1 /*

2 r w 5 l a g r a n g e . c 3 ラ グ ラ ン ジ ュ 表 示 で

4 3個 の ラ ン ダ ム ウ ォ ー カ の 到 達 点 だ け を 出 力 5 Time - s t a m p : " 20 11 -0 7 -2 1 Thu 0 9 : 1 3 JST hig "

6 */

7 # d e f i n e _ C R T _ S E C U R E _ N O _ W A R N I N G S 8 # i n c l u d e < s t d i o . h >

9 # i n c l u d e < s t d l i b . h >

10

11 # d e f i n e N W A L K E R 3 12

13 d o u b l e u n i f o r m ();

14 int g e t r a n d o m ( d o u b l e y );

15

16 int m a i n (){

17 int t , t m a x ; 18 int n , n m a x ;

19 int s e e d ;

20 int i ;

21

22 /*ラ グ ラ ン ジ ュ 表 現 の 変 数* / 23 int x [ N W A L K E R ];

24

25 s c a n f ("% d " ,& s e e d );

26 s c a n f ("% d " ,& n m a x );

27 s c a n f ("% d " ,& t m a x );

28

29 s r a n d ( s e e d );

33 for ( t =0; t < t m a x ; t + + ) { 34 for ( i =0; i < N W A L K E R ; i + + ) {

35 x [ i ]+= g e t r a n d o m ( u n i f o r m ( ) ) ;

36 }

37 }

38 p r i n t f ("% d " , n );

39 for ( i =0; i < N W A L K E R ; i + + ) { 40 p r i n t f (" ,% d " , x [ i ]);

41 }

42 p r i n t f ("\ n ");

43 }

44 r e t u r n 0;

45 } 46 47

48 /** [0 ,1) 疑 似 乱 数 を 返 す */

49 d o u b l e u n i f o r m (){

50 r e t u r n r a n d ( ) / ( R A N D _ M A X + 1 . 0 ) ; 51 }

52 53

54 /** -1 ,0 ,+1 ^{乱 数 を 返 す} */

55 int g e t r a n d o m ( d o u b l e y ){

56 if ( y < 0.2 ){

57 r e t u r n -1;

58 } e l s e if ( y < 0 . 2 + 0 . 5 ){

59 r e t u r n 0;

60 } e l s e {

61 r e t u r n +1;

62 }

ソースコード2 オイラー表現 1 /*

2 r w 5 e u l e r . c 3 オ イ ラ ー 表 示 で

4 3個 の ラ ン ダ ム ウ ォ ー カ の 到 達 点 だ け を 出 力 5 Time - s t a m p : " 20 11 -0 7 -2 1 Thu 0 9 : 1 4 JST hig "

6 */

7 # d e f i n e _ C R T _ S E C U R E _ N O _ W A R N I N G S 8 # i n c l u d e < s t d i o . h >

9 # i n c l u d e < s t d l i b . h >

10

11 # d e f i n e X M A X 61 12

13 d o u b l e u n i f o r m ();

14 int g e t r a n d o m ( d o u b l e y );

15

16 int m a i n (){

17 int t , t m a x ; 18 int n , n m a x ;

19 int s e e d ;

20 int i ;

21 int x ;

22

23 /*オ イ ラ ー 表 現 の 変 数* / 24 int u [ X M A X ];

25 int u n e x t [ X M A X ];

26 27

28 s c a n f ("% d " ,& s e e d );

29 s c a n f ("% d " ,& n m a x );

30 s c a n f ("% d " ,& t m a x );

31

32 s r a n d ( s e e d );

33 for ( n =0; n < n m a x ; n + + ) { 34 for ( x =0; x < X M A X ; x + + ) {

35 u [ x ] = 0 ;

36 }

37 /* 初 期 条 件 */

38 u [ 2 0 ] = 1 ; u [ 3 0 ] = 1 ; u [ 4 0 ] = 1 ; 39

40 for ( t =0; t < t m a x ; t + + ) {

41

42 for ( x =0; x < X M A X ; x + + ) {

43 u n e x t [ x ] = 0 ;

44 }

45 for ( x =0; x < X M A X ; x + + ) { 46 for ( i =0; i < u [ x ]; i + + ) {

47 u n e x t [ x + g e t r a n d o m ( u n i f o r m ( ) ) ] + + ;

48 }

49 }

50 for ( x =0; x < X M A X ; x + + ) {

51 u [ x ]= u n e x t [ x ];

52 }

53 }

54 p r i n t f ( " % 4 d ," , n );

55 for ( x =0; x < X M A X ; x + + ) { 56 p r i n t f ( " % 1 d " , u [ x ]);

57 }

58 p r i n t f ("\ n ");

59 }

60 r e t u r n 0;

61 } 62 63

64 /** [0 ,1) 疑 似 乱 数 を 返 す */

65 d o u b l e u n i f o r m (){

66 r e t u r n r a n d ( ) / ( R A N D _ M A X + 1 . 0 ) ; 67 }

68 69

70 /** -1 ,0 ,+1 ^{乱 数 を 返 す} */

71 int g e t r a n d o m ( d o u b l e y ){

72 if ( y < 0.2 ){

73 r e t u r n -1;

74 } e l s e if ( y < 0 . 2 + 0 . 5 ){

75 r e t u r n 0;

76 } e l s e {

77 r e t u r n +1;

78 }

79 }

お知らせ

演習 きょうも個別座席指定まではしないけど , 利用エリアを限定します . 左右の端と中央の 通路沿いの PC は閉鎖します .

3

ファイナルトライアル出題計画

別紙の実施案内も参照 . 再出題 確率密度関数の意味

再出題 連続値確率変数の母平均 , 母分散 , 期待値 再出題 逆関数法による疑似乱数生成

• 関数関係にある確率変数の確率密度関数

• 正規分布と中心極限定理

• ^{標本平均と} , 標本平均に想定される統計誤差

• ^{期待値の推定と} , 期待値の推定に想定される統計誤差

• 当り外れ法数値積分のプログラム

• 棄却法による疑似乱数生成のプログラム

• ラグランジュ表現とオイラー表現

講義のレポート課題

(

):

10

演習のプチテスト 1,2,3 回目の終了後 , 完全な答案に改善して , e ラーニングシステムから 提出してください ( 参照相談あり , 時間制限なし ). 詳細は Web で .

• 提出は本番と同じでなく , 各問スクリーンショット 1 枚で .

• 期限は次の演習のプチテスト ( 最後の回はファイナルトライアル ) まで .

• 1,2,3 ^回目が 6,8,6 ^点 . ^ただし , ^{各問は正解不正解の} 2 ^{段階評価で} , ^{部分点はありません} .

• ^自宅の PC にインストールした Visual Studio/Excel で作成するとピーナッツは 2 倍と します . ただし 20 ピーナッツを上限とします .

• プチテスト時間中に作成したプログラム等は , ^演習の e ラーニングシステムからダウ ンロードして再利用できます .

• もともと答案が完璧な人は , 中身はそのままで形式だけ変えて提出することでピーナ ツが得られます .

• 模範解答は公開してません . が , e ラーニングシステムの個人別コメント参照 .

• レポートに参加しなくても , 理解が不完全なままになる , ピーナッツが得られない , 以

上の不利益はありません .

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