正多面体群による三変数多項式環の不変式環について

正多面体群による三変数多項式環の不変式環について

早稲田大学大学院基幹理工学研究科数学応用数理専攻修士

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年 楫研究室 村 彩乃

5116A057-6

主定理 正多面体群の不変式環は以下のように書ける。

• R[x, y, z]^G(4) = R[f2, h3, h4, g6+]

• R[x, y, z]^G(8) = R[f₂, h₃, h₄, h₆^′]

• R[x, y, z]^G(20) = R[f₂, h₆^′′, h₁₀, h₁₅]

f2

（x, y, z）

= x²+y²+z² h3

（

x, y, z

）

= xyz

h4

（

x, y, z

）

= (x+y+z)(x+y−z)(x−y+z)(x−y−z) g6+

（

x, y, z

）

= x²y⁴+y²z⁴+z²x⁴

h₆

（x, y, z）

^′ = (x+y)(x−y)(y+z)(y−z)(z+x)(z−x)

h₆^′′

（x, y, z）

= (x+φy)(x−φy)(y+φz)(y−φz)(z+φx)(z−φx)

h₁₀

（x, y, z）

= (x+y+z)(x+y−z)(x−y+z)(x−y−z)(x+φ²y)(x−φ²y) (y+φ²z)(y−φ²z)(z+φ²x)(z−φ²x)

h15

（x, y, z）

= xyz(x+φ²y+φz)(x+φ²y−φz)(x−φ²y+φz)(x−φ²y−φz) (y+φ²z+φx)(y+φ²z−φx)(y−φ²z+φx)(y−φ²z−φx) (z+φ²x+φy)(z+φ²x−φy)(z−φ²x+φy)(z−φ²x−φy)

定義

1（ヒルベルト級数 [1]p29）,

定理

2（Molien

の公式

[1]p29）

C:

複素数体

,

 

C[x] := C[x1, x2, . . . , xn],

 有限部分群

G⊂GL(n,C)

とする。このときヒルベルト級数は

ΦG(t) :=

∑∞ d=0

（dim

C[x]^G_d)t^d= 1

|G|

∑

g∈G

1 det(E−tg)

である。ただし、

C[x]^G_d ={f ∈C[x]|f

は

d

次斉次式

}

である。

定義

3（第1

不変式と第

2

不変式

[1]p38）

C:

複素数体

,

 

C[x] := C[x1, x2, . . . , xn],

 有限部分群

G⊂GL(n,C)

とする。

G

の不変式環

C[x]^G

が

(

＊

) ∃θ1, θ2, . . . , θn∈C[x]^G s.t. θ1, θ2, . . . , θn

が代数的独立であり、

C[x]^G

が

C[θ1, θ2, . . . , θn]

上自由加群 を満たすとき

C[x]^G=⊕^mj=1ηjC[θ1, θ2, . . . , θn] (η1= 1, ηj ∈C[x]^G)

を広中分解といい、

θ

を第一不変式、

η

を第二不変式という。

補題

4（ヒルベルト級数と第1

不変式、第

2

不変式との関係

[1]p40）

C:

複素数体

,

 

C[x] := C[x1, x2, . . . , xn],

 有限部分群

G⊂GL(n,C)

とする。

G

の不変式環

C[x]^G

は条件

(＊)

を満たす。このときヒルベルト級数は

Φ_G(t) =



∑^m

j=1

t^degηj



/∏n i=1

(1−t^degθi)

と計算できる。ただし、θ

_i

は第一不変式を、η

_j

は第二不変式を表す。

1

補農5（不変式を見つけるための補廣【21p15）

正多面体群を￠，回転対称性を保つ回転軸Zl，g2，‥り毎それぞれに垂直な原点0を含む平面の方程式をん（1），九（2），…，ん（ん）

とし、Gは†ヱ1，g2，．．．，gた）に推移的に作用していると仮定する。このときGの多項式環への作用は積九：三

九（1）ん（2）・・・ん（た）を定款倍を無視して不変にする。

正20面体【6】p51，52

＜1＞中心0と頂点を通る軸     ＜2＞中心0と辺の中点を通る軸     ＜3＞中心0と面の重心を通る軸

頂点の数Ⅴ  辺の敷居  面の数ダ 

正20面体  12  30  20 

指標表【9】p29

型  回転軸の数  回転角  対称変換の数 

＜1＞  6＝Ⅴ／2  2た訂／5笹＝1，2，3，4）  24 

、＜2＞  15＝卑／2  一打  15 

＜3＞  10＝ダ／2  2玩／3（鬼＝1，2）  20 

今回は自明表現打の欄を参照すればいいので、次数2、6、10、15の不変式はG（20）の多項式環への作用で不 変である。

参考文献

1・B・Sturm鎚Is・AlgorithmsinInvariantTheory．Springer−Vbrlag／Wien，NewYbrk，2008．

2・J・K・VermaJuNGSOFINVARIANTS、OFFINITEGROUPS・http‥／／www・math．iitb．ac．in／jkv／inv弧pdf 3・D・CoxっJ・Little，andD・0 Shea．Ideals，1屯rieties，andAlgorithms．SPI，New％rk，2007．

4．向井及モジュライ理論Ⅰ，Ⅱ．岩波書店，2008

5・北川正一・正8面体群の構造．九州国際大学教養研究第16巻第2号，2009．

6・北川正一．正20面体群の構造．九州国際大学教養研究第16巻第3号，2010．

7・Sill即lar，01山Il（tManllal，D・7・lh11Ⅷrlib・加Ⅰ）‥／／www・Hill即lar・lmi−kl・（l（ゾMallllal／lat（？絨／Hillglfil！）．htmSECl（i！）5

8・菅本守・超立方体回転群により不変な部分環を生成する斉次多項式．早稲田大学大学院基幹理工学研究修士論文，2013

9・W・Fhlton，J・HarriS・RepreSentationTheory・Springer−Vbrlag／Wien，New％rk，2004．

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