電磁気学

電磁気学 Ⅱ

Electromagnetics Ⅱ

山田 博仁

光導波路と光共振器

7/21, 23

講義分

光共振器

q L

n

 2



完全導体による平行平板間に存在する ことができる電磁波の波長は離散的に

なり、 (q = 1, 2, 3 　 ‥ )

で与えられた。このように、完全導体 の平行平板による Fabry-Perot 共振器に よって電磁場は量子化され、このような電磁 場の形態をモードと呼ぶ。 (q はモー ド番号 )

光の場合は、完全導体の代わりに、 2 枚の平行平面鏡により Fabry-Perot 共 振器を構成し、レーザーの光共振器などに広く用いられている。

光ビーム

平行平面鏡

レーザーの光共振器の概略

q = 1 q = 2 q = 3 完

全 導 体

完 全 導 体

z = 0 z = L

FP 共振器型半導体レーザーの構造

Fabry-Perot

光共振器

半導体レーザー

発振波長 q

L n_eff

q

 2



q: モード番号　 1,2 ‥‥

n_eff: 半導体の屈折率  発振スペクトル Fabry-Perot (FP) 共振器の共振モード

L

共振器長　 L の FP 共振器内に立つ定在波 の数 ( モード番号 q ) と共振器内での光 の波長 λ との間には、 の 関係がある

鏡 鏡

2

 / q L 

モード番号が十分大きい (q >>1) 場合に

、隣り合うモード間での共振波長の差 Δλ は、

L 2

2

 



λ FP 共振器の共振モード

q+1 q q-1

q+2 q-2

Δλ Δλ

出展: www.phlab.ecl.ntt.co.jp/master/04_module/002.html

光導波路

光ファイバー 屈折率分布

n₂ n₁

n₁> n₂ コアクラッド

スラブ導波路 屈折率分布

n₁

n₂ n₁> n₂

コア クラッド

光導波路が光を導くメカニ ズム

Snell の法則

1 2 2

1

sin sin

n

 n



 n₂

n₁

φ₁ φ₁

₂ 入射波

屈折波 反射波 n₁< n₂ の場合

全反射

全反射

全反射 n₁

n₂

n₂ n₁> n₂

φ₁ φ₁

φ₂ 入射波

屈折波 反射波

n₂ n₁

n₁> n₂ の場合

全反射



 



 ^ 

1 1 2

cos n

n

c

臨界角

_c

2θ_max

開口数 : NA= sin(θ_max) 光が伝搬可能な入射角度の範囲

放射モード

_c

全反射角

従って、 n₁ と n₂ との差が小さい時、全反射角 θ_c は以下の式で与えられる コアとクラッド界面での全反射角 θ_c は、前スライドの臨界角より



 

 



 









 1 cos 1 2

sin ₂

1 2 2 2 1 2

1 2 2

n n n n

n

c

c 





 



 ^ 

1 1 2

cos n

n

c

で与えられるが、

ここで、　　　　　　　　と置いたが、2 Δ は比屈折率差と呼ばれている

1 2 2 2 1

2n n n 





] rad [ 2

2

sin ¹   

 ^

c

さらに、導波路が受け入れることのできる受光角 (2θ_max) は、

1

max 2

sin

NA    n









 2sin^ ( sin ) 2sin^ 2 2 2

2_max ¹ n₁ _c ¹n₁ n₁

また特に、 を開口数　 (Numerical Aperture) という

導波路内での光伝 搬

n₁ n₂

n₂ n₁> n₂ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ: Goos-Haenchen Shift

k₀n₁ θ

k₀n₁cosθ k₀n₁sinθ

自由空間中での波数 : k₀=2π/λ 　 (λ: 波長 ) 、媒質中では k₀n₁ コア

N an

k   

  4 _{0 1}sin 2  2

 a

-a

N: モード番号 (0, 1, 2 ‥‥)

クラッドへの光の浸み出し

光の伝搬方向と垂直方向の伝搬定数成分 (k₀n₁sinθ) に対して、以下の 式が成り立つ時、光伝搬と垂直方向に定在波ができる

光の伝搬方向の伝搬定数成分 β は、 β = k₀n₁cosθ

光が伝搬方向に伝わる速度は、 であり、 v_g を 群速度 (Group Velocity) という　 (c は光速度 )

 cos n1

v_g  c 屈折率 n の媒質中

・光の速度 : 1/n

・光の波長 : 1/n

・波数 : n 倍

導波モードと定在

N = 0 波

Δϕ = 0

N = 1

2π

N = 2

4π

E

E

E

モード番号 N は、横方向の強度分布における節の数を表す

入射角度

モード番号がある値よりも大きくなると、全反射条件が満たされなくなり

、伝搬できなくなる。つまり、伝搬可能なモードは、以下の条件を満たす

。

c

N 

 

] rad [ ) , 2 , 1 , 0 (

) 1 2 (

sin

0 1

 





 N N

a k

N n

N

 



従って、モード番号 N に対する入射角度 θ_N は、

N an

k sin_N 2_N 2

4 _{0 1}  

光伝搬と垂直方向での定在波条件の式より、モード番号 N に対する入射角度 θ_N は、

ここで、 Goos-Haenchen Shift の値 ϕ_N は一般的には入射角度 θ_N の関数 になるが、 θ_N が全反射角 θ_c よりも十分に小さい場合には、　　　　　　

と近似できる。



_N  

従って、導波路内を伝搬可能なモード番号の最大値 N_max が存在し、以下の 条件を満たす。

c

N 

 

max

モードの数

導波路内を伝搬可能なモード番号の最大値 N_max は以下の式で与えられる。

) 1 ) (

2 1 (

max  

N   V

ここで V は、 V パラメータ或いは規格化周波数と呼ばれている







 k₀a n₁² n₂² k₀an₁ 2 V

N_max よりも大きなモード番号のモードは伝搬できないので、カットオフにあると言う







  vg

群速度

曲線の傾きは v_g /c で 、群速度に対応 モードによって群速度の値は異なる

導波路の分散関係 β

ω/c (k₀)

1/n₁ 1/n₂

N=0

N=1 N=2 カットオフ領域 N=3

( 放射モード )

単一モード条件 : V < π /2

ライトライン ライトラインよりも上の領域では、光 の速度を超えることになるので、伝搬 できない

n₁=1

注) 式 (1)は光線近似によるもので、厳密な波動方程式から導くと、 N = 0の基本モードに対してカットオフは存在しない

電磁気学 Ⅱ

Electromagnetics Ⅱ

山田 博仁

電磁ポテンシャルとゲージ変換

再び

Maxwell

方程 式

) 4 ( )

, ( )

, ( div

) 3 ( )

, ) (

, ) (

, ( rot

) 2 ( 0

) , ( div

) 1 ( ) 0

, ) (

, ( rot









t t

t t t t

t

t t t

e

e

x x

D

x x i

x D H

x B

x x B

E





 

 



 

  Maxwell の方程式

) 6 ( )

, ( )

, (

) 5 ( )

, ( )

, (



 t

t

t t

x H x

B

x E x

D









) 8 (

) 7 (

0 0

















) 10 ( ) 0

, ) (

, (

rot  



 







 

t t A x t x

E

構成方程式 ( 物質中 ) 真空中では、

磁場 ( 磁束密度 )B(x, t) を

) 9 ( )

, ( rot )

,

(x t A x t 

B 

これを式 (1) に代入すると、

と表すと、式 (2) は恒等的に満たされる。( 　　ベクトル恒等より、　　　　　　　　　 (A) 0 ) 4 つの式から成っている

電磁ポテンシャ

さらに式 (10) は、 ル

) 14 ( )

, ) (

, ) (

, (

rot t 

t

t E x t i_e x

x

B   



 

) 13 ( )

, ( rot )

, (

) 12 ( )

, ( ) grad

, ) (

, (



 t

t

t t t t

x A x

B

x x x A

E



 

 

 

この A と  を、電磁ポテンシャルという。

) 11 ( )

, ( ) grad

, ) (

,

( t 

t

t A x t x

x

E   



 

とおくことにより、恒等的に満たされる。

つまり、 Maxwell の方程式の式 (1) と式 (2) は、

とおくことにより、自動的に満たされることになる。従って、電磁気学の基 本法則は、残り 2 つの式で表せることになる。

まず、式 (5), 式 (6) の関係を用いると、式 (3) は、

となる。

( 　　ベクトル恒等式より、　　　　　　　　　  rot(grad)  0 )

以下では、残りの Maxwell 方程式 (3) と(4) を、 E, B, H, D ではなく、電磁ポ テンシャル A と  を用いた式として書き直してみる。

電磁ポテンシャ ル

) 15 ( )

, ) (

, ) (

, ( div grad )

,

2 (

2

t  t

t t

t t x i^e x

x A x

A   

   



 







 

 



 







 

 となる。

これに式 (12), 式 (13) を代入し、　　　　　　　

のベクトル恒等式を用いると、

A A

A)  grad(div ) rot

( rot

また、式 (4) に式 (12) を代入すれば、

) 16 ( )

, 1 (

) , ) (

, div (

) , (

div t t 

t

t A x t x _e x

x

E 

  







 







 



従って Maxwell の方程式 (1) ～ (4) は、以下の方程式系で置き換えられる。

) 17 ( )

, 1 (

) , div (

) , (

) 15 ( )

, ) (

, ) (

, ( div grad )

, (

) 13 ( )

, ( rot )

, (

) 12 ( )

, ( ) grad

, ) (

, (

2 2









t t t t

t t t t

t t

t t

t t t t

e

e

x x x A

x x i

x A x

A x A x

B

x x x A

E

 



 









 



 







 





 



 







 

 



 







 





 

 



新しい

Maxwell

方程式 系

上の新しい Maxwell 方程式系による解法は、電荷密度分布 _e(x, t) および伝導 電流密度の分布 i_e(x, t) が与えられていれば、まず式 (15), (17) による連立方 程式を解いて電磁ポテンシャル A(x, t) および (x, t) を決める。次にこれを式

(12), (13) に代入することにより、電場 E(x, t) および磁場 B(x, t) が求まる

。しかし、この新しい Maxwell 方程式系では、最初に式 (15), (17) による連立 方程式を解かなければならないので解法が煩雑。

そこで、上の式 (12), (13), (15), (17) の方程式系の次の性質に注目する。

) 17 ( )

, 1 (

) , div (

) , (

) 15 ( )

, ) (

, ) (

, ( div grad )

, (

) 13 ( )

, ( rot )

, (

) 12 ( )

, ( ) grad

, ) (

, (

2 2









t t t t

t t t t

t t

t t

t t t t

e

e

x x x A

x x i

x A x

A x A x

B

x x x A

E

 



 









 



 







 





 



 







 

 



 







 





 





もっと簡単にできないか ?

新しい

Maxwell

方程式

今、任意の微分可能な関数を u(x, t) とし、先の電磁ポテンシャル系 A およびの 代わりにA'(x,t)  A(x,t)gradu(x,t)  (18)

) 19 ) (

, ) (

, ( )

,

( 

t t t u

t

' 

 

 x

x

x 



として、新しく A’(x, t) および’ (x, t) を定義する。

t ' A'

t ' u u

t ' t





 grad

grad )

grad (

grad

 







 







 



 

 



 



 A A

E

また、 B  rot A  rot(A' gradu)  rot A' rot(gradu)  rot A'

即ち、式 (18), (19) によって与えられた A’ と ’は、式 (12), (13) により、

元の電磁ポテンシャル A,  と全く同じ電磁場 E, B を与え、これらも新し い電磁ポテンシャルと見ることができる。つまり、式 (12), (13) で与えられ た電磁ポテンシャルには、任意関数 u(x, t) だけの不定性がある。

このとき、

新しい

Maxwell

方程式

今、式 (15) に式 (18), (19) を代入すると、系

t e

t u u t

t t

t u u t

t u

t ' '

t '

i A

A

A A

A A

A A

 





 













 





 



 







 

 



 







 







 







 







 







 

 



 







 



 



 







 







 



 



 







 



 





 



 







 







 







 

 



 







 



div t grad

grad div

grad grad

) grad (

div grad )

grad (

div grad

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

t e

t u t

u t

t u t

u t

' '

 









div 1 div

) grad (

div div



 



 







 







 

 

 





 







 





 

 



 







 



 



 







 



A A A A

また式 (17) に式 (18), (19) を代入すると、

) )

( )

grad ( div

( u  u ²u  u ) ) grad(

) grad (

(ま ま ま  u  u

従って、 A’ ま ’は、 A ま と全く同じ方程式を満たしている。

ゲージ変換

即ち、式 (18), (19) の新しい電磁ポテンシャル A’ と ’は、 A と の組と

同じ電磁場 E, B をもたらすだけではなく、これらの満たす方程式も全く 同じである。つまり、電磁ポテンシャル A およびには、任意関数 u の 不定性がある。

ま (18), (19) をゲージ変換と言う。また、関数 u(x, t) をゲージ関数と言う。

新しい Maxwell 方程式系 (12), (13), (15), (17) は、ゲージ変換 (18), (19) のもとで不変。

それなら、任意関数をうまく選ぶことによって、新しい Maxwell 方程式系

(12), (13), (15), (17) をもっと簡単に解けるようにできないだろうか ?

例えば、ま (15) の左辺第 2 項の括弧内がゼロとなるように任意関数を選ぶこ とができれば、ま (15), ま (17) はずいぶん簡単な式にできるだろう。

そこで、 ( , ) 0 (20) )

, (

div  



 

t

t ^L t

L

x x

A  

となるような任意関数 χ を選ぶことができるかどうかを考えてみよう。

) 21 ( )

, ( grad )

, ( )

,

( t t t 

L x A x x

A   

) 22 ) (

, ) (

, ( )

,

( 

t t t

L t 

 

 x

x

x  

 今、

となるような任意関数 χ を考える。

このゲージ変換による新しい電磁ポテンシャル A_L と  _L は、勿論もとの A ま と同じ電磁場 E, B を導き、またそれはま (15), (17) と同じ形の方程式 を満足する。

) ' 23 ) (

, ) (

, ( div )

,

2 (

2

 



 







 



 



 







 

 t

t t t t

x x A

x  





ま (21), (22) を式 (20) に代入すると、

ゲージ変換

) 23 ( 0

div ) grad ( div ) div

, ) (

, ( div

2 2

2 2

 



 

 

 







 



 



 

 

t t

t t

t

t ^L t

L

 

 



 

 

 



A x A

x A

従って、

つまり、式 (23’) を満足するような関数 χ を選んでやれば良いだけではないか。

そうすれば、式 (20) が満足されるので、 新しい Maxwell 方程式 (15), (17) は、

) 24 ( )

, ( )

,

2 (

2

t  t A^L x t  i^e x

   

 







 



) 25 ( )

, 1 (

) ,

2 (

2

t 

t ^L x t ^e x

 

   



 







 



と非常に簡単な式になる。

上の式 (24), (25) を、ダランベール (d’Alembert) の方程式と言う。

ローレンス ( ツ ) ・ゲージにおける

Maxwell

方程式

) 23 ( ) 0

, ) (

, ( div

) 25 ( )

, 1 (

) , (

) 24 ( )

, ( )

, (

) 13 ( )

, ( rot )

, (

) 12 ( )

, ( ) grad

, ) (

, (

2 2

2 2











 

 



 



 







 





 



 







 





 

 



t t t

t t t

t t t

t t

t t t t

L L

e L

e L

L

L L

x x A

x x

x i x

A x A x

B

x x x A

E

 

 











従って、ゲージ変換により、 Maxwell の方程式は、以下の一連の方程式系 で置き換えられたことになる。

この新しい Maxwell 方程式系では、ま (24), (25) を見ると式 (15), (17) とは異 なり、 A_L と  _L とはそれぞれ独立な方程式を満たしており、連立方程式には なっておらず、 A_L, _L, i_e, _e ま 4 個の成分に関して極めて対称性の良い形を している。

ま (23) の条件をローレンス (ツ )(Lorenz) 条件と言い、この条件を満足す

る電磁ポテンシャル A_L(x, t), _L(x, t) を、ローレンス (ツ ) ・ゲージにおけ る電磁ポテンシャルと言う。

ローレンス・ゲージにおける

Maxwell

方程式の 解法

) 23 ( ) 0

, ) (

, ( div

) 25 ( )

, 1 (

) , (

) 24 ( )

, ( )

, (

) 13 ( )

, ( rot )

, (

) 12 ( )

, ( ) grad

, ) (

, (

2 2

2 2











 

 



 



 







 





 



 







 





 

 



t t t

t t t

t t t

t t

t t t t

L L

e L

e L

L

L L

x x A

x x

x i x

A x A x

B

x x x A

E

 

 











このローレンス・ゲージにおける Maxwell 方程式による解法は極めて見通し が良く、電流密度分布 i_e(x, t) および電荷密度分布 _e(x, t) が与えられていれ ば、まず式 (24) およびま (25) を各々独立に解いて、電磁ポテンシャル A_L(x, t) および _L(x, t) を求める。その求まった A_L(x, t) と  _L(x, t) が式 (23) を満 たしているかどうか確認し、次にこれを式 (12), (13) に代入することにより、

電場_{2人のローレンツ}E(x, t) および磁場 B(x, t) が求まる。

ローレンツ力、ローレンツ変換　→　ヘンドリック・ローレンツ（Hendrik Antoon Lorentz 1853- 1928） オランダ

ローレンツ(ス)・ゲージ　→　ルードヴィヒ・ローレンツ(ス)(Ludvig Valentin Lorenz 1829-1891) デンマーク

Maxwell

方程式のゲージ不変

ところで、このローレンス・ゲージにおける電磁ポテンシャル性 A_L(x, t),

_L(x, t) も、一義的な値を持たない。何故なら、

) 26 ( 0

) ,

0(

2 2

 



 







 

 t

t  x



を満たすような　 ₀ を用いて、ゲージ変換

) 27 ( )

, ( grad )

, ( )

,

( t t ₀ t 

' _L

L x A x x

A   

) 28 ) (

, ) (

, ( )

,

( ⁰ 

t t t

t

' _L

L 

 

 x

x

x  



を行うと、この新しいローレンス・ゲージの電磁ポテンシャル A_L’(x, t),

_L’(x, t) もまた、 (12), (13), (23), (24), (25) と全く同形の方程式系を満たす

。

即ち、 (12), (13), (23), (24), (25) の方程式系は、ま (27), (28) の条件に基づ いて規定されたゲージ変換のもとで不変である。

静電場、静磁場の

さて、 (12), (13), (23), (24), (25) の方程式系において、全ての物理量が時式

間 t に依存しないとき、

) 30 ( )

1 ( )

(

) 29 ( )

( grad )

(



 x

x

x x

E

e L

L

 















) 33 ( 0

) ( div

) 32 ( )

( )

(

) 31 ( )

( rot )

(















 x A

x i x

A

x A x

B

L

e L

L

 静電場の基本法則

静磁場の基本法則

となり、静電場と静磁場では独立な方程式系が得られる。

相対論における扱

以下のローレンス・ゲージにおける Maxwellい 方程式は、

) 25 1 (

1

) 24 1 (

2 2 2

2 2 2





 







 



 







 





 



 







 



t v

t

v A i

) 34 1 (

2 2

2 A  i 

 







 

 v t

相対論においては、 4 次元ベクトルとしての電磁ポテンシャル および 4 次元電流密度　　　　　　を用いてi 



v,ix,iy,iz





 v, Ax, Ay, Az



 A

と表される。

 v は、電流密度の次元を持つ

さらに、ダランベルシアン□を用いて (34) 式は、

) 35

 ( i

A  

□



 







 



 1₂ ²₂ t

□ v



と表される。

クーロン・ゲ ージ

の条件式を満たす電磁ポテンシャルを用いてマクスウェル方程式を書き換え ると、

 0



 A

となり、第一式が静電場の場合のポアソン方程式の形になっており、クーロ ン・ゲージ (Coulomb gauge) と呼ばれる。

放射ゲージ

自由空間中のように電荷密度、電流密度が共にゼロの場合、式 (28) の右辺がゼ ロとなるように関数 χ₀ を選び、スカラーポテンシャル ϕ をゼロとするよう なゲージを選ぶこともできる。このゲージはローレンス・ゲージであり、かつ 　　　　　　でもあるのでクーロン・ゲージでもあるが、放射ゲージと呼ばれ ており、以下の基本方程式で与えられる。

i A   





 



 

 



 







 









t t²

2

ローレンス・ゲージ以外にも、ベクトルポテンシャルを発散のないように選び、

このように、ゲージ変換を行っても、 E や B の物理量の値に変化がなけれ ま ( ゲージ不変性と呼ぶ ) 、計算の都合のいいように自由にゲージを選ぶこと ができる。

0 0

, 0

2

2   



 







 











A A

A

t □





0



 A

自由空間への電磁波の放射

) 5 ( ) 0

, ( ) 1

, ( div

) 4 ( )

, ( )

, 1 (

) 3 ( )

, 1 (

) , 1 (

) 2 ( )

, ( rot )

, (

) 1 ( )

, ( ) grad

, ) (

, (

2 2 0 2 2

0 2

2 2











 

 



 



 







 





 



 







 





 





t t t c

t t t

c

t t t

c

t t

t t t t

e e

x x A

x i x

A

x x

x A x

B

x x x A

E





 





まず、ローレンス・ゲージにおける基本方程式系は、

次に、自由空間への電磁波の放射の問題を取り扱う。

2 0

0

 

  c



真空中を仮定して、

電荷分布 ρ_e(x, t) と電流分布 i_e(x, t) とが与えられているとき、それらの時 間的変化に伴って発生する電磁波を求める。

そのためには、非斉次項をもつ波動方程式 (3) および (4) を解いて、その特 解を求めなければならない。

としている。

時間に依存した静電ポテンシャ ル

) 7 ) (

( 4

) 1

( ³

0



_ 

 V

e

' x' x'

d x x

x 

 

ま (3) において、左辺第 2 項が無いときは、静電場におけるポアソンの方程式

で与えられていた。

) 6 ( )

1 ( )

(

0

x 

x _e

  



になり、その特解は、

) 8 ( )

, ( 4

) 1 ,

( ³

0



_ 

 

 V

e

' c t '

x' x'

d

t x x

x x x



 

しかし、電荷分布が時間的に変化する時でも、 |x|→∞ の遠方におけるポテン シャルの様子は、だいたい式 (7) と同じであろうと考えられる。ただし、式 (3) の波動方程式で伝わる電磁波は、有限の速度 c で空間内を伝搬していく ので、 x’ 点の電荷分布の変動の影響は、時間 |x - x’|/c だけ遅れて x 点に 到達するはずである。従って、 x 点でのポテンシャル ϕ(x, t) は次式のよう に表される。

　　　　　　ま (7) では、電荷分布 ρ_e(x’) は時間的に変化し ていないから、それによって作られる場所 x における静電ポテンシャル ϕ(x) も時間に依存しない。

教科書の式 (2.34) 参照

遅延ポテンシャ

このような物理的考察から、式 (3) の特解は式ル (8) のように表される。ここで 積分領域 V は、観測点 x および電荷分布の存在する全領域を含む空間領 域を表している。

) 9 ( )

, ( ) 4

,

( ⁰ d³x' 

' c t '

x'

t V



e _

 

 x x

x i x

x

A 



式 (4) に対しても同様に考えることができるので、式 (4) の解として次式が得られる。

式 (8) 或いは式 (9) で表される電磁ポテンシャルは、影響が光速で伝わるこ とによる時間的な遅れを考慮して導かれるというので、遅延ポテンシャルと それに対して、いう。

) 11 ( )

, ( ) 4

,

( ⁰ d³x' 

' c t '

x'

t V



e _

 

 x x

x i x

x

A 



) 10 ( )

, ( 4

) 1 ,

( ³

0



_ 

 

 V

e

' c t '

x' x'

d

t x x

x x x



 

で表される式 (10) 或いは式 (11) の電磁ポテンシャルも、式 (3) および式 (4) の解となる。

式 (8) ～ (11) は、式 (5) のローレンス条件を満足していることも確かめられている。

先進ポテンシャ

式 (10), (11) は、電荷や電流の動きよりも前に、何故かその動きを知っていたル

かのように存在していて、それが周囲から電荷に向かって集まってくる電磁波 であり、言わば

映画を逆回ししたようなイメージである。そのため、先進ポテンシャルと呼ば れている。

先進ポテンシャルの物理的解釈については色々と議論があるが、これは

Maxwell 方程式やそれらから導かれる波動方程式が時間反転に対して共変的

( 即ち、 Maxwell 方程式において、 t’= -t とおいて変換してやっても、全く

同じ方程式系が得られる ) であることに由来するものである。

つまり、電磁波の伝搬においては時間反転が可能であり、映画を逆回しにした ように伝搬する波 ( 位相共役波 ) も波動方程式の解となり、実在する。

位相共役波を発生させるには、縮退四光波混合などの非線形光学の手法を用 いる。位相共役波には、以下のような様々な応用が考えられる。

1. 通信応用

・ 暗号通信 ( 信号波形を解読できないように歪ませて送信し、受信側で元に戻す )

・ 伝搬路の障害物による波面の乱れを補正

2. 軍事応用

・ 対光ビーム兵器に対する防御シールド 3. その他天文学や医療応用　　等々

余談

)

波動の時間反転性と位相共役 波



^{E ej t k z}

 

^{A ej t}



t

E(r, )  Re (r) ^{(  z )}  Re (r) ^



^{j t' k z}

 

^{j t'}



cc t' E e A e

E (r, )  Re ^*(r) ^{(  z )}  Re ^*(r) ^

今、ほぼ +z 方向に伝搬している周波数 、波数成分 k_z の波を、空間座 標 r と時間 t の関数として表すと、

と書かれる。

この式の複素共役 (complex conjugate) をとり、 t’ = -t とした波は、

となる。

このように、波の複素振幅が元の波の複素共役で表される波を位相共役波 (phase conjugate wave) と言い、これもまた電磁波の波動方程式の解となっ ている。

波源

障 害 物

これは、元の波と波面の形が同じであり、伝搬方向がちょうど反対の波であり

、あたかも時間を逆向するかのように振舞う波である。

A(r) A^*(r) A(r)eA^*(r) e^{jtjt’}

Maxwell 方程式の時間反転性に由来

余談

)

四光波混合と位相共役

非線形光学 (nonlinear optics) の技術を用いれば、位相共役波を作り出すことが可能波

・ 四光波混合

非線形光学媒質

3 次非線形感受率  ⁽³⁾

_p

k_pump

ポンプ波 ポンプ波

プローブ波

シグナル波 -k_pump

_s k_p

k_s

_pump

_pump

pump s

p  

   2

 0





 _{s pump pump}

p k k k

k

pump s

p  

   の時、

このとき、プローブ波とシグナル波は位相共役波の関係にある。

エネルギー保存則 波数 ( 運動量 ) 保存則

s

p k

k   縮退四光波混合

つまり、非線形光学媒質を用いれば、プローブ波に対する位相共役波が得られる。

余談

)

位相共役

普通の鏡と位相共役鏡との違い鏡

Q. 位相共役鏡に自分の顔を映せば、どのように見えるか ?

普通の鏡 位相共役鏡

つまり、 k^(r) = -k⁽ⁱ⁾ k⁽ⁱ⁾ k^(r) k⁽ⁱ⁾

k^(r)

k⁽ⁱ⁾_x = k^(r)_x

1. 普通の鏡と同じ 2. 左右反対に映る 3. 上下反対に映る 4. 何も映らない 入射光

反射光

入射光

反射光 z

z = 0( 鏡面 )

z z = 0( 鏡面 )

k⁽ⁱ⁾_y = k^(r)_y k⁽ⁱ⁾_z =- k^(r)_z k⁽ⁱ⁾_x = -k^(r)_x k⁽ⁱ⁾_y = -k^(r)_y k⁽ⁱ⁾_z =- k^(r)_z θ

θ 反射の法則

余談

)

鏡に自分の顔が映るし くみ

普通の鏡の場合

普通の鏡

位相共役鏡の場合

位相共役鏡 ということで、位相共役鏡には、

自分の顔は映らない

敢えて言えば、自分の目だけが、

鏡全体に映る

余談

)

位相共役波の応用例、防御シール ド

?

防御シールド、防御スクリーン、エネルギーシールド、電磁バリヤー、航宙デフレクター

USS エンタープライズ ( スタートレック )

クリンゴン ( 敵 ) の戦艦

非線形光学媒質のガス ポンプ光

位相共役光

ポンプ光の強度を高めていけば、位相共役光を プローブ光よりも強くする、つまり増幅させる ことも可能で、攻撃された光ビームよりもはる かに強い位相共役光を返すことも可能

縮退四光波混合により位相共役波が発生

余談

)

擬似的な位相共役波の作り 方

凹面鏡 平面鏡 平面波

球面波

余談

)

コーナーキューブ・

3 枚の鏡を互いに直角になるように組ミラー

み合わせたもの。入射した光は平面で 反射を繰り返し、元来た方向へ帰る。

コーナーキューブ・リフレクタの応用例 コーナーキューブ・プリズム

電磁波の伝搬においては時間反転が可能

映画を逆回しにしたように伝搬する波

(

電磁波

)

も波動方程式の解 となり、実在する。

そのような波を位相共役波と言い、実際に発生させるには、縮退四 光波混合などの技術を用いる。

ニュートン力学的な運動、或いは熱力学的な運動においては、映画 を逆回しにしたようなシーンは一般的には起こり得ない。

しかし、電磁波においては、映画を逆回しにしたようなシーンは実 際起こりえる。

言いたかったことは、