ラグランジアンからハミルトニアンへの変換（ルジャンドル変換）

前回

z

ラグランジアンからハミルトニアンへの変換（ルジャンドル変換）

ラグランジアン

^L

( )

^q,^q&

に対して、一般化運動量

^L

( )

^{q q}

p q &

& ,

∂

= ∂

とするとき、

L q p

H = &−

をハミルトニアンと呼ぶ。

このとき、ハミルトニアンの変数は自動的に

H = H

( )

p,q

となっている。

z

ハミルトニアンは、正準方程式

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂ =

∂

−

∂ =

∂ p q H q p H

&

&

を満たす。

正準方程式は、Euler-Lagrange 運動方程式・Newton 運動方程式は等価）

H

L→

の変換例）

中心力場における質点の、二次元平面内での運動

m

(

r r

)

U

( )

r L= ² + ^{2 2} −

2 _& θ

一般化運動量は、

mr r

p_r L &

&=

∂

=∂ , θ

θ θ &

&

mr2

p L =

∂

= ∂

H

L→

の変換は、

_{H = prr&+ pθ}θ^&_−L

の定義より、

(

r r

)

U

( )

r H = m ² + ^{2 2} +

2 _& θ

、但しこれだけではだめで、速度の変数を一般化運動

量で書き換えて、

^{p U}

( )

^r

p r

H m _r ⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= ² 1₂ ²

2 1

θ

正準方程式

r m p p

H _r

r

&

=

∂ =

∂ , p_r

mr p r

H =− =−&

∂

∂

3 2

θ , ^θ θ

θ

&

=

∂ =

∂

mr2

p p

H , _θ

θ ^p

H = =−&

∂

∂ 0

z

エントロピーと体積の関数になっていて扱いにくい

U

(

S,V

) に対して、

TS U S S

U U

F ⋅ = −

∂

−∂

=

と置くと、

F =F

(

T,V

) は

T, S

の関数になっている

（但し、 (

S V

)

S

T U ,

∂

≡∂

である）

これもルジャンドル変換である。

１０正準変換

１０-１ラグランジアンの変数変換【復習】

座標変換

( )

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

n n

n

n

q q Q Q

q q Q Q

L M

L , ,

1 1 1 1

についてそのままラグランジュ方程式が成立。

つまり、

_⎟⎟=0

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

⎟⎟ ∂

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

∂

i i i

i Q

L dt

d Q

L q

L dt

d q

L

&

& a

例）

⎩⎨

⎧

−

= +

= y x Y

y x

X a

&

&

&

&

&

&

a ⎩⎨⎧

−

= +

= y x Y

y x

X

( )

を消去 して、

に代入

y x y x

y x y x L

&

&

&

&

, , , , , ,

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

∂

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

∂

0 0

Y L dt

d Y L

X L dt

d X

L

&

&

a

１０-２証明（読み飛ばして

OK）

１０-２-(A) 準備

Q&i

の変換式を

q&_i

で偏微分して、

i i i

i

q Q q

Q

∂

= ∂

∂

∂

&

&

を得て置く。

１０

-

２

-(B) Q

と

Q&

がどのように

L

に含まれているかを調べる

(

ここが肝心

)

、

( )

(

n n

) (

n n

)

i i

n i

i

i L q q q q

Q q

Q Q Q Q q q

Q Q q q

Q a & &

&

&

&

&

&

&

a ~ , ~

,

~ ,

~

~

1 1

1 1

1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

の両方を経由

( ) _{( )}

n n

n n

i i

i L q q q q

q

Q Q Q Q q

Q q a & &

&

&

&

&

&

& a ~ , ~ ~ , ~

1 1

1 1

⎩⎨

⎧ =

のみを経由

(量子力学を学ぶための解析力学入門／高橋, p25)

Q

は

q

と

q&

を経由して

L

に入るのに対し、

Q&

は

q&

のみを経由しています。

これさえ把握できれば、以下

2), 3)

の偏微分を計算するだけです。

１０-２-(C) 第一項は、

_∂^{∂ =}

∑

_∂^∂ _∂^{∂ +} _∂^∂ _∂^∂

j i

j j i j j

i Q

q q

L Q q q

L Q

L &

&

１０-２-(D) 第二項は、

∑

∑

∑

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂ + ∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

= ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

= ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

j i

j j

i j

j i j

j

j i j

j j

i Q

q dt

d q

L Q q q

L dt

d Q

q q

L dt d Q q q

L dt

d Q

L dt

d

&

&

&

&

&

&

&

ですから、両辺等しいと置いてみると、

0

∑

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

∂

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

= ∂

j i

j i j j

j Q

q Q q q

L dt

d q

L &

&

となり、元のラグランジュ方程式が成り立て

ば、新しい変数についても必ず同じ形の方程式が成り立つことがわかります。

（証明終）

１０-３ハミルトニアンと正準方程式における変数変換

もう少し広い変換が許されます。 ( ) (

q,p → Q,P

) という変換について、運動量と 座標の入り混じった新変数をうまく定義すると正準方程式は不変に保たれます。

( )

( )

_⎪⎩^⎪⎨

⎧

−

=

=

⎩⎨

⎧

=

=

Q P n

n i

i

n n

i i

H P

H Q p

p q q P P

p p q q Q Q

&

&

L a

L

L L

1 1

1 1

,

,

たとえば、

x+ p

などという変数を平気で定義してしまうのです。

注）

q

と

q&

を混ぜる変換ではラグランジュ方程式は成り立ちません

省略）理由は、証明の１０-２-(D)のところで、

∑

_∂^∂ _∂^{∂ +} _∂^∂ _∂^∂

∂ =

∂

j i

j i j

j

i j Q

q q

L Q

q q

L Q

L

&

&

&

&

&

余分な項 のように、

余分な項が出てくるからです

この点では、ハミルトニアンの方が圧倒的に便利です。

１０-４ 正準方程式が不変に保たれる変換＝正準変換

出発点である、 『ラグランジアンと最小作用の原理』に再び立ち戻ります。

新・旧のハミルトニアンを一旦ラグランジアンに戻して、それが「同等(＝最小 作用の原理を満たす)」であれば、同じ運動なのですから、変数変換した新変数 で同じ正準方程式が成立、といってよいでしょう。

つまり、変換後の

L^o =

∑

PiQ&i−H^o

(

Qi,Pi

) ^が、

^{L =}

∑

^{piq&i −H}

⁽

^qi,pi

⁾

と『同等』であれば良いということです。

ここで、「同等」と言ったのは、完全に同じでなくとも、

dt L dW

L = ^o+

というふ うに付加項が付いても

OK

ということでした。すなわち、

(

_{i i}

)

i

iQ H Q P

P

L^o =

∑

^& − ′ , ⁼

∑

^{piq&i −H}

⁽

^qi,pi

⁾

^{+ dW}_dt

でも

OK

ということです。

注）時間微分が付いても、積分すると定数になるので、最小作用の原理 に影響しないのでした。

( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

4 4 4 4

4 3

4 4 4 4

4 2

& 1

）には寄らない定数 途中の値（＝関数の形

1 1 2

2 , ,

2 ,

1

t Q t q W t Q t q W dt Q q W

t

t = −

∫

注）厳密には、この「ラグランジアンもどき」の最小作用の原理は、

証明が必要で、かつ、この場合は

δp&

も始点終点でゼロが必要。

１０-５ W の意味

W

が与えられた正準変換がどんな変換か、一番よく特徴を表す指標になってい ます。云いかえれば、

W

が決まれば正準変換がひとつ決まると云ってもよいの です。この

W

と正準変換の関係を調べて見ましょう。

変換 ( ) (

p,q → P,Q

) 、すなわち、

(

_{n n}

)

i

i q Q Q P P

q = 1L , 1L

(

_{n n}

)

i

i p Q Q P P

p = 1L , 1L , i=1 ~ n

が正準変換であるとします。すると、変換前後で、ラグランジアンもどきが同 じ(＝dW/dt が付く)ということですから、

(

_{i i}

)

i

iq H q p

p

L =

∑

^& − , ⁼

∑

^PiQ&i−Ho

⁽

^Qi,Pi

⁾

^+dW_dt

^{となります。}

ここで

W

が、

W =W

(

q1Lq_n,Q1LQ_n

) と与えられているとします。どの変数 の関数であるかは重要です。今は、

q_i

と

Q_i

の関数、としたわけです。

すると、

⁼

∑

^∂_∂ ⁺_∂^∂

i

i i i i

Q Q q W q W dt

dW & &

となります。

注意──変数は必ず二種類で、最小作用の原理から正準変換を 直接導くには必ず

q_i

と

Q_i

を変数にする必要があります。

時間微分するので、L に含まれる時間微分変数

q&_i

と

Q&_i

が必要なわけです。

これをラグランジアンの変換の式

^L =

∑

^piq&ⁱ−^H

(

^qi,pi

)

=_L

^{に入れますと、}

右辺

⁼

∑

^{− ′}

( )

⁺

∑

^∂_∂ ⁺_∂^{∂ i}

i i i i

i i

i Q

Q q W q P W

Q H Q

P & , & &

（左辺は

L =

∑

piq^&i −H

(

qi,pi

) ^）

となりますから、両辺を

q&

と

Q&

について整理してみると、

( ) ( )

∑

∑

∑

⎟⎟ ^{= −}

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂ _{i i i i i}

i i i

i

i Q H q p H Q P

Q P W q q

p W & & , ^o ,

です。

１０-６ 恒等式から変換式を導く 両辺が恒等的に等しくなるためには、

[1]

まず、左辺の

q&

と

Q&

の係数

(

括弧の中身

)

がゼロになる必要があります。

∵ 右辺には、

q&

と

Q&

は全く入っていないからです。

[2]

すると、０＝右辺となりますから、

H

と

H′

も等しくなくてはならないこと がわかります。以上から、

( )

i

n n

i q

Q Q q q p W

∂

= ∂ 1L , 1L

,

( )

i

n n

i Q

Q Q q q P W

∂

−∂

= 1L , 1L

, H

(

pi,qi

)

=H′

(

Pi,Qi

)

が変換式ということになります。

注意）単純に、

P=L, Q =L

という式ではないことです。つまり、

(

^{q Q}

)

f

p_i = , , ^Pi =^g

(

^q,^Q

)

という連立方程式であり、これを解いて初めて、

(

p_i,q_i

) (

→ P_i,Q_i

) の変換が直接得られる、と考えるのです。

もう一つ、

H^o =H

の意味は、関数形が同じということではなく、新変数で変数

変換した

H^o

をそのままハミルトニアンとせよ、ということです。念のため。

このように、ある

W

を与えれば、正準変換がひとつ決まります。この

W

を、

正準変換(canonical transformation)の母関数(generator)

と言います。とにかく、いろいろな、W を与えて、正準変換を網羅しよう、と いうのは一番シンプルな考え方です。

実は、与えられた変換 (

p_i,q_i

) (

→ P_i,Q_i

) が正準変換かどうかを直接チェックする のは結構、面倒なのです。その便法が「ポワソンの括弧式」と呼ばれるもので 後半で説明します。

１０-７ 母関数の例１

( )

⁼⁻

∑

i i i i

i Q qQ

q

W ,

としましょう。すると、直ちに

i i

i Q

q p W =−

∂

= ∂ , _i

i

i q

Q

P W =

∂

−∂

=

が得られます。

たとえば、質点の自由落下のハミルトニアンは、

m mgq H = p +

2

2

ですから、変換後は、

mgP m

H = Q + 2

2

o

であり、変数名が入れ代わ っただけです。(ただ入れ替えただけでは正準変換にならないことに注意

！)。

１０-８ 具体例

2─ポワンカレ変換

もう少し自明でなくて面白い変換を考えましょう。

W m q cotQ 2

1 2

ω0

=

という奇妙

な形のものです。変換は、

Q q q m

p W = ω₀ cot

∂

= ∂

q Q m Q

P W ^{0 2} ₂

sin 1 2

= ω

∂

−∂

=

ですから、

q

を消去するために、 〔上式

^２

／下式〕を計算すると、

Q P m

p 2

0 2

cos

2 ω

=

となりますから、整理して

Q

P m

p= 2 ω₀ cos

が得られ、さらに

m q Q q

p W = ω₀ cot

∂

= ∂

に代入して、

m Q P Q

m

Q P m Q

m

q p 2 sin

cot cos 2

cot _{0 0}

0

0 ω ω

ω

ω ^{= =}

=

という変換であることがわかります。

これを調和振動子に適用すると、

2 2

2 2 0

2 m q

m H ₌ p ₊ ω

は、

₀

2 0 2

0

2 sin 2

2 cos

2 ω ω ω

Q P P

Q

H^o = P + =

となってしまいます。

正準方程式は、

ω0

∂ =

∂ ′

= P Q& H

=0

∂

∂ ′

−

= Q

P& H

です。

ω0

=

Q&

ということは、

Q

( )

t =ω₀t+Q₀

であり、まるで直線運動です。一体全体何

が起こったのでしょうか。これを理解するには、運動を、 ( )

^p,q

^{の間の関係とし}

て捉えるとよいでしょう。

もともとのハミルトニアンは、

2 2

2 2 0

2 m q

m H ₌ p ₊ ω

でしたから、

E= H

であったこ

とを思い出せば、 ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

, 2 2

0q t m m t

p ω

を二次元平面にプロットしてみると円になり

ます。座標と速度が増減を繰り返しながらぐるぐる廻っているのです(この二次 元平面を「位相空間」と言います。統計力学でも出てくる、重要な概念で、次 回説明します)。

これに対し、与えられた変換

p = 2PcosQ

、

q= 2PsinQ

は、明らかに

P

が半 径で、Q が角度です。つまり、円運動を極座標で表すという変換だったわけで す。この変換をポワンカレ変換と言います。

１０-９ 具体例３－Bogoliubov 変換（ニコライ・ボゴリューボフ）

変換の方を先に挙げてみましょう。

⎩⎨

⎧

+

−

=

+

=

p q

P

p q

Q

θ θ

θ θ

cos sin

sin

cos

というものです。

θ

は定

数で、座標と運動量の入り混じった変数に変換します。

θ =0

で恒等変換です。

この形の正準変換は、量子力学で超伝導現象の解明(BCS 理論)にも使われた有名 なボゴリューボフ変換です。もちろん、その場合は

q

と

p

ではなく、生成消滅演 算子間の変換ですが。

さて、この変換の母関数を考えてみましょう。そのままでは

q

と

p

が独立変数に なっていますから、母関数は作れません。そこで、 ( )

( )

⎩⎨

⎧

=

=

Q q g P

Q q f p

,

,

という形に直し

てやります。上式はそのまま移項するだけでよく、下式は、その上式を代入し

て、

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− +

+

−

= θ θ

θ θ

θ sin sin

cos cos

sin Q

q q

P

ですから、

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

−

=

+

−

=

Q q

P

Q q

p

θ θ θ

θ θ

θ

sin cos sin

1

sin 1 sin

cos

が得られます。これと、

^{W =W}

(

^q,Q

) ^{の場合の変換式、}

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂

−∂

=

∂

= ∂

i i

i i

Q P W

q p W

を比較して積分すれば、

( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

−

=

+ +

−

=

q g Q qQ

W

Q f Qq q

W

2 2

sin 2

cos sin

1

sin 1 sin

2 cos

θ θ θ

θ θ

θ

が得られますので、二つの式を比較して、

( ) (

^{2 2}

)

sin 2

cos

, sinqQ q Q

Q q

W = − +

θ θ θ

が得られます。微分すれば、

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

−

∂ =

−∂

=

−

∂ =

= ∂

q Q Q

P W

Q q q

p W

i i

i i

θ θ θ

θ θ θ

sin cos sin

sin cos sin

です。両辺に

sinθ

をかけて、

⎩⎨

⎧

+

−

=

−

∴ =

Q q

P

q Q

p

θ θ

θ θ

cos sin

cos sin

となり、上式はそのまま移項、下式は、

cosθ×

上式を引いて、

⎩⎨

⎧

−

= +

−

+

∴ =

q P

p

q p

Q

θ θ

θ θ

sin cos

cos sin

⎩⎨

⎧

+

−

=

+

∴ =

p q

P

p q

Q

θ θ

θ θ

cos sin

sin cos

となります。

これ以降は、機能創造理工学では扱いませんでした。

１０-１０母関数のルジャンドル変換

(

q Q

)

W

W = ,

ではなく、

p

や

P

を変数には出来ないのでしょうか。

「変数を変える」といったら、前にやったルジャンドル変換です。

( )

⁼⁻

∑

^{+ ′}

( )

i

i i i

i i

i Q PQ W q P

q

W , ,

とおいて ( )

dt Q q L dW

L ,

′+

=

に代入すれば、

( ) ( )

4 4 4 4 4 4

4 3

4 4 4 4 4 4

4 2

1

&

&

&

&

4 4

4 3

4 4

4 2

1 &

4 4 4 3 4

4 4 2

1 &

dt dW

i i i i i i i

i L

i i i

i L

i i i

i P

P q W q Q W P Q

P P

Q H Q P p

q H q

p ∂

∂ ′

∂ +

∂ ′ +

−

′ −

−

=

−

∑ ∑ ∑

∑

′

, ,

P P Q W P q q q W p H

H & & & ∂ &

∂ ′ +

∂ −

∂ ′ +

−

=

′−

∴

∑ となり、前と同じ議論

(

左辺には

q&, P&

は含まれていないので、右辺の

q&, P&

の係数はゼロ

)

により、

変換 ( )

i

i q

P q p W

∂

∂ ′

= ,

,

( )

i

i P

P q Q W

∂

∂ ′

= ,

, H =H′

が得られます。

例えば

W′=qP

は恒等変換。

∵） ( )

q P qP q

p W =

∂

= ∂

∂

∂ ′

=

、及び ( )

P q qP P

Q W =

∂

= ∂

∂

∂ ′

=

注) ここで

W′ , L′

などは微分ではなく、別の関数ということです。

１０-１１

Poisson

の括弧式

母関数から変換を

generate

するのではなく、与えられた変換が正準変換である

かどうかをチェックする

Poisson

の括弧式と呼ばれるものがあります。

これは二つの変数

A,B

に対する「Poisson の括弧式」というものを、

[ ]

⁼

∑

_∂^∂ _∂^{∂ −}_∂^∂ _∂^∂

i i i i qi

A p B p B q B A

A,

と定義します。 (

p,q

) は、正準変換を行う前に使っていた変数です。書き方はい ろいろで、 [

^A,B

] ^、 {

^A,B

} とか、「ポワッソン」であることを [

A,B

]

P

と書いて示 したりしているようです。このポワッソンの括弧式の性質として、定義から明 らかに、 [

^A,B

] [

^=−B,A

] ^および [

^A,A

]

⁼⁰

^です。

それから、もう一つ、重要なこととして、どの正準変数 (

^p,q

) ^{で偏微分している}

のかを、はっきり明記しておく必要があります。

変数変換 ( ) (

p,q → P,Q

) において、このポワッソンの括弧式の値が不変に保たれ ている場合、その変換は正準変換になります。すなわち、

] , [ ] ,

[p_i q_j = P_i Q_j

、

_{[pi,pj]=[Pi,Pj]}

、

[q_i,q_j]=[Q_i,Q_j]

の三式が成り立てば

OK

というわけです。微分はすべて元の変数です。

注）一番目は

δ_ij

，二番三番はゼロです。

１０-１２ 証明

１０-１２-(A) 元の変数における括弧式 [

pi,qj

]

[ ] _∑

∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

∂

= ∂

k k

j k i k

j k i j

i p

q q p p p q p q

q ,

ですから、

_ik

k i k i

q q p

p =δ

∂

= ∂

∂

∂

、及び、

=0

∂

= ∂

∂

∂

k i k i

p q q

p

等に注意すると、

[ ]

ij

k

jk ik j

i q

p ^, =

∑

δ ⋅δ −⁰⋅⁰=δ

が得られます。もちろん、 [

^,

]

^{= 0⋅ −0⋅ =0}

∂

∂

∂

−∂

∂

∂

∂

=

∑

∂

∑

k

ik jk

k k

i k

j k

j k i j

i p

p q p p p q p p

p δ δ

なども簡単に得られます。

次に、変換後の変数の括弧式は、

[ ]

⁼

_∑

^∂_{∂ ∂}^{∂ −}_∂^∂ _∂^∂

k k

i k

j k j k

i j

i p

Q q P p P q P Q

Q,

です。

１０-１２-(B) 母関数の準備

まず ( )

i

n n

i q

Q Q q q p W

∂

= ∂ 1L , 1L

,

( )

i

n n

i Q

Q Q q q P W

∂

−∂

= 1L , 1L

より、

一つ目の式を使って、

j k k

j j

k k

j

Q p q

W Q Q

W q

q P

∂

−∂

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

− ∂

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

= ∂

∂

∂

─

( I )

を得ます。

次にさっきやった母関数のルジャンドル変換

^′′

( )

⁼

( )

⁻

∑

i i ip q Q

q W Q p

W , ,

から、

さらに、 ( )

dt Q q L dW

L = ′+ ,

を使って、

( )

i

i p

Q p q W

∂

∂ ′′

−

= ,

,

( )

i

i Q

Q p P W

∂

∂ ′′

−

= ,

が得られるので、このうち、

二つ目の式を使って、

( ) ( )

j k k

j j

k k j

Q q p

Q p W Q

Q Q p W p

p P

∂

= ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ ′′

∂ −

= ∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂ ′′

∂ −

= ∂

∂

∂ , ,

─

( II )

となります。以上

I、II

を括弧式に戻してやると、

[ ]

{ { ({ }{ })

ij j i k

p q Q Q

k i j k j k k

i

k k

j

W k i

W k

j k

i j

i dQ

dQ p

Q Q p Q q q Q p

Q q

P p P q P Q

Q = =δ

∂

∂

∂ + ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂ + ∂

∂

∂

∂

=

∑

∂

∑

′′ 1444= 24443

,

,

より より

となって確かに一致します。ほかのものも同様にして証明できます。

１０-１３ ハイゼンベルグの運動方程式

ポワッソンの括弧式の他の性質を見てみます。任意の関数

F

( )

q,p

を時間微分し てみると、

∑

_∂^{∂ +}_∂^∂

=

i

i i i i

p p q F q F dt

dF & &

です。正準方程式を思い出すと、

i

i p

q H

∂

= ∂

&

、

i

i q

p H

∂

−∂

& =

ですから、代入すれば、

∑

_∂^∂ _∂^{∂ −}_∂^∂ _∂^∂

=

i i i i qi

H p F p H q F dt

dF

となり、これはポワッソンの括弧式の定義そのものです。よって、

[

F H

]

dt dF = ,

が得られます。

これは、量子力学では「ハイゼンベルグの運動方程式」と呼ばれるものです。

どんな量でも、時間微分を知りたければ、ハミルトニアンとのポワッソンの括 弧式を計算すれば「機械的」に求まる、というわけです。

１０-１４ 例）ハイゼンベルグの運動方程式と正準方程式

たとえば、

F =q

あるいは

p

とすれば、

^q&⁼

[

^q,H

] と

^p& ⁼

[

^p,H

] となります。括弧

式の中身を計算してやれば、正準方程式が導かれます。こちらの括弧式の方を

正準方程式と呼ぶこともあります。対称的で覚えやすいかもしれませんが、ポ ワッソンの括弧式そのものの定義が複雑ですね。

また、

F = H

では、

H& =

[

H,H

]

=0

と、エネルギー保存則が出ます。

１０-１５ 調和振動子のハイゼンベルグの運動方程式 調和振動子のハミルトニアン

2 2

2 2 0

2 m q

m

H p ω

+

=

に適用すると、

m p q H p q p H q

q q =

∂

⋅∂

∂

−∂

∂

⋅∂

∂

= ∂

&

、

m q

q H p p p H q

p p =0− ω₀²

∂

⋅∂

∂

−∂

∂

⋅∂

∂

= ∂

&

です。

１０-１６Bogoliubov 変換

この

Poisson

括弧式を使って変換

⎩⎨

⎧

+

=

−

=

p q P

p q Q

α β

β

α

が正準変換かどうか見てみましょ

う。

[ ] ^{( ) ( ) ( ) ( )}

p p q q

p q p

p q q

p q p

Q q P p P q P Q

Q ∂

−

∂

∂ +

−∂

∂ +

∂

∂

−

= ∂

∂

∂

∂

−∂

∂

∂

∂

= ∂ α β β α β α α β

,

( ) ( )

α β β α² β² α − − −= +

=

で、これが元の変数での値 [ ]

q,p =1

に一致するためには、

α² +β² =1

^{という条件} が必要になります。この条件は、

α =cosθ,β =sinθ

となります。

なお、

θ =0

で恒等変換、

2

π

で変数入替となります。この変換は、量子力学で超

伝導現象を解明するのに使われたボゴリューボフ変換と呼ばれるものです。但 し、x と

p

ではなく、生成消滅演算子の間の変換ですが。

１０-１７ 角運動量

次の例として、角運動量をやってみましょう。

lr rr pr

×

=

ですから、

デカルト座標で書けば、

lr=

(

ypz −zpy zpx−xpz xpy−ypx

)

となります。

これらの成分間の括弧式は

α = x,y,z

として、

[ ]

⁼

_∑

_∂^∂ _∂^{∂ −}_∂^∂ _∂^{∂ =}

_∑

^∂

⁽

_∂⁻

⁾

^∂

⁽

_∂⁻

^{) (}

^−∂ _∂⁻

⁾

^∂

⁽

_∂⁻

⁾

α α α α α

α α α α α p

zp yp x

xp zp p

xp zp x

zp yp p

l x

l p

l x l l

l_x, _y ^{x y y x z y x z x x z y}

(

pz⋅ − py⋅

( )

−x

)

−

(

px⋅y− px⋅

)

= xpy −ypx =lz

= 0 0

となります。これと、 [ ]

^{p,q =1}

の関係式は量子力学でもよく使われるものです。

(以下、旧ノート)

注

1)

ラグランジアンは先週やったように、ハミルトニアンから簡単に逆算でき

て

L=

∑

piq^&i −H

(

qi,pi

) となります。ただし、変数は

q

と

q&

ではなく、

q

と

p

で

す。ですから、ラグランジアンもどきということで、

L

ではなく、

^L=^L

( )

^p,q

と 書いておいた方が良いでしょう。この

L

の作用積分に対して最小作用の原理を適 用するとどうなるでしょうか。

なお、L の独立変数は

p

と

q

ですから、

δq

( )

t1 =δq

( )

t2 =⁰

、

δp

( )

t1 =δp

( )

t2 =⁰

とい う条件をつけます。すると、

( )

p q L dt S ^t

t² ,

∫

1

= ⁼

∫ ∑

t₁^{t2 −}

(

^,

)

i

i i i

iq H q p

p

dt &

の変分をとるわけですから、

∫ ∑

^{+ −}_∂^{∂ −}_∂^∂

= ²

1

t

t i

i i i i i i i

i p

p q H q q H p q p dt

S δ δ δ δ

δ _{& &}

∫ ∑

⎟⎟ ^{+ −∂}_∂

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

= ²

1

t

t i

i i i i i i

i q

q q H p p p

q H

dt _& δ δ_& δ

となるので、第三項を部分積分すれば、

∫

∫

⁼ 1^{2 −} ₁² 2

2

t

t i i

t i t i t

t dtpiδq_&i pδq dtpδq ⁼⁻

∫

t₁^t2dtp_&iδqi

となり(始点と終点は固定して変分しますから

δq

( )

t₁ =δq

( )

t₂ =0)、結局、

∫ ∑

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

= ²

1

t

t i

i i i i i

i q

q p H p p

q H dt

S δ δ

δ _{& &}

が得られ、任意の微小関数

δp_i,δq_i

に対して、

δS

が極小になるためには、括弧の

中身がゼロにならねばなりません。これで「最小作用の原理

≡

正準方程式」