推測統計の基礎  

痍㌻藷述統計と抵測統計  

Adip計こ甘ete誉︵1遥竿−00呈以前の儀典的統計甚暫く置き近代統計学は声邑冨菖n︵−00ひT−望︶及び  其の学派還って其の基礎が埠完成せられたといってよく統計集印の性格を表現し分析する手段たる諸碧統計  

特性値の整佃研究︑更虹微分方碍式からの遠の駐数分布論︑及び標本慧潤の基本的研究等喪k多くの倍大なる業こ  

紡が成された︒真の後菜園のW・S・GOSSeニー00宗⊥￠ぷ筆名S邑e星∵が一芸年に小標本の分布望刑を発表せる  

檻廃せり英国の賢h買㌢炭箪試験場の農学薔・A唇sheユ現在C冒br蕗e大学教授︶欝y臼ぎ世・冒㌫︒タ  

ロe首謀蛭等に依ノつゼ小模本理論実験計画矧論等が庶足の進歩をなし︑我が国でも此の十数年釆北川敏男教授増山  

元三郎博士等に依って紹介せられ︑上記諸学濱に依ってS註2き以−準の←記諸望琶推測統計学或は蛇計学  

㌦宮b邑立と名づけられ又之等蒜芸はぎrs︒が以監統計箸記述統計学と名づけ区別せられている︑  両者完輿点ほ苦しで後者宗てほ母集団と莞標本との関係が不明讐あ晶着では此の点を明らかにして標  本の性格から慮団のそれを究明するに室カな尽衰れていることである︒併し乍ら筆者は其処に孤然と分けられる  嘩の取拠蒋弱で従来の統計学か首推測統計へと遠の琵鞘を為し︑統計学の進慧過程と見るのが妥当であると侶  ずるのである︒かくして統計学と並列的に推測統計学と称せずして替ろ推測統計学をも含めて近代統計学と名付け  

傷  

推測統計の基礎  

推測統計の基礎  

条  時  重  

﹁転   

．︑−1   

第′ 標本卒均億の分布   

一︑正規分布の性質  

標本平均値の分布法則を論ずる前にそれに必要な正規分布の性質について述べよう︒副般に統釘集団の個別数値  

即ち変畠が鐘形状所謂正規分布写Urm已計tributiOnをなすとき其の砕率分布法則ほ   

三︒．︒． ＼二二 ニ  

こ︑ 

紅て示される︒f︵巴ほ変革Ⅹの確率︑♂ほ標準偏差︑mは算術平均である︒此の正規分布をZ︵きq︶で表す︒若    形で示されるのである︒   山一  第二十七巻 第山号  

た方が適当であると思われる︒本稿では其の意味で近代統計の﹂環としての推測統計の基礎について述べんとす︒  

推測統計に於て論ぜられる主なるものは標本特性催から母集団特性倍を推定する推定理論︑仮説検定論︑実験計由  

論︑標本抽出論等である︒又其の応用方面として商業調査論︑エ場に於ける品質管理論︑及び抜取検査法等の展開  

セある︒推測統計の基本的問題ほ統計値の分布法則詣であろう︒推測統計を理解する上に於て是非とも通らなけれ  

ばならない過程であるから此処では其の概略を解明せんとするのが本稿の目的である︒標本調査に於て原の統計集  

団を母集団昌i詔rCe﹀ pOpu−已iOnと名付け︑それから無作為に抽出せる一部試料或はそのよう軋抽出したと看徹  

される一部試料を任意標本芦巴邑Om SPmp訂或は略して標本と云う︒ノ母集団の性柏を調べるためにそれからの標  

本値ざ一題＼⁚⁚⁝・u告が抽出されたとし︑それからの種々の模本特性値即ら標本平均値︑中位数︑四分倍数︑平  

方和︑分散︑標準偏差︑分散範囲︑四分位域等の値が求︑められる︒之等統計値の規則性即ち分布法則が確率法則の  

し平均値mの点に座標の原点を移せは上式は   

＼N︒随   

萱∫∫引㌔  

で示される︒此の正規分布法則はZ︵○も︶で略記される︒   

︑÷さご︑・h㍗＝・︑ト∵Lここ︑︑⁝⁚−    次転此の分布の平射侶か﹀らのk次税率mOmentを篭で示せば  

︑こ・ユニ■∴＼∴︑﹂︑  

で示される︒此処に於て知りi㍍㌫忘 

計算される︒縫って此の分布の査定ぎ及び尖変恥蛤ほ  

即ち正規傍布に於ては査定Pl−○尖膝∵♂＝∽にして逆に対称分布︵や＝○︶軋於て思＝∽であればそれほ正規  

分布である︒   

英虹標準偏羞を変鼻の測定単位とする正規分布法則ほ   

＼N   蔓  1︵音−畑針㌔  

めて多くするとき︵理論的には無限回行われたと看倣すとき︶其の誤差Ⅹの分布ほ誤差法則︷前述の正規分布法則︶  

紅従うを以って上記の正現分布法則を誤差分布法則ともいう︒   で示される︒之れほ甥︵○こ︶と略記される︒  

推鄭統計の基礎    一般に或る同ご観を繰返し観測して得た観測値の誤差は観測回数を極  

痘集団から任意抽出に放って得た標本の平均値から母集団の平均値即ち母平均を推定することは推測統計の秘め  て重要なる課題である︒それにほ標本平均値の分布法則が基礎を恕すものである︒今母集団の太いさが極めて大な  

むものとして︵無限母集団︶其の母平均をm︑それから任意標本さ﹀串⁝⁝⁝︶琶が抽出されたとす︒此処で平均  

mが0でなけば予め原点を平均mに移すことに依って平均mを0として一般性を失わない︒依って母平均を0と  

する︒標本平均糾軋叫臣芸算法則を調べるため其の期望値を求める︒   

意︶量中豊＝中量邑   

然るにE︵乳︶＝○︵i＝−㍍∴⁝・⁝︸n︶であるからE︵勘︶＝○  標本平均の分布に於て其の積率恕ほ原点○に関する積率と考えられるから   

︑︑⁚﹂．︑⁚＝エ∴′土二  

蛤  ︑ご∵＼︑け上・・∴ト：∴ ∴  

又払︺思は独立であるからE︵諷u忍︶＝E︵諷︶E︵已︶＝夕★班  −蛤−随   ・∵︑︑にh 

︑．−   ︑ミ．1 

／トト＼   

／  

第二十七巻 第ご号   

︑標本平均値の分布法則  

＝−冊1〜転向  

︒−  

l   削蛤   甘︵さ＋琵︵呈︸−亙  

四  

′ノ′  

次ヰ療本三次積率針は   

︵㌣鼻碧を‖饗量＋長音十屋量叫  

然るに票さ＝㌔︵i‖′−津：⁝∵上巳   

更に 蜃﹀曇ukホ︵廿−廿k︶ ほ独立であるから  

号音︶＝史さ聖母＝○︸ 史甘憲︶1−雲量雲量望芭＝○  

㌧・守       ・お蛤   

次に株本四次積率ぎは   

㌃祭具中濃T￥蚤＋風量＋Å澄  

＋−首首鼠＋Nだ一冬卦豊   

︑∵︑︑＼︑−ミニ∴∵︑■二︑︑−‖⁚ご︑︑ニ︑∴ニ  

従って母集団分布の歪度と尖度を夫々㌢評標本平均沖の分布の歪度及び尖度を夫々㌢討とすれほ  推測統計の基礎  

五  

︵   

汐新香史ミ季長＼︵告ず車㌔キ中︵呈‖璃＋∽ 玄   

以上の結果から母集団分布の原点を旧札帰して考えれば母平均m︑母分散q⁝である慧て大なる母集団︵或  

ほ覿限母集望から任意濫抽出された標本平均㌃叫紆の分布は母平均mを平均とし舗を標準偏誉す各 布をなし︑姦し母集団分布が正規分 

宕なすならばぎーー○宝始＝いとなるから標本平均の分布に於ても上記関係式  

から旬−L−−○診り∽となり正規分布をなし︑若し母集団分布が正規分布をなさなくても標本数nが充分大ならば上式  

から旬−り○計＝∽に接近するから標本平均分布も正規分布に近づくのである︒かくして極めて大なる母集団から の 

標本の平均分布ほ母平均芸平均とし分散q⁝＼nを冶する分布をなし︑母集矧が正規分布をなすならば︑正規分  

布をなし即ち三き長＼可︶に従い︑母集団が正規分布でなくてもそれからの標本数が充分大ならば上記の平  

均︑分散を有し略正規分布をなすので︑ぁって︑標本平均の確率分布法則即ち分布密度画数は   

二・二二∴−㍉ミーミ∴．  

≡  

紅て表される︒之れ即ち大様本塩於ける平均分布法則にして大標本の場合母平均の推定︑仮説検定等に於て正規分   布理論が適用される所以である︒  

第三 カイ自乗分布と篠本平方和の分布   努二十七巻・欝ご号  

博閑  ︑︑l■ ÷︑∴∴⁚／ ∵∴∴−  亘  

■■   

∵︑カイ眉粟分布法則  

カイ呆即ち誉鳶濾︶欄の署法則宗めん鱒此の分布は紆計学に於ける極㌢婁なる基礎をなす分  

布にして推測統計に於ける仮説検定︑曲線の適合度測定等に欠くことの出来ないものである︒   

H XをZ︵〇．−︶形の正規分布紅従う確率変数とするとき㌔の確率密度曲数工軋一を求めん．とす︒  f︵莞確率密慧数であるから︑ぴ︵エ廿にして董 

するとき票a︶をf︵巴 の分布歯数と云う︒   

㌔の分布歯数を 

︑︑ミ丁・︑ニー・にへへご−・︑﹂−⊥ ㍉∧↓∧︼︑︑︑一  

Pは確率を表す略記号である︒ⅩかN︵OL︶型の正規分布軋従うから  ／   

︑⁚︑ミ⁚二■︑−−ご∴︑︑＼︒︑︑二∴．叫二∵二∴︑・一・  

次にy＝もとするとき︑き＝汐更訝∵  

・・・︑‡ ■∵苧 一∴︑一こ︑︑一■  

此の両辺む微分すれば  

ー  LミN   憲︶＝剖恥  

軋∵は負債を取らないから白帆○のとき句︵且＝？従って只且＝○   

推珊許計の基礎 

次にくf︵㍗︶の槙率鱒幽数叉舛︶を求めれば︵画数貰︶の積率母蘭数とほそれにe冨を乗じて積分した   

†⁝りミ︵音‖釜で定義される由数を云う︶   

．㍍8㌔ぎ腎師笥屯旨㌔N㌔腎叶＼洞笥㌔寸︿亨㌔／   

然るにガンマ画数ヽ︑︵土 の関係から   

．∵∴︒こ∵ ご︑∵⁚一   

㌧・葺j−両＼中人車︶＼ヘヤ屯㌔‖訃芯︸ ︵盈︶   

担 ぎぎ⁝⁝∴芸∵智互に独立な確率変数とし何れもN︵○主型の正規分布に従うものとすれほVT責㌔∫メ㌔  

十：÷＋㌫臣︑冒〜の分布感歎Hミュ及び其の確率密碇由数訂︵エを求めんとす︒︒れがため変数舛の積率  母歯数を叉t︶与れぼ各莫抗汎ヱの確率密隊品数の積率母画数を畏t︶・ほ㍑㌦∵⁝ 

舛⁝が芝独尊ある   から   叉曳＝℃−︵き骨相︵き⁝⁝⁝習︵凰 

上記の圃式からやか︵凰−1く︵丁運忘であるから  

亘  

㌦∨︒亨尾のときほ喜＝︒  

萱‖軋折＼N  

〜−←こ， 〆   

然るに−方f︵MuC立なる虚数を次の如く定義すれば︵cusは定数︶  

︑六ナヘ・．㌢∴︑二︑．︵皇二㌔⊥1へ．・ぺ■ 王∨ニ  

笥㌢c逐＝⁝ぺ︵豊川8芝鼻意妄言︶︑︒宣  

故監︵舛︸C﹀S︶は仙つの確率密度画数である︒此の税率母函数ほ   

笥隼音c主祭青書︶吾㌔⊥三貴賢  

−1盲莞︑︵豊二‡︵cと︶ゎ＝−ミー屯＼c︶ゎ  

上式でC＝てN−S＝ミNと置けば潮となるから   

旦   鳶︶＝子中∵車︶生軍︵皇︺を一言Nu㌻  

となる．尚求むる分布歯数は   

此のH議I︵ユが昔患の分布画数たして其の筈震豪吏ユ富由皮nのカイ呆分布と云う︒    ︑︑⁝ 二⁚ミニ二ニ■⁚−〜二⁚■︑︑＝≦  

囲次に古志1⁝⁚︸ 

． 

≠︷㌔︶＝−   

推測統計の基礎   曽＼Nト六ミN︶   ︵㌔︶ミN⊥屯1葦N  

持官トー︶＼N︑  

川︵〒−︶︑N岬 ︻   や1想＼N  

＼   

第二十七巻第一号  岩  

上記の分布密度歯数を自由度晋n⊥なるカイ自乗分布と云う︒カイ自乗分布表は0と1との間にある確率Pを ー先づ与えて   

を満点する㌔を求める表である︒上記カイ自乗分布ほpeprsOn系第三型番希からも導き出されるものである︒         や ′   

逮    ︑−︵∵＼∵⊥‡＼．モ︑．  

二︑標本平方和の分布  

標本平方和S〃h︵軋−患の分布法則は上述のカイ自乗分布から誘導せられるもので後述の推測統計に最も重  要なる標本分散︑模本標準偏差の分布もそれから導かれ︑応用面として実験計画論に重要な役割を演ずるものであ  ・る︒   

H学童⁝⁝壷を堕造確率変数とし何れもN︵○﹀q︶型り正規分布に従うものとするじ然るとき邑q蓮＼  

写・⁝阜qも又芝独惹N三︶型の正規分布誌う確率変数であるから票邑q︶怜り㌣㌫の分布密慧数  

は㈲式から丈エである︒然る．に確翠変数Ⅹyの間にy＝や︵c＞○︶なる関係あるとき其の分布画数G︵且と  

句︵旦︶の問にほ  

G︵且＝b∈沃嵐＝烏︵唇仇・坐︶−−句︵ホ・︶  

なる関傾があって夫々の分布密度虚数をg︵㌢f︵且とすれば   

．﹁ モミ二．∵＼三・一  

両辺を微分すれば喝喜＝吋︵再︶  

ゆ  

中旦サ王手思す︵車︶テ中︶号・雪阜駁  

第四 模海分散︑同標準偏差の分布法則及び模本標準偏差の平均及び分散  

一︑標本分散∽の分布法則  

頼㌘㈹の幕富豪竺式㈲から    目上述に依っぐ所求−の標本平方和S＝聖㌔−抑︶芸分布密度歯数を董とすれば自由度甘n−−なる故に  

辻 

虹  

皆＼Nq講㌍亙N︶   

かくしてS−−h舛 の分布密度由数ほ  

ホ十叉雨⊥＝  

推測統計の基礎  

ヽ︵豊臣−   曾＼Nq冷ト︑︵革N︶  

柏ミNq甘︑一︵ミN︶   ㌧曹・じ1−︵・′1ト︑叫じ．ヒ∨こ  

Nミ蛤q誌︑︑︵認＼N︶   逮   

ご︑と︑ごに⊥へ−−≡︑︑に  

王   亘  

一心   

︵ご  

▲   次に標本標準偏産Sの分布法則を求むれば   山をⅩと置けは平方和㌔の分布密度虚数は前述の旧式に於てそれを二二且 と置けば任意の正数α妃対して   先づ＼冊幻亘⁝⁝の幕密慧数g︿ユノ芸めん与 鳩   二︑標本標準偏差Sの分布法則  

︑￥︶賢署帆予鳶l∧音寺︵暮  

雨辺を微分すればg︵且＝柏邑︵態︶   第二十七巻欝一号  

上式から標本分散S恰＝恕．官・抑︶ご自由度肯n・こ云分布は  

文王＝睡唇ヽ︵㌔︶＝   二㌔︶卜  MミNq魯︑．︵ミN︶  

︵篭＼N︶ミ岨  

にこ︑こ一︑∴り  

q遥㌧︵㌍＼N︶  

q≠︑．モN   記  

唇溝−−亀−己ヾNq博一唇Vつ   ︵㌔YミT−屯−亀＼Nも   ︵更紗︶ミN⊥屯−亀＼Nq蛤  

熟読  

︵わ匝︶︵認−∽︶＼N屯−亀＼Nも  

ざ︵ミN︶ミ嶋  

もご﹁盲＼N︶  

嶋 由︑標本標準偏差の分散ノ㌔   

こ 二∵⁚こ⁝︑二．‡⁝︑＝㌧   

推測統計の基礎    庚鳩      ▲′ ．︑ノ／   も︼ ㌔︵︵守−︶＼N︶   

亡始りn︑と置けば   三︑標本標準偏差Sの平均宮   

二三ラ妄十︒しlキ∴・⁚こ1さ    笥†∃蛍 

仇‖  

︑づ︑1∴∴︑し   〒N箋＼Nq博︶  H  

＼q判q    父ミ睡︶忘  

_{告こ−︵ミN︶}  

︑  

0  

■：． 

乳1−屯−琵柏＼Nq旭  

l＼じ＼︑︑ ︸⁚ 

へ．︑︷竹心  

︑二ご︑J・   ︑．︵︵〒−︶＼N︶  

Nて︑彗箋lq    石︸  

こ ミー一﹁・艮︑︑︑  

○  

︵患  

次にr︵且 の近似値を求めんにガンマ由数〜﹂す︶‖り   前述の如くS＝も軒q・仁なる変数変換を施せば  

第二十七巻欝ご号   

‖︷柏︵矩︶︵呈＼ギ︵常葉ぜ蓬茂−裾輪  

廻諸くS＝＼㌣なる変牒傾を施㌃  

⊥A矩︶︵豊＼A璃︶︵羊．︶＼ゞ・︵弔薫ぜ達を  

も＝G︑と置けば  

q⁝‖︵誓ミ一︵ボ冊︶︑で︿芋・︶＼ざーさ翠卜克  

︑三エ．∵︑・︑二︑⁚こ︑︑︑︑∴−＼⁚∵ゝ二∴・−  

車Å掌中︶⊥⁝ぜ箋軒車†車︶︵芋中︶  

．．．㌍︵b︶＝   こ二︑︑︑︑■︑こ︑1＝■‖吏  

ご 

璧亨⊥︵せトナ芯︶⁝  

へMb−−︶鵬ミ．引   

︸︑︑∵﹂l＼け封．ミヘー︑︑  

、−−■「′■一一′   

q   拍   

㍍b−−m−檎d舛に於て舛＝鳥と置けば  

†針︶    ㌍︵︵苫−−︶＼N︶  

︑．︵ミM︶   

■  

！！  

3   一四   

芯ミニ＼射  

にハ吋⁚．山⁚〜わ⁝  

推測統計の基礎    巴ニ ノ   藍上・萄  

・・裾廿︵丁軒r雛︶q 

∵︑ここニ．・一∴︑  

㌧㌧量旦洞ユ中︶＼A庸毀‖締†鮎トJ酢︶享子紅︶  

⁚享⁚二︑︑㌧︑ミ﹁︑こ︑ニ㍉■∴︑㌻   ﹁︑︑︑ミ■ニミ二・    3  

ト・、   

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．．q  も■：⁚． て㌢  

＼、 J  

上記㈲式は聾者の求めた近似式であるが上衣に依って寅値転極めてよく一致しているのを知るべし︒   

五︑標本分散の平均留及び其の標準偏差q㌔   

H 標本分散の平均  

前述の標本分散の分布密度画数f︵s随︶の算式㈲により   欝二十七巻 第一号  

● ● ● ●● ●■ ●● 1● − ●● ● ヾ ●  

⊂＞⊂〉⊂）⊂〉⊂〉⊂〉ト」ト」 

叫柏‖竃︶共営意ヱ  

㌧．Å猶︶‖q匝  

従って造分散のネ億庵廃値であ富   ⇔標本分散の分散    q 

推測統計の基礎   十−⁝⁚︑︑㌔．丁■  

ト、   

こ︑︑∵こ⁚■て二二∴∵二⊥こ︑︑︑≒二︑⁚︑ミ・三‡   ︵逮＼p㌔︶︵うー︶＼N  

︑づ苧−−︶＼N︶  

＼  

︵㌢均＼温蛤  

㌧︵︵〒−︶＼N︶  

安   

︑︑︵︵3−−︶＼N︶  

鳥斗て一︵︵〒−︶＼N︶  

Å成︶＝鴨︵蝿︶︵蝿︶   ニ三＼︑∴∵−三■  

︵ミ心︶人デー︶＼N    叫  

．ご・二⁝二︑︑∴二三・十⁚   00   0  

辻Y−−  

︵㌔︶︵〒−︶＼N⊥亀皇ヱNq蛤詠柏  

＼、、 J・  

＼   

ト、  

／−  

＼ J  

Jl   記1−   

記   ・︑・︒  云一  

七   

第五 スチューデントの忠分布  

前述簸て正規分布に従う母集団からの任意標本の平均値の分布法則は母平均mを票として㌦滞姦準偏差  とする正規分布をなすことを述べた︒然るに此の♂は母集団の株準偏差にしてそれは一般には未知数であり且っ其  の分布は標本数が相当大なる場合に適用される法則であった︒そこで小標本の場合にも適用され且っ母集団標準偏  

に  差の未知の場合にも用いられる分布法則を求めんとす︒標本平均値を嘉 とすれば其の期望値は母平均mに一致し  即ちE︵則︶＝mかよう軋標本特性値の期望値が母集団特性値軋等しいとき其の標本特性値︒を母集団特性値の不偏推  定値と云う′︒即ら標本平均値ほ母平均の不偏推定値である︒然るに標本分散S蛤ほ母分散q愉の不偏推定値でほな  い︒然るに  

鳶uけ怨霊−細︶帖＝史︵曇−S︶−︵村1旦仙蛤＝山一︵慧上旦悼−叉和−慧︶岨  

■▼q蛤  ．．．望亀︶ル誉蛤−ぎ軸＝ぎ旭−記−＝︵記⊥︶㌔       記  

故に   

t・l吼戦柵＝卦太る1の分布密度痢数を以下数段に分けて求めんとす︒   第二十七巻 第一号  

ー  

い小   

舛−m   ＝∵ ミ㍉こ⁚︑︑︑︑■一∴㌧  

雷．等s︑芸母分散の不偏魔窟偲である︒依ってS︑‖＼鎮S貰いて  

舛・−∴ロ︸   

ー■・、、−  

≡■  

モーー  

＼、＿＿．・←′j  

リ︑︑・・⊥二  qA    山八  

H 

訂︶宅︵○も︶型の正規分布に縫うものとする︒先づ   

鳶︵ミ＼中泉︵虹︶  

．′  

と置い長のtの分布霊夢S㌻︶芸めん与︒上記の分母をy︵且と置けばtl・舘㌃ して分子量  

の分布蓋数は¶汁箋  翌麺 

るから二次元の確率変数の分布密度歯数を又舛uy︶ とすれぼ  

次ぬォの分布密度函数S叉さを求めんに   

‡⁝︑−︑ご∴二・−デ＝三・  

こ1へ∴︑ミ∴二−︑■︑ご■・ご1⁚・︑︑−︑二∴∵  

に於て巾＝ミ∵増刊eと変数変換すれはj買旨の変換行列式を用いて  

推謝統計の基礎  

‖馬主去ヰ蔓ぶ   

︶㌔ミ一︵中︶†−亀・暮柑  

鳶−ス中︶  

︵冷＼霊ミN  

一九   

．‡ミミ ∵二う／＼︑︑．丁三⁚ニ㌻二︑∴︑−王†  

然るに︑￥− 

‡∵−ご＼−∵⁚二∴二・・主∵こミ∴﹁．  

之れ還って．︑＝ぺ＼⁝彗の蓋慧数S芸は  

・ミー∴て■l二︑⁚二こ∴二︒∴∵ミー−    第二十七巻 第一号  

■：︑．﹂ト‡︑︑︑︑・  

．﹁∵ぎこ＼ ■1こ．  

e嶋＝q愉e︑と置けば  

ー  

て﹂引   ミ＼︑二−主∵十∵  

モ苧−−や1︵鼠ざ鱒＋虫鼠︶＼Nq柏e私記軋e   虎g  

−−  ︑  

二‖︑︑に︑︑︑︑⁚．土∴−  

札〜へ  

計  

更に 叫＝  

之れ自由度もー‖ふ？・−のStude已の一分布と云う︑上式に見る如く其の中に母集団標準偏差♂が含んでおらず  

して︑これが極めて重要な意義を有し推測統計の税源をなし︑後程戸A．Fisher が厳密な証明を与えたと云われ  

る︒上記S志︶ほ．れの偶歯数なるを以？ぐ直交坐椋の縦軸にS又ユを︑横軸に才を採れば縦軸に関して対称で  

ある︒才分布表ではけ︑と1との間の確率Pを与えて   

︑二⁝：︑l二﹂∵一ミ  

を満足する首を表示したものそある︒才−分布は小椋本に於て棟本平均から母集団平均の聖疋に或は仮説検定等  に極めて重要なる役割を果たすものである︒   

次に此のイて1分布が標本数篭を増せば正規分布に近づくことを示そう︒  

＼．こ︸‖︑︑︑・   

推測統計の基藤   

許釦㌢語ぜ孟索−＋串︶喜︒＼N  

︑√＼二・−︶  

鵠∵1ふ逗  

−に こー   t ㌻しー・＼−1こ・・・   ー  ︑﹁︵艮N︶  

㍉刷剥朝潮‖﹃  

む  叫山   ︵b−−︶†−雪︵†⊥︶を用いるとき  

二⁚＼㌧㌧■−−＼︑＼︑■⁚l  

／・・・・■■■−＼、ヽ    トJ 

＋   亡忠一︵㌔1勘︶旭  

竃  

＼、−−■・′／   

l  

自由度＄＝記−−  

二一   

ー   ・ 

此のように乃を増すとき多分布ほ正規分布に近づく︑実際には乃が30以上の場合に於ては才分布ほ正規分布に桓  

満て近くなる︒かくして才分布は小標本理論に欠くべからざる分布であるが30以上の場合大横本に於ける正規分布  理論が適用される阻である︒  

第大 フィシャⅠのF分布  

此処に三組の襖本系列甘こF⁚⁝ぎ宇旨∵⁝きあるとき之等両者が同一母集団から任意抽出に依って得  

られた二組の標本であるか或は本質を異にサる二つの母集団から夫々任意抽出されたものであるかを検定する場合  

紅用いられる分布紅ついて述べよう︒但し此処では母集団は正規分布をなすと仮定する︒若し両者が同一母集団か  

ら得られたものとすれぼ夫等の推定分散の間に如何なる関係の存在するかを考える︒両者の推定平均望雷検定は  

前題の正規分布或は才分布理論で容易に出来るから此処でほ両者の母分散について考えること⊥する︒夫々の榛本  平均を    第二十七巻 第二号．  

∵鐸‖−∴ 

− 湖中∴首︷と置けは  

︼．  

雪  

サ100   三輯︶＼︑一︵豊†車︶喜−﹀＼N＝針箋N   †串︶   ー︵ふ十−︶＼N  門島i恵＼N   二二   

である︒此の最悪の此ゾも＼忘＝句と置けばFの値ほ1に極めて近ければ両者の母分散が等しいであ．ろう︒又下  

がlから甚だしく離れていれは両者の母分散は等しくないであろう︒かくして当初の二標本分散が同山母分散を持  

つか否かの判定ほFの値が1に近いか否かの問題紅置換せられ其の限界点を求むる問題に帰する︒今−つの正規分  

席からMを固定した大いさMの標本の総べてを件り︑同様にNを固定した大いさNの標本の総べてを作り二組の標  

本集団の各々かぇつずつの標本をとって対を作る︒其の対の総数を写とする︒而して各対かむアを作ったとす  

る︒全部のFから写個の値の集団を得べし︒此の果団からF︑の大いさ従って階級間隔を適当に定めて図示すれば  

山型の度数分布が得られる︒此の分布は﹃ル○なる領域に於て句＝−の近くで一つの峰を有しぎの大なるに従って  

急減するのである︒此の分布の各変数を買電除して標準化す為とき各階級の高さは小となり︑単位の任意抽出で  

Fが其の階級に落♭る確率を表す︒此処でFは連続温であるから階級の間隔を無限小ならしめれば上記ヽ︵月︶は  

分布密度画数となり連続曲線とかる︒此の分布をF分布と云う︒M−−＝琶㍉宅†−＝nとすればm︑nをF分布の  

自由蕨と云う︒此のm︑nの大いさに従って上記曲線は異なる︒自由度m︑nなるF分布を句mちで表せば  

雲sherのF分布密度歯数は  

欣村   

・一∵∵．て ∵一・︑  

とするとき夫々の母分散推定値は  

ー 侶．︑  ′／〇  

推測統計の基礎   ︑い㌢︑＼・   竃−−   山一︵恕−和︶欄＝㌔︶  

ヽ︵旦N︶︑ノミN︶   二∴∵ご   ︑㌔＼．㌻ミ  

こ︑ミ∴   

︵芸句十記  

︶﹂宮十王＼N   

二三   

但しぎ‖音量嘗人士Å  

依って C雲≠良等仇且＝票幹仇唇ぜ︶    ∴∵−ニこご︑︑   に従って定義せられる確率変数芸警真の分布歯数甘さ︶分布密度歯数誓文さ  ︵⁝＝詮⊥﹀・票り≒トニノを求めんとす︒  

景 

こ■⁚︑︑予∵二∴．＼︑︑∴∵  

となる︒之等は芝独要あるから二次元確率変数︵S声望の分布密度歯数を芸事登とすれば   

漂邑‖中叉中︶小文中︶   

今ぎギ⁝⁚妻軍学雪⁚旨窒に独普確率変数とし︑何れも雲ミ︶型の箪規分布に併うものとす  る︒   第二十七巻 繋ご号  

・．・叉ぎぜ︶＝ぎ．苫㌘旦㌣−やミN⊥屯I︵S羊S三宝  

M 

︑へ●㌧・レ．こ．→⁚・＝に︑レ．三∵・・．二に  

Z  

柏︼ミNq選︑   ︵S＼N︶  

㌦ 

_二四  

此処で前述と同権に巾＝軍−竜1−eなる変数変換をすれぼヤコピの行列式を用いて烏き＝e計き   

∴ミ＞⁚一・一︑︑︑⊥．∵−⁚ミ÷−︑⁝＼・−⁚⁚言主   

更にや汀q旭キなる変数変換を施せば  

︵但し三嶋﹀Ml認︶はベーター豪︶   

上記蘭二条件の下に   

訝㌘∫き卜︵守箋  

￠分布密度画数︾芸︵3及び分布画数﹂㌻；︵3  

此の両辺を微分すれば   

賢 

甘攣であり∵ぴ︑芸分布密慧数が兵々    ぎ︵誉再警へ轟音轟   

推測統計の基礎   唇    こ︑︑  

・・、．．＿＿／  

′  

｝  

＋   唇  

）  

選  ヰ  誌  

＼  

±．  

見や車芸十巾支署ミN  

ー  ︵遍＼已ぜ忘⊥    蛍艮Nl−   仰旦㌣−ミN⊥恥−︵等号窒馬身  

を求めんに   ∴︑︑−︑︑㌧︑∵．∵   へ詳  

r、＼  

嗣  

唇・〇 ⊥3 ｝  

＼｝／  

二五   

を満足する昏の値を求むる表である︒㌧但し其の際二つの標本軋於て句＝葦e蛤＞−なるようにさe愴を選び判  定するのである︒ 

策七 順序統計量の分布   

大いさの順序に排列された確率変鼠に関する標本統計鼠即ち標本中位数S昌p−e莞di畏標本分散範囲Ⅷ賀p−e  

TPnge標本四分位域S賀p訂in−erqu罠i−edis−呂C2等が順序統計量︵Order詮ti象c︶と云われるものである︒之  

等の統計盈ほ小椋本炭て特に重要なものにして其等の研究は最近進められたものにして経済学︑工場品質管理等  

に極めて応用の広い分野を有するものである◇次に2等の統計鼠の分布及び其の平均及び分散を考察せんとす︒   

二∴標本中位数の分布と其の分散  

模本変盈が大いさの順序に排列されたとき其の中央の値を中位数と云い︑標本数が奇数のときは中央あ二億が中位    紅依って定められるFの分布歯数を自由度畢表の吏分布と云うがF分布表ほ§＝ぎ苛遼とじてFを自由度  ぎ爵のF分布に従うものとして0と1との間にある確率pを与えてF分布歯数に依り   第二十七巻 第ご号  

℃＝b︵旬V曳こ＝   き︑︑︑︑主．一．   ︑．︵旦N︶㌧︵ミ柏︶  

9  

認↑ざ＼N記蛤近地＼N  

b︵誌︼＼N﹀近地＼N︶   S§＼N記ミN  

宝ミ摘記ミN  

馳︵§＼N−ミN︶   こミ︑﹁・︑︑二︑︑∵︑∵⁚﹂  

︵ぎ唇＋澄︶盲︼十邑＼N    勺︑・にーこ  

︑ニ︑︶︑．ぺ﹂︑二こ︑︑∵︑ご︑．・．   句＋ h箋＼N−−  

唇ざ＼N−−  

数にして︑標本数が偶数のときは中央二項の平均値が中位数である︒   

H 標本中偲数の分布  

毎標本の大いさか∵冶＝−程十−とし模本中位数を曽とし︑母中位数をヰ蕾とし︑母集団の確率変数ガの分布密度  

歯数をヽ︵凰とすれば   

菅藩‖中＋請意︶ざ︑￥︶賢十︑￥︶計  

模本中位数の確率紫分を息︵慧︺討Qとすれば   

ミ■ミ・−・−車ニ﹂∵⁝ミニ﹁一†⁝÷⁝一・−■  

号8とする妄語蔓こuヽ︵  

⁝主事べ‡∴こミ∴︑こ︑こナ︑   

監守嶺首唱ゐ公式軋＝︼＼別封ミ屯−遥により   

ヽ■  

推測統計の基礎   之に上記鋸式を代入すれば  

軋  

︵笠︶帖Nぜ  

†三好葺且ぜ︵芭厨  

⁚  ー＼︸   ＋且・エ︵旦   重  

二七    三  

但し普ポ吾箋  

、  

かくして大音㌃嘗．なる模本町於け畠中倍数誉造語違憲数畢誉の姦︑㌔∵q曾  

− 矧叫︵曳を有する正規分布に従うこと覧る︒例えば母集団が正規分布雲ミ︶の場合H篭密＝き︑︵蔓︶＝  −  

−＼り﹁‖  

なる故鱒上記母集団からとった太いさ膏崖土なる標本ヰ億数の分布㌔⁝は漸近的に  

悼Nりq蛤   qご‖−ん・q柏   馴   

q笥中＼柚q＝中＼掴旦舶誹   

標本平均計を改めて∽と記せば   

亨討鉢lt・・牒言紺   

次に標本平均値と標本中位数の夫々の分散の差を求めれば    静二十七巻 欝ご号  

・∵︑⁝こ︑一●∵二⁚ニごご︑︑−こl÷  

︵せ︶書思ぶ  

∴∵■‖  

ー  

︼ に⁚ヾ   一＼■∴∵ ∵∵J        ＼1呵．  

︑；・．1⁚∴ミ与・    二八  

牟軒け鵜−串・十甲︵胃−N︶∨︒  

故に償規母集団から採った標本中位数の分散は模本平均値の分散より大きい︒併し乍ら其の羞は僅少である︒   ⇔ 模本中位数の分散   

次に小標本に於ける標本ヰ便数の分散を求めんとす︒いま母集瀾の分布が正規分布Z︵○主 をなすものとし︑  それかむの標本変革∬の分布掛数を 

二十二十＼・＝一・      −  

とすれば一般に魯料変螢が鴇什丸首．の間軋ある確率案分は  

で表わされ．るから冶＝程十−なるとき．の標本中位数沼の分散は  

推測統計の基礎    ︑︑丁・  

乳  

鳩  

．． ㌔︵＼−Jに  

l＼⁚ナ︑ハニ㌧こ・十二∴︑一∵−⁚一∴・︑＼一・  

︑二■︑・∴∵二⁝︑︑・−−∴二・一∴＼−∴−■−  

こ．二∴■⁚÷⁝二︑∵∴一1て三∴二∴︑て一・   ︵？⊥︶ズ記−屯︶∵く．h．︼一︑．ミミ封   冷一  ．﹁∴二＝■さ∴∴■⁝︑︑・一・   ー  ユ﹁ご・・・・︑ミ〒︑︑こ﹂  亀1浩＼N札熊  

⁝＼⁚⁝︑︑二⁚︑＼＝∵ ∵﹁．∴ニ∵・∴︑二．・一．三∵・二ぎ■  

之等のぜ十了軒下こ†N等の値ほ積分値計算に依って求めらる︒  

q㍉㌔三芳ミj紳とすれば  

エ∵ノー二三−∵   ∵・︑●︑二︑∴∴﹁−二二︑∴∵∴■こ⁚−︑︑一・  

﹁対n．⊥ ∫︑さ   

−＋  

．  q  

N≒I  

軋  りT 

三〇  

千空で−車ユ8＋関配︑188聖−N箋＼且＋  

b ⊥︶いcェゝ＋ユ芯土手−︶㌔十TN  

∞ユb−−︶芯音lO 恒  軋L芹−  ︵−−︶ご了⊥C︑   

N b  

（  

b  

l  

トJ  

）  

ヽリ h■L＼ト㌧﹂−■﹂﹂ しバ ∴トハ  

叫扉モーN   も＋ヽ＋−  

トJ  

第二十七巻 第一号  三二  

準偏差ほ計算煩雑である掛此の分散範囲ほ直ちに求められ特紅小標本に於て効用大にして今日品質管理等に於て既  

に実用に供せられ︑主らE・謬警笛nの研究になるものである︒   

目 標本分散範囲の分布   

母集団から大いさ刀の模本数値を大いさの順序に排列したとき各変員をぎ㌻⁝⁝∵ぎとする︒乳の分布の分  

布密度歯数をヽ︵凰とすれば決ナ誉の従シ分布密寝所数ほ  

故虹分散範周知＝旨1ざの従う分布密度画数は  

箋‖叉守︸︶︑＝8一︑⁝﹁ゞ音︸バヾ︵ミ︵≡空尉  

⇔藤本分散範囲の平瀬及び分散  

母象団が正規分布三三︶なるときそれからの任意標本をとれば其の分散範囲の平均期は  

︑＝三一⁚⁝こ．÷︑十∵＝︑i÷︑︑i■・一  

知‖鼓†M m  ．﹁︑lニーー∴こ・︑二■−︑︑一h   こ︑・・・にニ  

誌−N   

O︵払＋−︶書手㌣立   ⁝壬⁝ニ二・■︑⁝÷−︒   

．﹁∵∴∵＼一・■   

決議−唇︼  

S＋−   

∴⁚︑︑∵十ニ∵−︑㌻．− ⁚−1︑︑・1︑︑   ー  

叫山J   わ十−  

−  刊冴＋− と置く  

■︑∵﹂こ ∴一︑︑・一■  

上記餌︑囲は積分値計終に依り求められ其の結果ほtippet紅依りn＝−も含：迄計算せられている︒斯くして理  

論的分散範囲Rの平均河＝計q同株標準誤差倉＝9qとすれば   同株にして分散範囲の分散q㍉ほ  

︑‡ミラ＝︑・一三丁︑︑べ︑︑︵−︑ミ⁚︑ぎ・︑︑二÷ミ・∫・モ．り  

∵∴一＝・−∴﹁．∵∵盲⁝一⁚二∴﹁⁚l﹂∴−−妄  

推測統計の基礎  

十 

l 

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、、）−、 

・ 

、、 

一・、、  

︑⁚二エニ︑︒・′︒二ミ︑ご・   詮丁−−1わ  

︑﹂㍉ 二二  

三   苫−−−1h   ．﹁二︑﹂∵∴ユ︑盲・ミ  

三三    重  

以上に依って標本分散範囲Rの信頼限界は芳村什∽qRであること略確夷宮竣の確率で︶なるべし︒之れに依  って品質管理等に於ける信頼限界線を定め得べし︒  

lモ模本四分低域    第二十七巻 第一号  三四  

上記の分散範囲ほ療本変量の琴南最低の差なるが故に其等の催が極端野犬或は小なる値をとるときは︑それ匠解  

っで影響さ︑れること木にしてしかも其の分布は正規分布よりかなり離れている︒然るに順序統計量に於て当初から  

度数が四分の︷軋相当する︑僚置にある欝1四分位数と︑四分の三に相当する位置にある第3四分位数との羞即ち四  

分位域interqua茎2dis−告諭ほ以上の如き極端値些影響される㌢少く其の意味窟て分散範囲をとるよ巧も  

安全であろう︒尚其の半分たる四分位偏差は計算煩雑な榛準偏差の代用となり中位数との組合せによって利用価値  

の大なるものである︒   

いま模本欝1︑第3四分倍数を夫々qごq旭とし標本中位数をmeとすれはそれは標本数nによって次の由通り  

にイなる︒即ち  

︵Ⅰ︶寧牒倉扇 ︵錦︶遼＝倉責ヰーu ︵肖︶苫−−含蓄＋が ︵員︶お1−願望十∽  

紅従って次例の如く四選りになる︒計＝Nの場合  

冷＝−− ． 

記‖︸○   

推測統計の基礎  

き−−㊥ 誉ヰ㊤ きヰ  

鳶・→㊥ 責・→ 鳶→① 鳶ヰ  

貯・サ④ 牙→㊥ 紆・ヰ 澄→   

三五   

但しぎも匝及びぎ﹀ぎは此の場合の第1第3四分倍数の直前直後の順序変量である︒  

⇔小棒本の場合の標本四分域の平均票ぎ＋N・籠対しも＝曾ユ⊥−3汀ふ羞﹁∽に対しb−︼∽S＋Nとすれ膵  

標本四分域の平均    罪十七巻 繋ご号  

H 大株本の場合の標本四等位域の平均及び分散  

標本四分域 

誉−誉刊N喝＝−・宣誓q  

次に二つの四分倍数q一u計の差の分散を考えれほ  

勤＝忠相−思H雪︵加︶＝ヱ思︶＋く︵豊︶−鱒雪︵申r爪芯︶  

‖﹂腔帖代困−け＝ド和訳  q   ︒ ⁚ 

㍉＋町住  

上記は篭＝料S＋N−倉忌＋∽の場合であるが3＝ぎ黍 血菖＋−の場合には同様にして   ︵菅頼長＝叫︶壷g蒜牒1讐四分位数軋対する度数を表しご規分布の場合はg−‖g怜＝乱  

−  M−﹂拍‖   誉−雪 ぎN咄  ︒忠志−‖−扁﹂ 

ざ⁝さ∴・買l︼︑い．︑   ︑  

︑︑∵  

︑ご二・・＼︸に⁚  

gに g︼．  

唇︸十量的   ∽ T如一項＋彗軋町︸  

一心柏‖  

熊￠＋唇か   ︼＼餌お  

h 

・．︑二■  ∴．﹁ 二二⁚÷︑︑一  

間様にして・3＝ぎヂA菖＋−の場合の模本四分域の平均を求め得ペし   

︑ 但し他日ほ苧屯他の積率の平均である︒   肖 小模本の場愈の標本四分域の分散  

●    先ず屯ご屯はの問の相関係数還︼心拍を求めねぼならない︒  

ざ喝ゆ＝︵や＝仁㌣計︶＼qミ鳶  

推測統計の基礎   一こ∵＼﹂∵﹁ 士︑・二ミン∵⁚≧  

∴＼∴﹁′⁚こ﹂ 

∴︑巨∴⁚てこニュ二∴へ二⁝−∴二．∵㌧三︑⁚−土  

邑∵ ． ︵−−︶ご邑三G＋ユ︑b十デー  王   

■・÷ ∵∵﹁∴■∵︑＼・一÷一−二■⁚−＝︑＼．1   

同様に苛富忘§土の場合の亘 を求むることを得べし︒ ︼︼  

但し餌︑㈱のt等王こIrの値は積分値計算に依って求め得る値である︒以上に依って標本四分域の平均及び  

分散の値を算定し得︒次に其の結果を示せほ  

四分域ゐ平均常誉﹀︒宣︼行軍戎ほq苧昏＝君津とすれば    此の途中の計算記載を省略し結果だけ示せほ   b︑＝   第二十七巻 第仙号  

柏 ︑ 

蛤  

ごt・︑＼H・に︑ゞ∴丁︑ヂ︑﹂  

記＝ぎ芋ヤ寧畏ぎ干思亘罫＋∽∴b＝ぎミ⊥︶ の場合  

やH  

︵富〇ごY⁝  

︵雷ニbb叫㌣   軋   

b  ーN仙   王  ︑﹂．一∴ニーこ二二二■ニーて宣こ∴＼∴：∴＼∴−⁝．二  

ンレ∵・ニ︑︑きぃ一三．ミミ⁝†子宝てンl︑︑・こ︑︑∵︑⊥ 亘   づ︑一．   三八  

※ヾ叫＝岩つのときの値である︒   

▲参照文献   

松下茅米男背 紋計数理の基礎理論  

佐藤良山部著 数理統計学概説   

推測統計．の基礎  三九   

T・HOjODistrib旨nOf−he邑1an去uar−i訂sandln−erquartiledis訂nceinsamp訂−rQmanOrma盲p蔓iOn︑BiOmetr芹a  

Decembe巧−￠∽−⁚  

M・G・舛endal−・づheAd責nCe−−h20ryOfStati象c野ざー∴．    第二十七巻 罪仙骨  

小河原正巳訳 ウイルクス数理統計学上1下巻  

安西広忠 数理統計の基認と其の応用  

佐藤良一郎︑遠藤健児︑小川潤次郎共著︑実験計画と品質管理  

和気幸太郎著 品質管理論   四〇