修・士学 位論文

題

修・士学 位論文

グ出ハ鮒加よS坤S山七馳

    ボドいけ1ン

指導教授般ぺ灸享．教授、

平ぶお年！月／。目・提出

首中大二東京大学院

理工学研究科鉢硝秩紳専攻

 学修番号  〃87駐3oλ一

氏名井楓依キ

       学位論文要旨（修士（理学））

       論文著者名 井澗 俊幸

論文題名：Modi丘ed Genera1ized Sierpinski Gasket格子上のボンドパーコレーション 本文

パーコレーションとは浸透を意味し，相転移の最も簡単なモデソレである．相転移とは 臨界点と呼ばれる点においてその前後で様相が劇的に変化する現象のことであり，水 の状態変化で例えると融点・沸点が先の臨界点に当たる．水の相転移は温度と圧力に よって決まるが，融点・沸点を境に氷，水，または水蒸気のように状態が変化するこ とは非常に興味のわく現象である．

パーコレーション理論とは様々な格子上でクラスタがどのように繋がっているのか，

どこまで繋がるのかということを考える理論である．例えば，無限に広い森林があり，

それぞれの木々が東西南北等間隔に並んでいるとする．その申の1つの木が燃えてい るとするとき，木から木へ炎が燃え移る確率ρをどの程度大きくすれば火災が無限に 広がっていくのかを考える．ここでは無限に広がるか否かの境となる確率ρ、が臨界点

となり，その確率が0より真に大きくユより真に小さいとき相転移が起きるという．こ のようなことを様々な格子で考えたとき，果たして相転移が起きるのか起きないのか を議論するのがこの理論の大きな問題である，

相転移の有無以外の問題として，臨界点付近での様々な関数の振舞いが挙げられる．

燃えてしまった木の集合（クラスタといい0で表す）の数の平均値則10口やクラスタ の直径を表す相関距離ξ（ρ）などは臨界点付近で1ρ、＿ρ．の幕乗関数として振舞うだろ うと予想されている（これをスケーリング則という）．さらにはそれらの纂乗指数（臨 界指数ともいう）がスケーリング関係式とよばれる式をみたすと予想されており，こ れらの法則や関係式が様々な格子上で成り立つかどうかを検証することである．

フラクタル格子上のボンドパーコレーションでは有限分岐か無限分岐かによって分 類でき，有限分岐格子の場合相転移は起きないことが容易に示せる．そのため，有限 分岐格子ではρ↑1としたときの万ρ［lo11やξ（ρ）の振舞いが問題となる．

本論文では有限分岐フラクタル格子の例としてModi丘ed Genera1ized Sierpinski Gas−

ket格子（以下MGSG格子と書く）とよぶ一群のフラクタル格子を構成し，その上で のボンドパーコレーションにおいて

       1・g（1・gξ（ρ））

       11m       ；一2        ρ→11og（1一ρ）

が共通に成り立つことを示した．これは

      ξ（ρト・（1■ρ） 2

を表しており，さらにスケーリング則の1つである

       ξ（ρト1ρ一ρ、にレ

の指数レの値がMGSG格子では○oとなることを意味している．

1

目次

1 インド口タクシ三1ン      3 2 が格子上のボンドパーコレーション       5

 2．1d・・2の場合．．．．．．．．．．，．．．、．．．        5  2．2 d≧3の場合．．．．．．，．．．．．、．．．．         6  2．3 スケーリング則について、、．．。．．，．．        ． 6

 3．1 Sierpi醐ki Gasket格子上のポンドパーコレ㎞ション．．．．．， 7

 5．3今後の課題       29 6 付録       29

1 イントロタクシ目ン

 パーコレーシ身ンとは浸透を意味し，相転移の最も簡単なモデルである．相

のことであり，水の状態変化で例えると融点・沸点が先の臨界点に当たる．水

水蒸気のように状態が変化することは非常に興味のわく現象である．

パーコレーシ国ン理論とは様々な格子上でクラスタがどのように繋がってい

るのか，どこ蒙で繋がるのかということを考える理論である．例えば，無限に

である．

パーコレーション理論におけるその他の重要な問題は後に述べる通り，臨界 点付近での様々な関数（確率や期待値など）の振舞いである．またそれらの 関係性（スケーリング則）が予想されており，それが正しいかどうかを検証 することである．

本論文では文献111…を参考に自らフラクタル格子の構成を行ない，3等分構

成での結果を経てその一般形であるModi丘ed Gene蝸五zed Sierpinski G鎚ket

      1㎜1・・（1・・ξ（・））＿。

      ・→1109（レP）

となることを示した．ξ（p）は相関距離と呼ばれクラスタの直径の指針となっ ている．これは

      ξ（ρ）階・（1寸2 を表しており，きらにスゲ｝リング馳のヱつである        ξ（ρ）局1P1。にレ

の指数μの億がMGSG格子では。oとなることを意味している．

本論文の構成として，2章ではパ｝コレーションの定義と最も単純な格子で あるZ2格子やこれを拡張したが格子上でのボンドパーコレ｝ションを紹介 している．3，4章ではフラクタル格子上でのボンドパーコレーションを紹介

している．フラクタル格子上では有限分岐か無限分岐かで特徴が翼なり，3章

ンを考察している，この格子は有限分岐タイプであるので3章の内容の応用 3

ともいえる．また5章では相関距離の直観的意味を厳密に示している．この 証明は3章で扱うSG格子においても有効である．

謝辞

 この研究に取り組むにあたり，学部時代から含めて3年間担当であった服 部久美子教授には言葉では言い表せないほど感謝しております．パーコレー ション理論を教えて頂いたことに始まり，研究への助言や指導を丁寧にして 頂きました．

また，自主ゼミ等でわからない箇所を共に議論してくださった同研究室の市

橋君始め先輩，後輩達にも感謝しております．

最後に研究の合間にたわいもない会話や励まして精神的に支えてくれた数理 情報科学専攻の同期の方々にも感謝しております．本当にありがとうござい

ました．

2 Zd格手上のボンドパーコレーション

2．1 d二2の場合

 まずは最も単純なπ2格子上でボンドパーコレーションを解説する．

宏2に属する頂点全体の集合をV2，長さ1の辺全体の集合を皿2とする．週2 に属する各辺はそれぞれ独立に確率ρで。p㎝，1＿ρで。1oseとする．この 申の。p㎝である辺を繋げていき，どこまで繋がっていくのかを研究するの

がボンドパ｝コレ｝ションである．

 より厳密に定義する．Ωを皿2から｛0，1｝に値をとる関数全体，即ち

と定義する．各ωξΩに対しω（e）書1は辺eが。pen，ω（e）隻0は辺εが

。丑。seであることに対応しており，8（ω）：二｛ε∈皿21ω（e）ご1｝と1対1に

なっている．さらにΩの簡集合全体を含む最小のσ一加法族を逓（Ω）と書き，

可測空間（Ω，β（Ω））上の無限直積確率測度馬二n、ξ艀μ。を定める．但しμ。

はμ、（ω（e）二1）ε四，μ色（ω（e）芝0）＝1−pをみたす確率測度（ベルヌーイ分 布）である。

 ｛孤紳リ｝を点 から点リまでの。pen pathがある事象とし，ク（班，砂）：桑

耳（π衿V）を連結性関数という．0（π）二｛VξV2：拠紳μ｝で定める0（π）

を皿を含むオープンクラスタという（単にクラスタともいう）．原点を含む オープンクラスタ0（0）を単にσとかく．さらに0（π）に含まれる元の個数

を10〈 ）1で表す。

無限クラスタができる確率9（p）とクラスタの大きさx（ρ）を次で定義する。

      θ（P）二馬（lq二◎o），X（ρ）二五p（ρHq〈oo）・

上記のθ，xはいずれもpについて単調増加であるので次のような臨界確

率賄，卿を定義できる．

      胞：二in歪｛P：θ（P）＞0｝，

      吻：二inf｛四：X（刀）〉O｝．

 このようなモデルを考えた時に問題として挙げられるのが触や〃の値

や関係性，ρ＜略（高温相）やρ〉鮒（低温相）におけるθ（四），x⑫）の振舞い

である．Z2に関しては脳ユ差となることがK跳tenによって1980年に証明 された．その他に肋＝〃となることや無限クラスタの一意性などもわかっ

ている．（後述）

5

2．2 d＞3の場合

 高次元の正方格子上でも∂＝2と同様にボンドパーコレーションを展開す ることができる．この場合，π2は炉の部分グラフであるので㍑≦去であ ることはわかっているが果たして具体的にどんな値を取るのかは現時点では 得られていない．しかし，ρ∬＝〃が任意のd∈Nに対して成り立つことは

M㎝sbikov（1986），及びAizenman−B鵬ky（1987）によってそれぞれ別々の方

無限クラスタの一意性に関しては1981年にNewman−Schu1肌触により次の定 理が証明された．ここでw。。（ω）を3（ω）の無限クラスタの個数とし，｛N。。韓 殆｝二＝｛ω∈Ω！Noo（ω）z先｝とおく・

Tbeore職2．1（New皿狐一Schω孤独）．任意のη∈日0，1…に対し        昂（w。。…兎）コ1

なる尭は。，1，ocのみである一

 この定理から馬（札＝oo）＝1となるρ引0，工1が存在する可能性が出てき たが，後の1987年にAizenm測一Kesten−New血an，1989年にB山ton−Kea皿e

によりそれぞれ別々の方法によって次が示された，

砒eo鵬m2．2（A−K−N，B−K）．任意のρ∈p，1〕に対し        馬（woo二〇〇）竈α

 以上よりエルゴード笹と併せて無限クラスタが存在する場合その個数は高々 1つであることが証明された．

2．3 スケーリング則6ζついて

 パーコレーションの問題の1つとして臨界確率付近でのクラスタ等の振舞 いが挙げられる．その申にθ，x等が幕乗法則（スケーリング則）に従うとい

うものがある．即ち，

        θ⑫）能（ダ炉。）β（れP、），      ／1）

        X（η）判ダPむに㍗（P→P、），       （2）

        繁器嵩）局1けに・い泌）／・）

なるβ，7，△があるという予想である．このようなβ，7，△を臨界指数という一

世し

       1・gプ（ρ）

       ∫（P）榊（P）（刃→刃。）⇔1im   二1        ・→ρ・1Og9（ρ）

6

である、

実際このような法則が成り立つことを数学的に証明するのは非常に難しく，

本節で述べているが格子上ではHa愉S1ade（1994）によってd≧19のと きにβ二1，7＝1，△竺2が求められた．

また，d≧6のとき臨界指数は全て同じ億になるのではないかという予想が

あるが，厳密には証明されていない，

さらにこれらの臨界指数に対して

       7＋・2β篶△十β という関係式をスケーリング関係式という．

この関係式が卯以外の格子（後に述べるフラクタル格子上などで）成り立

つかどうかも問題の1つである．

本論文の主題である相関距離ξ（ρ〉に対してもスケーリング則

という予想があり，それに付随する関係式

（遂）

伽二△十β

をハイパースケーリング関係式という．但し，∂は格子の次元である．

 臨界指数の予想に関してはその値にも多数存在する．

例えばκ（p）：エ坊（ρに1；ρ1く。o）としたときρに対する3階微分が

どなる予想があり，さらにそれに付随するスケーリング関係式も存在する．詳

3 フラクタル格子上のボンドパーコレーシ目ン

3．1 Sierpi鵬ki Gaske叱格子上のボンドパーコレーション  フラクタル格子におけるボンドパーコレーションでは有限分岐か無限分岐

かで大きく分類することができる（有限分岐の定義は後述），

この章では有限分枝なフラクタル格子のボンドパーコレーションについて紹介 する．まずはフラクタルとして最も有名な図形の1つであるSierp虹ski G鎚k銚 格子上のパーコレーションを論文【11］に沿って紹介する．

7

 ○竺（o，O），αo鶉（芸，普），わ。二（1，0）とし，珊を△0αoう。上の頂点と辺か

らなるグラフとする．α帆二2肌αo，6肌＝2％oとし，グラフの列｛凡｝を         み斗1・・1みU（孔十αη）U（孔十6η）

で帰納的に定める，但しλ十α二｛π十α1πξλ｝，M鴬｛伽は∈λ｝とす る．このようなグラフ列の極限

       oo        卜U凡

       肌荒1

をSi鉗pi脳ki Gask銚格子という．（図1）

α仰十王

α物

0 ^{み職 6肌斗1}

      図1：S1erp虹ski Gasket格子

 Sierpi鵬虹G鴉keも格子の場合p。ユ1である．なぜならある為∈銅で似，狐 から外に出る辺が全てC1OSeならば無限クラスターはできない．

     片（αゐ，ろゐから外に出る辺が全て。2δ8θ）エ（レp）4

であるので，O＜p〈1のとき

        θ（ρ）≦（1一（レP4））肌→0（η→・・）

となる，つまりSG格子では相転移は起き惹い．

グラフ0の任意の有限部分グラフ∬⊂Gに対し，貨に依存しないある数以

8

下の辺を取り除くと0と不連結になるようなα⊃亙がとれるときGは有 限分岐であるというのだが，このような有限分妓のフラクタル格子において のパーコレーションでは上と同様の議論から相転移は起きないことがわかる

（有限分岐でないものを無限分岐という）．

よって興味深い闇題としてはρ↑1としたときのクラスタや相関躍離の漸近

的な振る舞いが挙げられる．

 SG格子に対する相関距離ξ（ρ）の定義と存在性を示しているのが次の定理

Pmpo銚ion3工任意の脈（0，五）に対し

／（・）一息／一夫・・馬（・川ジ

となるよう狂ξ（抄）〉Oが存在する．

 SG格子でのパーコレーションにおけるスケーリング則（4）の臨界指数ひを

求めているのが次の定理である．

脳eo・蜘3．2（狐S血虹。da）・

       i㎜亘・・／1・・ξ（刃）」一2

       空→リOg（レρ）

 つまり臨界指数は〃＝ocであることが示された一きらにξ（p）とx（ρ）の関 係性を表しているのが次の定理である．

Tbeo肥醐3．3（M．S虹皿。d＆）．D箏1og3／三〇g2とする。このとき任意の為≧1 に対し

      刃、l10i為ト｛ξ（刃）｝跳（い1）．

 DはSierp虹s虹G鵠途e亡のハウスドルフ次元である．

これらの証明法においては

         Φη（㌘）：二馬（0衿α吼伽凡），

         ◎肌（P）：＝馬（0紳α冗，0衿6れ伽亙犯）

と定義される連結性関数⑫肌（p），◎帆（ρ）における漸化式が非常に強力な役割を 果たす．MGSG格子においても定理の証明方法はこのような漸化式に大きく 依存している．

 棉関距離ξ（ρ）はクラスタの直径の指針となるものであるが，そのことを

ある．

Pmpos鎚。皿3．4（T．胞虹）。任意のみ∈Nに対して          聴脳1回；鳥ト｛ξ（㌘）｝馬（い1）、

       蛎ε0

3，2 Mande1bro亡一Given曲線格子上のボンドパーコレーショ    ン

 ここではMandeIbroも一Given曲線について定義し，その格子上でのボンド

パーコレーションを論文［101に沿って紹介する．

 0結（0，0），αo鶉（1，0），わ。＝（1，1）とし，Moを0からαoまでの頂点と辺 からなるグラフとする．さらにαηエ（3れ，0），6れ二（3n，3η）とし，グラフ列

｛破れ｝港。を次のように帰納的に定める。

  M1、、斗1 ：＝・ 狐U（ηπ（M肌）十2α肌）U（M1肌十2αれ）

        U（見董（狐）十δ冗）U（偽（狐）十2αη）U（払十6η）・

但しRθは原点0を中心に角θだけ回転させる変換である．この列の極限 M：二U注。狐をMa口de1bm七一Given曲線格手という．（図2）

         図2：M測delbmt−Giv鋤曲線格・子  さて，このグラフM上でボンドパーコレーションを考える．

SG格子上と同様の議論からp。（姐）＝1であることは容易にわかる．

まず連結性関数Φ肌（ρ）：ユ馬（0糾αれ）を定義する．この関数に対し次のよう な漸化式が成立する．

10

恥。pos搬。皿3．5．任意の悦∈N，㌘∈p，1；に対し

        ⑳糾。（刃）二｛璽れ（P）｝3＋｛亜η（ρ）｝5一｛⑳ル）｝6

が成り立つ．

 さらに椙闘距離ξ（四）について以下が成り立つ．

脚。pos蝪。n3．臥任意の峠（0，五）に対し

      一上一㎜1・・軸）

       ξ（P）犯→・。 3例

となるξ（皿）が存在する．このξ（ρ）は（0，1）上で連続であり 豆油如→1ξ（㌘）＝○o，呈i肌p→oξ（p）二〇となる。

 N−Sa銚iはξ（刃）と再（さq）の関係性を次のように評価した

Theo鵬㎜一3．7（N．Sa鰍虹）。月二1og6μog3とする．このとき任意の先≧夏 に対し

      亙、胴為ト｛ξ（P）｝倣（P→五）、

 ここでDはM測de三broかGiven曲線のハウスドルフ次元である．

また，ξ（η）のp↑！における振舞いについてξ（η）幻（1＿p） 艦と予想して

いるが厳密には証明されていない．

4 Sierpinski Carpet格子上のボンドパーコレーシ   ヨン

 エ≧2とする．この工に対しTパ桑｛0，1，…，Z−1｝2と定める一さらに

（4，ゴ）ξTムに対し，アフィン変換Ψ（乞，ゴ）：p，112一→［差，苧］x［垂，牛〕を

Ψ（ら。畑）：一（宇，宇）

と定める．空でない集合T C T五に対し

      柘丁

をみたす空でないコンパクト集合KT C10，112が唯一つ存在する．

このKTをGe鵬蝸1izedSi酬pi鵬kiCarp銚sという．

次に桁に対応するグラフを定義する．

       珊：一U叫、。…・軌竹（［O，112の境界）

      む，…，舌帆ξT

11

とおく．（注：珊→KT（れ→oc）である）

        γ（G多）：J岬∩Z2，

        亙（G多）：二｛（仙，〃）：仙，ω∈γ（G亭），1刎一列二1｝

とおき，グラフ研：＝（γ（研），亙（研））を定義する．

さて，この桁を連結かつ（0，0）∈Tと仮定する．この仮定の下で

       ◎◎

       G庁∪畔

      η二1

       oo      oc

       （｛…γ（GTトUγ（研），刃（oT）一Uγ（珊））

       η＝1       れま1

とする．この桁に対応するグラフの族GTをSi鉗pi鵬ki Carp銚格子と

いう．（図3）

0

         図3：Sierpins炎i C狐pet格子

この図で1ま五＝4，T＝T4＼｛（工，王），（2，五），（3，三），（1，2），（3，3）｝であり、無限分岐である、

        また，恥価4．1を満たすので穐転移が起きる

また，皿軸を軸とした鏡映を炉1，砂軸を軸とした鏡映を物とするとき       3T＝・GTUψ1（GT）U炉2（Gτ）Uψ王。炉2（GT）

互2

図4二触S虹p三鵬ki C鮒pet格子

で定める防をf枷Sierpinski Carp銚格子という．（図4）

 SC格子は集合丁によって有限分岐なものと無限分岐なものが構成できる．

例えば工＝2のとき乃二｛（0，0），（0，1），（1，0）｝ととれぱ0T、はSG格子とグ

ラフとして同等になりρ、（Gτ、）二1である．また，乃簑丁2ととれば0犯は

故にSC格子のパーコレーシ調ンにおける重要な闇題としてTにどのような 条件を与えたときに相転移が起きる（炉。二1となる）のか，又ほ起きない

（ρ、く1となる）のかということが挙げられる．

 工＝2のときは上の例から丁薫丁2⇔ρ、（0T）〈1がわかるので工≧3の ときに考える．

相転移が起きる十分条件として次のことがわかっている．

13

Tbeo肥蛆4．1（M．Sh虹。d故）。集合τ∈Tムに対し

      叫：＝｛ゴ：（五一1，ゴ）∈τ｝，

      乃1種｛4：（4，O）ξτ｝，

      孔：薫｛41（4，五一）∈τ｝

と定める．このとき以下の2つの条件

        任意の帷τに対しク＼｛君｝は達繕，       （5）

      岡∩酬≧2，四∩則≧2     （6）

をみたすTに対し

       P。（GT）＜L

        （4，3）⊂r⇒（ク，4）⊂ア醐帥，五一レ3）（二丁，  （7）

        ｛（0，ゴ）：O≦ゴ≦五一｝⊂τ        （8）

を与えたとき，次の定理が成り立つことを示した．但し，任意の整数ゐ，1，η≧1

に対し

      Gれ（1，為）1＝U U略十（ガ〃，ゴ・五η）1

      0≦；壱≦｛｝10≦ゴ≦冶一1 と定め事象ん（4，后）を以下のように定める、

  ん（J，た）。＝｛G仰（3，ゐ）の左辺から右辺へと繋がる。脾ηρα妨がある｝．

丁虹eo聰醐4−2〈T．Ku蛆aga量）．任意の刃∈王。，1…に対し

     五imsup馬（λれ（3石，1））＜五⇔五皿舳p馬（λ肌（3石，2））く五

     れ→OO       珊』十〇◎

が成り立つとき，

      1

     一く腔（θT）芸仰（砺）（二ρ、）〈1，       （9）

     2

     任意ρ刃＞伽に対し無限クラスタカ㍉確率1で曜一つ存在， （10）

     θ（η。）＝o（邸ち，p、では無限クラスタは存在しない）   （u）

が成り立つ．

 特に五。＝3の場合，以下のことがわかっている一値し，場は賜の裏格子

である．

Tbeore職4．3（Y．亘iguchi，Xian−Yu測）．任意の㌘〉ρむ（8τ）に対し無限クラ スタが確率1で曜一つ存在し，ρ、（8τトp。（GT）二11フむ（蹄）かつθ（ρ）は p、（防）において連続となる．

王4

Sierpinski Carpe七格子に関する定理の証明ではbox perco1a七i㎝と呼ばれ

5ModiiedG㎝era1izedSierpi皿sk三Gasket格

  子上でのボンドパーコレーション

5．1 定義と諸性質

 Sierpinski G舶ketに少し手を施して変形版を構成する．m≧3とする．

○二（o，o），αo二（圭，普），ろ。二（1，0）とし，珂を△0αoあ。上の頂点と辺

からなるグラフとする．また，任意のれξN，4，ゴ∈｛1デ．．，m＿1｝に対し

αれ（乞）コづ肌職αO，bη（ゴ）＝ゴ肌％0とおく一

次にグラフF1を図5のように構成する．

      的（6〉二α1（王）

       的（5

      α0（4

         侃。〈2

        α・（1  ・る    靖

0う。（1）う⑪（2）う。（3）ろ。（4）う。（5）6o（6）＝う1（1）

   図5：肌二6におけるF玉

 つまり珊のコピーを3肌一3個大きな正三角形の外枠に沿って並べる．この

とき珊のコピーを便實的にそれぞれ珊十αo（4），珊十わ。（ゴ），馬十αO（4）十6o（ゴ）

等と表す．さらに次の条件を加える、

       （珊十α。（1））∩（馬十あ。（1））＝②，      （12）

       （尻十う◎（肌＿2））n（挑十αo（1）十う。（例＿2））篶⑫，   （13）

       （何十αo（肌一2））n（昂十αo（肌一2）斗6o（1））＝：1⑫一   （14）

即ち図の端，靖，c§では2つの頂点はそれぞれ繋がっていないものとする・

以下，3肌一3個の局からF1を作ったのと同様にして3m−3個の孔のコ

ピーから九十1を構成する．このとき条件（13），（13），（14）のように，どの

15

る．

このようなグラフ列の極限

       oo        トU＾

       η＝1

をModi6ed Ge口e蝸1i鵬d S三erpinski Gaske危格子と名づける．（図6）

■ ■ ○

      図6：脇鎚ed Gene脇王ized S三erpinski G鵜ket格子 MGSG格子は有限分岐であるのでSG格子と同様に四。薫1である．

この格子に関して関数Φη（p），θ椛（刃）を次のように定める．

         Φれ（P）：二馬（0帖αη細孔），

         ◎肌くρ）：二馬（0衿αη，0衿あ仰 細み）・

Φo（ρ）二ρ十p213，θo（pト3p2−2ρ3は容易にわかる、この関数に対し，

次の漸化式を得る、

Propo銚ion5．1。任意の犯∈弼，㌘引0，五三に対し

    蛮州（皿ト｛亜椛（㌘）｝湖十｛⑳れ（㌘）｝2椛一一｛唖泓（㌘）｝3榊巾5｛θ職（ρ）｝2，（五5）

    ⑤糾。（η）コ3担椛（P）｝2肌一2θη（Pジ2｛璽、呈（四）｝3例 6｛◎犯（ρ）｝3．（16）

pクηo￠ますみ斗1を次のよう；な硝 ゴ）に分ける．

      硝壱・ゴ）：＝九十α、（差）十6、（ゴ）

16

蒙だみゴ）：貨α、（4）十あ肌（ゴ）と定め，事象ぺ，瑞を次のようにおく，

ベニ｛0州れ（1）伽珂。・o）｝∩∩｛αη（1）州肌（1斗1）伽球。）｝，

      1≦乞≦肌一1

瑞績｛0｛（1）伽珊。）｝∩∩｛うれ（ゴ）⇔6れ（ゴ斗1）伽4o，ゴ）｝

      1≦ゴ≦肌一2      ∩｛わ帆（か1）1→・身作1）伽球伽1）｝

     ∩ ∩ ／・身・州舳黛十ユ・5）伽硝，ゴ）｝

      毒，ゴ≧王，台十ゴ＝η一＾1

     ∩｛C炉 1・1）←用帆（肌）伽F￡榊一1・O）｝．

      α椛（刎）竺α汎十1

α胞（豆）

抄一・）㌶ πト3）

      。黛・獅■2）

       4土作ユ）

o○○

0 6苦。（1） δ、｝（肌）こ5れ斗1

瑞

λ2       λ1∩λ2

 汎       犯     η

図7：｛0⇔α糾王伽瓦十王｝のルート

 ここで｛0糾α科エ伽九十1｝のルートは上記の端，瑞の2通りである

（図7）．さらに各球 ゴ）内での事象はそれぞれ独立であるので

       意馬（端Uλ婁）

       華巧（州十馬（瑞）一馬（ぺ∩瑞）

       ＝ ｛Φ肌（P）｝m＋｛重冗⑫）｝2肌・正一｛亟肌（P）｝3肌一5｛θ犯（炉）｝2

      17

を得る．

また事象助，硝，瑞を

硝＝｛0州、己（1），0〜、（1）伽扉。，o）｝

     ∩∩｛α肌（1）舳η（1＋1）伽砂。）｝

      1≦壱≦肌一1

     ∩∩伽（ゴ）｛（ゴ十1）伽珂。，ゴ）｝，

      1≦ゴ≦肌一

端二｛0衿ろれ（1）伽硝。，o）｝∩∩｛6η（ゴ）刈η（ゴ十1）伽4o，ゴ）｝

      ユ≦ゴ≦m−2

     ∩｛うη／m−1）糾6η（m），あ肌／m−1）舳身咋1｝伽砂榊 1）｝

     ∩ ∩ ｛仰1）削募十1，3）伽球，ゴ）｝

      壱，ゴ≧1，壱十ゴ＝η一＾1

     ∩｛・炉 王，1）1→α帆（肌）伽砂 1，0）｝，

硝鷺｛0州れ（1）伽4o・o）｝∩∩｛α拠（1）削η（1＋1）伽砂。）｝

      1≦壱≦㎜山2

     n｛α、（m−1）榊肌（肌），α汎（伸一）wザ1，1）伽硝榊L1・o）｝

     ∩  ∩  ｛C黛十1・ゴ）衿C身・ゴ斗1）伽夙ε・ゴ）｝

      台，ゴ≧＝ユ，壱一←ゴ＝＝椚恥一1

     ∩｛・身・榊■1㌧あ肌（肌）伽硝0，職＾1）｝．

とおくと｛0衿α耐1，0⇔う科1伽九十ユ｝となるル｝トは上記の3通りで

ある，（図8）

 よって

  θ科1（P） ζ 易（0く→α科1，0⇔う糾1伽九十1）

       ＝馬（助U硝U硝）

       ＝ 馬（3主）十易（B婁）十馬（3実）一易（B主∩3貫）

        一島（B婁∩3隻）一島（B王∩遍身）十馬（3圭∩B婁∩8貫）

       篶3｛亜。（㌘）｝2㎜｝2θη（戸）山2｛⑫π（μ）｝3作6｛◎帆（夕）｝3

を得る．      口  この漸化式はm篶2のとき，Sierpinski G包sket格子における漸化式と一 致する．ここで関数Ψ肌（ρ）を

     Ψ帆（p）：芸1一馬（0衿αれ，0袷6仇，α肌榊6肌伽凡）

と定義すると

   1＿易（0紛α職，0沸6れ，αη佛う冗伽凡）

 二 易（0←トα犯。γ0糾b犯。rα例←≒あ肌伽凡）

三8

瑞

  82       B3

   職      苛 註

図8：｛0⇔α糾王，0⇔ろ耐王初見斗王｝のルート

 工 易（0く→α物納凡）十馬（0く→う物4η凡）十馬（α楓←亭6肌細孔）

   一馬（0紳％，αη約6れ伽凡）一片（0⇔6弼，α犯⇔われ伽凪）

   ＿馬（0←用η，0←ト6犯伽凡）十馬（0←用職，0糾わm，α肌←ト6肌伽凡）一 よって四れ（ρ）隻3⑮椛（p）＿2◎η（p）である．

 次に相間距離ξ（p）を定める。

Proposi硯。皿5，2．任意のpξ（0，1）に対し

1（1）一 ｬ嘉・・馬（・川ジュ

となるようなξ（p）〉Oが存在する．きらにξ（p）は（O，1）上運続であり，

1i卿→ユξ（p）二〇◎，1虹如→oξ（p）＝0となる．

Pηoψ先の漸化式と4⊂｛0←α糾五伽九十1｝より

     ｛Φπ（P）｝榊≦Φ犯十1（炉）≦｛⑳肌（刀）｝m＋｛璽珊（P）｝2肌一王

となる・よってんれ（・）1一翻船とおくと唖仇（ρ）→・（H・・）より

1≦ん肌（p）≦2かつんη（p）→1（η→oo）を得る．ここで

   1   フ1・g蛮れ（P）

   m

19

一夫1・・（舳一｛綜；工箒紛；；；、㍑一）

        1      ユ      ユ

 ≦1og亜。（ρ）斗1・g2一

 さらに

      1         1

       ㎜れ。・1・・Φ仇・・（・）一万I・・⑳れ（ρ）

       、1斗、（1・・｛篶椴）

      1

         −mη・11・・ん肌（ρ）

        ≧0．

 ゆえに数列 ｛嘉1ogΦ例（p）｝はηについて単調増加かつ上に有界である

      1． ． 1

      一一二1m裏1・g⑳肌（㌘）

       ξ（ρ） 肌→・。肌

とおく．ここで

     耳（0紳α肌）一馬（0く→αη伽亙れ）

   二 易（0く→6η伽凡＼｛伽｝，6晩⇔α肌伽（F＼凡）U｛α椛，みη｝）

   ≦馬（0衿あ汎伽F美。，o），αれ（2）⇔αれ（1）伽功1，o）））

   二｛亟η（ρ）｝2。

よって

         ⑳m（四）≦馬（0帖αη）≦⑳肌（ρ）十｛唖犯（ρ〉｝2        ⇔。≦馬（0舳汎）。・。｛盃れ（ρ）｝

      ⑩η（P）

からη→・・として幣→・を得る・これより     1    ． 1

  一一 籔 1m烹王0g⑳弼（P）

   ξ（P） 肌→・・肌

一息（点1・・ポ）、れ）・÷1・・馬（・一一））

       1

      竈  1imフlog島（0←トαη）

        π→o◎η1

となる．また，任意のηξ洲に対し        ＿土

       ξ（ρ）

20

  1≧  丁10gΦ肌（ρ）

  肌。 。

一刀一（肌耐！（1・・璽糾1ω）一1・・／Φ〃）

十。1、、（1・・Φ糾・（・）一・・／Φ犯斗1（ρ）1一）・）

 1   1        1

苅｝m耐110・ん肌（ρ）下斗・10・ん肌・・（ρ）｛

・十÷1・・（紗・））・

以上より

分1・…分1・・（紗（1））・1・・画一（1）・青（・・）

となるので

       1・gΦれ（P） 1     1・g（・・p冶≧、ん冶（P））

  1im sup    ＋一 ≦ 五im sup

 肌州。ξ（・，1） が  ξ（刃） 肌刈。∈（・，・）  が

      ＜   1ir徹 一二0．

        れ→◎Q肌肌

      肌η    1      m肌

       exp｛一一｝      ≦Φη（P）≦exp｛一一｝

      ξ（ρ）  sup冶＞仇ん鳥（ρ）       ξ（ρ）

       べ       肌

     ⇔⑮肌（P）≦・xp｛一一｝≦・upん冶（ρ）⑩犯（ρ）≦2Φ肌（P）

      ξ（ρ） 冶＞仰

ρ→0としてexp｛一蒜｝→Oから1i㎜ρ→oξ（ρ）ユ0を得る・さらにρ→1 とすると任意のη∈Nに対し唖η（p）→1からん犯（ρ）→1となるので，

exp｛＿揚｝→1と稼り1i㎜ρ叫1ξ（刀）二〇〇を得る一口

 相関距離に対して3章で述べた次の性質が成り立つ．

Pmpos沌ion5．3。任意の肌≧2，為ξ醜に対し

         則肌砥、伽炉ト｛ξ（皿）｝ゐ（P→1／

       拠∈o

仰。oグ五：＝sup｛3；0⇔軌〃0糾あ1｝を定めるとユニηとなるための必 要十分条件は㎜η≦m一戦ξo1州＜が十1と；なることである。よって       馬（レηト馬（が≦・跳榊＜肌犯十1）   （五8）

       πξ0

となる．

まず上からの評価を考える．（17）と（18）を用いて        ◎c

亙ρ曝割1剛冶1＝Σ戸馬（票箸11刻ト1）

         壱＝i

21

       ◎o

       ・Σ（m帆十1）冶易（肌肌・鋤同1く肌叶1）

       胆0。。

       ユ mおΣ二m7｝胎島（ユこれ）

      胆0。。

       ≦・m外1Σ肌へ（ρ）

      汎；O

      例

       ≦2肌糾1Σが・嚇

      汎コ0

を得る．ここでT：。二幣とおくと    oo

   Σ肌一為・ 瑞一Σ二肌一冶・・瑞・Σ1肌泥冶・青

   η＝0      物竈丁       肌〉T

・∫㌦1班・希イ・榊・一制π

   roo      肥

・・｢みπ・噛伽

羅2Sズ・｝吻

      2｛ξ（P）｝冶

      竈    r（ゐ）

       1Ogm

但し・はガンマ関数である以上からK1（為）・一端 r（為）とおけば       則㎜剛州≦K。（冶）｛ξ（ρ）｝馬

となる．

次に下からの評価を行稼う．m≧3のときに示す．

   ｛0く→αη（1），α犯（1）給α柵（2），あ犯（1）糾う犯（2）｝⊂｛ムニη｝

より⑩肌φ）（1一Φπ（ρ））2≦馬（工＝η）である、

さらにれ。：。＝醐p｛η；亜、（ρ）≧姜｝と定める．（17）と（18）を用いて

      ◎o

   則血跳1州≧Σ（肌れ）刎肌η≦脳M・m汎十1）

      m二〇

      鷺 Σ二m肌島易（五二肌）

      ぱ。

      ・ΣがΦη（ρ）（レΦη（ρ））2

      ≧Σ＾嚇（レθ嚇）2

      η＝0

       22

（19）

・｛ｴ∬∴ξ（ρ㌧鳥一・ゼ砂（・イψ）・吻

を得る．ここで亜れ。十1（p）＜曇と（17）から

     1m冊0＋I  1 η7η0 113

     5ゼT≦⑫・…1⑫）〈葛⇔ξ（。）＞萩10・三 であるので・・（1）：一由パ蜘島｝（・刊2枇おけば

      亙、lm・・l1州＞K。（ゐ）｛ξ（P）｝島

となる．

m鷺2における下からの評価は文献正11…の4章の内容と（18）を用いれば上

と同様の議論で導くことができる．

以上より

         則m。・ψ11島ト｛ξ（ρ）｝為（P→1）

を得る．       口

5．2 相関指数k関する評価

 本論文の主題である禍関指数に関する定理を導くにあたり，次に示す補題

が非常に重要な役割を担う．

Le㎜㎜a5．4．ある6〉0が存在し，任意の㌘∈（1−6，1）に対して         肌。ξ（肘・（肌一1）2（1一・）3）。m・

      ｝    ξ（P）    一

となる．

PmoダΦ肌（p），θ肌（p）のp簑1付近での振る舞いをテイラー展開を用いて表

  壷肌（㌘）ニレ2（レρ）2＋卜8／肌一1）2叶3｝（レρ）4         ＋4（2mし4m＋1）（レP）5

        ＋｛一32（肌一1）4れ2＋8（4肌2−6肌十5）（卜1）2η

  θ、（P）義レ3（レP）2＋卜12（m−1）2η斗6｝（レ四）4        ＋6（2肌2−4㎜十1）（1一ρ）5

       ＋〈一48（肌一）4η2＋24（2肌し3外3）（叶1）2η

       十（16肌し87m2＋126卜47）｝（レρ）6＋・（（1−P）6）

      23

となる．またこれより

   唖れ（P）エレ3（レρ）4＋｛前24（m一）2卜8m3＋2物2

         −24肌十16｝（1一ρ）6＋・（（レρ）6）

となる・ここでレ馬・刀・・なる沐対しク印・（・一・）2（レρ）3 とおくと任意の3≧肌≧2に対し

θ！（￠）一⑧η（P）藏6（m−1）2｛3−2（1一㎜）｝（1一ρ）4＋｛一27（m一）4       ＋72（伸一三戸（2（m一）21−1）一48（m−1）4（戸端m2）

      斗24（2m2−3出3）（卜1）2（1一肌）｝（レ四）6

Ψ1（負）刈肌（ρ）二12（阯1）2｛3−2ト肌）｝（レP）6＋・（（1一ρ）6）・

故ににη十1，にη斗2をそれぞれ代入して計算すると

    θ肌。士（戸）一θ、（ρ）工6（㎜一1）2（1−p）4＋・（（レρ）4），

    θ肌。。（負）一θη（P）二一6（肌一）2（レ㌘）4＋・（（レρ）在），

    Ψ汎斗ユ（φ）一Ψ肌（ρ）賞12（肌一1）2（レP）6＋・（（レρ）6），

    Ψ糾。（戸）一Ψ帆（μ）・・一12（肌一1）2（ユーρ）6＋・（（1一刀）6）．

任意のη≧2に対し，上記のいずれの式も有限次数多項式であるのでρξ

（1＿6帆，1）に対して

       ⑤帆十2（局）＜◎犯（P）〈③州（ク），    （20）

       唖れ斗2（戸）く亜、、⑫）くΨ吻十1（看）       （21）

となるようなξη＞0がとれる．

ここで皿ニエ斗sup｛肌；Φη（四）≧舌｝とおく．このMに対しても（20），（2ユ）

式を満たすような6M〉0がとれる．次に関数3，T：（0，1）2→Rを以下のよ うに定義する．

   ・（か・（1（・州）2冊 2・一・（1（・州）3㌦

   ・（剛：一・（1（・州）m・・（1（・叶・））2m・1

         一・（1（・州）3㌦・（1（・州）2冊＾㍉

         十・（1（・州）3例 61・・

このとき

θ肌斗1（㌘）二3（Ψη（ρ），θ。。（P）），

Ψ肌十1（P）豊丁（Ψれ（ρ），θη（ρ））

24

となる．この2つの関数のツ≦覚，2μ十κ〈1における単I調性を示す．特に 差〉会（2妙十 ）≧球よりV＜吉である．以後，式の簡略化の為会（2ひ十拠）二z とおく．

 3、（協，μ）二（2m−2）砂岩2炉3一（2m−4）V3・3例・6      ≧・2肌 3秒（2肌一2−2m＋4）

     二2名2炉㍉≧0，

・伽）一夕凪 3^（・・一・）砂・（π・・ψ）一（・…）炉4

      妙伽3／

    ・・2一一3／（如一・）叶（州一等㍉一書（・州／

    一名2・山3／32肌テ28叶1（・叶・）／・・

きらに

  孔（π，砂）二榊伽」（3満一5）身2芝3榊｝6＋（2肌一1）・2舳 2

        一（4肌一4）脾2肌 3＋（4m−8）ツ3z3榊イ

・岩伽一1 g（・肌一・）・2芝2炉5一（・・一・）ゾ2｝・

ここで

肌一（3m−5）V2名2例｝㌧（4肌一4）〆凸2

・一介・）（1）2m｝㌧（・一一・）（1）m｝1

・一一（・杭一・）（1）㌧（・・一・）（1）2

       2

      二 一m＋1〉0．

       9   一

よってη（皿，μ）≧0となる．同様に

巧（κ，μ）二2肌グ1＋（4m−1）・2肌一」（6m−10）μ2名3m｝㌧6ψ3例＾5

・・禰山1

^・肌一（・・一・・）〃帆一5巾2伽 4

ゾ・P・一一（・・一・・）（1）2m｝㌧・（1）2炉3

一（・・一・）（1ゾ㌧・（1）伽ユ／

・・一・P・一十1・）（1）3一・（1）3

25

朴・）（1）㌧・（1）2／

・（1）2名一一工／・・一一（・・十・介・）一・1

一（1）2・一一・（・一・苧）・α

以上より（吻，μエ），（物，腕）ξ｛（π，μ）：0≦μ≦π≦1，2μ十 く1｝かつ Z1く物，鮒く晩ならば8（聴，V1）〈5（吻，吻），r（均，軌）くτ（吻，吻）が成り 立つ．

任意のだ≧Oに対し2θM＋為（P）十ΨM＋ゐ（ρ）重3⑩班抽（P）〈1かつ（20〉，（21）

式から

   θM・十1（ρ）二8（ΨM（ρ），θM（ρ））＜8（四泌十ユ（戸），θM＋ユ（戸））二θM・斗2（君），

  θM＋。（P）蔦3（ΨM（ρ），θM／ρ））＞3（ΨM＋・（β），⑤M＋2（戸））簑θM＋・（β），

  迎M＋。（抄）二丁（唖M（㌘），θM（ρ））〈T（ΨM斗ユ（戸），◎M＋1（β））二Ψ糾2（戸），

   ΨM＋。（P）業丁（蛎（P），θM（ρ））〉T（ΨM斗2（負），θM＋2（β）トΨM斗3（戸）

を得る．以下帰納的に

      ◎皿柚十2（戸）＜㊥泌十冶（P）〈θM＋馬十1（戸），

      迎M＋糾2（β）＜ΨM斗ゐ（ρ）＜ΨM＋ゐ斗1⑫）

と怠り，Φ，θ，哩の関係性から通M斗糾2（負）＜ΦM・斗κ（四）〈ΦM＋糾1（ク）を得

る．故に

        。⑳M斗糾。（戸）⑩M・斗島（ρ） 唖M・斗糾・（負）

      肌        く       くm

         mM斗糾2  肌M一斗垢  肌M斗糾1

となり，κ→◎oとして

      m2   1   m        一一く一一く一汗

      ξ（β） ξ（ρ） ξ（ρ）

       ξ（カ） 2       ＜今 m〈｝〈肌

       ξ（P）

を得る一       口

 この補題から次の定理を導くことができる，

Tb⑧orelm5．5．

      10g（1Ogξ（P））

      Im       二一2        ρ→1 五〇g（1出㌘）

26

〃。oダg（刃）：授王Ogξ（ρ）とおく．さらに刃を十分大きな櫨で取る一ここで        IOg9（P）

       岩＝・lmi皿f一

      ・→1 1・g（レPプ       1Og9（ρ）

       Z 豊王㎜一sup一

      ρ→・ 1og（レρ）

とおく．

まずは名〉2を背理法で示す．名く2と仮定する．このときz＋δ〈2なる

δ〉0がとれる．

関数ん：理→理を

       1       1        ん（π）覧       一一

       （卜3（m−1）2 3）舛δ桝δ

と定めると，ゐ（態）→O（π→O）である七故に1一ρo＜6なるpoをとると任 意のp＞ρOに対し

      1

       ん（1一ρ）〈一五。gη1

となる，（値し上記の6はLe㎜皿aのεでとる）

ここで∫（・）：一ρ斗・（1上1）2（1川・）3とおくと炉ξ（馬，1）の範囲で単調 増加かつア（ρ）→1（p→1）。よって点列｛伽｝艮。をプ（po）二p1，＿，ア（ρ竹）二 p肌十1，＿とおくとρパ→1（η→oo）となる．

Lemmaより

      ξ（ρ科1）

      〉m

       ξ（ρη）

        く今  10gξ〈ρ沌斗1）山10gξ（刃肌）＞IOgηユ         ⇔  g（ρ犯十1）〉9（Pη）十10gηZ一 以下帰納的にg（伽）＞g（ρO）十犯互Ogmを得る。

仮定から十分大きなw G Nに対し       1Og9（C）

       一    く岩十δ       1og（1一之）

なる舌ξ（榊，1）が存在．さらにこのむに対し鮒・くf＜鮒・十1となるような

〃ξNが唯一つ存在する．故に          1

 9（￠）＜

      （レρ〃十ユ）舛δ

一｛（、、、÷斗、戸斗r（、凹÷）州｝

・／（、、六月斗ボ（1．、÷血、戸斗十

＝ ん（1−P〃）十ん（1一ρw」1）十… 十

  1       1

≦一W 1Og肌十

 2   （レP。）舛δ

・十 （11o）舛δ

（1−Po）科5

27

となる．以上より

  9（ρ0）十W 1Ogm≦9（ρ〃）≦9（賜）

       1        1

⇔ g（ρo）斗2V 1ogmく仙W Iogm＋

       2   （レP。）舛δ

  1        1

㍉N 1o・3〈（レρ。）舛ザ・（・・）

となる．fの取り方からw＜〃であるので          1        1

         ヲ州0・肌く（リ。）舛r・（ρ・）

である．しかしN之N（po）を十分大でとると左辺は◎Oに発散するので右辺

を超えてしまい矛盾．故に宕〉2である．

Z≦2の場合も背理法で示す．Z＞2と仮定すると2＿δ ＞2なるδ  ＞O がとれる．関数∬：盟→盟を

      1        1         亙（πト         一       （卜3（肌一1）2π3）z一δ ψ 彦

と定めると，亙（皿）→oo（π→0）である．故に1＿ρo〈6なるpoをとると

任意の刀〉刀。に対し

       ん（11）＞31・g例 となる．（6はLem血aの6でとる）I−em血峨から

       ξ（伽十・） 。

       くηT       ξ（伽）

         ⇔1ogξ（伽斗ユ）一bgξ（P性）＜21ogm

よってg（p肌）＜g（po）十2η1ogmを得る．

仮定から十分大きな五∈Nに対し

       1099（・）

      ＿    〈z一δ

       bg（レ・）

なる86（吻，1）が存在。さらにこの8に対し〃く8＜ρ〃斗1となるような

工 ξNが唯一つ存在する，故に

・（・）・｛（、．、｝片一ザ（、、、工≒、）・一十…・（、．差）〃

      1     ζ ん（1一町L1）十…十

      （11o）z δ

      （レρ0）Z納δゾ

28

以上より

      1

   3（Z 一1）1oglm＋         〈9（ρ工・十1）＜9（Po〉斗2（工 十1）1ogm

       （110片δ

       1

      （1出ρo）2｝δ となり，工→ooで矛盾．即ち2≦2である．

よって之≦Zの関係からz竃Z準2となり題意を満たす．      口

 この証明法は漸化式が（ユ5），（ユ6）のような形になる格子全てにおいて有効 である．

5．3 今後の課題

 前節の定理よりMGSG格子では肌の値によらずTbm−5．5の極限が＿2と

海ることがわかった、

π格子のポンドパーコレーションの場合（ρ。（π）＝・1）。相関距離を

      1  1・g易（0紳几）

       ξ（P）     れ       二 IOgP

とおくと

       ξ（P）幻（11）一（P→1）

となるのでMGSG格子の結果とは異なる、

よって格子を極限の僧である程度分類できる可能性がある．

様々稼格子においてパーコレーションを構成し，分類を行ない，それらの格

子の特徴を見出すことで新たな発見をすることが筆者の最終的稼目標である．

 一番の関心はSG格子のm等分構成の格子（GSG格子，図9参照）にお けるこの極限の櫨である．今回の結果からその格子のThm5，5の極限も変わ らず＿2になるのではないかと考えているが，GSG格子では連結性関数の漸

化式が非常に複雑であり，今の段階では証明の目度は立っていない．

 またMGSG格子においてもThm3．3と同様な定理が成り立つかどうかを

現在研究している．

6 付録

フラクタルとその次元について

 フラクタルを数学的に定義することは非常に難しく，統一的な定義はでき ていない．フラクタルの生みの親であるM醐de玉brotによると，ある図形λ

29

図9：肌＝堪におけるGSG格子

に対しその位相次元（普段使い慣れている整数値を取るような次元のこと）

di町（λ）と後に述べるフラクタル次元d㎞冴（λ）との間に

即ちフラクタル次元が位相次元よりも真に大きい抵らはその図形λをフラク タルであると定義しているが，dim．T（λ）＝dim一血（λ）となるような図形でも フラクタルと呼ぶにふさわしいものはいくつか春在する．一般的な見解（個 人的かもしれないが）では上の条件に加え，後に述べる自己相似性をもつよ

うな図形に対して使われるこ1とが多い．

 フラクタル次元にはハウスドルフ次元，ボックス次元，パッキング次元等

が存在するがここではより一般的なハウスドルフ次元について説明する．

醍肌の通常のノルムHlに対し集合σの直径Iσ一を       101：遼 sup ll⑰一V l1        態，ψ∈σ

と表す．また，X⊂U農μかつ0〈固≦δ（4∈N）をみたす集合刻｛軌｝実1 をXのδ＿被覆という．ここで

      oo

         榊x）：一概Σ附（・数斗）

      者＝1

とおく．右辺の虹fはXの全てのδ被覆にわたるものとする．X及び8を国

30