九州撒学聯告（工学）N・・27・9・3年6月 111
準最適制御装置の設計に関する研究
（昭和48年5月1日 原1綬理）
制御工学数室米 澤 洋
制御工学大学院学生筒 井 清 己
Stu苗es・n Synthesis・f Sub。ptimal C。n仕。11er1・
・− by Yoo YONEZAWA ・ KiyOmi TSUTSUI
1・ ま え が き
Cbntro‖2d
：欝㌶麟難㌶㌶曇匡 輌開ループ最適制御系
近年多くの髄綱理論り展開を祐中でも ult｝㊥細
を示したことは・工学にとってヲ鰍こ難あるこ ，．。r弍艦剛「°lle「「
とである しかし 一 『。 最適制御装置の実用化は，制御
f．：，ti。：°
：F 1 亡ontrロ11ed
装置醐雑とな郷などから多くの問題点があ 一lr樹・1・ ・←｝輌t
る。本報においては．最短時間制御問題について 最適制御装置の簡単化という見地から準最適制御
I l L■一一一一一＿＿＿一一＿一＿＿＿＿1
茎
装置の設計について考察してみる。最大原理の切 Figユ閉ループ最適制御系
換回数に関する定理 より最適切換函数を導き閉 の解法を必要とし，得られた解（最適制御則）は，
ループ最短時間制御系を構成する。準最適化手法 時間の函数となり図1に示す様に開ループ制御系 として最適切換函数を各々の要素の函数に分離し での解である為に計算途中での外乱による影響や その分離された函数を折線で近似し，又比例帯を 2点境界櫨条件の変動た対しては，全く最適制御 持つリレー要素を操作部に使用する事を提案す としての補償がなくたる。又求解においては，デ
る。この手法による最適応答及び他の近似手法と イジタル計算機を必要とし，また簡単に数値解を のアナ゜グ計算機によるシミュレーシ・ンの比較 得ることができない場合力三多L・とい澗題点があ を行ない，十分に効果のあることを示す。 る。そこで最大原理の切換回数に関する定理1トを 用いる事によって図2に示す様に最適制御装置が
2最鵬間制御系の構成 最適切緬数とル噸素で繊され縞適鵬
最大原理に基づく最適制御は，2点境界値問題 」4は状態抵の函数となる閉ルコプ最適制御系とな
㌶無瓢蕊㌶巖：訂 玄（・）一五γγ（・）一工一［；1］…④
ために安鰍制繊置となるとい張所力 ある・ ④式より
5蹴間制御問題 @ γ一［；；］，r1−［詰］…（5）
1σ1望漂…① ・＠≡・を求める・③式より e2
皇o｛elo．0｝
0 ■Um Um
皇5 《r＝0
optimd
5witching functior1
已、： θ15＝＝ （一一στユ／2） ・一（6）
已25＝＝ しr］「 ‥白（7）
皇・｛qαo｝
曹 ㌶篇瓢撚鴇㌶㌶
≡≡0が求まる。
・（θ）≡向＋姦・四・・一・ …（8）
最適f『11御貝IJ：
・ptimd u（召）『s四（σ（ ））
5witching functi。n 一砿・gn（・1＋誌・⇒…（9）
晦3唖酬と髄切換函数 鞭切換点、
最驚灘：藪㌶璽：欝：㌘：三 鴫扇一（睾。，−1／ε、。び萬） …（10）
では・多くても2回の雌で齪する・図3に示 齪醐の理論値
す様に初期値（el。，0）から最大操作量U』で切換
点侶ぽで行き次に逆の最大操徹一恥こ切換 召・＝（8、。，0） 初期値 って原点に整定する。以上の事を使用して最適切 eT＝（0，0） …最終値
換函数を求める。 T・餌 髄応答での齪馴の計 炉r−eを（1）式に代入 算値
［i：Hl証：1］＋［1］団 壬三㌶系 （11）
・ 1び1≦σ日 …（2） 制御対象
（2） f竺ω∫＿） ＋ye㎞ ［1：］−L］じ：］＋［1］［明
…（3） 1σ1≦σ虐 …（12）
ここで 3−1と同様に（3），（4）式を使用して最適切換 五一 m1；］・B−［1］ 函㌶蕊求める゜
113
・（召）≡鴫一曇・g軸（・＋管・9n亀） e3
…（13）
最適制御則：
σ（召）蝿叶亀＋； ． ＼
ベ
ー曇・鯉（ユ＋聾⇒］…（・4）烏：＼、⊥
最適切換点l e、（ε、，，e破
亀F警1／・譜一曇1n（1＋ゴ 1＿8一蠕：1・）−Um動 0
F、、
■ 、 1
1 ロ 、 1
…（・5） 賦1
eo＝（e⊥o，O） …初期値 Fig・4最適軌跡と最適切換函数 ロτ＝（0、0） …最終値 （4）式より
…（17） （19），（20）式を（3）式に代入して最適切換函 3−3・純三次系 数σ（θ）三≡0を求める。
制御対象： i）第二切換点烏（ε152，ε252， eユ並）より原点：
rミ〕−iiilミHi］田 灘：㌫㌶の＝
1σ1≦σ。 …（18） 上の3式よりT2を消去する。
量一σ口に切換って第二切換点召、、まで行き最大 n）第一切換点e・・（ε削・ε匙・1已ユ・・）より第二切 操作量砥に切換って原点に収束する。2−1の 換点召・・：
（3），（4）式を使用して最適切換函数σ（司≡0を （3）式より
求鵠゜式より 輪一÷聯託・曲翠 珪」：1；ト自一㈹ 1：二：：㌘＋丁
、
、 〆 、 ≠
1
1 ， 」〆
ノ≠f
（T1…第一切換点己1より第二切換点θ5：までの 目して最適切換函数σ（召）≡0を各要索の函数に 所要時間） 分解できる。
（21）式より σ （e）≡ε↓十占2e2十……十ゐ打εH＝0…（28）
・一砿・gn＠蕊劃…（23）隠』1蕊r蕊』期イ』をパラ
（21）式に（22）式を代入してθ、2及びr1を消 メーターに持つ非線形函数である。この一変数の
去し又『 i23）式を代入して最適切換函数σ（の≡0 函数に分解された函数五（ε，）一克 召rを最適切換函 が求まる。 、 数要素と呼ぶ。この函数爪ε ）＝た efを（29）式 最適切換函数 の評価函数を最小にする最適折点（ε占．い∫〜．止）帥、を 3 ± 求め折線近似を行なった函数∫♪（ε1）を折線近似
ユ
周gn、 f
＝0 …（24）
最適制御則・ ㌔
び（召）一ロ。sg且（σ（召）） …（25）
最適切換点：
e51（ε団，ε鋤，εコ51）， 召52（β152，ε臼2，翰2）
・（ε）≡砥己碍噸・騨＠嚇…元） 切換函数剛呼ぶことにする。
一｛蔓一典・画（・・＋2σ：；，）｝三
ま エ
烏一 i藷ε1。・一警（号？）言・一硯（豊・）り ㌔k
コ 1
砺一 i吉己・・一警（豊）㌔（穿）り 0
（但し初期値召・（ε1。，0，0））
…（26）
el rn
f＊ l
eli姥f i
l
ek l
−一一@ 1 ebk em e
整定時間の理論値 Fig・5 最適切換函数要素と折線 近似切換函数要素
召。＝（β1。，0，0） …初期値
eT＝（0，0 0） …最終値 ε、厨…要素e、の取り得る最大偏差値で切換函 丁。ρ・ …最適応答での整定時間の 数要素のパラメ＿タ
理論値 ・。…パラメータ要素・1の任意の値
＝（32εm／σ。戸 …（27） e・ ・パラメータ ε・粛に対する要素eの値 ム …パラメーグ ￡1。に対する切換函数要素 4・準最適化手法 ∫の値
最適切換函数のσ（司≡0は，（8），（14），（24） θbパ・・折点のe座標値 式に示す様に召（ε、，…，e。）の各々の要素の複雑な 五．白…折点の∫座標値
非線形函数である。この函数のままでは，工学的 ・ピ・折点でのパラメータ・1の値 麟現は，困難であるために各々の要素の蹴に ∫（・）…最適切酬数要素
分解しかつその函数を折線で近似を行なう手法を ∫＊（θ）…折線近似切換函数要素
璽ξ㌶㌶㌶㌶㌶㌶誓： 占（e止）一鷲1∫ω二戸（向）1・一（29）
結んだ切換超平面（28）式で藁現でぎることに着 （29）式により水めた最適折点（εb．苫，ム∂より
II5
次籔㌶㌶㌶；決定できる・一 ち（；1↑
∫・（・）1一念・ 同≦・輪 …（30）
第二折線近似切換函数要素： ． 10
∫・（・）・一￡三皇li（・一・口）±几、
1ε1＞e5・缶 …（31） −20 40 0
『（皇）
Controlled object
11q）十巨
一 ＿1D
tO 20 e2
F且9．7 純二次系の最適切換函数要素
上の2式よりθ1。を消去しε口＜0の場合も考慮 すると
7十∠烏 胸一量一 …（37）
（3の式は，図7に示す様に原点に対して対称
Fig・6閉ループ準髄制鰍 嫡数である。
以上の手法醜ついて図2で示し醐酬1御系 本報においては，最大臓・1・−2・°として（29）
を図6に示す準最適制御系に構成する。操作部の 式に基づいて計算を行な5・
リレ＿要素は，チャクリソグ等の点を考慮に入れ 評価函数 」』βr（ε古・・の＝1□2
砒酬を持つル＿要素にしたがこれrこよる効 最漸点（召b．い五．よ）…＝（字゜・7°7・字゜・25）
果は，アナログ計算機シミュレーションで示す。 よって（30）・（31）式より 第一折縞近似切換函数要素：
5・準最適手法の適用例 ∫数已，）、＝0．354ε， 1ε、KO．707…（38）
5−1．純二次系 1／32 第二折線近似切換函数要素：
（10）式の最適切換点を用い（28）式力・ら最適 ∫き（，，），＿L。61・、和51・，1＞α707 切換函数要素」蟹由＝力2ε2を求める。 …（39）
（10）式より 5．2．無定位二次系1／｛5（5＋0．5）｝
最⊇r・一⇒…（35）同魏：函数一）一α697
（28）式より 最適折点 （εb．鳶1五上） 戸（干0・617．字0・158）
σ （α）≡61十力2ε2＝0 …（36） よって（30），（31）式より （36）式に（35）式を代入することによって 第一折線近似切換函数要素：
＿ ∫ま（ε：）、＝α257ε2 1已21≦⊆0．617 ・‥（40）
鍋一与・・一一／典 第二折縦似切換函数酬：
50
㌫
コ40
3．O
2．0
tO
O O4 08 1．2 1」5 20 −一一一一一一一一一一一一李 ek 珊g．8 準最適化手法による評価函数図
f（e） 乾一ち（e三）
08 亀一ち（烏）
0．4
＿OB ＿0ム 0
0．4 OB
＿0ム
＿OB
∫毛（・・）・−0・632・・孔232 F」g．9紅次系の髄切換函数要素
1e21＞O．617 … （41）
5．、，5．2の評噸数占（，、）を図8音こ示す。 五（・・）＝（4 1・）丁ε・（ε・・）・
臼純三次系侭 五ω一轟（ 2ε｝o）了e」（e▲o） … （45）
純三次においても二つの最適切換点召、ユ，已、2， ＿ パラメータε1。で（45）式を図9に不す。
（26）式を用いて（28）式から髄切換函数翻 最醐緬繰素（45）式を（29）式睡つい
五（βf）＝距南を求める。簡単のためにσ日一1．0と 」 て計算を行なコ。
最適切換函数要素五（召：）：する。
（26）式より 評噸数L，、（，。．、，）−0．228
第一切換点：己1（「＝ ・・） ． 髄折点（。＿五．、）。、、一（干・224」・．3）
コ エ
←（藷輪，一㌃（警）言・一（讐）り ▲二：鐘鑑㌶蔓：
…（42）
∫芽（e2）1＝＝1．339ε2 1￡21≦三〇．224 … （46）
第二切換点：e、卍＝rロ）
第二折線近似切換函数要素：
ま
烏一（轟高・・一†（穿）丁・（讐）言）（43） 姻・−2537時手α269
｜θ21＞0．224 … （47）
但し 召。＝（β1。，0．0）…初期値
最適切換函数要素五（θ3）：
、、…初期値召。より第一切換点までの所要時
評価函数」議（已左．帥，）＝0．402 間
最適折点 （εσ．hム止）碗＝（±0．669，±0．25）
「ピ初酬召・より第二切換点までの所鶏 おて㈹，（31）式より
閲 第一折線近似切換函鞭素、
（28）式より @ ∫ま（・、）1一α373亀1亀1≦α669…（48）
σ （召）≡已ユ十力2e2十… 十力he打＝0 ‥・（44） 第二折線近似切換函数要素：
（44）式に（42） （43）式を代入して虎臼々3を ∫r（ε3），＝1．765e3±0．931
求めることによって次式を得る・ ，1・，1＞0．669…（49）
（ 1B 芭
→ 1ム
tO
0．6
02
117 点Aと原点を通る直線σ （の…≡Oで近似する。直 線近似切換函数σ」（e）≡0によって切換函数が非 常に簡単化される。次にアナログ計算シミュレー ション結果を示す。
一 直線近似切換函数：
σ （e）≡e1十占コe2＝0 制御則：
σ一σ□sgn（61十占2θ2）
゜・4・8t21B 2・丑
一一一『一『一『一一一→ek ト只一 F」g．10 準最適化手法による評価函数図 −
5−3の評価函数占（εaを図10に示す。
6． アナログ計算機による検討 L」
6−1．純二次系
純：㌶：鶏㌶㌶璽麟：㌶
系を検討していく。 出 6−1−1． 直線近似切換函数による検討 u
図2の制御系で唖切換醜に糖して図・・＃エ1＋
に示す様に最適切緬数・（・）≡0の最も簡戦±ピー2．0 近似手法で髄切醐数を醜ゴ（召）≡・で近似i控圧盛
するものである。図11に示す様に初期値θ・（θ中 Fjg． U直線近似切換函数によるシミュレ＿ション結果 0）からの軌跡が最適切換函数σ（司≡0と交わる
e2
角
旺辻汁手賑 ［エロニ
Fヰ
：］耳1口
．i：
鷲
翼已罷 ±七一＋
コ「工： ＋二μ
王田1ゴ」・
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鷲讃測
iF1沢 ±註6津1 ＿1」」⊥一出十
一一1．0蓬撒。君i睦 卜‡⊥］
出 ．：i二： ↓ 十一H・｝・ ・e1
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…
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一・ ． 卓 叫
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霊醍宝 三！i顯i ， 一 ． 」＿．・ 一1
− ⊥⊥、
撒蓼墨目醗1‡蓑 r 三el＋ke2＝O Fi島13（皿）：慧τこ嘉 ：Fig 13（b）：慧丁こ嘉 Fig．11最適切換函数と直線近似切換函数 する応答 する応答
図12と図13・・bとは・初期値・・（1・0，0）で U の直線近似を行なった場合のアナログ計算機シミ
ユレーシ・ン応酬果である・図12・図13aか U
ら判かる様にle1。1＜1．0では，直線近似切換函 数♂（の≡0に沿って行きづまりチヤタリソグ現
象を起こしながら整定している。これは，リレー −h
の特性が生かされてないために生じる現象であ ■｛e）
る。又181。1＞1．0では，図12，図13bから判 かる描に一度オーバーシュートを起こして又直線 近似切換函数σ （e）≡0に沿って行きづまりチキ
タリン：グ現象を起こしながら整定しているために
整定時悶が悪化する大きな原因となる。又整定時 ， 問に悪影響を与える事とはに，別図ユ3a， bから Fig・15比倒帯を持つリレー要繁 判る様に系が齪した後もチャタリングがお2いて酬で示した比酬剛頁域を謝た．この郷と いるがにれ幽械的酬部にとっては・避けな しては，図、5に示す芽ド締黙を操作部に使用
漂纏㌶欝㌶聯墓：曇すれ⊇現できる・
酬のリレー螺姻6に示す制御系の操作部に 制獺1」：
比酬を持つり＿要素におき減て撫寸する。 i）σ一恥餌（σ （の）1σ ＠1＞乃
鍵検箒臓持つ直線近似切繊1こよる ii）r㎡（召） 1ゴ（θ）1〈丘
直線近似切換函数： 結果として制御則は，上式に示す様に直線近似 σ （司三…≡e、＋彪e。＝o 切換函数♂（司≡oの力近傍でバソーバソ制御と 図14に示す様な直線近似切換函数♂（e）≡三〇に 比例制御との切換が行なわれる。比例帯の領域
Um
￨h
h−Um
乾 用
皇b｛qo．0｝
0
A
芦
〆三e1＋ke2＝0
角
用1≡幸賑 」
1
． 一．
遵… 一 一
二］
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．」
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．「 1
0 1 身 ユ．O 2．O一
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Fコ：ヱ．L」 壺 一 e1
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肝」Li．．1 ．閨@ 11ユ 1 ． 』 1 1
L1 一 士耀廿一 1ゴ［ゴ「＿口 ．↓＿ 1 1 1
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・田工．
1 ．
｝
■ コココ‡
卜 ， ． ■「 一 一
一 HiT 一
一1
：＿
二2、0． 1 1 1 1
丑荘⊥ 悼 一
⊥ ≠ Fig．14最適切換函数と比例帯を持つ Fjg・16比例帯を持つ直線近似切換函数の 直線近似切換数 シミュレーション結果
119 が6−1−1の場合と同じく起こり整定時間に悪い 聾響を与えるという問題が残っている。
6−1−3．準最適手法による検討 5−1の（38），（39）式より 1 ・ 折線近似切換函数1σ特（ロ）≡0
第一折線近似切換函数要素：
∫芽（ε2）1−o．354θ2 1已21≦二〇．707
第二折線近似切換函数要素：
∫『（e2）1＝1．061ε3：FO．5 1θ21＞0．707 準最適fl司御貝1」：
σ＝・σ萬sgn（σ＊＊（e））
次にアナログ計算機シミュレーション結果を示
d
Fig・17（a）入力ステップ F培．17（b）入力ステップ
図16、図17a，bは、初期値（1．0、0）での直 線近似を行なった場合の応答結果である。1已司 くLOでの応答は，図16，図17aから判かる様
タリソグ現象は，解消できたがか一バーシュート Fig．18二次系の準最適制御系
1 一rI 1「「一一一1−［ 一了
i 1
1
1 L 1 一一一藍叢
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e2 一 1
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±］± 揖 ；
1
＿20 1
控
端1
一 ．
Fig．19準最適制御系によるシミュレーション結果
