日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
3
数 B
x
例題
が 以上の自然数であるとき, 次の不等式を証明しなさい。
n 3
2n > 2n
すなわち, 2k+1 > 2(k+ 1)
よって, n = k + 1 の時も (A) は成り立つ。
[1], [2]から, 以上の全ての自然数 について 3 n (A) が成り立つ。
不等式の証明
数学的帰納法を用いる不等式の証明
数学的帰納法を用いた不等式を証明する場合, 次の手順で証明する。
[1] n = 最小の値 のとき, (A) が成り立つ。
[2] n = k のとき, (A) が成り立つと仮定し, それを用いて右辺と左辺の差を求める。
そして (A) が成り立つことを示す。
等式とは違い, 右辺と左辺の差を求めるため, 不等式の向きに注意！
解
[1] n = 3 のとき, 左辺 = 23 = 8 , 右辺 = 2⋅3 = 6
となり, n = 3 のとき, (A) が成り立つことがわかる。
この不等式を (A) とすると,
[2] n ≧ 3 として, n = k のとき, 成り立つ, つまり
2k > 2k
が成り立つと仮定する。
2k+1−2(k + 1) = 2⋅2k−(2k+ 2)
の時の の両辺の差を考えると,
n = k + 1 (A)
> 2⋅2k −(2k + 2)
= 2(k−1) > 0
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2k > 2k k ≧ 3 より
k−1 > 1
