ホモトピー法を用いた非線形回路の直流動作点解析に関する研究

修士論文要旨

(2014

年度

)

ホモトピー法を用いた非線形回路の直流動作点解析に関する研究

DC Operating Point Analysis of Nonlinear Circuits Using Homotopy Methods

電気電子情報通信工学専攻 沖守 郁也

Fumiya OKIMORI

1.

ま え が き

回路シミュレーションにおける直流動作点解析の非収束 問題を理論面・実用面の両方から解決する方法として，ホ モトピー法に関する研究が行われている

[1], [2]

．

直流動作点解析におけるホモトピー法にはいくつかの種 類があり，欧米では主として可変利得ホモトピー（

VGH

） 法に関する研究が行われている

[1]

〜

[4]

．一方，文献

[5]

では効率的なホモトピー法の一つとして可変利得ニュー トンホモトピー（

VGNH

）法が提案されている．

このようなホモトピー法を回路シミュレータ上に実装 しようとする場合，専門的知識と複雑なプログラミング が必要となる．そこで「式を回路で記述して

SPICE

で解 く」という逆転的発想に基づく方法論である

SPICE

指向 型解析法に関する研究が行われている

[2]

．その結果，高 度なホモトピー法を容易に実装することが可能となった．

しかし，

VGH

法と

VGNH

法は

SPICE

指向型解析法を 用いて実装を行った場合，必ずしも他のホモトピー法よ り効率的でないことが数値実験において判明した．

本論文では

2

つの手法について提案する．まず

VGH

法の計算効率を改善する簡単な手法を提案する．次に

SPICE

指向型解析法を用いて実装を行った場合に有効で

あるニュートン不動点ホモトピー（

NFPH

）法について 提案する．また

NFPH

法の補助関数の与え方で解曲線の 挙動を緩和させる手法についても示す．

2.

ホモトピー法

回路を記述する修正節点方程式を

f (x) = 0 (1)

とする．ただし

f

は

R ⁿ

から

R ⁿ

への非線形写像，

x ∈ R ⁿ

は変数ベクトルである

.

ホモトピー法では式

(1)

を解くの に，まず初期値

x ⁰ ∈ R ⁿ

を選び，

x ⁰

を解とする別の方程 式（補助方程式と呼ばれる）

f ⁰ (x) = 0, f ⁰ : R ⁿ → R ⁿ (2)

を考える．次にパラメータ

λ ∈ [0, 1]

を導入し，関数

h : R ⁿ⁺¹ → R ⁿ

（ホモトピー関数あるいはホモトピーと 呼ばれる）を

h(x, λ) = λf (x) + (1 − λ)f ⁰ (x) (3)

で定義する．ここで

(x, λ)

を変数とする方程式

h(x, λ) = 0 (4)

を考えると，式

(4)

を満たす

(x, λ)

の集合は一般に

R ⁿ⁺¹

における曲線となる．ホモトピー法は，このような解曲 線（パスともいう）を

(x ⁰ , 0)

から始めて追跡し，

λ = 1

に達した時点で式

(1)

の解

x ^∗

を得る方法である．

3.

可変利得ホモトピー法

VGH

法では式

(1)

を解くのに，ホモトピー関数として

h(x, λ) = f (x, λα) + (1 − λ)A(x − a) (5)

を用いる．ただし，

A

は

n × n

の対角行列，

a ∈ R ⁿ

はラ ンダムに選んだ定数ベクトルである．また

α

はトランジ スタの電流利得

α f , α r

からなるベクトルである．この方 法では回路の内部パラメータである利得

α

に

λ

が掛けら れるため，回路は利得ゼロの状態から利得

α

の状態へと 連続的に変化していく．この

“

可変利得

”

という優れたア イデアにより，ホモトピー法の連続変形が非常にスムー ズになる．

ここで，式

(5)

における対角行列

A

を次のように表す ことにする．

A =



 G · I N 0 0 R · I M



 (6)

ただし，

I N , I M

はそれぞれ

N ×N , M ×M

の単位行列，

G

と

R

は定数である．従来の

VGH

法では，

G = R = 10 ⁻³

位の値が用いられていた

[1], [4]

．しかし，

R > 0

とする 従来の

VGH

法はしばしば収束しないことが指摘されて いた．これに対し文献

[3]

では，

R < 0

とすることにより

VGH

法は必ず解に収束することが指摘され，さらに，そ の大域的収束性の証明が与えられている．

X28 Q2 X3 Q1

R3 10k Q3

Q7 Q8

R4 2k Q9

R7 11k R1

29.6k Q5

X2 Q6 X2

R2

12k R5

30k

Q4

R610k

Q10 Q11

Q13 R8 10k R10

10k

Q12 Q14

X3 Q15

R9 560

R12 10k Q16

15kR11 RLOAD

420

Q19

Q18

Q17 Q24

Q20 Q21 R1310k

R15100k Q23 Q22

R14 5k

VCC 5V

図

1

レギュレータ回路

4.

提案手法

I

VGH

法のホモトピー関数は次のように表される．

h g (x, λ) = D g g(D ^T _g v) + D E i + J + (1 − λ)D g g(D ˜ ^T _g v)

+ (1 − λ)G(v − a g ) (7a) h E (x, λ) = D ^T _E v − E + (1 − λ)R(i − a E ) (7b)

本論文で提案する手法は，式

(7b)

で

R = 0

とおく も の で あ る

[6]

．こ れ に よ り

VGH

法 の 解 曲 線 は 常 に

D ^T _E v − E = 0

を満たすので，解曲線を追跡する空間 の次元は実質的に

N + M + 1

から

N + 1

へと減少され る．したがって解曲線が短くなり，計算効率が改善される ことが期待できる．また，式

(5)

の各方程式のオーダー合 わせの観点からランダムベクトル

a

の範囲を

a g = [0, 1]

，

a E = [0, 0.001]

と設定することを推奨する．

5.

数 値 例

I

R = −1000

とする従来法と

R = 0

とする提案手法を 文献

[2]

の

SPICE

指向型解析法を用いて

SPICE3f5

上に 実装した．図

1,

図

2

に示すレギュレータ回路と

Folded

Cascode

オペアンプ回路に適用したときの解曲線をそれ

ぞれ図

3,

図

4

に示す．これら図で，縦軸はあるトランジ スタのベース・エミッタ電圧及びゲート・ソース間電圧，

横軸は

λ

を表す．提案手法の解曲線の方がより短くスムー ズであることがわかる．また，提案手法と従来法を

8

個 の回路に適用した結果を表

1

に示す．ただし，

J

はニュー トン法の総反復回数，

S

はステップ数，

T

は計算時間を表 す．この計算結果からすべての例題回路に対して計算効 率が改善していることがわかる．

VDD

RB

VSS Vin

Vout M1 M2

M3

M4 M5

M6 M7

M8 M9

M10 M11

M12 M13 M14

M15

R1 R2

R1=2k R2=2k RB=100k VDD=2.5 VSS=-2.5

図

2 Folded Cascode

オペアンプ回路

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Q3 Vbe

lambda

R=-1000R=0

図

3

レギュレータ回路に対する解曲線

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

M2 Vgs

lambda R=-1000R=0

図

4 Folded Cascode

オペアンプ回路に対する解曲線

表

1 VGH

法の計算効率の比較

従来法

(R = −1000)

提案手法

(R = 0)

回路

J S T(秒) J S T (秒) 2sOA 440 135 0.075 363 114 0.058 HVRef 426 138 0.067 387 127 0.059 OscCkt 906 228 0.093 617 182 0.066 RegCkt 2100 691 1.002 1318 431 0.623 Diff 596 855 0.084 420 140 0.062 Bandgap 2677 193 0.604 821 201 0.179 FCOP 1360 454 0.494 890 296 0.331 MOSOP 6301 2096 2.283 2549 861 0.980

6.

提案手法

II

6. 1

ニュートン不動点ホモトピー法

NFPH

法では，ホモトピー関数として

h(x, λ) = f (x)−(1−λ)f (x ⁰ )+(1−λ)A(x−x ⁰ ) (8)

を用いる．ここで

A

は，

n × n

行列とし次式とする．

A =



 D g G F P D ^T _g 0 0 −R F P 1 M



 (9)

ただし，

G F P ∈ R ^K×K

は対角項の要素には正の値が入 り，その他は

0

とする対角行列とする．

R F P

はスカラー の正値とし，

1 M

は

M × M

単位行列とする．このとき，

行列

A

の要素をある程度大きくとることにより，初期値 を

forward active

領域から選んでもホモトピー法の収束 性が保証されることが証明されている

[7]

．すなわち

“

良 い

”

初期値を選ぶことができるため，解曲線が短くなる可 能性が高くなり，多くの場合計算効率は改善される．

6. 2 NFPH

法の

SPICE

上への実装方法

NFPH

法では式

(8)

で定義される

h(x, λ) = 0

の解曲 線を追跡する．そのような解曲線は微分代数方程式

f (x) + (1 − λ)Ax − (1 − λ) ¡

f (x ⁰ ) + Ax ⁰ ¢

= 0 (10a) X m

i=1

µ dv

be

i

ds

¶ ₂ +

µ dλ ds

¶ ₂

= 1 (10b)

を

(x ⁰ , 0)

から始めて数値積分することにより追跡でき る．ただし

s

は

(x ⁰ , 0)

を始点としたときの解曲線の弧長 で，解曲線上の点

(x, λ)

は

s

の関数

(x(s), λ(s))

である と考える．また

m

は回路に含まれるトランジスタの数，

v

be

i

は

i

番目のトランジスタのベース・エミッタ間電圧を 表す．また式

(10a)

は便宜上式

(8)

を少し変形したものと なっている．

SPICE

指向型解析法の基本的アイデアは，式

(10)

によ り記述される回路を考え，それを

SPICE

で過渡解析する ことにより，式

(10)

に数値積分が適用され，

SPICE

上で

NFPH

法が実現されるというものである．

まずもとの回路のすべてのトランジスタのベース・エ ミッタ間とベース・コレクタ間に図

5

のような独立電圧 源とコンダクタンスを接続した初期回路を考える．この 回路の解

x ⁰

では

v q = (V

_be

⁰ , V

_bc

⁰ ) ^T

が成立しているので，

NFPH

法の初期値

x ⁰

として使用することができる．また 独立電圧源

V

_be

⁰ ,V

_bc

⁰

に流れる電流（図

5

の

I 1 , I 2

に相当す る）は

f (x ⁰ ) + Ax ⁰

となることが容易に確認できる

[2]

． したがって式

(10a)

を記述する回路は，もとの回路のすべ

E C

G G v _bc V

I

V _be

0

0

bc

I _be

v _be

bc

図

5

初期値と定数項を求めるための初期回路

G

_C

G

_E

v ) v

be

(

bc

I

bc

( 1 ) I

λ

be

( 1 λ ) 1 λ

) 1 λ (

図

6

式

(10a)

を記述する回路

v v

λ

λ

λ

²

be1

be1

1 1

v

be

v

bem m

v

bem²

1 v

be1²

λ 1

G G

図

7

式

(10b)

を記述する回路

てのトランジスタに図

6

に示すような従属電流源を接続 したホモトピー回路となる．また，式

(10b)

は図

7

のよ うなパス追跡回路で記述することができる．したがって，

図

5

〜図

7

で与えられる回路を

SPICE

で過渡解析するこ とにより，式

(8)

の解曲線が追跡され，

NFPH

法が実現 される．このとき文献

[8]

では，

VGNH

法の実装に



 J

be

J

bc



 =



 0 α r

α f 0







 m e (exp(n e v

be

) − 1) m c (exp(n c v

bc

) − 1)





(11)

で表される従属電流源

J

be

, J

bc を付加する．そのため

NFPH

法では

J

be

, J

bcを付加しないので，計算式が短く なり計算効率が上がると予想される．また，本研究では 同様に

MOS

トランジスタ回路に対しても

NFPH

法の実 装を行った．

6. 3

解曲線の挙動を緩和させる方法

ここでは，

NFPH

法における補助関数の与え方を変化 させることで解曲線の挙動を緩和させる方法について提案

表

2

レギュレータ回路に対する各ホモトピー法の比較

NH

法

VGH

法

VGNH

法

NFPH

法

J 230 275 142 186

プログラム

S 103 150 72 86 T (秒) 6.500 6.317 3.383 4.683

J 2887 1316 1538 1200

SPICE S 1101 431 499 369

T (秒) 0.749 0.671 0.593 0.277

する．式

(8)

の右辺第

2

項，第

3

項では補助関数に

(1 − λ)

が掛けられている．ここでは

λ = 0, λ = 1

近傍での回路 の急激な変化を抑えるために，

λ = 0

近傍ではゆっくりと 元の補助関数から変化していき，

λ = 1

近傍ではゆっくり と補助関数が

0

になり元の回路があらわれるような関数を 考える．具体的には次のように

NFPH

法を書き換えた．

h(x, λ) = f (x)− (1 − λ ³ ) ⁵ f (x ⁰ ) + (1 − λ ³ ) ⁵ A(x− x ⁰ ) (12)

これにより

start-game

，

end-game

が起こりにくくなる と予想される．

7.

数 値 例

II

まずニュートンホモトピー（

NH

）法，

VGH

法，

VGNH

法，

NFPH

法の

4

つの手法の比較を行う．図

1

に示す回 路に対して

C

言語を用いたプログラミングによる実装

[5]

と

SPICE

指向型解析法を用いて

SPICE3f5

上に実装を 行った場合の各ホモトピー法の計算結果の比較を表

2

に 示す．この計算結果からプログラムで実装を行った場合

VGNH

法が一番効率が良く，

SPICE

指向型解析法を用い た場合は

NFPH

法が一番効率が良いことがわかる．

また

NFPH

法を

SPICE

指向型解析法を用いて

8

個の 回路に適用した結果を表

3

に示す．この計算結果から従 来効率的とされていた

VGNH

法より

NFPH

法の方がす べての例題回路に対して計算効率が良いことがわかる．

最後に式

(12)

のホモトピー関数を提案手法とし，

NFPH

法との比較を行う．図

1

に示すレギュレータ回路に適用し たときの解曲線を図

8

に示す．提案手法の解曲線の方が

start-game

，

end-game

が緩和されているのがわかる．

8.

む す び

本論文では，効率的な

VGH

法を提案した．また

SPICE

指向型解析法を用いて実装を行った場合に有効である

NFPH

法を提案し，さらに，補助関数の与え方で解曲線 の挙動を緩和させる手法について示した．

表

3

計算効率の比較

VGNH

法

NFPH

法

回路

J S T (秒) J S T(秒) 2sOA 322 108 0.047 220 109 0.020 HVRef 366 121 0.047 343 114 0.026 OscCkt 451 140 0.037 263 121 0.016 RegCkt 1538 499 0.593 1200 396 0.277 Diff 327 109 0.063 221 109 0.010 Bandgap 433 129 0.094 364 116 0.021 FCOP 380 118 0.125 275 121 0.027 MOSOP 999 262 0.297 538 230 0.062

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Q3 Vbe

lambda

Proposed NFPH

図

8

レギュレータ回路に対する解曲線

文献

(

下線は研究業績

)

[1] L. Trajkovi´ c, “Homotopy methods for computing dc operating points,” in Encyclopedia of Electrical and Electronics Engi- neering, ed. J.G. Webster, vol.9, pp.171–176, John Wiley &

Sons, New York, 1999.

[2] W. Kuroki, K. Yamamura, S. Furuki, “An efficient variable gain homotopy method using the SPICE-oriented approach,”

IEEE Trans. Circuits Syst. II, Express Briefs, vol.54, no.7, pp.621–625, July 2007.

[3] K. Watanabe and K. Yamamura, “A globally convergent variable-gain homotopy method for solving modified nodal equations,” Proc. Int. Symp. Nonlinear Theory and its Ap- plications, Sapporo, Japan, pp.507–510, Oct. 2009.

[4] L. Trajkovi´ c, “DC operating points of transistor circuits,”

Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, vol.3, no.3, pp.287–300, July 2012.

[5] Y. Imai, K. Yamamura, and Y. Inoue, “An efficient homotopy method for finding DC operating points of nonlinear circuits,”

IEICE Trans. Fundamentals, vol.E88-A, no.10, pp.2554–2561, Oct. 2005.

[6] F. Okimori, Y. Yamamoto, T. Miyamoto, and K. Yamamura,

“An efficient variable-gain homotopy method for DC operat- ing point analysis of transistor circuits,”

第

26

回 回路とシステ ムワークショップ論文集, pp.391–396, July 2013.

[7] Y. Inoue, S. Kusanobu, K. Yamamura, and M. Ando, “An initial solution algorithm for globally convergent homotopy methods,” IEICE Trans. Fundamentals, vol.E87-A, no.4, pp.780–786, Apr. 2004.

[8] W. Kuroki, K. Yamamura, “An efficient homotopy method

that can be easily implemented on SPICE,” IEICE Trans. Fun-

damentals, vol.E89-A, no.11, pp.3320–3326, Nov. 2006.