数理ファイナンスの基礎

数理ファイナンスの基礎

西岡 國雄

iii

はじめに

1970

,

(derivatives)

.

,

,

.

本来は価格変動によるリスク回避の手段として開発されたが

,

(=

)

,

50

,

.

金融派生商品の公式な取引は

, 1973

.

1988

,

経

225

300 TOPIX

.

これらの金融派生商品は実際に販売されているので

,

,

1970

. Merton, Black-Scholes, Cox-Ross-Rubinstein

,

,

,

.

とりわけ

,

, Black-Scholes

,

Merton

Scholes

1997

.

1

1992

2日本では,まだ先物取引が主体で,それに比べオプション取引は少ない.

3

F. Black

4受賞スピーチが

http://www.nobel.se/economics/laureates/1997/ merton-autobio.html

http://www.nobel.se/economics/ laureates/1997/Scholes-autobio.html

現代の経済活動では数理ファイナンスの問題点を避けて通ることができな いので

,

(

)

.

数理ファイナンスは

,

.

,

,

•

,

•

,

,

という 数理ファイナンスの基礎定理 を厳密な形で証明する事を目標とし た

.

,

Black-Scholes

.

本書は筆者が東京都立大学でおこなった数学科

2

I

II

.

,

2

,

.

そのため

,

.

,

,

.

最後になりますが

,

,

.

,

:

東京都立大学大学院 理学研究科 数学専攻の大学院生

:

,

:

.

2004

西岡 國雄

5 ちなみに筆者の研究仲間でも,幾人もが銀行/信託会社に所属している.

v

記 号

I A (w) ≡

( 1 w ∈ A

0 w 6∈ A

A

, 1 R ^d d-

Ω

, 1

W

, 11

F

, 1

M

, 2

B

, B(n)

, 3

A[B

]

B

生成される加法族

, 3

P

, 2

F ≡ {F (n) : n = 0, · · · , N}

,

, 6

¡ Ω, F, F, P ¢

フィルター付き確率空間

, 6 X (w), Y (w), · · ·

, 7

E ^P [ · ], E[ · ]

P

, 7

V ar[X]

X (w)

, 9

P[ · /F(n)](w)

, 19

E[ · /F (n)](w)

, 21

{X n (w)}, {Y n (w)}, · · ·

, 27

F-

27

{M n (w)}

, 28

{Y n (w)}

, 28

{T n (w)}

, 29

P Y k (w) ∆M k (w)

, 37

G n (w; M ), G n (w; N), · · ·

, 46 A F

, 49

r

, 49

A P

, 49 γ

, 49 {B n (w), S n (w)}

, 57

B n (w)

n

, 57 S n (w)

n

離散確率過程

, 57

S _n ^d (w)

n

の現在価値

, 59

X, Y, · · ·

, 58

X _n ^B (w)

X

時刻

n

X _n

(w)

X

時刻

n

, 58 V n (w; X)

X

よる時刻

n

, 58 V _n ^d (w; X)

X

よる資産の現在価値

, 59 Q

, 62 F (w)

, 62 U(F(w), C

) 64

(F (w), C

)-

64

C F

, 64

H Hilbert

h · , · i

, 88

|| · ||

, 88

1

第

1

今後の議論で必要となる確率論の基礎を述べるが

,

.

,

.

1.1

本書では集合

A ⊂ Ω

,

I _A (w) ≡

( 1 w ∈ A 0 w 6∈ A

,

I A (w)

.

確率空間

(Ω, F, P)

.

Ω, F, P

.

Ω

sample space

,

(1.1) Ω = {w

, w

, · · · , w ^L }

からなる ある集合 であり

,

Ω

.

Ω

,

w ∈ Ω

F

, Ω

(=

)

.

(1.2) F = {∅, w

, · · · , w ^L , w

∪ w

, · · · , w

∪ w

∪ w

, · · · , Ω}.

1

§1.3,

1.17

という

2 ^L

.

一般には

, (Ω, F)

F

,

い

.

.

定義

1.1.

M

, Ω

A ⊂ Ω

( =

)

;

∅, Ω ∈ M, (1.3a)

A ∈ Ω ⇒ A ^c ≡ Ω − A ∈ M, (1.3b)

A ^k ∈ M, k = 1, · · · , n ⇒ [ n

k=1

A ^k ∈ M,

\ n

k=1

A ^k ∈ M. ♦ (1.3c)

注意

1.2.

F

,

(1.3)

,

. ♦

F

A

P[A] ∈ [0, 1]

,

probability measure

:

P[Ω] = 1, (1.4a)

すべての

A ∈ F

P[A] ≥ 0, (1.4b)

A ^j ∈ F, j = 1, · · · , m. i 6= j

A ⁱ ∩ A ^j = ∅ (1.4c)

⇒ P[

[ m j=1

A ^j ] = X m j=1

P[A ^j ].

ここで今後の議論を簡潔にするため

, (1.4b)

(1.4d)

A ∈ F

P[A] > 0

を仮定する

.

通常

,

M

,

.

,

B

≡ {B

, · · · , B ⁿ }

,

∅ 6∈ B

, (1.5a)

B ^j , B ^k ∈ B

j 6= k ⇒ B ^j ∩ B ^k = ∅,

(1.5b)

1.1.

3

A ∈ M

B

, · · · , B ^k

∈ B

A =

k

[

j=1

B ^j (1.5c)

という良い性質を持たせる事ができる

.

.

1.3. M

. M

B

≡ {B

, · · · , B ⁿ }, B ^j ∈ M, j = 1, 2, · · · , n,

(1.5a)

(1.5c)

, B

M

.

逆に

(1.5a)

(1.5c)

B

, B

の加法族を

M = A[B

]

と表記し

,

B

. ♦

もし任意の加法族

M

,

B

,

.

,

.

命題

1.4.

,

. ♦

M

.

Step 1.

w ∈ Ω

(1.6) B(w) ≡ \

{B⁰∈M:B⁰3w}

B

とおく

. M

(1.3)

, Ω ∈ M

.

,

w

B 3 w

B ∈ M

, (1.6)

.

つまり任意の

w ∈ Ω

, (1.6)

B(w)

,

(1.3c)

B(w) ∈ M

.

Step 2. (1.6)

B(w)

B ≡ {B(w) : w ∈ Ω}

(1.5a)

(1.5c)

.

B

, B

∈ B

, B

∩ B

6= ∅

.

B

6= B

B

− B

6= ∅

B

− B

6= ∅

.

B

− B

6= ∅

.

すると

(1.3c)

B

∩ B

∈ M

,

∅ 6= B

∩ B

⊂ B

, B

∩ B

6= B

だから

, B

B

∩ B

M

.

(1.6)

B

∈ B

. B

− B

6= ∅

.

B

∩ B

6= ∅ ⇒ B

= B

,

(1.5b)

.

次に

A ∈ M, A 6= ∅

. u ∈ A

, (1.6)

B(u) ≡ \

{B⁰∈M:B⁰3w}

B

⊂ A

となるので

, ∪ u∈A B(u) ⊂ A

.

, u ∈ B(u)

∪ u∈A B(u) ⊃ A

.

(1.5c)

.

Step 3.

.

B

B

, M

.

B ∈ B

,

B

∈ B

B ∩ B

= ∅

.

B 6= ∅

,

(1.7) [

B

B

⊂ Ω − B 6= Ω

となる

.

Ω ∈ M

(1.5c)

A = Ω

,

(1.7)

.

これより

,

B ∈ B

,

B

∈ B

, B ∩ B

6= ∅

.

,

B − B

6= ∅

∅ 6= B ∩ B

∈ M, B ∩ B

⊂ B, B ∩ B

6= B

となり

, B ∩ B

∈ M

B ∈ B

.

B

(1.5b), (1.5c)

.

B

− B 6= ∅

.

, B = B

, B = B

. 2

1.1.

5

(Ω, M, P)

,

M

B

,

P

B

.

,

:

命題

1.5.

M

B

.

A ∈ M

, P[A] = X

B⊂A,B∈B

P[B]. ♦

証明 族基底の性質

(1.5b)

B, B

∈ B, B 6= B

⇒ B ∩ B

= ∅

.

(1.5c)

(1.4c)

. 2

系

1.6. (1.2)

F

B

(1.1)

{w

, w

, · · · , w ^L }

, F = A[B

]

.

,

(Ω, F)

P

,

w ∈ Ω

. ♦

ここで

,

(Ω, F , P)

P

.

1.7. A, A

∈ F

.

(a) P[A] + P[A ^c ] = 1.

(b) A ⊂ A

P[A] ≤ P[A

].

(c) P[A ∪ A

] = P[A] + P[A

] − P[A ∩ A

]. ♦

A ∩ A ^c = ∅, A ∪ A ^c = Ω

だから

,

(1.4b)

(a)

.

A ⊂ A

A

= (A

− A) ∪ A, (A

− A) ∩ A = ∅

なので

,

(1.4c)

(b)

.

,

A = (A ∩ A

) ∪ (A ∩ (A

) ^c ), (A ∩ A

) ∩ (A ∩ (A

) ^c ) = ∅

A

= (A ∩ A

) ∪ (A

∩ (A) ^c ), (A ∩ A

) ∩ (A

∩ (A) ^c ) = ∅

である

.

(A ∩ (A

) ^c ) ∪ (A ∩ A

) ∪ (A

∩ A ^c ) = A ∪ A

,

(1.4b)

P[A] + P[A

] = P[A ∩ A

] + P[A ∩ (A

) ^c ] + P[A ∩ A

] + P[A

∩ A ^c ]

= P[A ∩ A

] + ³

P[A ∩ (A

) ^c ] + P[A ∩ A

] + P[A

∩ A ^c ] ´

= P[A ∩ A

] + P[ ¡

A ∩ (A

) ^c ¢

∪ ¡ A ∩ A

¢

∪ ¡

[A

∩ A ^c ¢ ]

= P[A ∩ A

] + P[A ∪ A

]

, (c)

. 2

株価の時間変動などいろいろな確率事象を調べる上で

,

.

n

F(n)

, n

0

N

F(n)

F

.

つまり

F

,

.

定義

1.8. (a) F ≡ {F (n) : n = 0, 1, · · · , N }

,

filter

:

各

n = 0, 1, · · · , N

F(n)

, (1.8a)

F(0) ≡ {∅, Ω}, F (N ) ≡ F, (1.8b)

F(n − 1) ⊂ F(n), n = 1, · · · , N.

(1.8c)

(b)

F

,

(Ω, F, F, P)

. ♦

今後はとくに断らない限り

,

(Ω, F, F, P)

.

命題

1.4

,

F(n)

,

B(n)

,

,

.

2 増大情報系とも呼ばれる.

1.2.

7

1.9. 0 ≤ m ≤ n ≤ N

, F(m), F(n) ∈ F

B(m), B(n)

.

B

∈ B(m)

,

B

, · · · , B ^`

∈ B(n)

:

B

=

`

[

k=1

B ^k . ♦

証明 フィルターの性質

(1.8c)

, m ≤ n

B

∈ F (n) ⊂ F

.

あとは

(1.5c)

,

. 2

1.2

各々の

w ∈ Ω

.

(Ω, F, F, P)

,

.

1.10. (a)

X : Ω → R

F (n)-

.

(1.9) X(w) = X

B∈B(n)

C B I B (w) : Ω → R

.

ここで

B(n)

F (n)

, C B

B ∈ B(n)

.

(b) F -

X (w)

,

random variable

. ♦

確率変数

X(w)

F(n)-可測という (1.9)

n

X (w)

.

確率変数を特徴付ける量の一つとして

,

.

定義

1.11. X (w)

F(n)-

(1.9)

.

E ^P [X (w)] ≡ X

w∈Ω

X(w) P(w) = X

B∈B(n)

C B P[B]

を確率変数

X

P

.

P

,

mean

, E[ · ]

. ♦

ここで平均の持つ性質を述べよう

.

命題

1.12. a, b

, X(w), Y (w)

F(n)-

,

(=

)

:

E[a X(w) + b Y (w)] = a E[X(w)] + b E[Y (w)]. ♦

証明

F(n)

B(n)

,

1.10

B ∈ B(n)

C B , C _B

X (w) = X

B∈B(n)

C B I B (w), Y (w) = X

B∈B(n)

C _B

I B (w)

となっている

.

1.11

E[a X(w) + b Y (w)] = X

B∈B(n)

¡ a C B + b C _B

¢ P[B ]

= X

B∈B(n)

a C B P[B] + X

B∈B(n)

b C _B

P[B] = a E[X(w)] + b E[Y (w)]. 2

つぎの 独立 という概念は

,

.

1.13. (a)

A, B ∈ F

independent

,

(1.10) P[A ∩ B] = P[A] P[B]

が成立することである

.

(b) X (w), Y (w)

. X (w)

Y (w)

,

a, b ∈ R

,

{w : X(w) = a}

{w : Y (w) = b}

.

(c) n

A

, · · · , A ⁿ ∈ F

,

P[A

∩ · · · ∩ A ⁿ ] = P[A

] × · · · × P[A ⁿ ]

3 しばしば 期待値

expectation

1.2.

9

.

n

X

(w), · · · , X n (w)

,

a

, · · · , a n ∈ R

,

{w : X

(w) = a

}, {w : X

(w) = a

}, · · · , {w : X n (w) = a n }

. ♦

通常

,

,

.

命題

1.14. X (w), Y (w)

,

: E[X (w) Y (w)] = E[X (w)] E[Y (w)] ♦

証明

Ω = {w

, · · · , w ^L }

,

R X ≡ {X (w) : w ∈ Ω}, R Y ≡ {Y (w) : w ∈ Ω}

とおくと

, R X , R Y

R

.

1.13

,

E[X(w) Y (w)] = X

a∈R

X

b∈R

a b P[{w : X(w) = a, Y (w) = b}]

= X

a∈R

X

b∈R

a b P[{w : X (w) = a} ∩ {w : Y (w) = b}]

= X

a∈R

X

b∈R

a b P[{w : X (w) = a}] P[{w : Y (w) = b}]

= E[X(w)] E[Y (w)]

となり命題の主張が成立する

. 2

確率変数を特徴付ける別の量として 分散 がある

.

1.15.

X(w)

(1.11) V ar[X] ≡ E[ ¡

X(w) − E[X(w)] ¢

]

variance

.

p

V ar[X]

. ♦

大雑把に言うと

,

.

.

命題

1.16. X (w), Y (w)

, a, b

. (a) V ar[X ] = E[X (w)

] − ¡

E[X(w)] ¢

. (b) V ar[a X + b] = a

V ar[X ].

(c)

X(w)

Y (w)

V ar[X + Y ] = V ar[X]

V ar[Y ]. ♦

α ≡ E[X (w)], β ≡ E[Y (w)]

.

まず

(a)

.

1.12

V ar[X] = E[ ¡

X(w) − α ¢

] = E £

X(w)

− 2 X (w) α + α

¤

= E[X(w)

] − 2α

+ α

= E[X(w)

] − ¡

E[X (w)] ¢

.

上で証明したばかりの

(a)

1.12

V ar[a X + b] = E h

(a X(w) + b)

− (aα + b)

i

= a

E[X (w)

− α

] + 2ab E[X (w) − α] = a

V ar[X ]

, (b)

.

最後に

(c)

.

1.12

(a)

V ar[X + Y ] = E h¡

X (w) + Y (w) ¢

− (α + β)

i

= E[X (w)

− α

] + E[Y (w)

− β

] − 2 E[X(w) Y (w) − αβ]

となる

.

X(w)

Y (w)

,

1.14

E[X(w) Y (w) − αβ] = 0

である

.

,

V ar[X + Y ] = E[X(w)

− α

] + E[Y (w)

− β

] = V ar[X ]

V ar[Y ]

, (c)

. 2

47

第

4

我々が扱う証券市場では

,

2

.

,

.

そういう証券市場を理想化して

,

.

4.1

広くは 財産法上の権利を記載した書類 をさすが

,

.

,

3

.

(a)

stock:

.

stock holder (=

株主

)

,

,

,

.

,

,

株式が証券市場で売買される際の価格を株価

stock price

.

,

.

,

,

.

そこで我々は

,

ある確率法則に従って株価は変動する

と見なす

.

図

4.1:

225

: 2000

10

2004

2

. (

5.1

.)

(b)

bond :

,

.

,

(

),

,

,

(

)

.

債券の保有者は

,

,

.

債券も

,

.

(c)

derivatives:

,

,

,

,

,

.

金融派生商品は先物取引

,

,

,

,

.

現実に売買されている金融派生商品は極めて多様だが

,

.

1

§4.2

4.1.

49

4.1.1

前節で述べた証券のなかで

,

.

:

償還

(=

)

expiration ¡

≡ N

¢ (4.1a)

額面価格

face value ¡

≡ A F

¢ (4.1b)

償還までの配当

coupon ¡

≡

r

¢ (4.1c)

債券を保有することによる価値は,上の特徴

(4.1)

rate of return γ

.

A P

,

(4.2) A P = A F

(1 + γ) ^N + X N k=1

r · A F

(1 + γ) ^k .

γ

.

債券の中でもとくに国債の収益率は,長期金利の指標であり金融機関の金 利などに大きく影響する

.

例

4.1.

B

:

償還期間

N = 10

,

A F ≡ 100

,

r = 5%

.

B

A P = 105

. (4.2)

γ

,

.

解

x ≡ 1/(1 + γ)

, (4.2)

. (1 + r)A F x ^N+1 − A F x ^N − (r · A F + A P )x + A P = 0

この代数方程式の解を求めればよいが

,

Mathematica

,

:

NSolve[(100 + 5)x

(11) − 100x

(10) − (105 + 5)x + 105 == 0]

この

11

x

x = −1.00477, x = −0.812901 − 0.590561I, x = −0.812901 + 0.590561I, x = −0.31057 − 0.95557I, x = −0.31057 + 0.95557I, x = 0.310341 − 0.95564I, x = 0.310341 + 0.95564I, x = 0.812652 − 0.590857I, x = 0.812652 + 0.590857I, x = 0.958111,

x = 1

の

11

,

x = 0.95811 · · · ⇐⇒ γ = 0.0437204 · · · ,

.

,

γ

4.4%

.

♦

注意

4.2.

(4.2)

,

γ

.

, N, A F , A P , r

γ

CD

. ♦

このように債券の将来価格は

,

.

,

,

,

.

注意

4.3.

,

る

.

, 1929

,

になった

.

1990

,

,

.

しかし短期的には

,

,

,

.

♦

4.1.2

証券取引で重要な三つの概念を説明する

.

4.1.

51 (a)

cash flow :

,

.

4.1

B

当初に債券

B

105

→ 9

,

5

→ 10

100

5

(4.3)

となる

.

,

.

個人の貯蓄では

,

,

.

フローを厳格にきめることが重要である

.

1998

,

,

LTCM (Long Term Capital Management)

,

.

(b)

discounted value:

,

.

•

105

,

• 10

105

の両者を比較しよう. 現在

105

4.1

B

10

10

,

10 × 5

+ 100

= 150

.

2大口の投資家から資金を集め,投資する投資顧問業者の私的な投資信託のこと. 高度な数理 ファイナンスの知識と多様な金融派生商品とを利用し,多額の資金を投機的に運用することで知 られる. 年利

30 %

3しばしば割引価値とも呼ばれる

逆に言うと

,

4.1

B

4.4%

, 10

105

(=

)

105

(1 + 0.044)

' 68.2

となる

.

,

68.2

4.4 %

10

105

, 10

105

68.2

.

すなわち

,

将来価値はある割引率

γ

し

,

.

4.4.

4.1

B

10

150

,

n

B n

(4.3)

.

ここで割引率として債券

B

γ = 4.4%

.

(4.4) B n ≡ (1 + γ) ⁿ A P = A F

(1 + γ) ^N−n + X N

k=1

r A F

(1 + γ) ^k−n

.

B

B

' 161.5

となり債券の総収入額

150

.

1

5

, 9

7.4

.

,

B

10

150

.

(c)

discount rate:

,

.

,

.

その理由は次節

§4.1.3

.

4.1.

53

4.1.3

いま 例

4.1

B

,

C

:

当初に債券

C

105

→ 9

,

7

→ 10

100

7

(4.5)

公式

(4.2)

C

6.3 %

.

C

在は奇妙な事態を招く

.

まず我々は

,

4.1

B

105

→

105

C

→ 1

9

4.1

B

,

2

→ 10

C

,

4.1

B

, 2

,

0

20

.

定義

4.5.

0

,

arbitrage opportunity

. ♦

ごく例外的な状況以外では

,

(

).

,

4.4 %

B

6.3 %

C

,

B

.

.

今後の議論で

,

.

公理

4.6 (

).

,

. ♦

4後の 定義

4.19

系

4.7.

,

,

,

.

♦

4.2

株式や債券など本来の金融商品の価格変動を数値化して

,

derivatives

.

1970

,

.

金融派生商品には

,

,

,

.

,

option

.

オプションにもいろいろあるが

,

: (a)

call option:

,

格で買う 権利をいう

.

European call option

.

,

コール・オプション

American call option

.

(b)

put option:

,

.

European put option ,

American put option

.

注意

4.8.

,

. ♦