(光と物質の相互作用) — 2005

(1)

—

量子力学第３: 問題

(光と物質の相互作用) — 2005

冬初貝

1

—

^{量子力学第３問題}

: (

^{光と物質の相互作用}

) —

1

電磁場中の荷電粒子はローレンツ力に従うが、これを正準方程式から導くハミルトニアンを考えよう。

i

正準変数の組

r, p

とハミルトアンが与えられたとき正準方程式を書き下せ。

ii

次のハミルトニアンに対する正準方程式を書き下せ。

H(r, p) = 1

2m (p − e A(r)) ² + eφ(r)

iii

上記の方程式からローレンツ力に従うニュートンの運動方程式を導け。

2

^{ハミルトニアンを}

H = H 0 + H i

としたとき全系の波動関数

|Ψ(t)

から相互作用表示の波動関数を次のように作ったとき、

i |Ψ ^I (t)

の満たす方程式を導け。

|Ψ ^I (t) =e ^iH

⁰

^t/¯ ^h |Ψ(t) ii H 0

の固有状態を

|n

として

｜

Ψ ^I (t) =

n

c n (t)|n

に対してつぎの確率の保存を導け。

d dt

n

|c n (t)| ² = 0

iii

一般のエルミート演算子

F

にたいして

Ψ(t)|F |Ψ(t) =Ψ Î (t)|F Î (t)|Ψ Î (t)

となる

F ^I (t)

を求めよ。

3

^正準変数

(q _kσ , p _kσ )

のボーズ粒子表示

q _kσ =

¯ h

2ω _k (a ^† _−kσ + a _kσ ), p _kσ = i hω ¯ k

2 (a _kσ ^† − a _−kσ )

を考える。

(2)

—

(光と物質の相互作用) — 2005

冬初貝

2 i q _kσ , p _k

σ

の交換関係を導け。

ii

つぎの輻射場のハミルトニアンを生成消滅演算子で書け。

H rad = + 1 2

k

σ=1,2

p _kσ p _−kσ + c ² k ² q _kσ q _−kσ

iii

次の輻射場の運動量を生成消滅演算子で書け。

G em = −i

kσ

k p _kσ q _kσ

4 ³

^{次元の任意のベクトル}

v

を規格直交化された基底ベクトル

e σ , σ = 0, 1, 2

で展開する。

v =c σ e σ

i

c σ =(v · e σ )

を示せ。

ii

この展開の

α

成分を書き出し次の関係式を導け

.

v α = v β (e σ ) β (e σ ) α

iii

次の完全性の関係式を導け

.

(e _σ ) _β (e _σ ) _α = δ αβ

(3)

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(光と物質の相互作用) — 2005

冬初貝

(光と物質の相互作用) — 2005

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(光と物質の相互作用) — 2005

1

—

: (

) —

1

i

r, p

ii

H(r, p) = 1

2m (p − e A(r)) 2 + eφ(r)

iii

2

H = H 0 + H i

|Ψ(t)

i |Ψ I (t)

|Ψ I (t) =e iH

t/¯ h |Ψ(t) ii H 0

|n

Ψ I (t) =

n

c n (t)|n

d dt

n

|c n (t)| 2 = 0

iii

F

Ψ(t)|F |Ψ(t) =Ψ I (t)|F I (t)|Ψ I (t)

F I (t)

3

(q kσ , p kσ )

q kσ =

¯ h

2ω k (a † −kσ + a kσ ), p kσ = i hω ¯ k

2 (a kσ † − a −kσ )

—

(光と物質の相互作用) — 2005

2

i q kσ , p k

σ

ii

H rad = + 1 2

k

σ=1,2

p kσ p −kσ + c 2 k 2 q kσ q −kσ

iii

G em = −i

kσ

k p kσ q kσ

4 3

v

e σ , σ = 0, 1, 2

v =c σ e σ

i

c σ =(v · e σ )

ii

α

.

v α = v β (e σ ) β (e σ ) α

iii

.

(e σ ) β (e σ ) α = δ αβ

—

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3

Notes

2m (p − e A(r)) ² + eφ(r)

i |Ψ ^I (t)

|Ψ ^I (t) =e ^iH

^t/¯ ^h |Ψ(t) ii H 0

Ψ ^I (t) =

|c n (t)| ² = 0

Ψ(t)|F |Ψ(t) =Ψ Î (t)|F Î (t)|Ψ Î (t)

F ^I (t)

(q _kσ , p _kσ )

q _kσ =

2ω _k (a ^† _−kσ + a _kσ ), p _kσ = i hω ¯ k

2 (a _kσ ^† − a _−kσ )

i q _kσ , p _k

p _kσ p _−kσ + c ² k ² q _kσ q _−kσ

k p _kσ q _kσ

4 ³

(e _σ ) _β (e _σ ) _α = δ αβ