Key Words：ファイバーモデル，断面靭性率

RC 断面の曲げモーメント−曲率関係と断面靭性の評価 

−ファイバーモデルによる数値シミュレーション− 

武蔵工業大学構造材料研究室 牧原 成樹  白子 将則  吉川 弘道

Key Words：ファイバーモデル，断面靭性率

１．はじめに

 鉄筋コンクリート（以下，RC）の破壊形式として，曲げ破壊，曲げせん断破壊，せん断破壊がある．曲げ破壊は他の 破壊形式よりも靭性に富んでおり，主鉄筋降伏後もある程度の変形に対して耐力を保持し，延性的な破壊に至る．破 壊形式の判定を考慮するために曲げ変形解析は重要な役割をもつ．

 本論では，断面靭性評価に着目し，複鉄筋断面に関しては，コンクリート強度，引張鉄筋比，圧縮鉄筋比，軸圧縮 応力度を，側方鉄筋断面に関しては側方鉄筋量をパラメータとし断面靭性率に与える影響をファイバーモデルによる 数値解析を行い，比較検討した．

２．ファイバーモデルにおける基本式^１）

 （１）ファイバーモデルは部材断面を中立軸に平行に分割したものを各分割断面で解析をおこなう手法であり，簡易 的に部材の非線形解析を算出できる．

 ファイバーモデルでは，計算を簡易化するために，以下のように仮定を行う．

1）

変形する前に平面である部材断面は，変形後も平面である．（平面保持の仮定）

2）

分割した各微小要素内における応力およびひずみは一定とする．

3）

せん断変形は考慮しない．

4）

鉄筋とコンクリートの付着は完全とする．

5）

材料の応力−ひずみ関係は既知とする．

 断面を各層状に分割することによる軸力と曲げモーメントは次式でえられる．

（２）基本式

∫ ∑ ∑

∫ ∑ ∑

= =

= =

+

=

=

+

=

=

A

n

i

n

i

i s i i s i

c i i c x

A

n

i

n

i

i s i s i

c i c x

A y A

y ydA

M

A A

dA N

1

'

1 '

' , ' ' , ,

, 1

'

1 '

' , ' , ,

,

σ σ

σ

σ σ

σ

ここで 

σ

_c,i

: i

番目のコンクリート要素に働く応力，

σ

_s,i′

: i

番目の鉄筋要素に働く応力， 番目のコンクリー ト要素の面積， 番目の鉄筋要素の面積， 番目のコンクリート要素から図心までの距離， 番目の鉄 筋要素から図心までの距離， 断面の分割数，

,i

: A

c

i

i

: i

,′

A

_s

y

_i

: i

: n

i y

_i′

: :

n ′

軸方向鉄筋の本数

 まず軸圧縮力

N

₀によるひずみ

ε

₀の計算を行う．軸方向の釣り合いは次のようになる．

∑ ∑

= =

+

=

ⁿ

i

n

i

i s i

c i

c i

c

A A

N

1

'

1 '

' , 0 ' , ,

0 ,

0

σ ( ε ) σ ( ε )

 

次に，図１のように圧縮ひずみ

ε

_c0と中立軸位置 を仮定することにより，ひずみ分布と応力分布を算出する．よ って，合力はそれぞれ次式のように表すことができる．

y

0

∑

∑

=

=

+

=

=

+

=

=

'

1 '

' , ' ' , 1

, ,

) ( :

) ( :

n

i

s s i s i i s s

n

i

c c i c i i c c

T C A F

T C A F

ε σ

ε σ

鉄筋の合力

コンクリートの合力

ここで，

C

_c

:

コンクリートの圧縮合力，

T

_c

:

コンクリートの引張合力，

C

_s

:

鉄筋の圧縮合力，

T

_s

:

鉄筋の引張合力  断面の合力と外力軸方向力 の釣り合い条件が満足するまで，中立軸位置 を変化させ収束計算を行う．釣り 合い式は，次式になる．

N

0

y

₀

s

c

F

F N

₀

= +

軸方向の釣り合い

:

 軸方向の釣り合い状態を満たすとき，図心まわりのモーメントの釣り合いは次式となる．

∑ ∑

= =

+

=

ⁿ

i

n

i

i s i i i s i

c i i i

c

y A y A

M

1

'

1 '

' , ' ' ' , ,

,

( ) ( )

: σ ε σ ε

モーメントの釣り合い

 曲率

φ

は，軸方向の釣り合いを満足する中立軸位置と圧縮ひずみより，次式で表される．

0 0

y ε

c

φ =

 さらに，圧縮縁ひずみを増加させ，終局まで繰り返し計算を行う．ここで終局は，最外縁圧縮鉄筋位置におけるコン クリートのひずみが終局ひずみに達した時点とした．

y

_i

steel element  i

concrete

dAi

y

_i

ε

_c,i

M

y

₀

C

_c

C

_s

σ

_c,i

T

_s

T

_c

ε

_c0

ε

_s,i'

図１ 断面図のひずみ分布と応力分布図 

（３）算出フローチャート^２）

 図 2に

M−φ関係のフローチャートを示す．

y

M

y

⋅ φ M

_u

⋅ φ

_u

No

No Yes

Yes

曲 率 靭 性 率 の 算 出

ま た の 算 出

かぶりコンクリート剥落まで計算

モ ー メ ン ト ・ 曲 率 の 算 出 断面内の釣り合いが成立

ひ ず み か ら 鉄 筋 ・ コ ン ク リ ー ト の 応 力 を 算 出 中 立 軸 位 置 を 仮 定 し ， ひ ず み 分 布 を 仮 定

圧 縮 縁 ひ ず み を 増 加 （ 曲 げ を 与 え る ） 軸 圧 縮 ひ ず み を 圧 縮 縁 ひ ず み と し て 与 え る

軸 圧 縮 ひ ず み の 算 出 断 面 諸 元 ・ 材 料 強 度 ・ 作 用 軸 力 の 入 力

図 2 M−φ関係のフローチャート 

３材料構成則^３） 

（１）土木研究所式

 応力−ひずみ関係より，ピーク時のひずみ，終局ひずみ，下降勾配に影響し，ピーク以降は下降勾配で終局圧縮 ひずみにいたる．また，帯鉄筋の拘束効果を考慮する．以下に土木研究所式，また図３に帯鉄筋体積比をパラメータ とおいたときの応力−ひずみ曲線を示す．（記号については，原論文【3】をそのまま用いている）

図３より，横拘束筋の体積を増加させた場合，最大応力値の変化は見られないが終局ひずみの値が増加している 図 3 

0.4 0.2

1.0 1.0

: ,

) / ( :

) ( :

) ( :

) ( 1

: :

) / ( :

) / ( :

: : :

) / ( :

) / ( :

) / :

2 2 2

2 2

2 2

=

=

=

=

β α

β α

β α σ ρ ε ε ε σ σ σ

    

     矩形断面 

    

     円形断面  断面補正係数 横拘束筋の降伏点 横拘束筋の有効長 横拘束筋の間隔

本あたりの断面積 横拘束筋

横拘束筋の体積比 下降勾配

係数 コンクリートのヤング

ずみ コンクリートの終局ひ 横拘束筋で拘束された

ずみ 縮応力に達する時のひ コンクリートが最大圧

コンクリートのひずみ 準強度 コンクリートの設計基

コンクリートの強度 横拘束筋で拘束された

コンクリート応力度（

mm N mm d

mm s

mm A

mm N E

mm N E

mm N

mm N mm

N

sy h h s des c cu cc c

ck cc c















 



− 

=

1 −1

1

n

cc c c

c

c E n

ε ε ε

σ

(

0 ≤ε ≤c εcc

)

(

c cc

)

des cc

c σ E ε ε

σ = − −

(

εcc ≤εc ≤ εcu

)

cc cc c

cc c

E n E

σ ε

ε

= −

sy s ck

cc σ αρ σ

σ = +3.8

ck

sy s

ck

Edes

σ ρ

σ ² 2 .

=11

（タイプⅡ地震動）

des cc cc

cu E

ε σ

ε = + ^0.2 018 .

4 ≤ 0

= ⋅

h h

s s d

ρ A

cc

cu ε

ε = （タイプⅠ地震動）

sy s

cc σ

σ β ρ ε = 0.002 + 0.033

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 ε ｃ

σｃ

0013 .

= 0

ρ

s

ρ

_s

_{= 0 . 003}

005 .

= 0 ρ

s

ρ

sをパラメータとしたときの土木研究所式による応力−ひずみ曲線 

 

のがわかる．また終局ひずみにいたる勾配も急勾配から緩やかな勾配になっている．

（２）トリリニアモデル

伏以降は硬化開始ひずみに至るまでは一定値をとるが，硬化開始ひずみ以降はひずみ硬化 域

．数値シミュレーション

 

RC

柱断面を対象とし断面靭性評価に影響を与えると考えられる複鉄筋断面のパラメータとしてコンクリート強度，

張鉄筋比，圧縮鉄筋比，軸圧縮応力度，また側方鉄筋断面に関しては側方鉄筋量をパラメータとし，数値解析を 筋図，表１に複鉄筋断面におけるパラメータ，表２に側方鉄筋断面におけるパラメータを示 引張降伏，圧縮降

になることにより勾配が変わるモデルで，３つの直線で表す．以下にトリリニアモデルの式，図４に応力−ひずみ曲 線を示す．

) / ( :

:

) / ( :

:

) / ( :

2 2

2

mm N f

mm N f

mm N E

u sh y y s

軸方向筋破断強度 み 軸方向筋硬化開始ひず 軸方向筋降伏強度 軸方向筋降伏ひずみ

軸方向筋のヤング係数

ε ε

)

( )

01 . 1 ( ) / ) exp(

1 (

) (

) 0

(

s sh y

u sh

y s

sh s y y

s

y s s

s s

f f k

f f E

ε ε ε

ε σ

ε ε ε σ

ε ε ε

σ

≤

−

⋅

−

− +

=

≤

≤

=

≤

≤

⋅

=

ε

s

0 σ

s

fy

ε

sh

ε

y

図４ トリリニアモデルの応力−ひずみ曲線  ４

引

行った．図５に構造図と配

した．構造条件は，断面

320×320（mm），せん断スパン 1200（ｍｍ），有効高さ 296（mm）とした．コンクリート構成則を

土木研究所式，鉄筋の構成則をトリリニアモデルとし

た．

（１）構造図とパラメータ 

3 2 0

1）2 段配筋 2）3 段配筋

（unit：mm）

68@4=272

24 24

（unit：mm）

320

68@4=272

24 24

（unit：mm）

320

68@4=272

24 24

（unit：mm）

320

68@4=272

24 24

135@ 7= 945

(Transverse  D4 Reinforcement)

D13 (Longitudinal Reinforcement)

3）4 段配筋 4）6 段配筋

図５ 構造図と配筋図 

表 1 複鉄筋断面のパラメータ

引張鉄筋比 圧縮鉄筋比 鉄筋降伏強度 コンクリート強度 軸圧縮応力度

P1 P2 ｆｙ（N/ｍｍ²） f´ｃ（N/mm²） N'（N/mm²）

標準モデル 0.0121 0.0121 295 35 2

0.00535 0.0121 0.0214

0.0121 0.00535 0.0121 0.0214

0.0121 295 345 375

295 20

35 40

35 0

1 2 3 4

ケース パラメータ

Ⅰ 引張鉄筋比P１

Ⅱ 圧縮鉄筋比P２

Ⅴ 軸力

Ⅲ 鉄筋降伏強度

Ⅳ コンクリート強度

表 2  側方鉄筋断面のパラメータ 

2段配筋 8 0.011

3段配筋 10 0.013

4段配筋 12 0.016

6段配筋 16 0.021

2段配筋 8 0.024

3段配筋 10 0.030

4段配筋 12 0.036

6段配筋 16 0.048

2段配筋 8 0.043

3段配筋 10 0.054

4段配筋 12 0.064

6段配筋 16 0.086

軸方向鉄筋本数 引張鉄筋比

Ｄ２５

Ⅷ

Ⅵ Ｄ１３ 

Ⅶ Ｄ１９

ケース パラメータ 軸方向鉄筋配筋

５．解析結果および考察（その１：M-φ関係）

１）複鉄筋断面のパラメータに関して，ケースⅠからⅤまでの

（ M−φ関係図 

ケースⅠ 引張鉄筋比P1 0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025

φ（cm^-１）

M（ｋN・m）

P=0.00535 P=0.0121

P=0.0214

ケースⅡ 圧縮鉄筋比P2 0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 φ（cm^-１）

M（kN・m）

P=0.00535 P=0.0121

P=0.0214

：降伏点

：終局点

ケースⅢ 鉄筋降伏強度 0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 φ（cm^-１）

M（kN・m）

fy=295 fy=345 fy=375

：降伏点

：降伏点

：終局点

：終局点

ケースⅣ コンクリート強度 0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 φ（ｃｍ^-1）

Ｍ（ｋＮ・m）

f'c=20 f'c=35

f'c=40

：終局点

：降伏点

：降伏点

：終局点

ケースⅤ 軸圧縮応力度変化N' 0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020

φ（cm^-1）

M（kN・m） N'=0N'=1N'=2

N'=3 N'=4

：終局点

：降伏点

 ケースⅠに関し 断面靭性率（φu/

y）は減少すること

に大きく関与す

ことが確認でき

縁圧縮鉄 くなったため

と考えられる． れは，トリリニア

デルの定義のな ，先に最外縁圧

鉄筋位置 った．トリリニアモデルのひ

み硬化域よりも 化

せたものである かで，変化がみ

れない．ケースⅤ が低下する．

れは，軸圧縮応 ースⅠと類似し

いる．以上より鉄筋比と軸圧縮応力度は

M−φ関係に影響することがわかった．

図６  複鉄筋断面の M−φ関係 

て，引張鉄筋比を増加すると曲率は減少し，曲げモーメントは増加した．これより がわかる．また個々の変化量が顕著に現れることから引張鉄筋比は

M−φ関係

る．ケースⅡでは，圧縮鉄筋比を増加させると靭性率が増加していることがわかる．この原因として最 筋位置におけるコンクリートひずみが圧縮鉄筋比の増加のため終局ひずみに達するのが遅

ケースⅢは鉄筋降伏強度をパラメータとしているが，終局曲率の値が一定である．こ かで引張降伏，圧縮降伏以降は硬化開始ひずみに至るまで一定をとるとあるが におけるコンクリートの圧縮ひずみがおきたために終局曲率の値が同じにな

先にコンクリートひずみが終局になったためだと考えられる．ケースⅣでは，コンクリート強度を変 が，ほぼ同じ値になっている．コンクリート強度は曲げ終局耐力に与える影 はわず

は軸圧縮応力度をパラメータとしたもので軸圧縮応力度を増加さ 面靭性率 力度が増加することにより曲率の変化量が小さくなるためである．このパターンはケ φ

る 外 だ モ 縮 ず

さ 響

ら せると断

こ て

（２） 側方鉄筋のパラメータに関してケースⅥからケースⅧまでの M−φ関係図 

ケースⅣからケースⅧはそれぞれ軸方 ス

を比較すると，軸方向鉄 率が低下する．ま

た，2 段配筋から

4

段配筋にかけて急激な終局曲率の変化は，鉄筋間隔で層状に分割した際の断面に対する影響 が，複鉄筋断面と側方鉄筋断面で大きく変わることが確認できた．それ以降は急激な断面靭性率の減少はみられな かった．耐力の比較では，鉄筋比または段数を上げると増加がみられた．

 

ケースⅦ D19 20

40 100 120 140 180

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 φ(cm^-1)

kN・m)

2段配筋 4段配筋

6段配筋

：降伏点

：終局点

：降伏点

：終局点

図７  複鉄筋断面の M−φ関係  200

ケースⅧ D25 0

50 100 150 200 250 300

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 φ(cm^-1)

M(kN・m)

2段配筋 3段配筋

4段配筋 6段配筋

：降伏点

：終局点

0 60 80 160

M(

3段配筋

100

向鉄筋を

2

段配筋から

6

段配筋とおいたものである． ケースⅥからケー 筋配筋の増加により鉄筋比が増加するためケースⅠのように，断面靭性

ケースⅥ D13 0

20 40 60 80

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 φ(cm^-1)

M(kN・m) 2段配筋

4段配筋 3段配筋 120

6段配筋

Ⅷ

６．解析結果および考察（その２：断面の靭性評価） 

１） 曲げモーメント・曲率関係，鉄筋比と曲げ耐力，終局との関係について複鉄筋断面と側方鉄筋断面の比較図 

（

図８ 複鉄筋断面の関係図

0 20 40

0 0.005 0.01

0.015 0.02

0.025 鉄筋比 P

0 20 40

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 φ(cm^-1)

：降伏点

：終局点

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025 0 50

100 150

Mu(kN・m）200

φu(cm^-1) 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 φu(cm0.0025^-1)

鉄筋比 P 60 80 100 120 140 160 180 200 M(kN・m)

P=0.0214

P=0.0121

P=0.00535 60

80 100 120 140 160 180 200 Mu(kN・m)

図８，図９は，複鉄筋断面と側方断面に対し，鉄筋比

P

をパラメータとし，M−φ関係，鉄筋比−終局曲げ耐力

（Mu）関係，鉄筋比−終局曲率（φu）関係，Mu−φu 関係を表している．4 つのグラフを比較すると鉄筋比を増加さ せると

Mu

の増加，φuの減少がみ

10 Mu(kN・m)120 鉄筋比 P

られる．ここで複鉄筋断面は鉄筋比が変化すると終局曲率の低下が大きく急激な 鉄筋断面は緩やかに低下している．

図９ 側方鉄筋断面（D13）の関係図

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0 20 40 60 80 0

φu(cm-1) 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006φu(cm0.0007^-1)

鉄筋比 P 0

0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 φ(cm^-1) 0

0 0.005 0.01

0.015 0.02

0.025

20 40 60 80 100 120 M(kN・m)

：降伏点

：終局点 ６段配筋

４段配筋 ３段配筋

２段配筋

20 40 60 80 100 120 Mu(kN・m)

断面靭性率（φｙ/φu）の低下を引き起こす．一方側方

（２） 断面靭性率における引張鉄筋比の関係 

断面靭性率と引張鉄筋比の関係を次式で表す．また図 10，図１１に断面靭性率と引張鉄筋比の関係図を示した

４）．

 ここで，

 図 10と図 11は，断面靭性率と引張鉄筋の関係を表したものである．ｐ’は圧縮鉄筋比，ｐは引張鉄筋比を表し，パラ メータを圧縮／引張の値としている．ここで引張鉄筋比

0.005

から

0.01

のとき断面靭性率の値にばらつきがみられて も，引張鉄筋比が増加することにより，断面靭性率に低下がみられ収束し近似した値となった．コンクリート強度に関 して，低強度の場合と高強度を比較すると，ある任意の引張鉄筋比に対し低強度の場合は断面靭性率の値が小さく，

全体的に左寄りのグラフになっている．また，引張鉄筋比

0.025

に着目すると低強度のほうが小さい値をとることがわ かる．

 

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5

0 0 .0 0 5 0 .0 1 0 .0 1 5 0 .0 2 0 .0 2 5 0 .0 3

引 張 鉄 筋 比   ｐ

断面靭性率

図 10 コンクリート強度３０Ｎ/ｍｍ^２の場合

図 合

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5

0 0 .0 0 5 0 .0 1 0 .0 1 5 0 .0 2 0 .0 2 5 0 .0 3

引 張 鉄 筋 比   ｐ

断面靭性率

) (

) (

2 )

(

_{1 2}

2 1

1 2 2 1 2

2 1

2

n p p

d p p d

n p

p n

k  − +



 



 + + +

=

) 1 ) ( (

68 . 0

2 1

2

k

p p f

f E

y

c c s y

u

−

−

′

= ε ′

φ φ

グ率）

鉄筋の弾性係数（ヤン 弾性係数比（

ずみ コンクリートの圧縮ひ

:

) / :

:

s

c s c

E

E E n

ε

′

p p′

0 0.25 0.5 0.75 p

p′

0 0.25 0.5 0.75

b

A

s

′ A

s

d

1

d

2

11 コンクリート強度２０Ｎ/ｍｍ^２の場

６．

った．また，コンクリート強度の曲げ終局耐力の影響はわずかであった．

面と側方鉄筋断面の関係図では， せると急激な断面靭性率の低下

こすことが確認できた．一方側方鉄筋 断面 の減少は見られ

と断面靭性率の関係は，各パラメータに対し引張鉄筋比が増加すると靭性率の減少とともにある値で収 率の減少で，低強度は緩やかに低下していくことが

構造の耐震設計特

吉川弘道：Web

ttp://www.civil-ey

まとめ

 鉄筋比や軸圧縮応力度を増加させると，終局曲率が低下し，曲げモーメントも増加するため断面靭性率は減少す ることが確認できた．主鉄筋降伏強度は鉄筋構成則に影響し，ファイバーモデルの終局の定義により終局曲率が同 じ値にな

複鉄筋断 を引き起 ない．

 引張鉄筋比 束していくこと わかった．

【参考文献】

【１】 渡辺耕平，竹市

複鉄筋断面において鉄筋比を変化さ

では，緩やかに低下しているので著しい 靭性率

がわかった．また高強度の場合は急激な断面靭性

八重子：ファイバーモデルによる

RC

単柱の非線形解析，武蔵工業大学

RC

式の算定，第

3

章，平成

8

年度武蔵工業大学卒業論文

セミナー 「鉄筋コンクリート構造物の耐震設計講座」

e.com/report/kouza/yoshikawa/index.htm

論

【２】 池谷和之，千嵐広子：RC柱における破壊形

【３】 日本道路協会：道路橋示方書・同解析．Ⅴ耐震設計編（平成

14

年改訂版）

【４】 

h