小数 乗 法 学 習 促 指 導

富 山 大 学 教 育 学 部 研 究蕗 鼻 ^{No.4 :2 9 ‑3 4} (2 0 0 1)

小 数 ^の 乗 法 ^の 学 習 ^を 促 す 指 導

‑

2

授業

比 較 を 通 し

岸 本 忠 之

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キ^ー ワ ^ー ド^: 乗 法^, 小 数^, 学 習^･ 指 導

Key ^{w o r}ds: m ulti_plic ation , decim al fr^･action ,te ach in g ^{a n}d le a r ning

1 ^.

研 究

目 的 ^と 方 法

1^.1

研 究

目 的

現 在 我^が国^の小 学 校 第5 学 年^で小 数^の乗 法^が指 導^{さ れて}

いる｡ 小 数^の乗 法と は, 乗 数が小数^であ る乗 法^{の ことで}あ る｡

被 乗 数が小 数であ る乗 法は, 既^に第⁴ 学 年^で指 導^{さ れて い} る｡ 小 数^の乗 法^におい て乗 法^の意 味^が拡 張さ れ る｡ 整 数^の乗 法は, 1 つ 分^の大き さ が き ま^って いる と きに, その幾^つ分^か

に当た る大き さ を求め る^ことであ る｡ ′ト数^の乗 法^の意 味は,

整 数^の乗 法^の意 味 も含む よ うに, 基準^にする大き さ を B と し た と き^{, こ の}B に対 する割 合が_{p で}あ る よ う な A を求め る操 作^{がB X} p であ る と ま とめら れ た もの であ る｡ 児 童^は, 小 数

の乗 法^の学習を通して演算^の拡張^という数 学 的^な考^え方^に着 日 すること が期 待さ れ る｡

小数^の乗

準

れて いる(Gr e e r_,19 9 4_;片 桐重 男,1 9 75 ;中 島健^三,19 68)^｡ 児 童^が小 数^の乗 法を学 習 する と きに生^{じ る}困 難^の所 在や その

原 因を明ら かにし, 指 導を改 善 する必要が あ る｡

これ まで小 数^の乗法に関して多くの研究が な さ れて いる｡

例え ば平林 ^‑ 栄ら(1 98 0) は, 児 童が小 数^の乗 法^の意 味を 理 解^でき る よ うに, 比例^{のイメ ー ジ}を活用し た指導を示して い る｡ 片 桐重 男 (1 9 75) は, 小数^の乗 法^の意 味を明 確にする手 段と して線 分 図や言 葉^の式な ど を活用し た指 導を示して いる｡

正 木 孝 昌 (19 7 8) は, 小 数^の乗 法^の文章 題^におい て既 習を生 か し た結 果^の求^め方^と｢ ^× ( 小 数) ｣ ^と演 算 決定^{し た}上で の

結 果^の求^め方^を対 比 することによ^って, 小 数^の乗 法^の意 味を 顕 在 化 する指 導^を示^{して いる}｡

先 行研 究で示さ れて いる小 数^の乗 法^の指 導^は, 優れ たも^の

であ り, 成果を あげて いる と言^{え る}｡ し か し な が らこれ らの

指 導 法^は! 必 ず^しもす^{べて の}学 習 段 階^の児 童^に対^して効果^が あ る わ けでは な^い｡ これ らの指導 法^{が どのよ う な}学 習段 階^に ある児 童^に対^してよ り効果 的^{であ るのか が}明^{ら かにな れ ば,}

これ らの指 導 法は よ り ^一 層 効 果 的^{にな る｡}

本稿^の目 的^は, 小 数^の乗 法^に関 す^{る 2 つ の}授 業^を比 較 す ること を通^して, 小 数^の乗 法^に関す^る指導^{が どのよ う な}学 習 段 階^{にあ る}児

華

を得^{ることであ る｡}

1 ^.2

研 究

方 法

目的^を達 成 す^{る た め,} 以下^の手順^によって議 論^を進^{め る｡} 児童^が小数^の乗 法^に関^してどのよ う な学 習段 階^{にあ るのか を} 明ら かにす^{る た めに,} 小 数^の乗 法^に関す^る学 習段 階^を設 定^し, さ らにその学 習 段 階を特 定 す^る調査 問 題^と判 定基 準^を作 成 す

る｡

次^にどのよ う な指 導^{が どの}よ う な学 習段 階^にあ る児 童^に対 して効 果が あ るのか を明ら かにする た めに, 小数^の乗 法^に関 する 2 ^つ の授 業を比 較 する｡ (1) 小数^の乗 法^の指 導 前^{に, プ}

レテ^ス トを行^い各 児 童^の学 習 段 階を特 定 する｡ (2) 実 際に行 わ れ た授業に^つい て教 師^{へ の イン}タビュ ^ー か ら, 教 師が授 業

に対して どのよ う な ところに重 点を置い て指 導し たのか を明 ら かにする｡ (3) 小 数^の乗 法^の指 導後に, ポス ト テ^ストを行

い各 児童^の学習 段 階を特 定 す る^｡ (4) プ^レテ^ストと ポ^ス ト テ ス トを比 較して, あ る学 習段 階^の児童^にと^っ てどのよ う な指 導^が効 果 的^{か を}明^{ら かに}する｡

通常 指 導効 果^を明^{ら かに}する場 合^には, 実験 群^と統 制 群^を 設け, 意 図 的^な配 慮を し た指導^{と そ うでない}指 導^が比 較^{さ れ} る｡ し か しこ のよ う な方 法^では, 児童^の学 力差^や実 際^の授 業

で の話^し合^{い の}質^{な どが}影響^し, 実験 群^{におい て}実験 者^がい

におい て, 教 師^は児童^の実 態^に即^して, 教 師^の意 図的^な配 慮 を し た指 導^ができ, その効 果^も高 く^{な る と}言^{え る}｡

調 査 対 象^{.t な る 2 つ の}小 数^の乗 法^に関 す^る授 業^{は1 99 7}年

の 4 月か ら 7 月^に行^{わ れ た}｡ 調 査 場 所^は, 東 京 都 内^の国 立 大 学 附 属小 学 校^の第⁵ 学 年^{2 ク ラス であ る}｡ 表‑^{1 は}各^クラ

スの人 数^{であ る}｡ こ の小学 校^は教科 担 任制^{であ る}｡

表 ^‑ 1 各 ク^ラ､

ス の人 数

クラ スA ク ラスB 人 数 ､ 4 0人 ･^{3 6} 人

2 ^.

小 数

乗 法

学 習 段 階

2^.1

小 数

乗 法

学 習

演 算 決 定

着 目

べて の側 面を と ら え る^こと は困 難^であ る｡ そ^のた め あ る側 面

に着 目^して児童^の学習を捉え る^こと とする｡ 先 行 研究によ る と, 小 数^の乗 法^の学 習 内容は, 大 き く 分け れ ば ｢ 演 算 決 定 ( 演 算^の意 味も含む)｣, ｢ 計算^の仕 方｣, ｢計算^{のき ま り}｣^, ｢ 計 算 技 能｣ ^の 4 ^つ であ る( 片 桐重 男^{,19 95};文 部 省^{,1 98 9})^｡ 小 数^の乗 法^の学 習 段 階^を設 定 するにあ た ^っ て, 演 算 決定^に着 目 する｡ な ぜ な ら演 算決 定^は, 小 数^の乗 法^に関 す^る学習 内 容^の 中で も特^に重 要な学 習 内 容^{で あ る か らで あ る}( 中 島 健^三,

1 9 78)^｡

｢ 演 算 決 定｣ と は, 小 数^の乗 法^の文 章 題^を読^み取り数 量 関 係^を取り出^し, ｢ × ( 小数)｣ ^と演 算^を決 定 す^ることであ る｡

小 数^の乗 法^の文 章題^{におい て}演 算 決定 す^る方 法^はいく^っ か あ る｡ 例^{え ば,} ｢ 小 数の乗 法^の意 味^に基^{づ い て}考え る｣^, ｢ 数 量 を整数^に置 き換^えて考え る｣^, ｢ 文章 題^におい て言葉^の式を あ ら か じ め作り そ れに数 量を あて は め る｣^, ｢ 文 章 題^の文 中^の何 倍^{な どの}表 現^に着 目す る｣, な ど が あ る｡ 児 童は必 ずしも小 数^の乗 法^{の 一} 般 的な意 味を 理解して いなくとも, 小 数^の乗 法

の文 章 題におい て演 算決 定でき る｡

児 童が小 数^の乗 法^の文章 題におい て演算 決 定 する とき, 児 童が持^{っ ミス コ ンセ}プ^ショ ンが影 響 す^{る と}指 摘^{さ れて いる} (Bell ら,1 98 9_;F iscb bein ら,1 9 85_;G r e e r,1 99 4)｡ 乗 法^に 関 するミス コ ンセプ^シ ョ ンには ｢ 乗 数^はいっも整 数^{でな け れ} ば な ら ない｣ ^や｢ 奏法^の結 果^は, 被乗 数^{よ り}も^いっも大 き^く な る｣ が あ る｡ こ のよ う なミ^{ス コ ン セ}プショ ンを持^{って いる} 児 童は, ｢ ^× ( 小数)｣ ^と演 算決 定^できない_｡

ま た ^一 般^に整 数^の乗 法^の結果^は演算 決 定^{してか ら}求^{め ら れ} る が, 小 数^の乗 法^の結 果^は｢ × ( 小 数) ｣ ^と演 算 決 定^{を し な} く と も求^{め ら れ る}｡ 例^{え ば ｢1 m の}長^さの値 段^{が1 80} 円^のリ

ボ ンが あ り ます｡ 3.4 m の代 金^はいく ら^です^か｡｣ ^という文章 題^{におい て}, 結 果^は ｢^× ( 小 数) ｣ ^と演 算 決定し な く とも,

具 体 的場 面^を参 照^して次^のよ う^に求め ら れ る｡ 0^.1 m 分^の値 段^{は1 80 ÷1 0 ‑1 8で1 8}円^であ る｡ 3.4 m は0.1 ×3 4^で0.1m の34 倍^であ る｡ 3^.4m 分^の値 段は1 8^×3 4で求め ら れ る｡′^{1 8×34 は}

た り, ｢ ( 基準^にする大き さ) ^×( 割 合) ｣ と して乗 数^や被乗 数 を区別し^て演算 決定でき る た めには, 小 数^の乗 法^{の 一} 般 的^な 意 味を 理解 する必 要が あ る｡ 小 数^の乗 法^の意 味と は, ｢ 基 準

にする大き さ を B と し た と き, こ のB に対 す^る割 合^がp であ る よ う な A を求め る操作が B ^X p であ る と ま と め ら れ たもの｣

であ る｡

2^.2

小 数

乗 法

学 習 段 階

児章

て いる必 要が あ る｡ そのた め小数^の乗法^の学 習段 階^を設 定す る前提^{と して,} 児童は整数の乗法^をす^{で に}学 習^{して い}る も^の とする｡ 小 数^の乗 法^に関 す^る学習 段 階^を以 下^のよ う^に設 定す る｡

匝垂 互 ]

直垂司

小 数^の乗 法^の文 章 題^において演 算 決 定^でき な^い｡

画 頭

苧

てら れ る が, ｢ ^×( 小 数)｣ と演 算 決 定できな^い｡

圏

壷

算 決 定で き る が, 乗 数と被 乗 数を区 別し な^い｡

匝垂画

別し て｢^× ( 小 数)｣ と演 算 決 定できる｡

2.3

小 数

乗 法

学 習 段 階

す

判 定 問

判 定 基 準

小数^の乗 法^の学 習段 階を判 定 する調 査 問題は以 下であ る｡

調 査 問 題は, F iscb bein ら(1 98 5)^, 日数 教 研 究部 小 学 校 部 会 (^{19 91}), 現 行^の教 科 書^{な ど を}参 考^に作 成^{し た}｡

調査 問 題^は, 整数^の乗法^の文章 題, 小 数^の乗 法^の文 章 題,

乗 法^の性 質, か ら成^り立^っ｡ 整 数^の乗 法^の問題^は, 既 習事 項

であ る整 数^の乗 法^の学 習^を調^べるもの であ る｡ 調 査問 題^は,

計算 結 果^は求^めず, 演算 決 定^のみ行^う｡ 実 際^の調査 問題^には 演算 決 定^が容 易^{にな ら ないよ う}, 順 不 同^で乗 法^以外^に加法,

滅法, 除法^が数 問含^{ま れて いる}｡ な お演 算決 定^{にお け る}乗 法

に関 す^{るミ スコ ンセプシ ョ ンの}影 響^を考 慮^して, 補 足 的^に

｢乗 法^の性 質｣ ^に関 す^る問題も行う｡ ｢ 乗 法^の性 質｣ に関す る 問題^は, 正^しいも^のを選 択 する も^{の で}あ る｡

･整 数^の乗 法

(¹) ^{み か ん 1 k}g の値 段は1 5 00 円^です｡ 3 kg の値段は^いく らです^か｡ (^{1 50 0 ×3})

(²) 大 豆^{1 こ の}重さ は3^.25g です｡ 1 5 ^{こ の}重さ は ど れ だ け です^か｡ (3^.2 5^×1 5)

･小 数^の乗 法

(¹) ^ガソリ ^ン1 リッ トルであ る車は1 4 k m 走り ます｡ ガソ

リ^ン3^.70 リッ ト^ルでは何km 走り ますか｡ (1 4^×3 ^.7 0)

‑ ^{3 0} ‑

小 数^の乗 法^の学 習を促 す 指 導

(²) ^{ケ ー キ1 k}g に対して, 砂糖が15_g必要です^｡ ケ ^ー キ1.25 k _{g で}は どれ だ け必要ですか｡ (15 ^×1 .25)

(³) あずき 1 k_{g の}値 段は1 5 00 0円です｡ 0.6 5k_gの値 段^{は ど} れ だ けですか｡ (^{1 50 0 0×0.65})

(4) 1 5 k_{g の}石 鹸を作るの に 1 k_g の洗 剤^を使^います｡ 0.7 5 k_{g の}洗 剤か ら石 鹸^{は ど れ だ け}作^{れ ま}すか｡ (^{1 5×0.7 5})

･ 乗 法の性 質

(1) か け る数^は, いっ

で

(2) か け算^は, あ る大き さの何倍^{か し た}大^{き さ を}求^{め る と} きに使^う計 算^{であ る}｡

(3) か け算^は, あ る大^{き さ をいくつか}集^{め た}大 き^{さ を}求^め る と きに使^う計 算^{であ る}｡

(⁴) ^{か け}算^の結果^は, いっでも大き く な る｡

小 数^の乗 法^に関す^る学 習 段 階^の判定 基準は 以下^の通り とす る｡

匝 ]

画

^垂

る｡

例^{. 14 ×}3^.7 0を3^.70 ÷14 とする｡

直垂司

甲

い て演 算 決 定し^{て い}ない. ｢か け算^の結 果は^いっ でも大きく^{な る}｣ あ る^い は｢か け る数は^いっ でも 整 数^でなけれ ば な ら な^い｣ を 選 択して いる｡

例^. 1 5^×1^.2 5 を 1 5^×5/4 とする｡

例^. 乗 数 を必 ず 整 数にする｡

圏

る｡

[頭重司

いる｡

3 ^.

小 数

乗 法

関 す る 授 業

分 析

まず 授業^{A と}授 業^{B の}特徴を示 す｡ 授業^の特徴^は, 教 師^へ

の イ^ンタ^{ビュ ー に}基づ い てま と め ら れ た もの であ る｡ プ^レテ ス トとポス ト テス ト の結 果を

分

の指 導^{によっ てどの}よ うに移 行し た か を示 す^｡

授 業A と授 業B ^に共通 する指 導^の特 徴^は次^{のよ うであ る｡} 授 業^のね ら^いは, 乗 法^の意 味^の拡 張であ る｡ 授業^の導入^にお

い て, リ^{ボ ンの}長さ と そ^の値 段に関する文 章 題を用^いた｡ 授 業^の重点は, 結 果を求め る^こと より も, 多 様な解 決を検 討 す る^ことであ る｡ 単 元 構 成は, 指 導 内容^に即^{して1 つの}文章 題^{を 2}, 3 時 間ご と^に扱^っ て いる｡ 全体^の授 業 時 間^は計 算練 習な ども含め る と 8 時 間前 後であ る｡

3^.1

軽 業

関 す

分 析

指 導^の重点は, 様^々な計 算^の仕方^を相 互^に関係^づけ た り^,

整 数^の乗 法^で学 習^{し たこと と}関係^づけ た り して, 1 ^{つ の}事柄 と してま と め ることであ る｡ 単 元^の導 入^におい て｢1 m の長 さの値段^{が1 2 0}円^のリ^{ボ ン}が あ り ます｡ 1 ^.2 m ではいくらでしょ

う｡｣ ^という文章 題^が取り上 げら れ た｡ 児 童は, 値 段^を求^め る計 算^の仕方^{と して}, 乗 数を10倍す る方 法^{, 5} 倍^{す る}方 法^,

m をc m に直 す方 法な ど を示し た｡ そ れ ら^の計 算^の仕 方^によ る結 果^がいずれ も ^ー 致 する^こと か ら, こ の文 章題^を解 く^{た め}

には1 2 0 ×1.2 と し^ても^{よい こ}と が認め ら れ た｡

乗 数^{を1 0}倍す る方 法と 5 倍 する方 法は, ど ち ら も乗 数^を 整 数^に直 す^{こと と}関係づ け ら れ る｡ 乗 数^を整数^に直す^{こと は,} 小 数^×整 数^の場 合と も関 係づ け ら れ る｡ こ のよ う な考^{え は}今 後 分数^の乗 法^の計算をする と きにも役立^っもの であ る｡ 教 師 は^それ ぞ れ^の仕 方を関 係づ け ること を児 童が意 識^でき る よ う に配慮し^{て い}た｡

(²) 学習 段 階^の移 行

プレテ^ス トと^ポス ト テ^ス ト によ る授業^{A の}学 習段 階^の分 布 は表^‑2 ^のよ うであ る｡

表 ^{‑ 2} 授 業A の学 習 段 階の分 布

･ ^プレテ^スト. ･^{ポスト テスト}

･^{段 階0 2 0}R^{%( 8人)} . ^{8 % ( 3} 人) 段 階 ① 4 3 % (1 7人) 28 % (^{1 1} 人) 段 階 ② 3% ( 1人) 3 % ( ¹人) 段 階③ 2 5% (1 0人) 3 3 % (^{1 3}人) 段 階④ 1 0% ( 4人) 3 0 % (^{1 2}人)

授 業^{A の}学 習 段 階^の分布^{につい て, プレ}テ^ス ト におい て,

段 階^{0 の}児 童²⁰ % ^{であ る｡ 一}方^{ポス ト テス} ト では, 段 階 ③ と段 階 ④^の児 童が合^{わ せて}63 % ^にな り^, 指 導^の効 果が み ら れ る が, 依 然 段 階^{0 の}児 童が 8 % ^, 段 階 ①^の児 童が2 8% で

あ る｡

授 業^{A にお け る}各 児 童^の学 習 段 階^の移 行を示し たも^のが 表‑^{3 であ る｡}

表 ^{‑ 3} 授 業^{A の}学習 段 階の移 行

ポ ス ト テ ス ト

段 階⁰ 段 階 ① 段 階⁽卦 段 階 ③ 段 階④

プ レ チ ス 卜

段 階0( 8 人) 段 階由(1 7人) ‑ ⁰ 段 階 ②( 1 人) ^{0 0}

.‑H.^:.^{: i}.^:‑^{: i}.^:.^{> :}.^{> ニ}.^:.^{> :}.‑^:i.^:x.^{:} :}.^{: <考: < ^} 段 階 ③(^{1 0 人)}. ^{0 2}. ⁰ ･.'^{} > 1}‑..^/.^:.^{V/ :}.^{:> l}.^:i.^{} :i}.‑^{> =}.‑^:‑.^::.^{::) :> :二} 段 階④^{( 4} 人^{) 0 0 0 0}

･'^:::<::守.^:;主‑.‑^:.^::.^{i :}.^汁:‑‑.^:::i.^:}.^{ヨi :}‑.^{i ::} 表‑^{3 におい て,} 縦^{が プレ}テ^ス ト の段 階^, 槙がポ ス ト テ^ス ト の段 階^{であ る｡} 例^{え ば,} 表 中^で縦^の段 階①^, 槙^の段 階①^の 8 は, プレテ ス ト, ポス ト テ^ス トとも段 階 ①であ^っ た児 童 が 8 人^{いたこと を}示 す^｡ 縦^の段 階①^, 横^の段 階③^の7 は,

プレテス トが段 階①^{, ポス}ト テ^ストが段 階③に移 行し た児 童 が 7 人^いたこと を示す｡

プレテス トと ポス ト テストとの学習 段 階^の移行^に関^して,