歴史的視点からみた関数の見方・考えに関する研究

ISSN 1881−6134

http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu

vol.15, no.5 Feb. 2013

鳥取大学数学教育研究

Tottori Journal for Research in Mathematics Education

歴史的視点からみた関数の見方・考えに関する研究

山本幸子 Kohko Yamamoto

1 目 次 第 1 章 研 究 の 動 機 と 目 的 1 . 1 研 究 の 動 機 1 . 2 研 究 の 目 的 と 方 法 第 2 章 関 数 の 見 方 ・ 考 え に 関 す る 先 行 研 究 2 . 1 明 治 か ら 大 正 に お け る 日 本 の 数 学 教 育 2 . 2 改 良 運 動 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え 2 . 3 小 倉 金 之 助 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え 2. 3 . 1 小 倉 金 之 助 と は 2. 3 . 2 小 倉 金 之 助 に お け る 科 学 的 精 神 2. 3 . 3 小 倉 金 之 助 に お け る 関 数 観 念 2 . 4 昭 和 4 8( 1 9 7 3 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え 2 . 5 平 成 2 0( 2 0 0 8 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え 2 . 6 筆 者 の 考 察 第 3 章 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 3 . 1 小 倉 金 之 助 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 3 . 2 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 3 . 3 平 成 2 0( 2 0 0 8 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 3 . 4 筆 者 の 考 察 第 4 章 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 の 提 案 4 . 1 関 数 の 見 方 ・ 考 え 4. 1 . 1 年 代 別 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 比 較 4. 1 . 2 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 提 案 4 . 2 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 4. 2 . 1 年 代 別 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 の 比 較 3 4 5 8 9 11 1 2 1 2 1 3 1 5 1 6 2 0 2 1 2 5 2 6 2 7 3 2 3 4 3 8 3 9 3 9 4 0 4 1 4 1 4 0 4 1

2 4. 2 . 2 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 の 提 案 第 5 章 指 導 案 の 分 析 5 . 1 分 析 の 概 要 5 . 1 . 1 分 析 の 目 的 5. 1 . 2 分 析 の 方 法 5 . 2 分 析 の 結 果 5 . 3 分 析 の 考 察 第 6 章 研 究 の 結 論 と 今 後 の 課 題 6 . 1 研 究 の 結 論 6 . 2 今 後 の 課 題 引 用 及 び 参 考 文 献 資 料 4 2 4 9 4 8 4 8 4 8 4 8 6 2 6 5 6 6 6 8 6 9

3 第 １ 章 研 究 の 目 的 と 方 法 1 . 1 研 究 の 動 機 1 . 2 研 究 の 目 的 と 方 法 本 章 で は ， 研 究 の 目 的 と 方 法 を 述 べ る ． 1 . 1 で は ， 本 研 究 の 動 機 を 述 べ る ． 1 . 2 で は 本 研 究 の 目 的 と 方 法 を 述 べ る ．

4 第 １ 章 研 究 の 目 的 と 方 法 1 . 1 研 究 の 動 機 中 島 健 三 氏 は 「 算 数 教 育 講 座 ＝ 1 9 8 7 年 『 第 1 章 2 1 世 紀 に 活 動 す る 子 ら の た め の 算 数 教 育 を ど う 考 え る か 』」 に よ り ， こ れ か ら の 算 数 教 育 で の 重 点 と し て ， 特 に 強 調 し て お き た い こ と と し て 関 数 の 考 え の 重 視 を あ げ て い る ． 4 年 生 で 長 方 形 の 面 積 の 公 式 を 指 導 す る 際 ，長 方 形 と い う の は 「 た て と よ こ の 長 さ で き ま る 図 形 だ か ら ， こ の 二 つ の 長 さ で 面 積 が 計 算 で き な い だ ろ う か 」 と い う よ う な ね ら い を 子 ど も に も た せ ，「 た て と よ こ の 長 さ を 変 数 と 考 え て 何 と か で き そ う だ ． な ぜ か と い う と 長 方 形 は た て と よ こ で き ま る か ら ．」 と い う よ う に 考 え る こ と が 関 数 の 考 え で あ る ． こ の よ う に 仮 定 す れ ば 何 と か 簡 単 に と ら え ら れ る こ と ， そ の よ う な 気 持 ち が 「 数 学 的 な 考 え 方 」 と し て ね ら う こ と で も あ る ． さ ら に 情 報 化 の 進 展 と い う こ れ か ら の 世 の 中 に 必 要 な こ と と し て ， 目 的 や 条 件 と い う も の を 良 く 考 え て 対 応 す る と い う こ と か ら ， 情 報 化 社 会 の 中 で 関 数 の 考 え は 重 点 を お き た い こ と で あ る と 述 べ て い る ． 教 育 実 習 の 際 に ， 担 当 し た 6 年 生 の ク ラ ス で ， 筆 者 は 「 比 例 ・ 反 比 例 」 の 授 業 を 行 っ た ． 授 業 の 内 容 は 「 比 例 ・ 反 比 例 」 の 導 入 に あ た る 「 伴 っ て 変 わ る 2 つ の 数 量 を 考 え る 」 で ， 表 か ら 2 つ の 数 量 の 関 係 を 読 み 取 る と い う 学 習 内 容 で あ る ． 教 材 研 究 の 際 に ， 端 厳 「 比 例 ・ 反 比 例 」 の 内 容 は 平 成 2 3 年 代 の 小 学 校 学 習 指 導 要 領 か ら 再 導 入 さ れ た こ と を 知 っ た ． 平 成 元 年 の 小 学 校 学 習 指 導 要 領 で は 「 比 例 ・ 反 比 例 」 の ど ち ら の 内 容 も 導 入 さ れ お り ， そ れ ら の 関 係 を 考 察 で き る こ と を 目 標 と し て い る ． 平 成 1 0 年 代 の 小 学 校 学 習 指 導 要 領 で は 「 比 例 」 の 内 容 の み 扱 わ れ て い る ． 比 例 は 関 数 の 中 で 典 型 的 な 形 で

5 あ る の に も 関 わ ら ず ，な ぜ 平 成 1 0 年 代 の 小 学 校 学 習 指 導 要 領 で は 「 反 比 例 」 が 扱 わ れ な く な っ た の か ， ま た ， な ぜ 平 成 2 3 年 代 の 小 学 校 学 習 指 導 要 領 か ら 「 反 比 例 」 が 再 導 入 さ れ る よ う に な っ た の か 疑 問 に 感 じ ， 小 学 校 に お い て 「 反 比 例 」 を 学 習 す る 必 要 性 と 共 に 関 数 の 見 方 ・ 考 え に つ い て 関 心 を 持 っ た ． 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 明 ら か に し ， 関 数 の 見 方 ・ 考 え が 与 え る 教 育 的 価 値 は 何 な の か を 明 ら か に す る 必 要 が あ る と 感 じ ， 現 在 の 関 数 の 学 習 場 面 を 検 討 し て い き た い ． 1 . 2 研 究 の 目 的 と 方 法 本 研 究 の 目 的 は ， 昭 和 初 期 か ら 現 在 { 平 成 2 4 ( 2 0 1 2 ) 年 } ま で の 年 代 ご と に 定 義 さ れ て い る 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 考 察 し ， 児 童 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 育 成 す る よ う な 指 導 が 行 わ れ て い る か ， 併 せ て 昭 和 4 7 ( 1 9 7 2 ) 年 か ら 平 成 2 0 (2 0 0 8 ) 年 ま で の 指 導 案 を 分 析 す る こ と で あ る ． 本 研 究 に お い て は ， ま ず 関 数 の 見 方 ・ 考 え が 重 視 さ れ る き っ か け と な っ た ジ ョ ン ＝ ペ リ ー に お け る 数 学 改 良 運 動 で の 関 数 観 念 ， ま た そ れ に 影 響 を 受 け ， 日 本 の 算 数 教 育 の 改 善 を 求 め た 小 倉 金 之 助 の 関 数 観 念 ， 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に 文 部 省 か ら 提 示 さ れ た 「 関 数 の 考 え 」 に つ い て 考 察 す る ． そ し て ， 現 在 実 施 さ れ て い る 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 の 小 学 校 学 習 指 導 要 領 に お け る 関 数 の 考 え を 考 察 し ， 関 数 の 考 え が ど の よ う に 重 点 が お か れ て い る の か ， ま た 関 数 の 見 方 ・ 考 え は ど ん な よ さ を 児 童 に も た ら す か ， 年 代 別 に 検 討 す る ．( 第 2 章 ) ．そ し て ，昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 と 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 育 成 を 図 る よ う な 指 導 を す る た め に 必 要 な ポ イ ン ト は 何 か ， 第 2 章 で 検 討 し た 関 数 の 考 え と 関 連 さ せ な が ら 考 察 を す る (第 3 章 ) ．そ し て ，第 2 章 で 年 代 ご と に 考 察 し た 関 数 の 見 方 ・ 考 え ， 第 3 章 で 考

6 察 し た 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 育 成 す る 指 導 に つ い て 年 代 ご と に ち が い が な い か ， 比 較 す る ． そ し て 児 童 に と っ て 価 値 あ る 関 数 の 見 方 ・ 考 え ， そ れ を 育 成 す る 上 で の 指 導 の ポ イ ン ト を 提 案 す る (第 4 章 ) ． こ れ ら を 踏 ま え て ， 雑 誌 「 新 し い 算 数 研 究 」 今 月 の 指 導 に 掲 載 さ れ て い る 指 導 案 { 昭 和 4 7 (1 9 7 2 ) 年 か ら 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 } を 分 析 し ， 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 の 課 題 点 を 明 ら か に す る (第 5 章 ) ．

7 ＜ 本 論 文 の 章 構 成 ＞ 第 1 章 研 究 の 目 的 と 方 法 研 究 の 目 的 と 方 法 を 述 べ る ． 第 2 章 関 数 の 見 方・考 え に 関 す る 先 行 研 究 算 数 教 育 の 改 良 運 動 ， 小 倉 金 之 助 ，昭 和 4 8 年 ， 平 成 2 0 年 に お け る 関 数 の 見 方・考 え を 年 代 別 に 考 察 す る ． 第 3 章 関 数 の 見 方・考 え の 指 導 昭 和 4 8 年 ，平 成 2 0 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 を 年 代 別 に 考 察 す る ． 第 6 章 研 究 の 結 論 と 今 後 の 課 題 本 研 究 の 結 論 と 今 後 の 課 題 を 述 べ る ． 第 5 章 指 導 案 の 分 析 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 の 観 点 か ら 昭 和 4 7 年 か ら 平 成 2 0 年 ま で の 指 導 案 を 分 析 す る ． 第 4 章 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 の 提 案 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 を 新 た に 提 案 す る ．

8 第 ２ 章 関 数 の 見 方 ・ 考 え に 関 す る 先 行 研 究 2 . 1 明 治 か ら 大 正 に お け る 日 本 の 数 学 教 育 2 . 2 改 良 運 動 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え 2 . 3 小 倉 金 之 助 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え 2 . 4 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方・考 え 2 . 5 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方・考 え 2 . 6 筆 者 の 考 察 本 章 で は 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 考 え る 際 に ま ず ， 関 数 の 見 方 ・ 考 え に つ い て の 先 行 研 究 を 分 析 し ， 歴 史 的 に 特 性 の 違 い を 考 察 す る ． 算 数 教 育 の 改 良 運 動 ， 小 倉 金 之 助 の 関 数 観 念 ， 昭 和 4 8 年 (1 9 7 3 ) に 発 行 さ れ た「 関 数 の 考 え の 指 導 」，平 成 2 0 年 ( 2 0 0 8 ) に 発 行 さ れ た 小 学 校 学 習 指 導 要 領 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 考 察 を す る ．そ れ ぞ れ の 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 分 析 し ， 教 育 的 意 義 を 検 討 す る ．

9 第 ２ 章 関 数 の 見 方 ・ 考 え に 関 す る 先 行 研 究 2 . 1 明 治 か ら 大 正 に お け る 日 本 の 数 学 教 育 年 代 別 に 関 数 の 見 方 ・ 考 え を み て い く う え で ， 関 数 の 見 方 ・ 考 え が 重 視 さ れ る 以 前 の 日 本 の 算 数 教 育 が ど う い う 教 育 が 行 わ れ て い た の か を 岡 部 進 著 の 「 小 倉 金 之 助 そ の 思 想 」 を 基 に 考 察 す る ． 明 治 か ら 大 正 に お け る 日 本 の 数 学 教 育 の 特 徴 と し て 4 つ の 特 徴 が 挙 げ ら れ る ． ① 論 理 的 で あ る と い う こ と で あ る ． ② 孤 立 主 義 で あ る ． 孤 立 主 義 と は ， 各 分 科 に は そ れ ぞ れ の 分 科 自 身 の 研 究 方 法 が あ り ， 他 の 分 科 の 研 究 方 法 を 用 い る こ と を 禁 止 し た こ と で あ る ． ＜ 現 在(大 正 初 期 以 降 )の 解 き 方 ＞ 放 物 線 ｙ ＝ ｘ 2 － ４ ⅹ ＋ ５ の 概 形 を か い て 最 小 値 を 求 め る ． こ の 解 き 方 は 代 数 と 幾 何 が 融 合 し て い る ． ＜ 当 時(明 治 か ら 大 正 )の 解 き 方 ＞ ｍ を 以 て 式 の 値 を 表 す と ｍ ＝ ｘ 2 － ４ ⅹ ＋ ５ と な る ． 方 程 式 を 解 く と ⅹ ＝ ２_{± ｍ − １ に な る ．} ｍ は 小 さ く な ら な い の で ｍ ＝ １ は 式 の 最 小 値 と な る 値 と し て ｘ ＝ ２ に な る ． こ の 解 き 方 は 代 数 と 幾 何 が 融 合 し て い な い ． ③ 難 問 題 で あ る と い う こ と で あ る ． 例 え ば 代 数 で 解 け ば ， 何 ら 困 難 な い 問 題 を 算 術 で 解 く た め ， 難 問 題 に な り え た ． 例 題 1 ｘ 2 － ４ ⅹ ＋ ５ ノ 極 小 ナ ル 値 ヲ 索 ム

10 ＜ 解 法 代 数 で 解 く ＞ 連 立 方 程 式 で 解 く ． 甲 を ⅹ ， 乙 を ｙ と す る と ， ⅹ ＋ ｙ ＝ 2 0 6… ① ７２ ５ ⅹ ＝ ６ １ ３ｙ … ② こ れ を 連 立 し て 解 く ． し か し 算 術 で 解 く と す る と ， 未 知 数 ⅹ は 使 え な い ． ④ 生 活 に 非 実 用 的 で あ る と い う こ と で あ る ． 算 数 教 育 は 日 常 生 活 や 自 然 科 学 と ほ と ん ど 没 交 渉 で あ る ． こ の よ う に 明 治 か ら 大 正 に お け る 日 本 の 算 数 ・ 数 学 教 育 は ， 厳 密 ， 孤 立 ， 難 問 ， 非 現 実 の 四 つ 単 語 で 表 さ れ る ． 当 時 の ほ と ん ど は 受 験 の た め ， 公 式 を 暗 記 す る 等 ， 論 理 的 に 行 わ れ て い た た め ， 生 活 に も 非 実 用 的 に な っ た と 考 え ら れ る ． し か し ， 非 実 用 的 と い う 点 で は ， 現 在 の 数 学 教 育 で も 見 受 け ら れ る と 筆 者 は 考 え る ． 算 数 が 苦 手 な 生 徒 は よ く 「 算 数 を 勉 強 し な く て も 生 活 で き る ．」 と 発 言 す る 場 合 が あ る ． 算 数 の 生 活 で の 必 要 性 を 感 じ さ せ る こ と は 当 時 ( 明 治 か ら 大 正 に お け る 算 数 ・ 数 学 教 育 ) だ け で な く ， 現 在 の 算 数 ・ 数 学 教 育 の 課 題 に 挙 げ ら れ る と 考 え る ． ① ～ ④ に あ げ た よ う な 日 本 の 算 数 ・ 数 学 教 育 の 特 徴 は ， 当 時 の 世 界 各 国 の 算 数 ・ 数 学 教 育 で も 同 例 題 2 二 ッ ノ 数 ノ 和 ハ 2 0 6 ニ シ テ ，甲 ノ ７ ２ ５倍 ト 乙 ノ ６ １ ３ 倍 ト ハ 相 等 シ ， 此 ノ 数 ヲ 求 メ ヨ

11 じ よ う な 現 状 で あ っ た ． そ の た め 算 数 ・ 数 学 教 育 が 非 実 用 的 で あ る こ と ， 数 学 の 成 績 が 上 が ら な い こ と を 指 摘 し た ジ ョ ン ＝ ペ リ ー に よ っ て 20 世 紀 初 頭 に 数 学 教 育 の 改 造 運 動 が 起 こ っ た ． 2 . 2 改 良 運 動 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え 2 0 世 紀 初 頭 (大 正 ～ 昭 和 初 期 ) に 欧 米 諸 国 で ジ ョ ン ＝ ペ リ ー が 数 学 教 育 の 改 良 運 動 を 起 こ し た ． そ の 際 に ， 数 学 教 育 の 改 良 の 1 つ と し て 関 数 観 念 は 重 視 さ れ た ． 昭 和 4 8 年 ( 1 9 7 3 ) に 文 部 省 か ら 発 行 さ れ た 「 小 学 校 算 数 指 導 資 料 関 数 の 考 え の 指 導 」 よ り ， 改 良 運 動 で 関 数 観 念 が 重 視 さ れ た 背 景 に は 以 下 の 2 つ の ね ら い が あ げ ら れ て い る ．2 つ の ね ら い を 中 心 に 当 時 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え に つ い て 考 察 す る ． ア 微 積 分 へ の ア プ ロ ー チ と 科 学 的 な 探 究 の 精 神 の 育 成 ア の 観 点 は ， 力 学 の 法 則 の 多 く は 簡 単 な 関 数 で 表 さ れ て い る こ と か ら ， 科 学 者 た ち が 身 の 回 り の 事 象 を 探 究 す る の と 同 じ 態 度 で ， 探 究 の 精 神 に 基 づ い た 過 程 を 通 し て 数 学 を 創 造 的 に 学 習 さ せ て い こ う と い う 考 え で あ る ． イ 統 合 の ア イ デ ア と し て の 関 数 の 考 え イ の 観 点 は 例 え ば ， 代 数 的 な 内 容 と 幾 何 的 な 内 容 を 関 数 の 見 方 ・ 考 え に 基 づ い て 統 合 を 図 ろ う と し た こ と ， あ る い は 数 学 的 な 内 容 の 根 底 に あ る 中 心 的 な 観 念 と し て 挙 げ ら れ て い る ． 一 般 的 な 関 係 を よ く 理 解 す る た め に ， そ こ に 含 ま れ て い る 変 数 や ， 関 数 の 考 え に 基 づ い て 考 え る こ と が 可 能 で あ る ． そ れ に よ っ て ， そ の 内 容 の 意 味 が よ く 理 解 さ れ る ．

12 例 え ば （ 面 積 ） ＝ （ 底 辺 ） × （ 高 さ ） の 公 式 は ， 底 辺 や 高 さ に 比 例 す る も の と し て 面 積 を と ら え る こ と が で き る ． 2 つ の 観 点 か ら「 関 数 の 考 え は ，算 数 で 指 導 す る 内 容 の 理 解 の た め に 中 心 的 な 役 割 を も つ こ と が 多 い 」（ p . 3 ） と 定 義 さ れ る ． こ の よ う に ジ ョ ン ＝ ペ リ ー に よ る 改 良 運 動 が 重 視 し た 関 数 概 念 を ま と め る と 以 下 の 通 り に な る ． ・ 学 校 数 学 を 日 常 生 活 の 事 象 に 即 し た 意 味 の あ る も の に す る こ と ． ・ 客 観 的 で 簡 潔 な き ま り を 求 め る と い う 科 学 的 な 態 度 を 育 成 す る こ と ． ・ 算 数 の 内 容 を よ り 理 解 す る た め の 中 心 的 な 役 割 を も つ こ と ． 2 . 3 小 倉 金 之 助 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え 2 . 3 . 1 小 倉 金 之 助 と は 小 倉 金 之 助{ 明 治 1 8 ( 1 8 8 5 ) 年 ～ 昭 和 3 7 ( 1 9 6 2 ) 年 } は ， 日 本 の 数 学 史 や 数 学 教 育 に お け る 理 論 的 指 導 者 で あ る ． 小 倉 が 「 数 学 教 育 」 に 関 心 を も っ た の は ， 青 年 期 で あ る ． そ の き っ か け は ， 2 . 2 で 述 べ た 2 0 世 紀 初 頭 に 世 界 的 な 規 模 で 起 こ っ た 数 学 教 育 改 造 運 動 （ ペ リ ー 運 動 ） で あ る ． ジ ョ ン ＝ ペ リ ー が 起 こ し た 数 学 教 育 改 良 運 動 は 世 界 的 に 展 開 さ れ ， 日 本 に も 伝 わ っ た が ， 国 家 的 に 統 制 さ れ た た め 著 し く 発 展 す る こ と は な か っ た ． こ れ に 危 機 感 を も ち ，2 . 1 で 述 べ た 明 治 か ら 大 正 に お け る 日 本 の 数 学 教 育 の 現 状 を 痛 烈 に 批 判 し ， 改 善 の 急 務 を 求 め た の が 小 倉 金 之 助 で あ る ． 小 倉 は こ の 運 動 に す ば や く 対 応 し ， 日 本 に そ の 精 神 を 移 植 す る こ と に 尽 力 し た ． 筆 者 は 小 倉 金 之 助 を 日 本 の 算 数 教 育 の 改 良 者 の

13 一 人 と 考 え ， 小 倉 金 之 助 が 考 え る 関 数 観 念 に つ い て 考 察 す る ． 2 . 3 . 2 小 倉 金 之 助 に お け る 科 学 的 精 神 小 倉 金 之 助 が 考 え る 関 数 観 念 に つ い て 考 察 す る 前 に ， 小 倉 が 考 え る 関 数 観 念 の も と と な っ た 「 科 学 的 精 神 」 に つ い て 考 察 す る 必 要 が あ る ． 小 倉 金 之 助 が 定 義 す る 科 学 的 精 神 は 小 倉 金 之 助 「 数 学 教 育 の 根 本 問 題 」 を 基 に 考 察 す る ． 近 代 社 会 の 中 に 人 間 と し て の 生 活 を 創 造 す る た め に は ， 道 徳 も 宗 教 も 芸 術 も 必 要 で あ る ． そ れ ら と 共 に 科 学 も 必 要 で あ る ． 人 間 生 活 に お い て 科 学 か ら 生 物 学 上 の 事 実 ， 理 化 学 の 現 象 ， そ の 他 に も 重 要 な こ と を 学 ぶ ． し か し 最 も 根 本 的 な こ と は ， 科 学 的 見 方 ， 科 学 的 考 え 方 ， 科 学 的 精 神 を 学 ぶ こ と で あ る ． 小 倉 は ， 科 学 的 精 神 に つ い て 次 の よ う に 述 べ て い る ． 「 こ こ に ２ つ の 現 象 が あ る と き ， 経 験 的 事 実 を 基 礎 と し て そ の 原 因 を 穿 鑿 し ， そ れ ら の 現 象 の 間 に 因 果 の 関 係 あ り や 否 や を 求 め ， も し 関 係 あ り と せ ば い か よ う に 関 係 あ り や ， そ の 間 の 方 法 を 発 見 せ ん と す る 努 力 ，精 神 ，こ れ が 科 学 的 精 神 で あ る ．」 た だ 現 象 を 集 め た だ け で は 科 学 的 で は な く ， 現 象 の 間 に ど う い う 関 係 が あ る か ， そ の 法 則 を 見 つ け る ま で が 科 学 的 で あ り ， そ う い う 科 学 を 生 む 精 神 が 小 倉 が 述 べ る 「 科 学 的 精 神 」 で あ る ． ま た ， 私 た ち は 日 常 生 活 に お い て 科 学 的 精 神 を 絶 え ず 用 い て い る ． 日 常 生 活 で は ， ど う し た ら よ い か ， 良 い か 悪 い か ， と い う こ と を し ば し ば 判 断 し ， 批 判 を し な け れ ば な ら な い ． 私 た ち が 普 段 ， 常 識 で や っ て い る こ と を 分 析 す る と 科 学 的 精 神 が 働 い て い る こ と が わ か る ． も し 科 学 的 精 神 が 働 か な い の な ら ば ， 私 た ち は 物 事 を 判 断 し ， 物 事 を 実

14 行 す る こ と が ほ と ん ど で き な い ． つ ま り 科 学 的 精 神 こ そ ， 実 に 科 学 自 身 の 精 神 な の で あ る ． そ し て 科 学 的 精 神 は 自 然 界 か ら 学 ぶ べ き で あ る ． な ぜ な ら 科 学 の 対 象 は 自 然 に あ り 社 会 に あ る ． 他 人 に 教 わ っ て 記 憶 す る こ と は 科 学 的 精 神 を 学 ん だ こ と に は な ら な い ． 科 学 的 精 神 を 学 ぶ に は ， 対 象 そ れ 自 身 に つ い て 研 究 し な け れ ば な ら な い ． つ ま り ， 科 学 的 精 神 に と っ て 大 切 な こ と は ，“ 既 成 の 科 学 案 内 記 を 読 む の で は な く ， 自 ら 科 学 す る こ と に 慣 れ る ” こ と で あ る ． こ の 科 学 的 精 神 に つ い て 具 体 的 に コ ン パ ス の 例 で 説 明 し て い る ． 「 試 み に コ ン パ ス を 採 っ て ， 大 小 種 々 の 円 を か い て み ま し ょ う ． し か し た く さ ん の 円 が か か れ た だ け で は ， 数 学 と は 申 さ れ ま せ ん ． し か る に わ れ わ れ の 経 験 に 徴 し ま す と ， コ ン パ ス の 開 き と 円 の 面 積 と の 間 に は ， 果 た し て 関 係 が あ る だ ろ う か ． も し 関 係 が あ る と す れ ば ， そ の 関 係 は い か な る 法 則 に 従 う の で あ ろ う か ． か よ う な 科 学 的 精 神 が 働 い て こ そ ， そ こ に 数 学 が 生 ま れ て く る の で す ． そ れ で こ の よ う な 科 学 的 精 神 を 開 発 し ， 児 童 自 ら を し て ， コ ン パ ス の 開 き と 円 の 面 積 と の 間 の 法 則 を 発 見 さ せ る ． ― こ う い う と こ ろ に ， 数 学 教 育 の 本 質 が あ る ， と 私 は 主 張 し た い の で あ り ま す ．」 ( p . 2 3 3 - 2 3 4 ) こ の 科 学 的 精 神 が 働 い て い る 過 程 に は ， 小 倉 は 「 科 学 的 精 神 は 実 は 数 学 的 抽 象 作 用 を 基 に し て 立 っ て い る の で あ る こ と が 知 れ る の で す ． も し 数 学 的 抽 象 作 用 が 無 か っ た な ら ば ， 個 々 の 経 験 か ら し て 一 般 法 則 を 作 る と い う こ と は ， と う て い で き 得 な い の で あ り ま す ．」( p . 2 3 7 ) と 述 べ て い る ．こ の こ と か ら 数 学 的 抽 象 作 用 が 重 要 な こ と が わ か る ． つ ま り 科 学 的 精 神 の 根 底 に 数 学 が あ る こ と が い え る ． し か し 今 日 の 数 学 教 育 は ， 完 成 さ れ た 数 学 の 形 式 を 教 え て い る ． 小 倉 は こ れ に 対 し て 経 験 を 基 礎 と し て そ れ を 一 般 化 す る よ う に 数 学 を や る こ と を

15 主 張 し て い る ． 「 児 童 教 育 に お い て は 完 成 さ れ た 数 学 の 形 式 に 従 う べ き で は な く ， 科 学 を ， 数 学 を 創 造 す る こ と を 自 ら 学 ぶ べ き で あ る こ と を ， 主 張 す る の で あ り ま す ． か よ う に 考 え て み ま す な ら ば ， 科 学 的 精 神 の 開 発 と い う こ と は ， 人 間 文 化 を 作 り 上 げ ， 人 間 生 活 に 本 質 的 に 必 要 な も の で あ り ， し か も そ れ は 完 成 さ れ た 者 を 教 え る で な し に ， 自 ら 法 則 を 発 見 し ， 自 ら 科 学 を 創 造 す る ． ― こ う い う 精 神 で あ り ま す ．」 ( p . 2 3 8 ) 以 上 が 小 倉 の 科 学 的 精 神 に つ い て で あ る ． こ の 科 学 的 精 神 を 数 学 思 想 の 中 で 最 も よ く 現 わ し て い る の は 関 数 の 観 念 な の で あ る ． 2 . 3 . 3 小 倉 金 之 助 に お け る 関 数 観 念 小 倉 は 関 数 観 念 を 決 し て 関 数 の 解 析 的 表 示 や 図 表 示 （ グ ラ フ ） の み を 指 す の で は な い と 述 べ て い る ． 具 体 的 に 円 の 半 径 と そ の 面 積 を 例 に 関 数 観 念 に つ い て 説 明 し て い る ． 「 こ こ に た く さ ん の 円 を 書 き ま す ． そ の 円 の 半 径 が 大 き く な れ ば な る ほ ど ， こ の 円 の 面 積 も ま た 大 き く な る よ う な 気 が す る ． そ こ で こ の 円 の 半 径 と 面 積 と の 間 に 関 係 が あ る だ ろ う か ． も し 関 係 が あ る な ら ば ， そ れ は ど ん な 関 係 か ， そ の 間 の 法 則 は ど う だ ろ う か と い う こ と を 研 究 す る ． そ の 結 果 と し て こ の 面 積 Ａ と 半 径 ｒ と の 間 に は Ａ ＝ π ｒ2 こ う い う 関 係 が あ る こ と が 知 れ ま す ． か よ う な 道 程 を た ど る も の が ， す な わ ち 函 数 の 観 念 で あ る と い う こ と を 申 し ま し た ． そ れ で す か ら ， 函 数 の 観 念 は ， 数 学 上 に 形 と な っ て 現 わ れ た 科 学 的 精 神 ， そ の も の に ほ か な ら な い の で す ．」 ( p . 2 3 9 ) こ の こ と か ら ， 科 学 的 精 神 を 開 発 す る こ と が 数 学 教 育 の 目 的 で あ る な ら ば ， 数 学 教 育 の 中 心 と な る も の は 関 数 観 念 で あ る こ と が 考 え ら れ る ． ま た ，

16 科 学 的 精 神 は 日 常 生 活 に あ る も の で あ る た め ， 関 数 観 念 も 日 常 生 活 と 共 に あ る こ と が わ か る ． 「 函 数 の 観 念 は わ れ わ れ の 日 常 生 活 と 共 に あ る の で あ る ． 有 名 な る 動 物 学 者 ハ ッ ク ス レ ー は 『 科 学 は 整 頓 さ れ た 常 識 で あ る 』 と い う た が ， こ の 常 識 を 整 頓 す る も の こ そ 科 学 的 精 神 で あ り ， 数 学 上 そ こ に 使 用 さ れ る 根 本 思 想 こ そ 函 数 観 念 で あ る ．」 ( p . 2 4 9 ) つ ま り 小 倉 の い う 関 数 観 念 は ， 数 学 上 の 「 常 識 を 整 頓 す る も の 」 で あ る ． 先 に 述 べ た 円 の 半 径 と 面 積 の 例 か ら 「 常 識 を 整 頓 す る 」 と は ， 事 象 の 法 則 が あ る か 考 え ， そ の 法 則 を み つ け る こ と と 考 え ら れ る ． こ の こ と か ら 小 倉 の 関 数 観 念 は ， 変 化 し て い る 事 例 の 中 に 法 則（ 関 係 ）が あ る か 検 討 す る た め に ， 具 体 的 な 数 値 を 当 て は め ， 事 例 の 間 に 関 係 が あ る か 調 べ る こ と で あ る と 筆 者 は 考 え る ． 2 . 4 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え 昭 和 4 8 年 ( 19 7 3 ) に 文 部 省 か ら 発 行 さ れ た 「 小 学 校 算 数 指 導 資 料 関 数 の 考 え の 指 導 」 を 基 に ， 当 時 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え に つ い て 考 察 す る ． 当 時 ， 関 数 の 考 え の 特 質 と し て 以 下 の ５ つ の 観 点 が 挙 げ ら れ て い る ． ア 関 数 の 考 え の 指 導 は ， 事 象 を 科 学 的 に 考 察 し 処 理 す る 能 力 や 態 度 の 育 成 を ね ら っ て い る こ と ． イ 算 数 で 指 導 さ れ る 各 内 容 を ， 関 数 の 考 え に 立 っ て 考 察 さ せ る こ と に よ っ て ， そ の 意 味 を 一 層 よ く 理 解 さ せ う る と い う 立 場 に 立 っ て ， 関 数 の 考 え を 取 り 上 げ る こ と ．

17 ア ， イ の 観 点 は 2 . 2 で 述 べ た 2 0 世 紀 初 頭 に 欧 米 諸 国 で ジ ョ ン ＝ ペ リ ー が 中 学 校 教 育 の 改 善 を 求 め て 数 学 教 育 の 改 良 運 動 を 起 こ し た 際 に 関 数 観 念 が 重 視 さ れ た ね ら い の 背 景 で あ る ． ウ 事 象 を 数 理 的 に と ら え る こ と と 関 数 の 考 え と の 関 係 ． ウ の 観 点 は 「 も の 」 を 認 識 す る と き や 考 え る と き に ，「 も の 」 を 既 知 の 事 柄 と 関 係 付 け て み る と い う 人 間 の 基 本 的 な 思 考 の は た ら き か ら 根 ざ し て い る ． こ の こ と か ら ， 関 数 の 考 え は 二 元 が 本 来 備 え る べ き 基 本 的 な 能 力 と も い え る ．関 数 の 考 え は「 自 分 の と ら え よ う と す る （ ま だ よ く わ か ら な い ） 事 柄 を ， す で に わ か っ て い る か ， あ る い は と ら え や す い 事 柄 に 対 応 さ せ て ， 必 要 に よ っ て は そ れ で 置 き 換 え て 考 え よ う と す る ．」 と い う こ と が で き る ． こ の こ と か ら 身 近 な 例 は 関 数 の 考 え を 関 連 し て 考 え こ と が で き る ． こ の と き 私 た ち は ， そ の 場 に 応 じ て 値 段 を 個 数 に 比 例 す る も の と し て と ら え た り ， 重 さ に 比 例 す る も の と し て と ら え た り す る ． こ れ は 比 例 と い う 形 で 関 数 の 考 え が 用 い ら れ て い る ． こ れ は 「 速 さ 」 と い う 概 念 を 「 道 の り 」 と 「 時 間 」 だ け に 関 係 し て い る も の で あ る ． さ ら に 「 速 さ 」 は 「 道 の り 」 に 比 例 し ，「 時 間 」 に 反 比 例 す る も の と し て 規 定 さ れ て い る こ と が わ か る ． こ の こ と は ， 速 さ の 概 念 の 導 入 と そ の 意 味 の 理 解 を 図 る こ と が で き る ． 例 題 1 ： た く さ ん の り ん ご の 値 段 を 知 り た い ． 例 題 2 ： 算 数 で 指 導 す る 速 さ の 公 式 （ 速 さ ） ＝ （ 道 の り ） ÷ （ 時 間 ）

18 こ の よ う に 事 象 を 数 理 的 に と ら え た り ， 新 し い 概 念 を つ く っ た り す る と き に は 関 数 の 考 え は 重 要 な 役 割 を も つ こ と が わ か る ． エ 帰 納 な ど に よ る 推 論 と 関 数 の 考 え と の 関 係 ． 「 帰 納 的 な 推 論 と い う の は ， 個 々 の 事 例 か ら そ れ ら を 含 め た 一 般 に 通 ず る 法 則 を 洞 察 す る と い う 形 式 の 推 論 で あ る が ， そ こ で は ， 必 然 的 に 個 々 の 事 例 に 関 し て 共 通 な 幾 つ か の 変 数 を 認 め ， そ れ ら に 関 す る き ま り を 見 い だ そ う と す る も の で あ っ て ， そ の 過 程 は 関 数 の 考 え に ほ か な ら な い と も い え る ．」 例 題 を 関 数 の 考 え を 用 い て ，「 段 の 変 数 」 と い う 変 数 と ，「 正 三 角 形 の 個 数 」 と い う 変 数 を 認 め ， こ れ ら の 間 の き ま り を 見 い だ す ． 段 の 数 が 1， 2 ， 3 ， 4 の 場 合 に 共 通 す こ と と し て（ 正 三 角 形 の 個 数 ）＝ （ 段 の 数 ）×（ 段 の 数 ）と い う 一 般 的 な き ま り を 見 い だ す こ と が で き る ． こ の 場 合 に 重 要 な こ と は ， 単 に 関 数 関 係 を み い だ し た と い う だ け で は な く て ， 関 数 の 考 え に 立 っ て ， 一 般 的 な き ま り を と ら え て 処 理 し よ う と す る 態 度 が 基 盤 に な っ て い る ． そ の た め 以 下 の 問 題 を 提 案 す る ． 例 題 3 ― 1： 右 の よ う な 図 形 で ， 小 さ な 正 三 角 形 の 個 数 は ， 段 の 数 と ど ん な 関 係 に な る の か 求 め よ う ． 段 の 数 1 2 3 4 正 三 角 形 の 個 数 1 4 9 1 6

19 問 題 を 解 く だ け な ら ば ， 実 際 に 作 図 を し て 数 え る だ け で よ い ． そ れ に 対 し て 「 一 般 的 な き ま り を も と に し て 確 信 を も っ て い え る よ う に し よ う 」「 同 じ よ う な 場 合 が 一 般 的 に と ら え ら れ れ ば ， 都 合 が よ い 」 と か と い う 考 え を す る こ と が ， 関 数 の 考 え に よ る 考 察 を 引 き 出 し ， 一 般 的 な き ま り を 発 見 し 帰 納 す る こ と へ 導 く こ と に な る ． こ の よ う に 関 数 の 考 え は ， 一 般 的 な 法 則 を 求 め た り ， そ れ に 基 づ い て 考 え よ う と し た り す る 際 に 重 要 な 役 割 を も っ て い る ． ま た ， 統 合 的 発 展 的 な 考 察 の 際 に も 重 要 で あ る ． オ 図 形 の 理 解 と 関 数 の 考 え と の 関 係 ． 図 形 の 指 導 に は ， 関 数 の 考 え を 用 い ら れ る こ と が 多 い ． 例 え ば 図 形 の 変 形 に 関 し て 関 数 の 考 え を 取 り 入 れ よ う と い う こ と が あ る ． 種 々 の 図 形 の 定 義 は ， 辺 ， 角 な ど と い う 変 数 に 関 し て 一 定 の 条 件 を 述 べ た も の で あ る た め ， そ の 本 質 に お い て 関 数 の 考 え に よ る 考 察 が 可 能 で あ る ． こ の よ う に 5 つ の 観 点 か ら 「 関 数 の 考 え は ， 人 間 が 数 学 的 に 問 題 を と ら え た り ， 処 理 し た り す る 際 に は ， 意 識 す る と 否 と に か か わ ら ず ， 基 本 的 に 例 題 3 ― 2： 右 の よ う な 図 形 で ， ４ 段 重 ね た と き 小 さ い 三 角 形 の 個 数 は 何 個 か ． 段 の 数 1 2 3 4 正 三 角 形 の 個 数 1 4 9 1 6

20 用 い ら れ て い る ア イ デ ィ ア で あ る ． こ の 意 味 で ， 関 数 の 考 え の 要 点 を 知 り ， そ れ を 有 効 に 活 用 で き る よ う に す る こ と は ， 数 学 的 な 考 え は も ち ろ ん ， 算 数 で 目 標 と す る 諸 能 力 を 育 成 す る 上 に 極 め て 重 要 な こ と で あ る ． そ れ だ け に ， 特 定 の 学 年 ， 特 定 の 内 容 の 指 導 だ け で 達 成 さ れ る こ と で は な い の で ， 日 常 の 各 内 容 の 指 導 に お い て ， 常 に 上 に あ げ た よ う な ね ら い に 立 っ て ， そ の 指 導 に 当 た る こ と が 大 切 で あ る ．」（p . 11 ） と 定 義 さ れ る ． こ の よ う に 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に 文 部 省 か ら 発 行 さ れ た 「 小 学 校 算 数 指 導 資 料 関 数 の 考 え の 指 導 」 よ り ， 当 時 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え に つ い て 以 下 の こ と が い え る ． ・ 数 学 的 な 考 え ， 算 数 で 目 標 と す る 諸 能 力 の 育 成 の 上 で 重 要 な 考 え で あ る こ と ． ・ 一 つ の 変 量 を 他 の 幾 つ か の 変 量 に 置 き 換 え ， そ れ ら に よ っ て と ら え る こ と が で き る こ と ． ・ 事 象 を 数 理 的 に と ら え る こ と ． ・ 帰 納 的 に 考 え 筋 道 を 立 て る こ と ． ・ 統 合 的 ・ 発 展 的 に 考 察 す る こ と ． 2 . 5 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 に 文 部 科 学 省 か ら 発 行 さ れ た 小 学 校 学 習 指 導 要 領 を 基 に 現 在 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え に つ い て 考 察 す る ． 関 数 の 考 え と は ，「 数 量 や 図 形 に つ い て 取 り 扱 う 際 に ， そ れ ら の 変 化 や 対 応 の 規 則 性 に 着 目 し て 問 題 を 解 決 し て い く 考 え で あ る ． 関 数 の 考 え に よ っ て ， 数 量 や 図 形 に つ い て の 内 容 や 方 法 を よ り よ く 理 解 し た り ， そ れ ら を 活 用 し た り で き る よ う に す る こ と ， ま た ， 伴 っ て 変 わ る 二 つ の 数 量 の 関 係 を 考 察 し ， 特 徴 や 傾 向 を 表 し た り 読 み 取 っ た り で き

21 る よ う に す る こ と が 大 切 な ね ら い で あ る ．」 と 定 義 さ れ る ．（ p . 4 9） こ の こ と か ら 現 在 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え に つ い て 以 下 の こ と が い え る ． ・ 数 量 や 図 形 の 内 容 や 方 法 の 理 解 を 図 る こ と が で き る ． ・ 変 化 や 対 応 の 規 則 性 に 着 目 す る こ と で 数 量 や 図 形 の 問 題 を 解 く こ と が で き る ． 2 . 6 筆 者 の 考 察 改 良 運 動 ， 昭 和 4 8 年 ， 平 成 2 0 年 で 定 義 さ れ て い る 関 数 の 見 方 ・ 考 え に つ い て 考 察 し た ． 年 代 別 に 関 数 の 考 え の 共 通 点 ， 相 違 点 は 第 4 章 で 考 察 す る ． 関 数 の 考 え の ち が い よ り も 関 数 の 考 え を 伸 ば す 指 導 の ち が い の 方 が 大 き く み ら れ る と 考 え る ． そ の 中 で ， 以 下 の よ う な 問 題 点 が で て き た ． ＜ 課 題 1＞ 関 数 の 考 え は 算 数 の 内 容 が よ り 理 解 を 図 る こ と が で き る と さ れ て い る が ， そ の よ う な 指 導 が 行 わ れ て い る の か と い う 点 で 疑 問 が あ る ． ＜ 課 題 2 ＞ 改 良 運 動 後 ( 大 正 初 期 ) か ら 平 成 2 2 年 ま で の 算 数 教 育 は ， 児 童 に 関 数 の 考 え を 生 か し ， 育 成 す る よ う な 指 導 が な さ れ て い る の か と い う 点 で 疑 問 が あ る ． こ の よ う に 改 良 運 動 後 ( 大 正 初 期 ) か ら 現 在 ( 平 成 2 2 年 ) に 行 わ れ て い る 算 数 教 育 の 指 導 が 関 数 の 考 え を の ば し ， そ し て 数 学 的 考 え 方 が 伸 び る ， よ り 数 学 を 理 解 す る よ う な 流 れ な の か 判 断 し が た い と 考 え る ． ま た 「 数 量 関 係 」 の 領 域 で 関 数 の 考 え

22 の 指 導 を 行 う た め ，「 数 量 関 係 」 の 領 域 は 数 学 的 な 考 え 方 を 伸 ば す 上 で 重 要 な 役 割 が あ る と 考 え る ． 教 師 が 関 数 の 考 え に つ い て 理 解 す る 必 要 も あ る が ， 授 業 の も と と な る 教 科 書 や 学 習 指 導 要 領 が 関 数 の 考 え 伸 ば す よ う な 指 導 ， 教 授 に な っ て い る の か ， 第 5 章 で 実 際 の 指 導 案 を 検 討 す る ．

23 第 ２ 章 の 要 約 第 2 章 は 関 数 の 見 方・考 え を 年 代 別 に 考 察 し た ． ＜ 明 治 か ら 大 正 に お け る 日 本 の 算 数 教 育 ＞ ・ 論 理 的 ・ 孤 立 主 義 ・ 難 問 題 ・ 非 実 用 的 ＜ 改 良 運 動 ( 大 正 か ら 昭 和 初 期 ) に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え ＞ ア 関 数 の 考 え の 指 導 は ， 事 象 を 科 学 的 に 考 察 し 処 理 す る 能 力 や 態 度 の 育 成 を ね ら っ て い る こ と ． イ 統 合 の ア イ デ ア と し て の 関 数 の 考 え ． ＜ 小 倉 金 之 助 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え ＞ 改 良 運 動 に 重 視 さ れ た 関 数 観 念 に 影 響 を 受 け て い る ． ・ 科 学 的 精 神 を 数 学 上 に 表 れ た の が 関 数 観 念 ． ・ 具 体 的 な 数 値 を あ て は め ， 法 則 を 検 討 す る ． ＜ 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え ＞ 改 良 運 動 に お け る 関 数 観 念 ア ， イ も 重 視 し て い る ． ウ 事 象 を 数 理 的 に と ら え る こ と と 関 数 の 考 え と の 関 係 ． エ 帰 納 な ど に よ る 推 論 と 関 数 の 考 え と の 関 係 ． オ 図 形 の 理 解 と 関 数 の 考 え と の 関 係 ． ＜ 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え ＞ ・ 数 量 や 図 形 の 内 容 や 方 法 の 理 解 を 図 る こ と が で き る ． ・ 変 化 や 対 応 の 規 則 性 に 着 目 す る こ と で 数 量 や 図 形 の 問 題 を 解 く こ と が で き る

24 ま た ， 年 代 別 に 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 考 察 し て 以 下 の よ う な 課 題 点 が 明 ら か に な っ た ． ＜ 課 題 1＞ 関 数 の 見 方 ・ 考 え は 算 数 の 内 容 が よ り 理 解 を は か る こ と が で き る と さ れ て い る が ， よ り 算 数 の 内 容 の 理 解 を は か る よ う な 指 導 が 行 わ れ て い る の か と い う 点 で 疑 問 が あ る ． ＜ 課 題 2 ＞ 改 良 運 動 後 ( 大 正 初 期 ) か ら 平 成 2 2 年 ま で の 算 数 教 育 は ， 児 童 に 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 生 か し ， 育 成 す る よ う な 指 導 が な さ れ て い る の か と い う 点 で 疑 問 が あ る ． こ の よ う に 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 考 察 し て 明 ら か に な っ た 課 題 か ら ， 児 童 に 関 数 の 考 え を 育 成 す る 指 導 に つ い て 考 え る 際 の 視 点 が 明 ら か に な っ た ．

25 第 ３ 章 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 3 . 1 小 倉 金 之 助 に お け る 関 数 の 考 え の 指 導 3 . 2 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に お け る 関 数 の 考 え の 指 導 3 . 3 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 に お け る 関 数 の 考 え の 指 導 3 . 4 筆 者 の 考 察 本 章 で は ， 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 育 成 す る 上 で の 指 導 に つ い て 検 討 す る ．3 . 1 で は 小 倉 金 之 助 が 定 義 す る 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 ， 3. 2 で は 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 ， 3 . 2 で は 現 行 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 に つ い て 考 察 す る ．

26 第 ３ 章 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 3 . 1 小 倉 金 之 助 に お け る 関 数 観 念 の 指 導 小 倉 金 之 助 「 数 学 教 育 の 根 本 問 題 」 を 基 に 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 を 考 察 す る ． 小 倉 は 関 数 の 観 念 を 養 成 す る に は ， 以 下 の よ う に 説 明 さ れ て い る ． ① 生 徒 自 ら た く さ ん の 事 例 を 集 め る ． ② 自 ら そ れ を 検 査 す る ． ③ そ れ ら の 間 に ど の よ う な 関 係 が あ る か を 研 究 す る ． ④ 個 々 の 事 柄 か ら ， 一 般 法 則 を 考 え る ． ⑤ 法 則 が 一 方 面 に 偏 す る こ と の な い よ う に ， 多 種 多 様 の 方 面 か ら の 材 料 に よ っ て 考 え る ． ⑥ 多 く の 量 の 間 に あ る 関 数 関 係 を 見 い だ す ． ① ～ ⑥ を 習 慣 つ け ， 将 来 児 童 が 実 生 活 の 諸 問 題 で も 適 切 に 判 断 で き る よ う に す る ． こ こ で ， ① ～ ⑥ を 半 径 と 円 の 面 積 の 例 に あ て は め る ． ① い ろ い ろ な 大 き さ の 円 を た く さ ん か く ． ② 半 径 と 円 の 面 積 に 関 係 が あ る 気 が す る ． ③ 半 径 と 円 の 面 積 に 関 係 が あ る か を 調 べ る ． ④ 半 径 の 値 を １ ㎝ ， ２ ㎝ ， ３ ㎝ と し て 円 の 面 積 を 調 べ る ． 半 径 を ｒ ， 面 積 を Ａ と す る と Ａ ＝ π ｒ 2 に な る ． ⑤ 法 則 が Ａ ＝ π ｒ 2 だ け で あ る の か ， 多 種 多 様 の 方 面 か ら の 材 料 に よ っ て 考 え る ． ⑥ 半 径 と 円 の 円 周 に も 関 係 が あ る ． 半 径 を ｒ ， 円 周 を ℓ と す る と ℓ ＝ ２ π ｒ に な る ． ① の 段 階 は「 試 み に コ ン パ ス を 採 っ て ，大 小 種 々 の 円 を 書 い て み ま し ょ う ． し か し た く さ ん の 円 が 書 か れ た だ け で は ， 数 学 と は 申 さ れ ま せ ん 」 と あ る よ う に ， 具 体 的 な 事 例 で 数 学 と な っ て い な い ． ② の 段 階 は ， 半 径 と 円 の 面 積 に 関 係 が あ る か 検

27 査 し よ う と し て い る た め ， こ の 段 階 で 関 数 の 観 念 に な る ． ③ ④ の 段 階 で は 数 学 的 思 惟 に よ っ て 帰 納 的 に 法 則 を 発 見 し て い る ． ⑤ ⑥ の 段 階 で は み つ け た 法 則（ 関 係 ）が な い か ， 帰 納 的 に 法 則 を 発 見 し て い る ． つ ま り 具 体 的 な 事 例 を 一 般 化 す る と こ に 科 学 的 精 神 が 働 き ， こ こ に 関 数 の 観 念 が 活 躍 す る ． グ ラ フ を か か な く て も ， 関 連 す る 量 の 間 に 成 り 立 つ 関 係 の 性 質 を 明 ら か に す る こ と が 重 要 な の で あ る ． こ の よ う に ， 小 倉 金 之 助 が 定 義 す る 関 数 観 念 の 指 導 は 以 下 の 通 り に な る ． ・ 児 童 自 ら 事 象 を み つ け る ． ・ 事 象 に 関 係 が な い か 検 討 す る ． ・ 帰 納 的 に 法 則 を 推 論 す る ． ・ グ ラ フ を 用 い ず に ， 関 数 関 係 を 見 い だ す ． ・ 関 数 関 係 を み い だ す こ と に 慣 れ る ． 3 . 2 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に お け る 関 数 の 考 え の 指 導 昭 和 4 8 年 ( 19 7 3 ) に 文 部 省 か ら 発 行 さ れ た 「 小 学 校 算 数 指 導 資 料 関 数 の 考 え の 指 導 」 を 基 に ， 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 育 成 す る 上 で の 指 導 に つ い て 考 察 す る ． 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 伸 ば す 上 で 重 要 な 観 点 は ３ 点 あ げ ら れ る ． a 依 存 関 係 に 着 目 す る こ と ． こ れ は 昭 和 48 年 ( 1 9 7 3 ) に お け る 関 数 の 考 え で あ る「 一 つ の 変 量 を ，他 の 幾 つ か の 変 量 に 置 き 換 え ， そ れ ら に よ っ て と ら え る こ と が で き る 」 の よ う な 考 察 が で き る た め の 契 機 と な る 観 点 が 依 存 関 係 に 着 目 す る こ と で あ る ． 依 存 関 係 に 着 目 す る よ う な 指 導 と は ，「 2 つ の 数 量 を 関 係 づ け る [ 3 年 ]」 を 中 心 に 検 討 す る ．

28 [ 例 １ 問 題 の 与 え 方 の 工 夫 ] 右 の 図 の 面 積 を 求 め さ せ る 場 合 ， 必 要 な 長 さ を 与 え て ， 「 面 積 を 求 め よ ．」 と す る と ， 求 積 計 算 の 練 習 に す ぎ な い 問 題 と な る ． さ ら に ， 家 の 敷 地 な ど 日 常 の 問 題 で は ， か な ら ず し も 長 さ が 与 え ら れ て お ら ず ， 自 分 で 長 さ を 測 れ ば よ い か 考 え な く て は な ら な い ． そ こ で 「 ど こ を 測 れ ば 面 積 が 求 め ら れ る か ， 測 る と こ ろ は で き る だ け 少 な く し ， 実 際 に 測 っ て 面 積 を 求 め よ 」と い う 問 題 に す る ．こ う す る こ と で ， 形 や 面 積 が ど の 辺 に よ っ て き ま っ て く る か を 必 然 的 に 考 え る こ と と な り ， 依 存 関 係 に 必 要 性 が わ か り ， よ り 深 い 学 習 が で き る ． こ の よ う に 依 存 関 係 に 着 目 す る と は 以 下 の よ う な こ と で あ る ． ・ あ る 変 数 を 調 べ る の に ， そ れ に 関 係 し て い る 数 量 は ど れ か 考 え る こ と ． ・ 具 体 的 な 場 面 で ど れ が 変 数 な の か ， ま た そ れ に 対 応 す る 変 数 は ど れ か 考 え る こ と ． b 関 数 関 係 を 見 つ け た り ， 用 い た り す る こ と ． こ れ は 2 つ の 変 量 が 関 数 関 係 に あ る こ と が 分 か っ た ら ， そ の 関 係 の 規 則 や 変 化 の 特 徴 を 詳 し く 調 べ ， そ れ を 用 い て 物 事 の 理 解 を 深 め た り ， 問 題 を 解 決 し た り す る こ と で あ る ． こ こ で は ( 1 ) 関 数 関 係 を み つ け る ( 2 ) 関 数 関 係 を 用 い る こ と に 分 け て 考 察 す る ． ( 1 ) 関 数 関 係 を 見 つ け る こ と 関 数 関 係 を 見 つ け る こ と と は ， 調 べ た い 2 つ の 変 数 Ｘ ， Ｙ が 関 数 関 係 に あ る 場 合 ， 変 数 Ｘ と 変 数 Ｙ の 対 応 の 規 則 を 明 ら か に し た り ， 変 数 Ｘ の 変 化

29 に 対 応 す る 変 数 Ｙ の 変 化 の 特 徴 を 明 ら か に し た り す る こ と で あ る ． こ の よ う な 規 則 や 特 徴 を 明 ら か に す る 学 習 は 低 学 年 か ら 積 み 重 ね ら れ て い く 必 要 が あ る ． ま た ， 同 じ 関 数 関 係 で も ， 対 応 の 規 則 や 変 化 の 特 徴 は ， い ろ い ろ に と ら え る こ と が で き る ． 例 え ば ｙ ＝ 5 × ｘ に つ い て 検 討 す る ． ア 対 応 の 規 則 と し て 検 討 ． ⅹ に ⅹ の 5 の 倍 が 対 応 す る と 見 る ． ま た は y ÷ ⅹ ＝ 5 と 見 る ． イ ⅹ が 1 増 え る と ， y は 5 増 え る と と ら え る ． こ れ に「 ⅹ が 0 の と き ，y も 0 に な る 」と い う 性 質 を 加 え る と 比 例 関 係 y ＝ 5× ⅹ に な る ． ウ ⅹ が 2 倍 ， 3 倍 に な る と ， y も 2 倍 ， 3 倍 に な る と と ら え る ． こ れ に 「 ⅹ ＝ 1 の と き ， y ＝ 5 に な る 」 を 付 け 加 え る と ， 比 例 定 数 5 が き ま る ． こ の よ う に 対 応 の 規 則 や 変 化 の 特 徴 は 一 通 り で は な い ． ま た 変 化 の 見 方 と し て ， 以 下 の 観 点 が あ る こ と が わ か る ． ・ 一 方 の 変 数 が 一 定 ず つ 増 え る と き ， 他 方 は ど の よ う に 変 化 し て い く か ． ・ 一 方 の 変 数 が 2 倍 ，3 倍 に な る と ，他 方 は ど の よ う に 変 化 し て い く か ． ( 2 ) 関 数 関 係 を 利 用 す る こ と 関 数 関 係 は 見 い だ す だ け で は 十 分 の 価 値 が で て こ な い ． 変 数 間 の 対 応 や 変 化 の 仕 方 を 知 る こ と に よ っ て ， 物 事 の 理 解 が 深 め ら れ た り ， 問 題 解 決 が ⅹ ₁ 2 3 4 5 y 5 1 0 1 5 2 0 2 5

30 容 易 に な っ た り す る ． ま た 一 般 的 な 規 則 や 特 徴 を 発 見 す る だ け で な く ， 適 用 さ せ る こ と に よ り ， 関 数 の 考 え の よ さ が わ か る ． 例 え ば 問 題 の 解 決 に 関 数 関 係 を 利 用 す る 場 合 を 検 討 す る ． 関 数 の 考 え で 問 題 を 解 く と ，「 定 数 の 13 個 を 変 数 □ 個 に 置 き 換 え ， 対 応 す る 周 の 長 さ を △ ㎝ と す る ．」 と い う 考 え 方 に な る ． 変 数 □ に 変 域 の 数 を 順 序 よ く 1 ，2，3… と 代 入 し ， そ れ に 対 応 す る △ の 値 を 求 め る ． 三 角 形 の 数 ( □ 個 ) １ ２ ３ ４ … 1 3 周 の 長 さ ( △ ㎝ ) ３ ４ ５ ６ … ( ) 表 に ま と め る と ， 対 応 の 規 則 □ ＋ ２ ＝ △ を み つ け る こ と が で き る ． そ の 規 則 を 利 用 し て ， □ が 1 3 に な っ た 場 合 の △ の 値 を 見 い だ す ． c 関 数 関 係 を 表 現 す る こ と ． こ れ は 関 数 関 係 の 表 現 の 仕 方 と し て 表 ， グ ラ フ と 式 が あ る こ と を 知 り ， そ れ ぞ れ の 表 現 の よ さ を 知 り ， そ れ を 利 用 す る こ と で あ る ． 表 ， グ ラ フ な ど の 扱 い は ， 表 面 的 な 技 能 だ け の 指 導 に 陥 る こ と が な い よ う に 留 意 し ， ｂ の 観 点 と 密 接 に 結 び つ け て 指 導 す る 必 要 が あ る ． ま た 表 ， グ ラ フ と 式 に は そ れ ぞ れ 長 所 ， 短 所 が あ る ． 例 題 1 辺 1 ㎝ の 正 三 角 形 を 下 の 図 の よ う に 横 へ 1 列 に 1 3 個 な ら べ ま し た ． で き た 図 形 の 周 囲 は 何 ㎝ で し ょ う ．

31 表 グ ラ フ 式 長 所 対 応 す る 値 の 組 そ の も の を 示 し て い る ．対 応 す る 値 が は っ き り で て い る ． 対 応 す る 値 の 組 そ の も の を 示 し て い る ．対 応 や 変 化 が 一 目 で わ か る ． 対 応 の 規 則 を 示 し て い る と 見 る こ と が で き る ． 短 所 連 続 量 の 場 合 等 ，全 部 書 き き れ な い こ と が 多 い ． 数 値 は 近 似 的 で あ る こ と が 多 い ． 変 化 を 直 観 的 に 知 る に は グ ラ フ に 比 べ て 不 便 で あ る ． こ の よ う に 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に お け る 関 数 の 考 え を 育 成 す る 上 で の 指 導 に つ い て ま と め る と 以 下 の 通 り に な る ． ・ 変 数 X を 調 べ る の に ， そ れ に 関 係 し て い る 変 数 Y を 考 え る こ と が で き る 問 題 提 示 ， 指 導 を 行 う ． ・ 具 体 的 な 場 面 で ど れ が 変 数 か 考 え る こ と が で き る こ と ． ・ 変 数 の 対 応 規 則 や 特 徴 を 明 ら か に す る こ と ・ 関 数 関 係 を 問 題 解 決 等 に 用 い る こ と ， ま た 適 用 で き る 問 題 提 示 を す る こ と ． ・ グ ラ フ ， 表 や 式 の 長 所 と 短 所 を 把 握 し ， 表 現 す る こ と ． ま た 2 . 4 で 述 べ た 関 数 の 見 方 ・ 考 え (ア ～ オ )と 指 導 ( a ～ c )の 関 連 に つ い て 考 察 す る ． 「 a 依 存 関 係 に 着 目 す る 」 は ど れ が 変 数 か ， ま た 対 応 す る 変 数 を 考 え る こ と よ り ， ア の 「 事 象 を 科 学 的 に 考 察 し 処 理 す る 能 力 や 態 度 の 育 成 を ね ら っ て い る こ と 」 と 関 連 し て い る ． ま た 具 体 的 な 場 面 で 変 数 を 調 べ る と き ， と ら え や す い よ う に 置 き 換 え る 場 合 が あ る た め ， ウ の 「 事 象 を 数 理 的 に と ら え る こ と 」 と 関 連 し て い る ．

32 「b 関 数 関 係 を 見 つ け た り ， 用 い た り す る こ と 」 は 関 数 関 係 を 見 つ け る 手 掛 か り と し て ， わ か ら な い こ と を 具 体 的 な 数 値 を あ て は め 考 え た り ， 対 応 す る 値 か ら 帰 納 的 に 推 論 し た り す る た め ，ウ の「 事 象 を 数 理 的 に と ら え る こ と 」 と エ の 「 帰 納 な ど に よ る 推 論 と 関 数 の 考 え と の 関 係 」 と 関 連 し て い る ． ま た ， 公 式 等 は 関 数 関 係 を 用 い る こ と に よ っ て ， よ り わ か り や す く 内 容 を 理 解 す る こ と が で き る た め ， イ の 「 算 数 で 指 導 さ れ る 各 内 容 を ， 関 数 の 考 え に 立 っ て 考 察 さ せ る こ と に よ っ て ， そ の 意 味 を 一 層 よ く 理 解 さ せ う る と い う 立 場 に 立 っ て ， 関 数 の 考 え を 取 り 上 げ る こ と 」 と オ の 「 図 形 の 理 解 と 関 数 の 考 え と の 関 係 」 と 関 連 し て い る ． 「c 関 数 関 係 を 表 現 す る こ と 」は わ か ら な い 規 則 性 が 表 ， グ ラ フ や 式 を 用 い る こ と に よ り ， 規 則 性 や 特 徴 を よ り 詳 し く 読 み 取 る こ と が で き た り ， 数 と 計 算 の 領 域 の 学 習 の 際 に ， 式 か ら 数 量 の 関 係 を 読 み と る こ と が で き た り す る こ と が で き る た め ， 関 数 の 考 え ア か ら オ す べ て 関 連 し て い る ． こ の よ う に 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 定 義 す る だ け で な く ， 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 生 か す よ う な 指 導 が 必 要 だ と 考 え る ．ま た 問 題 提 示 の 点 で ，関 数 の 見 方 ・ 考 え を 用 い る こ と の で き る 問 題 に す る 必 要 が あ る ． 3 . 3 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 に お け る 関 数 の 考 え の 指 導 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 に 文 部 科 学 省 か ら 発 行 さ れ た 小 学 校 学 習 指 導 要 領 を 基 に 考 察 し て い く ． 現 在 ， 関 数 の 考 え を 生 か す た め の 指 導 は 主 に 3 つ あ る ． a あ る 場 面 で の 数 量 や 図 形 に つ い て の 事 柄 が ， ほ か の ど ん な 事 柄 と 関 係 す る か に 着 目 す る こ と ．

33 あ る 変 数 X が 変 化 す れ ば ， 他 の 変 数 Y は 変 化 す る か と い っ た よ う な 関 係 に 着 目 す る こ と で ， 二 つ の 事 柄 の 間 の 依 存 関 係 を 調 べ る こ と が で き る よ う に な る ． b 二 つ の 事 柄 の 変 化 や 対 応 の 特 徴 を 調 べ て い く こ と ． 伴 っ て 変 わ る 二 つ の 数 量 の 間 に は ， 変 化 の 規 則 性 な ど の 関 係 を 見 つ け ら れ る ． 数 量 や そ の 関 係 を 言 葉 ， 数 ， 式 ， 図 ， 表 ， グ ラ フ を 用 い て 表 し ， 表 現 さ れ た も の か ら ， さ ら に 詳 し く 変 化 や 対 応 の 規 則 性 の 様 子 を 読 み 取 る こ と も で き る よ う に な る ． c b の よ う に し て 見 い だ し た 変 化 や 対 応 の 規 則 性 を 様 々 な 問 題 の 解 決 に 活 用 し ， そ の 思 考 過 程 や 結 果 を 表 現 し た り ， 説 明 し た り す る こ と ． 第 1 学 年 か ら 第 3 学 年 で は も の と も の と を 対 応 つ け た り ， 乗 数 が 1 ず つ 増 え る と き の 積 の 増 え 方 の 様 子 に 着 目 し た り す る こ と が で き る よ う に 指 導 す る ． 第 4 学 年 で は ， 伴 っ て 変 わ る 二 つ の 数 量 の 関 係 を 見 い だ し ， そ れ ら の 数 量 の 間 の 関 係 を 表 や 折 れ 線 グ ラ フ を 用 い て 表 し た り ， 特 徴 を 読 み 取 っ た り す る こ と を 指 導 す る ． 第 5 学 年 で は ， 伴 っ て 変 わ る 二 つ の 数 量 の 関 係 と し て ， 簡 単 な 場 合 に つ い て の 比 例 の 関 係 を 表 を 用 い て 考 察 す る こ と を 指 導 す る ． 第 6 学 年 で は 伴 っ て 変 わ る 二 つ の 数 量 の 関 係 と し て の 比 例 の 関 係 に つ い て ， 式 ， 表 ， グ ラ フ を 用 い て 特 徴 を 調 べ た り ， 比 例 の 関 係 を 用 い て 問 題 を 解 決 し た り す る こ と や ， 反 比 例 の 関 係 に つ い て 指 導 す る ．

34 こ の よ う に 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 に お け る 関 数 の 考 え を 育 成 す る 上 で の 指 導 に つ い て ま と め る と 以 下 の 通 り に な る ． ・ あ る 変 数 X が 変 化 す る と 他 の 変 数 Y も 変 化 す る と い う 関 係 に 着 目 で き る 指 導 ・ 伴 っ て 2 つ の 数 量 の 変 化 ， 規 則 性 を み つ け る こ と が で き る よ う に す る ． ・ 表 ， グ ラ フ ， 式 ， 図 ， 数 ， 言 葉 を 用 い て 関 数 関 係 を 表 す こ と が で き る ． ・ 表 現 さ れ た も の か ら 規 則 性 や 特 徴 を 読 み 取 る ． ・ 低 学 年 で は 変 化 に 着 目 で き る よ う に す る ． ・ 中 学 年 で は 2 つ の 変 量 の 関 係 に 着 目 し ， 関 数 関 係 を み つ け た り ， 用 い た り す る こ と が で き る ． ・ 高 学 年 で は 2 つ の 数 量 の 関 係 に 着 目 し ， 比 例 の 関 係 を み つ け た り ， 用 い た り す る こ と が で き る ． ま た ， 平 成 20 ( 2 0 0 8 ) 年 の 関 数 の 考 え と 指 導 ( a ～ b ) と の 関 連 に つ い て 考 察 す る ． 「 a あ る 場 面 で の 数 量 や 図 形 に つ い て の 事 柄 が ， ほ か の ど ん な 事 柄 と 関 係 す る か に 着 目 す る こ と 」 は あ る 数 量 が 変 化 す れ ば ， ほ か の 数 量 が き ま る よ う な 関 係 に 着 目 す る こ と で あ る た め ， 変 化 や 対 応 し た 規 則 性 を 読 み 取 る 前 ， つ ま り 関 数 の 考 え の 大 前 提 で あ る ． 「b 二 つ の 事 柄 の 変 化 や 対 応 の 特 徴 を 調 べ て い く こ と 」 と 「c b の よ う に し て 見 い だ し た 変 化 や 対 応 の 規 則 性 を 様 々 な 問 題 の 解 決 に 活 用 し ， そ の 思 考 過 程 や 結 果 を 表 現 し た り ， 説 明 し た り す る こ と 」 は 2 つ の 数 量 を 調 べ る こ と で ， 明 ら か に な っ た 変 化 や 特 徴 に よ っ て 図 形 や 数 量 の 理 解 を 図 り ， 問 題 を 解 く こ と が で き る と い う 点 で 関 連 し て い る ．

35 3 . 4 筆 者 の 考 察 小 倉 金 之 助 ， 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 ， 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 の 各 年 代 で 定 義 さ れ て い る 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 育 成 す る 上 で の 指 導 を す る 際 に 重 要 な ポ イ ン ト を 考 察 し た ． 各 年 代 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 育 成 す る 上 で の 指 導 の ポ イ ン ト の 共 通 点 ， 相 違 点 は 第 4 章 で 考 察 す る ． 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 の 観 点 の 1 つ に 「 依 存 関 係 に 着 目 す る 」 は 一 般 に ど ん な 量 が ど ん な 量 と 関 係 し て い る か 見 い だ そ う と す る こ と で あ る ． し か し ， 授 業 内 で 提 示 す る 問 題 は 必 要 十 分 な 条 件 ， つ ま り 2 つ の 変 数 を 備 え て お り ， そ の 条 件 を す べ て 用 い る と 問 題 を 解 決 で き る よ う に な っ て い る 場 合 が あ る ． こ れ で は ， 問 題 の な か で ， あ る 量 を き め る に は ， ど ん な 量 を き め な け れ ば な ら な い か と 見 だ そ う と す る 考 え ， つ ま り 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 依 存 関 係 を 着 目 す る 力 を 伸 ば す と は 考 え に く い ． そ の た め 問 題 を 提 示 す る 際 に は ， 一 般 に ど ん な 量 を き め る に は ， ど ん な 量 き め な く て は な ら な い と 考 え た り ， 変 わ る 量 の 間 に あ る き ま り を 見 い だ そ う と し た り す る こ と が で き る よ う な 問 題 を 提 案 す る 必 要 が あ る と 考 え る ． ま た ， 関 数 関 係 の 表 現 の 仕 方 と し て ， そ れ ぞ れ の 表 現 の 長 所 ， 短 所 を 把 握 し ， 問 題 や 関 数 関 係 に 応 じ た 表 現 方 法 を 用 い る 必 要 が あ る と 考 え る ． こ の よ う に 考 察 し た こ と を 課 題 と し て 以 下 の よ う に ま と め る ． ＜ 課 題 3＞ 授 業 で 提 示 さ れ る 問 題 が 与 え ら れ た 条 件 を 固 定 的 に 受 け と め ， 求 答 を 重 視 す る よ う な 問 題 と な っ て い な い か と い う 点 で 疑 問 で あ る ． ＜ 課 題 4＞ 関 数 関 係 の 表 現 の 仕 方 が 適 切 に 用 い ら れ て い る か と い う 点 で 疑 問 で あ る ．

36 第 3 章 の 要 約 本 章 で は ， 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 育 成 す る 上 で の 指 導 に つ い て ， 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 と 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 の 2 つ の 年 代 の 指 導 を 考 察 し た ． 考 察 す る 際 ， 各 年 代 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え と 考 え ら れ る 指 導 が 関 連 し て い る か ， 検 討 を し た ． ＜ 小 倉 金 之 助 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 ＞ ・ 児 童 自 ら 事 象 を み つ け る ． ・ 事 象 に 関 係 が な い か 検 討 す る ． ・ 帰 納 的 に 法 則 を 推 論 す る ． ・ グ ラ フ を 用 い ず に ， 関 数 関 係 を 見 い だ す ． ・ 関 数 関 係 を み い だ す こ と に 慣 れ る ． ＜ 昭 和 4 8 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 ＞ a 依 存 関 係 に 着 目 す る こ と ． b 関 数 関 係 を 見 つ け た り ， 用 い た り す る こ と ． c 関 数 関 係 を 表 ， グ ラ フ ， 式 を 使 っ て 表 現 す る ． こ の と き ， 表 ， グ ラ フ ， 式 の 長 所 と 短 所 を 把 握 し ， 適 切 に 表 現 す る ． ＜ 平 成 2 0 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 ＞ a あ る 場 所 で の 数 量 や 図 形 に つ い て の 事 柄 が ， 他 の ど ん な 事 柄 と 関 係 す る か に 注 目 す る こ と ． 依 存 関 係 に 着 目 す る こ と ． b 2 つ の 事 柄 の 変 化 や 対 応 の 規 則 性 や 特 徴 を 表 し た 表 や グ ラ フ ， 式 ， 図 ， 数 ， 言 葉 か ら よ り 詳 し く 調 べ て い く こ と ． c 見 い だ し た 変 化 や 特 徴 を 様 々 な 問 題 解 決 に 生 か す こ と ． こ の よ う に 各 年 代 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 考 察 す る と 以 下 の よ う な 課 題 点 が 明 ら か に な っ た ．

37 ＜ 課 題 3＞ 授 業 で 提 示 さ れ る 問 題 が 与 え ら れ た 条 件 を 固 定 的 に 受 け と め ， 求 答 を 重 視 す る よ う な 問 題 と な っ て い な い か と い う 点 で 疑 問 で あ る ． ＜ 課 題 4＞ 関 数 関 係 の 表 現 の 仕 方 が 適 切 に 用 い ら れ て い る か と い う 点 で 疑 問 で あ る ．

38 第 4 章 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 の 提 案 4 . 1 関 数 の 見 方 ・ 考 え 4 . 2 関 数 の 考 え の 指 導 本 章 で は ， 第 2 章 ， 第 3 章 で 考 察 し た こ と を 踏 ま え ， 新 た に 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 の 枠 組 み を 考 察 す る ． 4 . 1 で は 第 2 章 で 考 察 し た 関 数 の 見 方・考 え を 年 代 別 に 比 較 し ， 筆 者 が 考 え る 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 考 察 す る ．4 . 2 で は 第 3 章 で 考 察 し た 関 数 の 考 え の 指 導 を 年 代 別 に 比 較 し ， 4 . 1 で 提 案 し た 関 数 の 見 方 ・ 考 え に 関 連 す る 指 導 を 考 察 す る ．

39 第 4 章 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 指 導 の 提 案 4 . 1 関 数 の 見 方 ・ 考 え 4 . 1 . 1 年 代 別 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 比 較 第 2 章 で 考 察 し た 年 代 ご と に 定 義 さ れ て い る 関 数 の 見 方 ・ 考 え 方 の ち が い を 考 察 す る ． ジ ョ ン ＝ ペ リ ー に よ っ て 欧 州 諸 国 で 行 わ れ た 数 学 教 育 の 改 良 運 動 で 重 視 さ れ た 二 つ の 視 点 「 ア 微 積 分 へ の ア プ ロ ー チ と 科 学 的 な 探 究 の 精 神 の 育 成 」「 イ 統 合 の ア イ デ ア と し て の 関 数 の 考 え 」は ， 考 察 し た 全 て の 年 代 の 関 数 の 見 方 ・ 考 え に 共 通 し て い る 視 点 で あ る ． そ の た め 改 良 運 動 で 重 視 さ れ た ア ， イ の 2 点 は 関 数 の 見 方 ・ 考 え の 重 要 な 視 点 で あ る と 考 え る ． 小 倉 金 之 助 は ， 日 常 生 活 の 事 象 や 自 然 科 学 の 事 象 を 教 材 と し ， そ の な か に 関 係 を 見 つ け る と こ ろ に 関 数 観 念 が あ る と 述 べ て い る ． 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え で は ， 事 象 を 数 学 的 に と ら え ， 変 化 す る も の が 何 に 対 応 し て い る の か (変 量 X に 対 し て 変 量 Y が あ る ) こ と が 重 視 さ れ て い る ． 小 倉 金 之 助 の 関 数 観 念 と 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え を 比 較 す る と ， 事 象 が 自 然 科 学 か ら 算 数 ・ 数 学 だ け に 対 象 と さ れ て い る ． 事 象 を と ら え や す い よ う に 数 理 化 す る と い う 観 点 は 共 通 し て い る ． ま た 昭 和 4 8 ( 1 9 7 3 ) 年 に お け る 関 数 の 見 方 ・ 考 え に ふ く ま れ る 「 事 象 を 数 理 的 に と ら え る 」「 帰 納 的 に 考 え 筋 道 を た て る 」 と い う 2 つ の 観 点 は ， 平 成 2 0 ( 2 0 0 8 ) 年 の 小 学 校 学 習 指 導 要 領 に お け る 算 数 科 の 全 体 の 目 標 ， 考 え る 力 や 表 現 す る 力 を 育 む も の と し て 重 点 が 置 か れ て い る ．「 事 象 を 数 理 的 に と ら え る 」 点 は 算 数 的 活 動 を 通 し て 算 数 の 価 値 や 意 義 に 気 づ く こ と を 重 要 と さ れ て い る ．