技術者のための構造力学 5 線形座屈理論概説, 講習会資料目次. はじめに. 基礎式の一覧 6. バネの関係式 6. 柱の関係式 6. はりのたわみの微分方程式 6. 板のたわみの微分方程式 7.5 柱の座屈の微分方程式 7.6 板の座屈の微分方程式 8.7 補剛板の座屈の微分方程式 8. 微分方程

技術者のための構造力学

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線形座屈理論概説

線形座屈理論概説

線形座屈理論概説

線形座屈理論概説

Rev.2

2015.01.10

加藤久人

加藤久人

加藤久人

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三好崇夫

三好崇夫

三好崇夫

三好崇夫

線形座屈理論概説，講習会資料

線形座屈理論概説，講習会資料

線形座屈理論概説，講習会資料

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目次

目次

目次

目次

０．はじめに ０．はじめに ０．はじめに ０．はじめに ···4 １．基礎式の一覧 １．基礎式の一覧 １．基礎式の一覧 １．基礎式の一覧 ···6 １．１ １．１ １．１ １．１ バネの関係式バネの関係式バネの関係式バネの関係式 ···6 １．２ １．２ １．２ １．２ 柱の関係式柱の関係式柱の関係式柱の関係式 ···6 １． １． １． １．３３３３ はりはりのはりはりのののたわみの微分方程式たわみの微分方程式たわみの微分方程式たわみの微分方程式 ···6 １． １． １． １．４４４４ 板板の板板ののたわみの微分方程式のたわみの微分方程式たわみの微分方程式たわみの微分方程式 ···7 １． １． １． １．５５５５ 柱柱の柱柱のの座屈の微分方程式の座屈の微分方程式座屈の微分方程式座屈の微分方程式 ···7 １． １． １． １．６６６６ 板板の板板のの座屈の微分方程式の座屈の微分方程式座屈の微分方程式座屈の微分方程式 ···8 １． １． １． １．７７７７ 補剛板補剛板の補剛板補剛板ののの座屈の微分方程式座屈の微分方程式座屈の微分方程式座屈の微分方程式 ···8 ２ ２ ２ ２．．．．微分方程微分方程微分方程微分方程式の式の式の式の誘導誘導誘導誘導 ···9 ２ ２ ２ ２．１．１．１．１ はりのたわみの微分はりのたわみの微分方程式はりのたわみの微分はりのたわみの微分方程式方程式方程式 ···9 ２ ２ ２ ２．．．．２２２２ 板のたわみの微分方程式板のたわみの微分方程式板のたわみの微分方程式板のたわみの微分方程式 ···11 ２ ２ ２ ２．．．．２．１２．１２．１２．１ 応力とひずみの関係応力とひずみの関係応力とひずみの関係応力とひずみの関係 ···11 ２ ２ ２ ２．．．．２．２２．２２．２２．２ たわみとひずみ，応力の関係たわみとひずみ，応力の関係たわみとひずみ，応力の関係たわみとひずみ，応力の関係 ···14 ２．２．３ ２．２．３ ２．２．３ ２．２．３ 断面力と応力，ひずみの関係断面力と応力，ひずみの関係断面力と応力，ひずみの関係断面力と応力，ひずみの関係 ···14 ２．２．４ ２．２．４ ２．２．４ ２．２．４ 微小要素の断面力のつりあい微小要素の断面力のつりあい微小要素の断面力のつりあい微小要素の断面力のつりあい ···16 ２．３ ２．３ ２．３ ２．３ 柱の座屈の微分方程式柱の座屈の微分方程式柱の座屈の微分方程式柱の座屈の微分方程式 ···18 ２． ２． ２． ２．４４４４ 板板の座屈の微分方程式板板の座屈の微分方程式の座屈の微分方程式の座屈の微分方程式 ···21 ２．４．１ ２．４．１ ２．４．１ ２．４．１ 微小要素の断面力のつり合い微小要素の断面力のつり合い微小要素の断面力のつり合い微小要素の断面力のつり合い ···21 ２．４．２ ２．４．２ ２．４．２ ２．４．２ 微分方程式の導出微分方程式の導出微分方程式の導出微分方程式の導出 ···23 ２．４．３ ２．４．３ ２．４．３ ２．４．３ 板の弾性座屈応力板の弾性座屈応力板の弾性座屈応力板の弾性座屈応力 ···24 ３． ３． ３． ３．板の弾性座屈応力板の弾性座屈応力板の弾性座屈応力板の弾性座屈応力と耐荷力曲線と耐荷力曲線と耐荷力曲線と耐荷力曲線 ···26 ４ ４ ４ ４．．．．エネルギー論エネルギー論エネルギー論エネルギー論 ···28 ４ ４ ４ ４．．．．１１１１ ポテンシャルエネルギーのポテンシャルエネルギーの極値化ポテンシャルエネルギーのポテンシャルエネルギーの極値化極値化極値化 ···30 ４．２ ４．２ ４．２ ４．２ Timoshenko（チモシェンコ）（チモシェンコ）のエネルギー（チモシェンコ）（チモシェンコ）のエネルギーのエネルギーのエネルギー法による座屈解析法による座屈解析法による座屈解析法による座屈解析 ···32 ４． ４． ４． ４．３３３３ 安定，不安定，中立安定，不安定，中立安定，不安定，中立安定，不安定，中立 ···33 ４． ４． ４． ４．４４４４ 安定・不安定の概念安定・不安定の概念安定・不安定の概念安定・不安定の概念 ···35 ４． ４． ４． ４．５５５５ エネルギーの変化による安定・不安定の判別エネルギーの変化による安定・不安定の判別エネルギーの変化による安定・不安定の判別エネルギーの変化による安定・不安定の判別 ···36 ４．６ ４．６ ４．６ ４．６ エネルギー法エネルギー法による弾性座屈荷重の計算エネルギー法エネルギー法による弾性座屈荷重の計算による弾性座屈荷重の計算による弾性座屈荷重の計算 ···37 ５ ５ ５ ５．．．．内部エネルギーの計算式内部エネルギーの計算式内部エネルギーの計算式内部エネルギーの計算式 ···39 ５．１ ５．１ ５．１ ５．１ 柱の内部エネルギー柱の内部エネルギー柱の内部エネルギー柱の内部エネルギー ···39 ５． ５． ５． ５．２２２２ はりはりの内部エネルギーはりはりの内部エネルギーの内部エネルギーの内部エネルギー ···39 ５．３ ５．３ ５．３ ５．３ はり部材，柱部材への仮想仕事の原理の適用はり部材，柱部材への仮想仕事の原理の適用はり部材，柱部材への仮想仕事の原理の適用はり部材，柱部材への仮想仕事の原理の適用 ···40 ５．４ ５．４ ５．４ ５．４ 板要素の内部エネルギー板要素の内部エネルギー板要素の内部エネルギー板要素の内部エネルギー ···41 ６． ６． ６． ６．Timoshenko法による座屈解析法による座屈解析法による座屈解析法による座屈解析 ···42 ６．１ ６．１ ６．１ ６．１ 柱の座屈解析柱の座屈解析柱の座屈解析柱の座屈解析 ···42

６．１．１ ６．１．１ ６．１．１ ６．１．１ 内部エネルギー内部エネルギー内部エネルギー内部エネルギー ···42 ６．１．２ ６．１．２ ６．１．２ ６．１．２ 外力仕事増分外力仕事増分外力仕事増分外力仕事増分 ···43 ６ ６ ６ ６．．．．１．３１．３１．３１．３ 弾性座屈荷重弾性座屈荷重弾性座屈荷重弾性座屈荷重 ···44 ６．２ ６．２ ６．２ ６．２ 板の座屈解析板の座屈解析板の座屈解析板の座屈解析 ···44 ６．２．１ ６．２．１ ６．２．１ ６．２．１ 内部エネルギー内部エネルギー内部エネルギー内部エネルギー ···44 ６．２．２ ６．２．２ ６．２．２ ６．２．２ 外力仕事増分外力仕事増分外力仕事増分外力仕事増分 ···47 ６．２．３ ６．２．３ ６．２．３ ６．２．３ 弾性座屈応力弾性座屈応力弾性座屈応力弾性座屈応力 ···47 ６．３ ６．３ ６．３ ６．３ 補剛板の座屈解析補剛板の座屈解析補剛板の座屈解析補剛板の座屈解析 ···47 参考文献 参考文献 参考文献 参考文献 ···48

０ ０ ０ ０．はじめに．はじめに．はじめに．はじめに 本資料は，線形座屈理論の概要について以下の順に纏めたものである． １章では，微小要素の力の釣合から得られる，バネと柱の軸力と伸縮変位の関係式，はり，板のたわ みに関する微分方程式について備忘録として掲載する．併せてこれらの関係式や微分方程式に相似性が あり，密接に関連していることを示す．さらに，柱，板の座屈に関する微分方程式についても示す． ２章では，１章で述べた柱，板のたわみや座屈に関する微分方程式の誘導過程を紹介する．式の展開 に重点をおき，誘導に用いる基礎理論や基本式等に関する解説は文献1)～5)を参照されたい． ３章では，板の座屈に関する重要なパラメータである，幅厚比b/t，座屈係数k，幅厚比パラメータR 等について紹介する． ４章では，まず，エネルギー原理に基づく構造解析の体系を俯瞰する．次に，文献 3)，6)，7)に準拠 して線形座屈解析の理論を紹介する． ５章では，４章にて紹介したエネルギー原理に従って，はり部材や板要素が座屈変形を起こすときの 内部エネルギーの計算式を示す． ６章では，Timoshenko（チモシェンコ）のエネルギー法による柱，無補剛板，補剛板の座屈解析につ いて示す． 柱や無補剛板の座屈については，微小要素の力の釣合に基づく方法によっても，エネルギー法によっ ても座屈問題を取り扱うことができるが，補剛板については力の釣合に基づく方法で問題を扱うことは 複雑困難である．それに対して，エネルギー法によれば容易に解析の方程式が立てられることが理解さ れる．補剛板の具体的な座屈解析の方法については，Webページに掲載の別資料「(補足資料2) 補剛板 全体パネルの座屈応力と座屈係数」にて紹介する．

構造名称 構造モデル 力の釣り合い→微分方程式→解 エネルギー理論による解釈 ① バネ ② 棒 ・ト ラ ス部材 棒要素の内部エネルギー 仮想仕事の原理 ③ はり部材 はり要素の内部エネルギー 仮想仕事の原理 ④ 板 板曲げ剛性 板要素の内部エネルギー ⑤ 柱座屈 全ポテンシャルゼロ 内部エネルギー 外力仕事 ⑥ 板座屈 全ポテンシャルゼロ ⑦ 補 剛板 の 座屈

？

文献 6)には，直交異方性板として 曲げ剛度D_x，D_yを用いた式が掲載さ れている． 全ポテンシャルゼロ Up：板母材に蓄えられる内部エネルギー UL：縦リブに蓄えられる内部エネルギー UT：横リブに蓄えられる内部エネルギー Tp：板母材になされる外力仕事の増分 TL：縦リブになされる外力仕事の増分 表－1.1 各種構造の基礎式と座屈解析の基礎式の比較 ku P= _{W Pd dA dx dxdydz} x x x x ε σε σ 2 1 2 1 2 1 _{= =} = ∫ ∫ ∫ ∫ = = dxdydz dV U σxεx σxεx 2 1 2 1 0 2 2 2 4 4 2 2 4 4 4 = ∂ ∂ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ x w t y w y x w x w D σ e cr k tb D b a m n a b m π σ σ  =      ₊ = 2 2 2 2 b y n a x m A w mn π π _sin sin = ε σ=E u L EA P= EA LN dx N EA U 2 2 1 2 2 = = ∫ v P W δ δ = ∫ =V dV U σδε δ ∫ ∫       = L A dAdx AE N A N U 0 δ δ dx EA N N U L ∫ =0 δ δ U W δ δ = 2 2 dx w d EI My=− z q dx w d EI = 4 4 e dx cx bx ax w= 4+ 3+ 2+ + z z y q dx dQ dx M d − = = 2 2 dx EI M M U L ∫ =0 δ δ dx M EI U= ∫ 2 2 1 U W δ δ = q y w y x w x w D _=      ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 4 4 2 2 4 4 4 2 ( ) 2 0 2 3 1 1 12 −ν = −ν = Et EI D ∑ ∑∞ = ∞ = = 1 1 sin sin m n mn y b n x a m A w π π 2 2 AL EI A Pcr cr π σ = = 0 2 2 = +Pw dx w d EI x L m A w m π sin = 0 2 2 4 4 = + dx w d tb dx w d EI σ 0 = + −My Pw ( ) ∫ ∫                 ∂ ∂ ∂ ∂ −       ∂ ∂ ∂ − +       ∂ ∂ + ∂ ∂ =ba dxdy y w x w y x w y w x w D U 00 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ν ∫ ∫       =       = L L dx dx w d EI dx dx w d EI EI U 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 1 ∫       = = L cr cr dx dx dw P u P T 0 2 2 1 0 = −T U b y n a x m A w mn π π _cos sin = 2 2 2 2 2 2 4 8 Amn b n L m DLb U       ₊ =π ∫ ∫       ∂ ∂ = b L dxdy x w t T 0 0 2 2 σ 0 = − = Π U T ( ) ∫ ∫                 ∂ ∂ ∂ ∂ −       ∂ ∂ ∂ − +       ∂ ∂ + ∂ ∂ =ba dxdy y w x w y x w y w x w D U 00 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ν 0 = − − + + = Π UP UL UT TP TL

１．基礎 １．基礎 １．基礎 １．基礎式式式の式のの一覧の一覧一覧一覧 微小要素の力の釣合から得られる，バネと柱の軸力と伸縮変位の関係式，はり，板のたわみや座屈に 関する微分方程式について，各々の構造の解析に必要なエネルギー原理式とともに表－1.1 に示す．同 表には補剛板の座屈に関しても示したが，微小要素の力のつり合いに基づく微分方程式は複雑であるた め，その解析の基礎式に必要となるエネルギー原理式のみを示した．なお，同表中のu，vおよびwは， それぞれ3次元座標軸x，yおよびz軸方向の変位を表している．また，柱部材に関しては，部材軸方向 にx軸，たわみの方向にz軸を設け，それらと直交する方向にy軸を設けるものとする．さらに，板に 関してはその面内にx，y軸を，たわみの方向にz軸を設定する．各座標軸方向に生ずる直ひずみをε_x， εy，ε_z，各座標軸が作る面内に生ずるせん断ひずみをγ_xy (= γ_yx)，γ_yz (= γ_zy)，γ_zx (= γ_xz)，各座標軸方向に生 ずる直応力をσ_x，σ_y，σ_z，各座標軸が作る面内に生ずるせん断応力をτ_xy (= τ_yx)，τ_yz (= τ_zy)，τ_zx (= τ_xz)と表 すことにする． １．１ １．１ １．１ １．１ バネの関係式バネの関係式バネの関係式バネの関係式 図－1.1に示すように，バネに作用する荷重をP，バネ定数をk，バネに生ずる伸び変位をuとすれば， 荷重と変位の関係は次式で表される．

ku

P

=

(1.1) １． １． １． １．２２２２ 柱柱の関係式柱柱の関係式の関係式の関係式 図－1.2に示すように，柱部材に作用する荷重をP，弾性係数をE，断面積をA，バネに生ずる変位を uとする．Hooke（フック）の法則により，部材軸方向の応力σとひずみεの関係は，

ε

σ

=

E

(1.2) 部材軸方向の応力σは荷重Pと断面積Aを用いて次のように表される．

A

P

=

σ

(1.3) また，部材軸方向のひずみεは部材長Lと変位uを用いて次式で表される．

L

u

=

ε

(1.4) 式(1.3)，(1.4)を式(1.2)に代入することによって，荷重Pと変位uの関係は次式で表される．

u

L

EA

P

=

(1.5) １． １． １． １．３３３ ３ はりはりのはりはりのたわみのののたわみのたわみのたわみの微分方程式微分方程式微分方程式微分方程式 図－1.3 に示すように，変形したはり部材の任意点において，部材軸方向の長さ dx の微小要素が dw 図 －1.1 バ ネ に 作 用 す る荷重と変位 u P 図－1.2 柱部材の軸力と 変位の関係 L P 軸力を受ける柱部材： 弾性係数E，断面積A x u 図 －1.3 変 形 し た は り のた わ み とたわみ角 dx dw y= θ z y x w dx θy dx dw

だけたわんでいるものとし，はりのせん断変形の影響が無視できるものとすれば，たわみ角θ_yは次式で 表される．（せん断変形を考慮したはり理論については別資料にて解説する．）

dx

dw

y

=

θ

(1.6) 変形が小さければ，式(1.6)をさらに1階微分したものは，近似的に曲率φに等しくなる． 2 2

dx

w

d

dx

d

_y

=

≅

θ

ϕ

(1.7) 曲率φと曲げモーメントM_yの関係は次式で表される． 2 2

dx

w

d

EI

EI

M

_y

=

−

ϕ

=

−

(1.8) 式(1.8)を1階微分して曲げモーメントとせん断力S_zの関係S_z = dM_y/dxを代入し，さらにこれを1階微 分してせん断力S_zと分布荷重q_zの関係q_z=－dS_z/dxを代入すると，分布荷重q_zとたわみwの関係を表す 次の微分方程式が得られる． z

q

dx

w

d

EI

₄

=

4 (1.9) 式(1.9)は4階の微分方程式であるから，その一般解は次のように与えられる．

e

dx

cx

bx

ax

w

=

4

+

3

+

2

+

+

(1.10) なお，はり部材のたわみの微分方程式の誘導については，２章にて詳細に説明する． １． １． １． １．４４４４ 板板の板板ののたわみの微分方程式のたわみの微分方程式たわみの微分方程式たわみの微分方程式 詳細は省略するが，面外（z軸）方向に分布荷重qを受ける板のたわみwに関する（偏）微分方程式 は次式で与えられる．

q

y

w

y

x

w

x

w

D

_

=











∂

∂

+

∂

∂

∂

+

∂

∂

4 4 2 2 4 4 4

2

(1.11) 式(1.11)において，Dは板曲げ剛度と呼ばれ，次式で表される．

(

2

)

3

1

12

−

ν

=

Et

D

(1.12) ここに，E：弾性係数，t：板厚，およびν：Poisson（ポアソン）比である． 式(1.11)については，一般的に次のFourier（フーリエ）級数解が仮定される．

∑ ∑

∞ = ∞ =

=

1 1

sin

sin

m n mn

b

y

n

a

x

m

A

w

π

π

(1.13) なお，板のたわみの微分方程式の誘導については，２章にて詳細に説明する． １． １． １． １．５５５５ 柱柱の柱柱のの座屈の微分方程式の座屈の微分方程式座屈の微分方程式座屈の微分方程式 圧縮力Pを受ける柱部材の任意点xのたわみがwで，その断面の曲げモーメントがM_yであるとき， この任意点で切断した自由物体の力のつり合いから次式が得られる．

0

=

+

−

M

_y

Pw

(1.14) 一方，柱部材の曲げモーメントMと曲率の関係は次式で表される．

2 2

dx

w

d

EI

M

_y

=

−

(1.15) ここに，E：弾性係数，およびI：断面二次モーメントである． 式(1.14)を式(1.15)に代入すると，

0

2 2

=

+

Pw

dx

w

d

EI

(1.16) 式(1.16)をxに関して2階微分すると

0

2 2 4 4

=

+

dx

w

d

P

dx

w

d

EI

(1.17) 式(1.17)の一般解は，

kx

B

kx

A

w

=

sin

+

cos

(1.18) 式(1.18)において，

EI

P

k

=

(1.19) 式(1.18)を種々の境界条件を与えれば，一般的に弾性座屈応力σ_crは次のように表される．

( )

L

A

EI

cr 2 2

β

π

σ

=

(1.20) ここに，β：柱部材両端の境界条件によって決まる有効長さ係数，L：柱部材の長さ，およびA：柱部 材の断面積である． １． １． １． １．６６６６ 板板の板板のの座屈の微分方程式の座屈の微分方程式座屈の微分方程式座屈の微分方程式 一様な圧縮応力σを受ける板の微分方程式は次式で表される．

0

2

₂ 2 4 4 2 2 4 4 4

=

∂

∂

+













∂

∂

+

∂

∂

∂

+

∂

∂

x

w

t

y

w

y

x

w

x

w

D

σ

(1.21) ここに，D：式(1.12)で表される板曲げ剛度，t：板厚である． 式(1.21)の一般解は次式で仮定される．

y

b

n

x

a

m

A

w

=

_mn

sin

π

sin

π

(1.22) ここに，A_mn：係数，a，b：それぞれ板の圧縮軸方向長さ，板幅，m，n：それぞれ板の圧縮軸，板幅 方向の正弦半波数である． 板が4辺単純支持条件にある場合，弾性座屈応力σ_crは次のように表される．

( )

e cr

k

tb

D

b

a

m

n

a

b

m

π

σ

σ



=











₊

=

2₂ 2 2 (1.23) 式(1.23)において，σ_eは次式で表されるEulerの基本座屈応力である． 2 2

tb

D

e

π

σ

=

(1.24) １． １． １． １．７７７７ 補剛板補剛板の補剛板補剛板ののの座屈の微分方程式座屈の微分方程式座屈の微分方程式座屈の微分方程式 一様な圧縮応力を受ける補剛板の微分方程式を微小要素の力のつり合いから導くことは困難である．

このため，本資料では，同微分方程式についての説明は省略する． ２ ２ ２ ２．．．．微分方程式の誘導微分方程式の誘導微分方程式の誘導微分方程式の誘導 本章では，はりと板のたわみ，柱部材と板の座屈に関する微分方程式の誘導過程について詳細に示す． なお，本章においても，１章と同様に，u，vおよびwは，それぞれ3次元座標軸x，yおよびz軸方向 の変位を表すものとする． ２ ２ ２ ２．．．．１１１１ はりのはりはりはりのののたわみの微分方程式たわみの微分方程式たわみの微分方程式たわみの微分方程式 図－2.1を参照すると，x軸方向の直ひずみε_xは次式にて定義される．

(

)

dx

du

x

u

Lim

x

u

u

u

Lim

x x x

=

∆

∆

=

∆

−

∆

+

=

_{∆→0 ∆→0}

ε

(2.1) 式(2.1)の直ひずみは，図－2.2 に示すような 2 次元状態に対しても，各座標軸方向に対して個別に定 義できる．因みに，せん断ひずみについては，図－2.3 に示す 2次元の微小要素の変形を考えることに よって次式で定義される．

y

u

x

v

yx xy

∂

∂

+

∂

∂

=

=

γ

γ

(2.2) ひずみとたわみの関係について求めるため，図－2.4および2.5を参照するとたわみ角θ_yは，

dx

dw

y y

≅

θ

=

θ

tan

(2.3) たわみ角θ_yに伴う，任意点の断面内のx軸方向変位uは，

dx

dw

z

z

z

u

=

−

sin

θ

_y

≅

−

θ

_y

=

−

(2.4) 式(2.4)の両辺をxで1階微分して式(2.1)の関係を用いると，x軸方向ひずみε_xとたわみの関係は 2 2

dx

w

d

z

dx

du

x

=

=

−

ε

(2.5) 図－2.1 部材軸方向の変位 (a) 軸力を受ける棒部材 l P ∆x x ∆l D C (b) 微小要素の変形 u u+∆u ∆x D C D’ C’ 図－2.2 2次元の直ひずみと変形 A B dx C y dy u+(∂u/∂x)dx u x D v A’ B’ C’ D’ v+(∂v/∂y)dy 図－2.3 せん断ひずみと変形 A dx B C y dy ∂v/∂x x D B’ C’ D’ (∂u/∂y)dy (∂v/∂x)dx ∂u/∂y 図－2.4 はりのたわみとたわみ角 dx dw y= θ z y x w dx θy dx dw 図－2.5 たわみ角と曲率 O dS dx θa a 2 2 a b 1 dx w d dx dw dx d dS d dS = ≅ = − = =ϕ θ θ θ ρ z x My My b dθ θb θa dθ = θa－θ_b

一般的に，はりや柱部材では次のように，部材軸に直角なy，z軸方向の直応力は無視（断面内無応力 の仮定）される．

0

=

=

z y

σ

σ

(2.6) また，せん断ひずみは微小であるため次のように表す．

0

=

=

yz zx

γ

γ

(2.7) 式(2.5)より，Hookeの法則を用いると，軸方向応力σ_xは次のように表される． 2 2

dx

w

d

Ez

dx

du

E

E

_x x

=

ε

=

=

−

σ

(2.8) 図－2.6～2.8を参照すると，はり断面の幅をb，高さをtとして式(2.8)を用いると，断面に生ずるモー メントM_yは 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

12

3

dx

w

d

EI

dx

w

d

bt

E

z

dx

w

d

bE

dz

z

dx

w

d

bE

zdz

dx

w

d

bEz

zdz

b

M

t t t t t t t t x y

−

=

−

=









−

=

−

=

−

=

=

− − − −

∫

∫

∫

σ

(2.9) 式(2.9)において，Iはy軸まわりの断面二次モーメント（= bt 3 /12）である． 図－2.9に示すように，単位幅b = 1のはりにz軸方向の分布荷重q_zが作用しているものとすれば，微 小要素のz軸方向の力のつり合いより，

0

=

+













+

+

−

=

∑

dx

q

dx

dx

dQ

Q

Q

V

z z z z (2.10) ここに，Q_z：z軸方向のせん断力である． 式(2.10)をdxで除して， 図－2.9 分布荷重と断面力の関係 dx Qz+dQz qz(x) B A x Qz My+dMy My dx qz(x) qz(x)dx 図－2.6 微小要素の応力と断面力 dy z N y x dz Mz σx y z 重心 My 図－2.7 応力と曲げモーメントの関係 n n σx My n n 中立面 中立軸 dA p = σxdA My y 図－2.8 曲げモーメントに伴う微 小要素の曲げ応力分布 dz dy n n σx My x

z z

_q

dx

dQ

₌

₋

(2.11) 図－2.9に示す微小要素について，y軸まわりのモーメントの釣り合いを考える．ただし，同図に示す ように，曲げモーメント M_yは，はりが下に凸に変形するように生ずるものを正とする．反時計回りを 正とする微小要素のモーメントのつり合い式は次のようになる．

0

2

=

−













+

−













+

+

−

=

∑

dx

dx

q

dx

dx

dx

dQ

Q

dx

dx

dM

M

M

M

z z z y y y (2.12) 式(2.12)をdxで除して，

0

2

=

−

−

−

z z z y

q

dx

dx

dx

dQ

Q

dx

dM

(2.13) 式(2.13)において高次の微小項を省略すると， z y

Q

dx

dM

=

(2.14) 式(2.14)をxについて1階微分して，さらに式(2.11)の関係を代入すると， z z y

q

dx

dQ

dx

M

d

−

=

=

2 2 (2.15) 式(2.9)をxについて2階微分して，さらに式(2.15)の関係を代入すると， z y

q

dx

w

d

EI

dx

w

d

EI

dx

d

dx

M

d

−

=

−

=













₋

=

2₂ 2₂ 4₄ 2 2 (2.16) したがって，次式が成立する． z

q

dx

w

d

EI

₄

=

4 (2.17) 式(2.17)は弾性曲線方程式とも呼ばれる．はり理論における曲げモーメント，せん断力と荷重強度の 関係を表－2.1に纏めて示す． ２ ２ ２ ２．．．．２２２２ 板の板板板ののたわみの微分方程式のたわみの微分方程式たわみの微分方程式たわみの微分方程式 ２ ２ ２ ２．．．．２．１２．１２．１２．１ 応力とひずみの関係応力とひずみの関係応力とひずみの関係応力とひずみの関係 図－2.10に示すように，x，y，z軸方向の長さがそれぞれ1である正方6面体を考える．それぞれ同6 面体の－x軸側のy－z面はx軸方向変位u，－y軸側のz－x面はy軸方向変位v，および－z軸側のx－y 表－2.1 はりの曲げモーメント，せん断力と荷重強度の関係 曲げモーメント

M

_y

M

_y

=

−

∫∫

q

_z

dx

+

C

₁

x

+

C

₂ ↓ 微分 ↑ 積分 せん断力 z y

Q

dx

dM

=

Q

z

=

−

∫

q

z

dx

+

C

1 ↓ 微分 ↑ 積分 荷重強度 z z y

q

dx

dQ

dx

M

d

−

=

=

2 2 z

q

−

面はz軸方向変位wが拘束されているものとする．同図(a)に示すように，x軸方向にひずみε_xが生ずる ように引っ張ると，Poisson（ポアソン）効果によって，y，z軸方向にもひずみを生じる．同6面体が等 方性材料であるならば，これらのひずみε_y’，ε_z’は次式で表される． x z x y

νε

ε

νε

ε

′

=

−

,

′

=

−

(2.18)1,2 ここに，ν：Poisson（ポアソン）比である． また，同図(b)に示すように，y軸方向にひずみε_yが生ずるように引っ張たときに，z，x軸方向に生ず るひずみε_z’’，ε_x’’はそれぞれ次式で表される． y x y z

νε

ε

νε

ε

′′

=

−

,

′′

=

−

(2.19)1,2 同様に，同図(c)に示すように，z軸方向にひずみε_zが生ずるように引っ張たときに，x，y軸方向に生 ずるひずみε_x’’’，ε_y’’’はそれぞれ次式で表される． y x y z

νε

ε

νε

ε

′′′

=

−

,

′′′

=

−

(2.20)1,2 それぞれ図－2.10(a)～(c)に示したひずみ ε_x，ε_y，ε_zは，Hooke（フック）の法則によって応力 σ_x，σ_y， σzを用いて次のように表される．

E

E

E

z z y y x x

σ

ε

σ

ε

σ

ε

=

,

=

,

=

(2.21)1～3 ここに，E：弾性係数である． 例えば，x軸方向に生ずる直ひずみをΣε_xと表すことにすると，それは，重ね合わせの原理によって式 (2.19)と(2.20)の第2式，式(2.21)の和として次のように表される． x x x x

ε

ε

ε

ε

=

+

′′

+

′′′

∑

(2.22) 式(2.22)において，Σε_xを改めてε_xと表すことにして，それぞれ式(2.19)と(2.20)の第2式，式(2.21)の右 辺を代入すると， z y x x

E

νε

νε

σ

ε

=

−

−

(2.23) 式(2.23)右辺第2，3項に式(2.21)の第2，3式を代入すると，

(

x y z

)

z y x x

E

E

E

E

σ

νσ

νσ

σ

ν

σ

ν

σ

ε

=

−

−

=

1

−

−

(2.24)1 y，z方向の直ひずみについても同様に次のように表される． 図－2.10 微小要素のひずみと変形 (a) x軸方向への引張 z (w) 1 1 σx ε’y 1 ε’z εx w = 0 y (v) x (u) u = 0 v = 0 (b) y軸方向への引張 z (w) 1 1 σy εy 1 ε’’z ε’’x w = 0 y (v) x (u) u = 0 v = 0 (c) z軸方向への引張 z (w) 1 1 σz ε’’’y 1 εz ε’’’x w = 0 y (v) x (u) u = 0 v = 0

(

x y z

)

y

E

νσ

σ

νσ

ε

=

1

−

+

−

(2.24)2

(

x y z

)

z

E

νσ

νσ

σ

ε

=

1

−

−

+

(2.24)3 板厚方向をz軸方向として，x－y面内にある板のひずみと応力の関係を求める．一般的に板の問題で は板厚方向の応力は0，即ちσ_z = 0と仮定される．これは平面応力状態と呼ばれる．式(2.24)の第1，2 式にσ_z = 0を代入すると，

(

x y

)

y

(

x y

)

x

E

E

σ

νσ

ε

νσ

σ

ε

=

1

−

,

=

1

−

+

(2.25)1,2 式(2.25)をσ_y，σ_zについて連立させて解けばそれぞれ次式が得られる．

(

x y

)

y

(

x y

)

x

E

E

_νε

_ε

ν

σ

νε

ε

ν

σ

+

−

=

+

−

=

_{2 2}

1

,

1

(2.26)1, 2 また，板面内に生ずるせん断応力τ_xyとせん断ひずみγ_xyの関係は，せん断弾性係数Gを用いて次のよ うに表される． xy xy

G

γ

τ

=

(2.27) 因みに，3次元応力状態に対するx，y，z軸方向の直応力 σ_x，σ_y，σ_zは式(2.24)をσ_x，σ_y，σ_zについて 連立させて解くことによって次のように表される．

(

)(

) (

{

)

x y z

}

x

E

_ν

_ε

_νε

_νε

ν

ν

σ

−

+

+

−

−

=

1

1

2

1

(2.28)1

(

)(

)

{

x

(

)

y z

}

y

E

_νε

_ν

_ε

_νε

ν

ν

σ

+

−

+

−

−

=

1

1

2

1

(2.28)2

(

)(

)

{

x y

(

)

z

}

z

E

_νε

_νε

_ν

_ε

ν

ν

σ

+

+

−

−

−

=

1

1

2

1

(2.28)3 式(2.24)はε_x，ε_y，ε_zを従属変数，σ_x，σ_y，σ_zを独立変数とする3元1次連立方程式と見なすことができ て，マトリックス－ベクトル表示すれば次のように表される．









































−

−

−

−

−

−

=





















z y x z y x

E

σ

σ

σ

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ε

ε

ε

1

1

1

1

例えば，式(2.28)の第1式は，上式に対してCramer（クラメル）の公式を適用して得られる次の行列 式をSarrus（サラス）の展開によって解くことによって求められる．

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

z y x x

1

1

1

1

1

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ε

ν

ε

ν

ν

ε

σ

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

(2.29) 式(2.28)の第2，3式についても同様にして導くことができる．

２ ２ ２ ２．．．．２．２２．２２．２２．２ たわみとひずみ，応力の関係たわみとひずみ，応力の関係たわみとひずみ，応力の関係たわみとひずみ，応力の関係 図－2.11に示すように，板面内にx－y座標軸，面外方向にz軸を定義すると，それぞれx，y軸まわ りのたわみ角θ_x，θ_yは，図－2.12に示すように，y－z，z－x面内の変形を考えることによって次のよう に表される．

x

w

y

w

y y x x

∂

∂

=

≅

∂

∂

=

≅

θ

θ

θ

θ

tan

,

tan

(2.30)1,2 図－2.12に示す微小要素の中立面からz離れた点のx，y方向変位u，vはそれぞれ次式で表される．

y

w

z

z

z

v

x

w

z

z

z

u

y y x x

∂

∂

−

=

−

≅

−

=

∂

∂

−

=

−

≅

−

=

sin

θ

θ

,

sin

θ

θ

(2.31)1,2 式(2.1)の関係を用いると，x，y方向の直ひずみε_x，ε_yは次のように表される． 2 2 2 2

,

y

w

z

y

u

x

w

z

x

u

y x

∂

∂

−

=

∂

∂

=

∂

∂

−

=

∂

∂

=

ε

ε

(2.32)1,2 板幅に比べて板厚の小さい薄板に関しては，一般的に面外せん断ひずみは0と見なされる．即ち，γ_zx = γyz = 0である．（Kirchhoff（キルヒホッフ）の仮定と呼ばれる．）残るせん断ひずみのうち，面内せ ん断ひずみγ_yxは，式(2.2)に式(2.31)を代入して，

y

x

w

z

y

x

w

z

x

y

w

z

x

v

y

u

xy

∂

∂

∂

−

=

∂

∂

∂

−

∂

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

=

2 2

2

2

γ

(2.33) 式(2.32)と(2.33)を式(2.26)，(2.27)に代入すると，

(

)













∂

∂

+

∂

∂

−

−

=













∂

∂

−

∂

∂

−

−

=

+

−

=

_{2 2} 2₂ 2 _{2 2} 2 ₂ 2₂

1

1

1

y

w

x

w

Ez

y

w

z

x

w

z

E

E

y x x

ν

ε

νε

ν

ν

ν

ν

σ

(2.34)1

(

)













∂

∂

+

∂

∂

−

−

=













∂

∂

−

∂

∂

−

−

=

+

−

=

_{2 2} 2 ₂ 2 _{2 2} 2 ₂ 2 ₂

1

1

1

x

w

y

w

Ez

x

w

z

y

w

z

E

E

x y y

ε

νε

ν

ν

ν

ν

σ

ν

(2.34)2

y

x

w

Gz

G

xy xy

∂

∂

∂

−

=

=

γ

2

2

τ

(2.35) ２ ２ ２ ２．．．．２．３２．３２．３２．３ 断面力と応力，ひずみの関係断面力と応力，ひずみの関係断面力と応力，ひずみの関係断面力と応力，ひずみの関係 板の微小要素には，図－2.13に示す応力と，図－2.14に示すようにそれに伴う単位幅あたりの断面力 が発生する．せん断流理論によって，面外せん断応力 τ_yz，τ_xzは放物線分布を呈し，各々の z－x，y－z 面における積分が単位幅あたりの面外せん断力Q_yz，Q_xzとなる．なお，せん断流理論については別資料 図－2.11 板の座標系とz－x，y－z面 中立面 z (w) y－z面（x=一定） z－x面（y=一定） t/2 y (v) x (u) dy dx t/2 図－2.12 板断面内の変位 (b) z－x面 θy z y x z w(x, y) z u (a) y－z面 θx z x y z w(x, y) z v

にて説明する．また，単位幅あたりのx，y軸まわりの曲げモーメントM_x，M_y，ねじりモーメントM_xy， Myxは，はりの曲げモーメントと同様に，応力を微小要素の側面積で積分したものに等しい．

∫

∫

∫

∫

₋

=

₋

=

₋

=

₋

=

2 2 2 2 2 2 2 2

,

,

,

t t yx yx t t xy xy t t x y t t y x

zdz

M

zdz

M

zdz

M

zdz

M

σ

σ

τ

τ

(2.36)1～4 ただし，曲げモーメントM_x，M_yについては微小要素を+z軸方向に凸に変形させる向きを正とする． 式(2.36)の第3，4式については，共役せん断応力の法則（資料「共役せん断応力」参照）により，τ_xy = τyxであるから，次の関係が成立する． yx xy

M

M

=

(2.37) 式(2.36)の第1式に式(2.34)の第1式を代入すると，

[ ]













∂

∂

+

∂

∂

−

=













∂

∂

+

∂

∂

−

−

=













∂

∂

+

∂

∂

−

−

=













∂

∂

+

∂

∂

−

−

=













∂

∂

+

∂

∂

−

−

=

=

− − − −

∫

∫

∫

2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

12

1

3

1

1

1

1

x

w

y

w

D

t

x

w

y

w

E

z

x

w

y

w

E

dz

z

x

w

y

w

E

dz

x

w

y

w

Ez

zdz

M

t t t t t t t t y x

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

σ

(2.38)1 式(2.38)の第1式において，Dは次式で定義される板曲げ剛度である．

(

2

)

3

1

12

−

ν

=

Et

D

(2.39) 式(2.38)の第1式と同様にして，













∂

∂

+

∂

∂

−

=

2 ₂ 2 ₂

y

w

x

w

D

M

_y

ν

(2.38)2 式(2.36)の第3式に式(2.35)を代入すると，

[ ]

y

x

w

Gt

z

y

x

w

G

dz

z

y

x

w

G

dz

y

x

w

Gz

zdz

M

t t t t t t t t xy xy

∂

∂

∂

−

=

∂

∂

∂

−

=

∂

∂

∂

−

=













∂

∂

∂

−

=

=

− − − −

∫

∫

∫

2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6

3

1

2

2

2

τ

(2.40) 式(2.40)のせん断弾性係数Gは，弾性係数E，Poisson（ポアソン）比νを用いて次のように表される． 図－2.13 板の微小要素に生ずる応力 中立面 z τxz y x dy dx σx τxy τxz+(∂τxz/∂x)dx σx+(∂σx/∂x)dx τxy+(∂τxy/∂x)dx σy τyx τyz τyz+(∂τyz/∂y)dy σy+(∂σy/∂y)dy τyx+(∂τyx/∂y)dy 図－2.14 板の微小要素に生ずる断面力 z Mxydy y x dy dx Qxzdy Mydy {Mxy+(∂Mxy/∂x)dx}dy {Qxz+(∂Qxz/∂x)dx}dy {My+(∂My/∂x)dx}dy Qyzdx Myxdx Mxdx {Qyz+(∂Qyz/∂y)dy}dx {Mx+(∂Mx/∂y)dy}dx {Myx+(∂Myx/∂y)dy}dx q

この関係が成立する理由については，別資料「せん断弾性係数と Poisson 比，弾性係数の関係」を参照 されたい．

(

+

ν

)

=

1

2

E

G

(2.41) 式(2.39)を弾性係数Eについて解けば，

(

2

)

3

1

12

D

t

E

=

−

ν

(2.42) 式(2.41)を式(2.40)の最右辺に代入すると，

(

ν

)

(

ν

)

=

(

−

ν

)

−

+

=

12

1

6

1

1

2

1

3 3 2

t

D

t

D

G

(2.43) 式(2.43)を式(2.40)に代入すると，

(

)

(

)

y

x

w

D

y

x

w

t

t

D

y

x

w

Gt

M

xy

∂

∂

∂

−

−

=

∂

∂

∂

−

−

=

∂

∂

∂

−

=

3 2 ₃ 3 2

1

2

6

1

6

6

ν

ν

(2.44) ２ ２ ２ ２．．．．２．４２．４２．４２．４ 微小要素の断面力のつりあい微小要素の断面力のつりあい微小要素の断面力のつりあい微小要素の断面力のつりあい 図－2.14に示すように，板の面に作用する分布荷重をqとすれば，微小要素のz軸方向の力の釣り合 い式は次のようになる．

0

=

+













∂

∂

+

+

−













∂

∂

+

+

−

=

∑

dy

dx

qdxdy

y

Q

Q

dx

Q

dy

dx

x

Q

Q

dy

Q

V

yz yz yz xz xz xz (2.45) 式(2.45)を整理すると，

q

y

Q

x

Q

xz yz

=

−

∂

∂

+

∂

∂

(2.46) 微小要素の－x軸側のy－z面の重心を通ってy軸に平行な軸まわりのモーメントのつり合い式は，

0

2

2

2



_

−

=









∂

∂

+

−

+













∂

∂

+

−













∂

∂

+

+

−













∂

∂

+

+

−

=

∑

dx

qdxdy

dx

dx

dy

y

Q

Q

dx

dx

Q

dydx

dx

x

Q

Q

dx

dy

y

M

M

dx

M

dy

dx

x

M

M

dy

M

M

yz yz yz xz xz yx yx yx y y y y (2.47) 図－2.14 板の微小要素に生ずる断面力（再掲） z Mxydy y x dy dx Qxzdy Mydy {Mxy+(∂Mxy/∂x)dx}dy {Qxz+(∂Qxz/∂x)dx}dy {My+(∂My/∂x)dx}dy Qyzdx Myxdx Mxdx {Qyz+(∂Qyz/∂y)dy}dx {Mx+(∂Mx/∂y)dy}dx {Myx+(∂Myx/∂y)dy}dx q

式(2.47)を整理すると，

0

2

2

2

−

=

∂

∂

−

∂

∂

−

−

∂

∂

+

∂

∂

dx

qdxdy

dx

dydx

y

Q

dy

dx

x

Q

dxdy

Q

dxdy

y

M

dxdy

x

M

_{xz yz} xz yx y (2.48) 式(2.48)をdxdyで除して，

0

2

2

−

=

∂

∂

−

∂

∂

−

−

∂

∂

+

∂

∂

dx

q

dx

y

Q

dx

x

Q

Q

y

M

x

M

_{xz yz} xz yx y (2.49) 式(2.49)において，微小要素であるからdx→0より，

y

M

x

M

Q

y yx xz

∂

∂

+

∂

∂

=

(2.50) 図－2.14において，微小要素の－y軸側のz－x面の重心を通ってx軸に平行な軸まわりのモーメント のつり合い式は，

0

2

2

2





+

=









∂

∂

+

+

−













∂

∂

+

+













∂

∂

+

−

+













∂

∂

+

−

=

∑

dy

qdxdy

dy

dy

dx

x

Q

Q

dy

dy

Q

dxdy

dy

y

Q

Q

dy

dx

x

M

M

dy

M

dx

dy

y

M

M

dx

M

M

xz xz xz yz yz xy xy xy x x x x (2.51) 式(2.51)を整理すると，

0

2

2

2

+

=

∂

∂

+

∂

∂

+

+

∂

∂

−

∂

∂

−

dxdy

dy

qdxdy

dy

x

Q

dxdy

y

Q

dxdy

Q

dxdy

x

M

dydx

y

M

yz _xz yz xy x (2.52) 式(2.52)をdxdyで除して，

0

2

2

+

=

∂

∂

+

∂

∂

+

+

∂

∂

−

∂

∂

−

dy

q

dy

x

Q

dy

y

Q

Q

x

M

y

M

yz _xz yz xy x (2.53) 式(2.53)において，微小要素であるからdy→0より，

x

M

y

M

Q

x xy yz

∂

∂

+

∂

∂

=

(2.54) 式(2.50)をxで1階偏微分すると， 図－2.14 板の微小要素に生ずる断面力（再掲） z Mxydy y x dy dx Qxzdy Mydy {Mxy+(∂Mxy/∂x)dx}dy {Qxz+(∂Qxz/∂x)dx}dy {My+(∂My/∂x)dx}dy Qyzdx Myxdx Mxdx {Qyz+(∂Qyz/∂y)dy}dx {Mx+(∂Mx/∂y)dy}dx {Myx+(∂Myx/∂y)dy}dx q

y

x

M

x

M

x

Q

xz y yx

∂

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

2 2 2 (2.55) 式(2.54)をyで1階偏微分すると，

y

x

M

y

M

y

Q

_{yz x xy}

∂

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

2 2 2 (2.56) 式(2.55)，(2.56)を式(2.46)の左辺に代入すると，

q

y

M

y

x

M

x

M

_{y yx x}

−

=

∂

∂

+

∂

∂

∂

+

∂

∂

2 2 2 2 2

2

(2.57) 式(2.57)に式(2.37)，(2.38)，(2.44)を代入すると，

(

)

q

x

w

y

w

y

D

y

x

w

y

x

D

y

w

x

w

x

D

_

=

−











∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

−

∂

∂

∂

∂

∂

∂

−

−













∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

−

2₂ 2₂

ν

2₂

2

1

ν

2 2 2₂ 2 ₂

ν

2 ₂ (2.58) 式(2.58)を変形すると以下のようになる．

(

)

q

x

w

y

w

y

y

x

w

y

w

x

w

x

D

=

























∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

−

+













∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2

1

2

ν

ν

ν

(

)

q

y

x

w

y

w

y

x

w

y

x

w

x

w

D

=













∂

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

∂

−

+

∂

∂

∂

+

∂

∂

2 2 4 4 4 2 2 4 2 2 4 4 4

1

2

ν

ν

ν

q

y

x

w

y

w

y

x

w

y

x

w

y

x

w

x

w

D

_

=











∂

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

∂

−

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

+

∂

∂

2 2 4 4 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 4 4

2

2

ν

ν

ν

したがって，

q

y

w

y

x

w

x

w

D

_

=











∂

∂

+

∂

∂

∂

+

∂

∂

4 4 2 2 4 4 4

2

(2.59) ２ ２ ２ ２．．．．３３３３ 柱の柱柱柱のの座屈の微分方程式の座屈の微分方程式座屈の微分方程式座屈の微分方程式 図－2.15に示すように，柱部材に圧縮力Pを漸増載荷させ，P = P_crに到達したときに座屈を生じたも のとする．原点からxだけ離れた点にwなる有限の大きさのたわみが生じた状況を考える．このとき， 原点からx離れた断面に生ずる曲げモーメントM_yは図－2.15(c)に示す微小要素の力のつり合いから求め られる． 同要素の水平方向の力のつり合い式は，

(

+

)

=

0

−

P

dP

P

(2.60) 図－2.15 座屈前後の柱の変形 (a) 座屈前 (b) 座屈後 z y x ∆L L P P z y _{x Pcr} Pcr (c) 微小要素の力の釣り合い z y _x w P P My+dMy dx dx My dw Qz P Qz+dQz P+dP w+dw