一般化プロクラステス解法による多群の異種多次元 解の比較

一般化プロクラステス解法による多群の異種多次元 解の比較

その他のタイトル Generalized Procrustes Analysis for Comparing Different Multidimensional Solutions from Multiple Subject Groups

著者 柴田 満

雑誌名 関西大学社会学部紀要

巻 19

号 1

ページ 205‑237

発行年 1987‑11‑30

URL http://hdl.handle.net/10112/00022695

一般化フ゜ロクラステス解法による多群の異種多次元解の比較

柴 田 満

Generalized Procrustes Analysis for  Comparing Different  Multidimensional Solutions from Multiple Subject Groups 

Mitsuru Shibata 

abstract 

The  purpose  o f   t h i s   study  i s   to  develop  m a t h e m a t i c " a l   formulations  and  a l s o   computer  programs  o f   generalized  Procrustes  a n a l y s i s   f o r   comparing  the  multidimensional  solutions  such  a s   factor  a n a l y s i s ,   component  a n a l y s i s   o f   correlation  o r   covariance  matrix  and multidemensional  scalings  according  t o  the  methods proposed  by G o w e r ,  Ten  Berge  so  that  the  method  can  be  applicable  t o   different  multivariate  solutions  from  the  different  many  C a t   l e a s t   two  o r   more)  groups. 

The  author  made  a modification  i n   order  t o   promote  interpretability  and  comparability  among  multidimensional  s c i l u t " i o n s   obtained  after central  dilations,  translations  and  r o t a t i o n ̲ s .   H e   proposed  t o   p u t   f o r   t h e   first  time  t h e   inductive  criterion  point  a s   a target  upon  t h e .   factor  analytic  space  t o   which  other  solutions  would  be  shifted  to  g e t   maximun  approxi‑

mations  i n   a l e a s t   square  sense  because reserchers  are very  f a m i l i a r   with  the  type  of  solution  consisted  of  correlation  coefficients  between  coordinates  and  observed  variables. 

The  proposed  method  i s   a d o p t e d ‑ t o   three  types  o f   analyses : factor  analysis  o f   correlation  matrix,  component  analysis  o f   correlation .matrix  and  component  analysis  of  covariance  matrix  of  the  YG  Personality  Questionnaire  administered  t o   Japanease  highschool  students. 

Key words :  P r o c r u s t e s  a n a l y s i s ,  f a c t o r   a n a l y s i s ,   component a n a l y i s ,   c o n s t r a i n t   o f  f a c t o r  a x e s ,  YG  P e r s o n a l i t y  I n v e n t o r y .  

抄 録

この研究の目的は，異なる多くの（すくなくとも2群かそれ以上）集団からの異種の多変量解 に適用されうるように，

Gower

TenBergeによって提案された方法に従って，因子分析法，

相関行列や共分散行列の成分分析法，多次元尺度法で得られる多次元解を比較するための一般化 プロクラステス法の数学的展開とコンヒ°ュータプログラムの開発をおこなうことである。

著者は，座標空間全体としての拡張・短縮，座標原点の移動および回転の後に得られた多次元 解の間の解釈可能性と比較可能性を促進するための解法の修正を試みた。そして，研究者が，相 関係数から成る型の解にひじょうに親しんでいるという理由で，まず最初に，因子分析的な空間 を標的として演繹的基準点を置き，その他の解を，最小二乗法的意味において最大近似を得るよ うに変換することを提案した。

提案された方法では，

3

YG

る。

キーワード：プロクラステス法，因子分析法，成分分析法，因子軸の固定，

YG性格検査

‑205‑

〔 要 約 目 次 〕

〔問 題〕 ・・・・・・・・・・．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．・

( 2 0 7 )

（一般化プロクラステス解法は，異種解析かつ多群の多変量解析解の比較を可能とするが，

この一般化された比較の方法論と実質科学的解釈の相違について指摘した。）

〔方法〕・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ( 2 1 0 )   1 .   Gowerの解法

2 .   Ten Bergeによる修正解法とその問題点 3 .  

（相関係数を要素とする解を標的とする解法の提案と解法の手順）

4 .  

（帰納基準の

2

3

〔結果と解釈〕 ・・・・・．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．・・・・・・・

( 2 2 1 )

Table2 

3

2 .  

Table3 

Table4 

〔考 察〕 ・・・・・・．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．・・・・・・・・・・・・

( 2 2 6 )

2 .  

3 .  

〔異種解析かつ多群間解法システムのプログラム〕••….................. …...... ・・・・・・・・・・・・・・・・(

2 2 7 )

〔参考文献〕・．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．・

( 2 3 6 )

〔 問 題 〕

現代心理学，とりわけ人格心理学の領域では，気質・価値観などの構成概念の構造解明とその 実質科学的解釈を行う一連の研究が，様々な多変量解析法を用いて広く行われるようになってき た。このような状況のもとで，多変量解析法の研究者は，データの特性や分析の目的に応じて，

新技法の開発や従来からの優れた技法の改良を相次いで行い，多様な構成概念の構造解明に尽力 している。また，心理学者は，この多変量構造の実質科学的解釈を行い，人間の実際的経験との 検証的対比に基づいて構造を意味づけている。この解折と解釈は，研究を行う場合の一連の過程 ではあるが，純粋な技術的問題である解析法と研究者の主体的な選択的判断にゆだねられる解釈 の問題とは，やはり一線を画すものである。もちろん，心理測定家も，この解釈の側面に無関心 であったわけではない。たとえば，因子分析法に携わる心理測定家は，様々な因子軸の回転法を 提案し，実質科学的解釈を可能なかぎり容易ならしめるように努力してきたところである。

われわれは，この因子分析法における因子軸の回転問題を中心に，複雑な様相を示す多次元空 間の座標軸体系を確認する問題にとりくんできた。この因子軸の回転問題の発展史は，単純構造 の原理

( p r i n c i p l e o f   s i m p l e   s t r u c t u r e )

(maximum a p p r o x i m a t i o n )

2

(Varimax

Orthomax

Promax

2

Mosier( 1 9 3 9 )

2

1 9 8 3 ,

1 9 8 4

以上のように，

2

1 9 8 3 , 1 9 8 4 ,  

1 9 8 5 , 1 9 8 6 ,   1 9 8 7 )

‑207‑‑

果において同一の座標軸間相関を与えるように配慮するものであった。また，これと同時に，こ の同一の座標軸体系上での実質科学的な比較を可能にするような確認システムを構成することで あった。これらの目的を実現するためには，第一段階として，プロクラステス変換の対象となる 解析解（標的を設定する場合はそれも含めて）をひとまず直交解に限定し，この前提のもとで，

いずれかの直交フ゜ロクラステス変換を施し，まず，直交座標軸体系上での対応変量ベクトル頂点 間のユークリッド距離の最小化をはかる。そして，第二段階として，これらの頂点間の距離を維 持固定しながら，同一の回転行列を用いて，単純構造への直交あるいは斜交回転を行うことによ

って，同一の座標軸体系を導くといった一連の手順が有効であることが検証された。

そして，このような構想のもとに，辻岡・柴田

( 1 9 8 3 )

2

( 1 9 8 3 )

2

( 1 9 8 4 )

2

2

このような目的のもとに，柴田

( 1 9 8 5 , 1 9 8 6 ,   1 9 8 7 )

1 9 8 5 )

2

1 9 8 6 ,   1 9 8 7 )

Table 1

このような異種解析かつ多群の場合に用いられる直交プロクラステス解法を最初に提起したの は，

Gower( 1 9 7 5 )

2

Schonemann &  C a r r o l l   ( 1 9 7 0 )

K r i s t o f &  Wingersky ( 1 9 7 1 )

Table 1

~~

2群間の比較 辻岡・柴田

( 1 9 8 3 )

( 1 9 8 6 )

( 1 9 8 3 )

( 1 9 8 7 )

( 1 9 8 4 )

多群間の比較 柴田

( 1 9 8 5 )

〔柴田

1 9 8 7 b

わち，多群の異種解析解のそれぞれについて，

Schonemann& C a r r o l l

( c e n t r a ld i l a t i o n )

( t r a n s l a t i o n )

と従来からの座標軸の回転の 3種の変換の組み合わせを許容するプロクラステス変換を考えた上 で，この回転と拡張・短縮の変換パラメーターの推定を行うにあたって，

K r i s t o f& Wingersky 

( 1 9 8 5 )

この

Gower

K r i s t o f& Wingersky

TenBerge ( 1 9 7 7 )

Ten Berge  ( 1 9 7 7 ,   p p .  2 7 4 ‑ 2 7 5 )

Gower

本稿では，上記のような発展史をふまえ，まず，このような異種解析かつ多群の解法において も，先のプロクラステス変換と単純構造への回転の結合や同一の座標軸体系上での比較が行いう ることを示した上で， この

Gower

TenBerge

2

( 1 9 8 6 , 1 9 8 7 )

多群間の比較の場合には，より複雑な配慮が必要となる。また，様々な解析解を対象とする

Gower

TenBerge

一方，実質科学者，とりわけ心理学者は，様々な構成概念を間隔尺度上での得点としてとら ぇ，それらの相対的な関連の強弱に基づいて相互関係を考えるという伝統的な研究方法の特質も 手伝って，古くから相関係数に慣れ親しんできた。そして，因子分析法が，今日でも，多変量解 析の中で主要な地位を占めつづけている理由も，この方法の解が，因子軸と各変量との相関関係 によって表現されることと無縁ではない。そして，なによりも多くの因子分析家によって発展継 承されてきた単純構造の原理による回転は，実質科学的に解釈しやすい因子解，すなわち，因子 得点という合成変量をあらわす因子軸と各変量の相関係数を導いてくれる。

本稿では，このような視点から，異種解析かつ多群間のプロクラステス解法をとらえなおし，

‑209‑

座標軸の拡張・短縮にあたっても，相関係数的に取り扱える指標の導入を念頭において，新たに 独自の方法を提案することとした。

また，本稿では，同じく実質科学的な銀点から，

Gower

TenB e r g e

1

2

上記のとおり，本稿は，一連の確認システムの拡張問題の総整理を企図するものであり，取り 扱える解析法の種類と集団の数において，最も一般化された確認システムの構成をめざすもので ある。

〔 方 法 〕

異種解析かつ多群間のプロクラステス解法は，問題において述ぺたように，

Gower

TenBerge

TenB e r g e

Gower

Ten B e r g e

にある。換言すれば，彼らの解法は，その結果としての多次元構造が実質科学的に解釈しやすい 有効な解であるか否かについては全く関知していないのである。

本稿は，この数学的整合性を可能なかぎり維持しながら，問題で述べた基本構想に従って，彼 らの解法を再吟味し，実質科学的に有効な結果を導くための確認システムの構成にとりくもうと するものである。本稿における改良は，具体的には，まず座標軸の拡張・短縮を操作するスカラ ーの解を求めるにあたって，

Gower ( 1 9 7 5 ,   p p .  3 6 ‑ 3 7 )

2

Gower

2

1 .   Gower

Gower

2

2

Schonemann & C a r r o l l

校を行うための

K r i s t o f &  Wingersky

Schonemann &  C a r r o l l

K r i s t o f &  Wingersky

2

Gower

nxm

n

m

A i ,A 2 ,   .   .

Ak

mxm

T i , T 2 ,  . . .  

…, 

T k ,  

d i ,

d k ,

(mx 1

E ; 1(nxm

(1) 

Eij=(d;A

1

( d

T1‑1

とあらわされ，さらに，各群の組み合わせについての誤差平方和を示す関数

/ 1

E 1 1 )  

•<j

とあらわされる。 ここで， (1)式の

l n ( n x  1

1

Gower は， (2)式の誤差平方和の表現として，主積率，すなわち， ~tr(E;1E;/) を用いて以下の ヽ

< j

展開を行っているが，本稿では，従来のプロクラステス問題の伝統的な手法に準じて従積率を用 いた。また，各種の行列やベクトルの表記法も，柴田

( 1 9 8 5 , 1 9 8 6 )

この(2)式の誤差平方和の最小化にあたっては，従来の直交フ゜ロクラステス回転と同様に， K個 の回転行列のそれぞれについて正規直交条件を考慮しなければならないばかりでなく，さらに座 標の拡張・短縮のためのスカラーめに対しても，なんらかの制約条件を加えなければならない。

なぜならば，この解法は，すべての群の座標空間に拡張・短縮を想定するため，すべての群につ いて

d ;を 0

( 2 )

Gower

2

1

この群の解析解を標的として，その他すべての群の解析解の座標空間にそれぞれ拡張・短縮の操 作を施し，各スカラー

d ;を固定してしまう方法である。

2

A2

A 1

A1

d 2

Gower

(3)工

d ; 2 t r ( A ; ' A ; ) = : E   t r ( A /  A ; )  

i=l  i=l 

という条件を設け，回転行列を求める際の

K r i s t o f &  Wingersky

このスカラー山の推定を組み込む方法を提案した。 しかし，この後者の方法を実質科学的な観

点からとらえなおすとき，このような数理論的整合性が必ずしも解釈しやすい分析結果を導くと は考えにくい。

そこで，本稿では，

Gower

d 1

d 1

このような調和的な座標値は，実質科学的に取り扱いにくい解を導く可能性が高く，たとえ数 理論的に望ましい解であるとしても，実質科学的側面からの再検討が必要であると考えるのであ る。本稿では，このような立場から，スカラー

d 1

Gower

2

3

1

これらの諸問題を念頭におきながら，再び

Gower

( 3 )

Gower

( 3 )

d 1

d ; 2 t r ( A ; ' A 1 )

このような前提のもとに，

Gower

k  k  k 

(4) 

/2=/

I ; t r { A ; ( T / T ; ‑ 1 ) }  +μ1

; )

I ; t r ( A ; ' A ; ) }  

i=l  ! ~

t=l  i=l 

=  I : :   t r ( E ; /  

{ A ; ( T ; ' T ;  

+μ{  I : :  

r ( A i ' A ; )

I : : tr(A/ A ; ) }  

i < i  

と設定した。ここで，

A;(mxm

T ;

A 1 ,A 2 ,   ……,  A k

K

km(m+l)

2 

乗数が存在する。また，μ は，スカラー

d ;

ついで，

Gower

T ; ,

d ;

Gower 

( 1 9 7 5 ,   p p .  3 7 ‑ 3 9 )

中心として，実質科学的観点に焦点をしぽって検討を進めることとした。

まず，原点移動のためのベクトル

C

Schonemann & C a r r o l l

Gower

K

T ;

d ;の繰

1

(Gower, 1 9 7 5 ,   p .   3 8 ,   p .   4 3 )

Gower

( 1 9 8 6 )

Schone‑

mann & C a r r o l l

I I . 1   (nxn

＾ 

A;(nxm

＾ 

(5) 

A;=Il.1A;=(l.‑l.ln'!n)A; 

とあらわされる。ここで，

I.(nxn

J . ( n

1

1

ついで，プロクラステス回転のための正規直交行列

T ,

T ;  

(6) 

T 1 ' ( d 1 . A 、 ^{' G )= ( d ; 2 A ; ' A}

^{A . ; ) / k}

となる。ここで，

G(nxm

(7)  G = ‑

k 工

^{d ; . A} 、 ^{T ;}

J=l 

であり，座標軸の拡張・短縮および回転と各解析次元の重心への原点移動が行われた後の全集団 にわたる重心から構成された座標系である。なお，

Gower

A;

A;

さて， (6)式において，右辺は明らかに対称であり，したがって，左辺も対称である。そこで，

左辺の回転行列

T ,

(8)  $戸dふ'G

と表記すれば，従来のプロクラステス解法の場合と同様に，

(9) 

T ; ' S 1 = S ; ' T 1  

とあらわされ，以下，

S ;

U O )   S ; S ; ' = P 1 4 ; 2 P ; '   U l )   S ; ' S , = Q 1 4 ; 2 Q ; '  

‑213‑

として，整理すれば，

( 1 2 )   T ;   =  P;Q/ 

となり，目的とするプロクラステス回転行列 Tiが求まる。しかし， (8)式から明らかなように，

固有分解の対象となる

8 1 ( 8 1

Eckart‑Young

G

Gower

K r i s t o f   & Wingersky

TenBerge

2

最後に，座標空間の拡張・短縮のためのスカラー

d ;

( 4 )

d ;

( 1 3 )   cd;=k tr(T/  A ; ' G ) / ( k + ‑ l ) t r ( A ; ' A ; )  

となり，スカラー叫（以後，他の解法のスカラーと区別するため，

Gower

( 1 3 )

Gower

c d ;

Schonemann & C a r r o l l

2

d

G

Gower

c d 1

d ;

3

Gower

U 3 l

(k+μ)

~A/ A;=k2G'G (Gower 1 9 7 5 ,   p .   3 9 )

U 3 )

ヽ=1

k  _{' ,   A  ,} 

U 4 l   cd

t r ( T / A/G)~tr(A/ A , )  / k  t r ( A , ' A , )  t r ( G ' G )  

i=1 

と表現しなおした。なお， (7)式から明らかなように，

U 4 l

Gower

c d 1

T ;

K r i s t o f& Wingersky

TenBerge ( 1 9 7 7 ,   p .  2 7 5 )

2

このように解法そのものは， (4)式の条件付の目的関数を解くことによって完成するが，実際の コンビュータを用いた数値解析にあたっては， (5)式に基づく原点移動を施した後，さらに(3)式の 条件を満たすために，

(15)~

t r ( A ; ' A ; )  =k 

•=I

という条件を満たすスカラー Aを求めなければならない。すなわち，このえによって，ふの各 要素を割ったものを，入

A;(nxm

k 

(16)~tr( ふ’凶）

, ‑ 1   =k 

となるように， Aを設定すればよいのである。

Gower

闘 l= ✓t

^{t r ( A ' ; '}

i=l 

とおき，この

i

K r i s t o f& Wingersky

また，彼の解法では，このような処理を施し，繰り返し推定によって，プロクラステス変換に関 わる回転行列とスカラーが求まった後，後述するような重心行列の主軸への回転

(Gower 1 9 7 5 ,   p .   4 3 )

(Gower 1 9 7 5 ,   p .   4 7 )  

うに工夫されている。

さらに，

Gower

(Gower  1 9 7 5 ,   p .   4 4 ) o

K

きを加えることを提案した。すなわち，すぺての群について，

( 1 8 )   t r ( A ; ' A

=1

という条件が成り立つように尺度化することによって，各解析解の座標単位が直接繰り返し推定 に影響する事態を防ごうとしたのである。この(18)式の設定に基づいて解法を進めた場合にも，先 の場合と同様元の座標単位への復元が必要となろう。ただし，

U S )

i

U S )

り，実質科学的な解釈に支障をきたすであろう。

2 .   Ten Berge

これまでの諸検討でも述べたように，

Ten Berge

Gower

Ten Berge

た論文の中で，

K r i s t o f &  Wingersky

Gower

1 9 8 5

Ten B e r g e

i

G;(nxm

i

U 9 )  

と設定し，この標的行列を用いて繰り返し推定を進めることによって，より精度の高い最小二乗 解を得ることができ，必要条件の強化につながると主張したのである（具体的な推定法について は，

TenBerge  1 9 7 7 ,   p .   2 7 2 ,  

1 9 7 5 , p p .   8 0 ‑ 8 3

また，

Ten Berge

叫

' A 1 ) t r ( A

t r ( A

0 1   v‑[  t r ( :  

^{t r ( i " ' A}

・ ・ t r C f ^{A , )}  

!~=~· ^{( 2 1 )}   う：ここ：し::::~:::i三度:~ロご芯X定~-~

^{=  D.  -½VD.-, し こ 三}

とあらわした。そして，この V の固有分解における第一固有ベクトルを ~p1(kX1 次）， ^その各 要素を；

PH(i=l,  2 ,  

k )

他の解法のスカラーと区別するため，

TenBerge

( 2 2 )

_{t r ( A} ^k 

^!  _Pu 

となることを証明し，繰り返し推定を用いないで解が求まることを示した（証明の詳細は，

Ten B e r g e   1 9 7 5 ,   p .   2 7 5 )

しかし，ここでの改良も，

Ten B e r g e

Gower

TenBerge

Gower

( 1 4 )

2 2 )

Gower

彼の方法が，正確な解を導くことが保証された安全な方法であるという点を強調したかったので

ある。したがって，

Ten B e r g e

Gower

3 .  

座標軸の位置によって，微妙に趣きを異にする多次元構造の実質科学的解釈やその比較を効率 的に進めていくためには，比較を容易ならしめるためのプロクラステス解法の適用によって，数 学的に精緻な解を求めるばかりでなく，その結果が，実質科学者にとって有意味で理解しやすい ものでなければならない。すなわち，問題の章でも述べたとおり，解の類似性は，今日でも，最 終的には研究者が判断し，評価しているわけであり，解析的にどれほど緻密なものであっても，

実質科学者の判断を混乱せしめるような解は望ましくない。

このような立場から，本稿では，心理学者などの実質科学者が，解釈を行うにあたってもっと も慣れ親しんでいると考えられる相関係数から成る座標体系を基軸として設定し，プロクラステ ス変換後の解が，この相関係数あるいはそれに類似する係数値から構成されるような方法を提案 したい。したがって，本稿における修正解法の焦点も，座標軸の拡張・短縮のためのスカラーの 問題にあり，また，発展史の中に位置づけれぱ，先に

Gower

先述したとおり，

Gower

Ten B e r g e

Gower

M o s i e r( 1 9 3 9 )

くことが急務であると考えるのである。

本稿では，実質科学者にとって，もっとも理解しにくい方法論と考えられる異種解析かつ多群 の間のプロクラステス解法をとりあげ，上記のような様々な視点を念頭において，次のような修 正解法を提案するc

本稿の修正解法では，まず，先に

Gower

を，相関係数に類似する値とし，これによって実質科学者にとって理解しやすい座標体系の中に 各種解析解を位置づけ，多群間の解析解の比較を可能にしようと試みることにある。ここで，相 関係数に類似する座標値と述べたのは，この変換法が，

1

1 . 0

このような問題点を十分に認識した上で，本稿の修正解法の特徴を整理してみよう。まず，本 稿の修正解法は，相関係数を構成要素とする

1

1

2

2

S c h i : i n e m a n n & 

C a r r o l l

A

(nxm

B

(nxm

T

(mxm)

d

( 2 3 )   d = t r ( T ,

'A

' I I. L B

/ t r ( A

' I I. L A

と定めている。したがって，

Schonemann &  C a r r o l l

‑ dは，回転行列 T。の解法後に求められる。

一方，直交プロクラステス回転行列は，

Schonemann &  C a r r o l l

2

1 9 8 6

2

まず，多群間解法においては，

2

いずれも座標体系全体としてのものであり，解析解のそれぞれにおいて，座標軸上の変量の相対 的位置関係，すなわち，変量相互の距離の相対的大小関係には変化がない。また，本稿の修正解 法は，

1

2

K r i s t o f& Win‑

gersky

TenBerge

2

1 9 8 5