解析学２
No.6 2006.12. 7
3. 二変数関数と偏微分 3.1 二変数関数 担当：市原
二変数関数
¶ ³
実数2個の組に対して,ただ1つの実数が決まる対応関係を二変数関数といい,例えば,変数x, y, zを用いて, z=f(x, y)などで書き表す.
µ ´
二変数関数のグラフ
¶ ³
二変数関数について, それを表す式z =f(x, y)を満たすような実数の組(x, y, z)が表す点の集合 を,その関数のグラフという.
二変数関数のグラフは, (一般には)空間内の曲面になる. 与えられた2変数関数のグラフの概形を 描くことは容易ではないが,たとえば,コンピュータを利用すると,次のように表すことができる.
(1)f(x, y) =xy(x2−y2)
x2+y2 (2)g(x, y) = (x2+x3+y2)e−x2−y2
z = g (x , y ) z = f(x , y )
µ ´
¶ 等高線 ³
xy平面上で,座標(x, y)で表される地点の標高zが,関係式 z= 4−x2−y2で定まるとする.
たとえば, z= 0となる地点(x, y)では関係式x2+y2= 4 が満たされている. つまり,z= 0での等高線は「平面z= 0 上のx2+y2= 4で表わされる曲線」になる.
同様に計算してみると, いくつかのzの値については右の ようになる.
z の値 関係式
4 x2+y2= 0 3 x2+y2= 1 2 x2+y2= 2 1 x2+y2= 3 0 x2+y2= 4 この表から, (x, y)平面上で等高線は左下の図のようになることがわかる.
x
y
従って,右上の図が,二変数関数z= 4−x2−y2のグラフの概形を表わしていることもわかる.
µ ´
例題7 地点(x, y)での高さzが,z=xyで定まる地形図の等高線を描きなさい.
