数　　　　学

解　答　例

（河合塾グループ　株式会社KEIアドバンスが作成しました）

◎前期試験Ａ方式・B方式（平成30年1月31日実施）

数　　　　学

数学②＝工学部（90分・100点）

- 1 -

中部大2018入試 数学解答例 1月31日 数学②(37) [Ⅰ]

⑴ (a) 6の倍数は偶数であることは明らかである. 一方，2は偶数であるが6の倍数 ではない.よって，

自然数nが6で割り切れることはnが偶数であるための 2 …(ｱ) (b) 2は偶数であるが8の倍数ではない. 一方，8の倍数は偶数であることは

明らかである.よって，

自然数nが偶数であることは8で割り切れるための 1 …(ｲ) (c) 2でも3でも割り切れることは6の倍数であることと同値である.

したがって，

自然数nが2でも3でも割り切れることは6で割り切れるための 4 …(ｳ) (d) 6は2でも3でも割り切れるが8の倍数ではない. また，8は8の倍数だが

3で割り切れない. よって，

自然数nが2でも3でも割り切れることは8で割り切れるための 3 …(ｴ)

⑵ y = x³－2x, y´= 3x²－2より，x = tの点における接線の方程式は

3 2

( 2 ) (3 2)( )

y t− − t = t − x t− より y=(³t²−²)x−²t³ y = x² +3x + a, y´= 2x + 3より，x = tの点における接線の方程式は y t−(²+ +3t a) (2 3)(= t+ x t− ) より y=(2 3t+ )x t− +² a

これら2直線が一致するから，

3t²− = +2 2 3,t −2t³= − + ⇔t² a 3t²− − =2 5 0t …①, a= −2t t³+ ²…② ①より

( 1)(3 5) 0t+ t− = ∴ = −t 1, 5 3 したがって，②より，aの値は

3

a= または 1 7 5

a= − 2 7 ^…(ｵ),(ｶ),(ｷ),(ｸ),(ｹ),(ｺ)

⑶ △BCDの重心をG，BDの中点をMとおくと，

3 3

AM= , MG

2 = 6 より

2 2

3 3 6

AG 2 6 3

   

=   −  =

   

- 1 -

中部大2018入試 数学解答例 1月31日 数学②(37) [Ⅰ]

⑴ (a) 6の倍数は偶数であることは明らかである. 一方，2は偶数であるが6の倍数 ではない.よって，

自然数nが6で割り切れることはnが偶数であるための 2 …(ｱ) (b) 2は偶数であるが8の倍数ではない. 一方，8の倍数は偶数であることは

明らかである.よって，

自然数nが偶数であることは8で割り切れるための 1 …(ｲ) (c) 2でも3でも割り切れることは6の倍数であることと同値である.

したがって，

自然数nが2でも3でも割り切れることは6で割り切れるための 4 …(ｳ) (d) 6は2でも3でも割り切れるが8の倍数ではない. また，8は8の倍数だが

3で割り切れない. よって，

自然数nが2でも3でも割り切れることは8で割り切れるための 3 …(ｴ)

⑵ y = x³－2x, y´= 3x²－2より，x = tの点における接線の方程式は

3 2

( 2 ) (3 2)( )

y t− − t = t − x t− より y=(³t²−²)x−²t³ y = x² +3x + a, y´= 2x + 3より，x = tの点における接線の方程式は y t−(²+ +3t a) (2 3)(= t+ x t− ) より y=(2 3t+ )x t− +² a

これら2直線が一致するから，

3t²− = +2 2 3,t −2t³= − + ⇔t² a 3t²− − =2 5 0t …①, a= −2t t³+ ²…② ①より

( 1)(3 5) 0t+ t− = ∴ = −t 1, 5 3 したがって，②より，aの値は

a= 3 または 1 7 5

a= − 2 7 ^…(ｵ),(ｶ),(ｷ),(ｸ),(ｹ),(ｺ)

⑶ △BCDの重心をG，BDの中点をMとおくと，

3 3

AM= , MG

2 = 6 より

2 2

3 3 6

AG 2 6 3

   

=   −  =

- 2 - したがって，四面体ABCDの体積をVとおくと，

1 1 3 6 2

3 2 2 3 12

V= ⋅ ⋅ ⋅ =

内接球O1の半径をr1とおくと，

1

1 1 3 2

4⋅ ⋅ ⋅3 2 2 ⋅ =r 12 ∴ ₁ 6 r=12 よって

1

6 6 6

O A= 3 −12 = 4 ^…(ｻ)，(ｼ)

線分AGと内接球の交点をNとおくと AN 6 2 6 6 1AG

3 12 6 2

= − ⋅ = =

よって，内接球O2の半径をr2とおくと

₂ 1 6 6 2 12 2 4

r = ⋅ = ^…(ｽ)，(ｾ)，(ｿ)

⑷ logx = tとおくと 1 dt

x dx= より dx dt x = 求める定積分をIとおくと

₂³ [ ]³

2

log log 3 2

I dt t

=∫ t = = ^…(ﾀ)，(ﾁ)

[Ⅱ]

⑴ f( )β =f( ) 0γ = であるから，

f x( ) (=a x− β)(x− γ)（aは0でない実数）

とおける. さらに，f( )α =1であるから，

1= α − β α − γa( )( ) より

(α − β α − γ)¹( ) したがって，

( ) ( )( )

( )( )

x x

f x − β − γ

= α − β α − γ

⑵ ⑴と同様にして，

- 3 -    ( )

( )( )

x x

x    

      

g ,    ( )

( )( )

x x

h x    

      

⑶ k (x)を

k x( )Af x( )B x Ch xg( ) ( )

とおくと，k (x)は2次以下の整式であり，⑴，⑵の条件から k( ) A k, ( ) B, ( )k C

が成り立つ.

[Ⅲ]

⑴ OP' 1₂OP OP' 1₂ OP

OP OP

 

   

 より 

OP' 1

 OP



⑵ ⑴より

OP OP OP'² 1₂OP'

 OP'

   

 であるから

( , )x y ₂1 ₂( , )X Y X Y

 

よって，

x ₂X ₂,y ₂Y ₂

X Y X Y

 

 

⑶ ax + by =1 のとき ₂aX _{2 2}bY ₂ 1

X Y X Y 

 

整理して

X²Y²aX bY 0 より

2 2 2 2

2 2 4

a b a b

X Y 

      

   

   

xy ≠0よりXY≠0であるから，点P^{'の軌跡は} 点 ,

2 2 a b

 

 

 を中心とする半径

2 2

2 a b

の円 である. ただし，点(0, 0), 点(a, 0), 点(0, b)は除く.

- 3 -    ( )

( )( )

x x

x    

      

g ,    ( )

( )( )

x x

h x    

      

⑶ k (x)を

k x( )Af x( )B x Ch xg( ) ( )

とおくと，k (x)は2次以下の整式であり，⑴，⑵の条件から k( ) A k, ( ) B, ( )k C

が成り立つ.

[Ⅲ]

⑴ OP' 1₂OP OP' 1₂ OP

OP OP

 

   

 より 

OP' 1

 OP



⑵ ⑴より

OP OP OP'² 1₂OP'

 OP'

   

 であるから

( , )x y ₂1 ₂( , )X Y X Y

 

よって，

x ₂X ₂,y ₂Y ₂

X Y X Y

 

 

⑶ ax + by =1 のとき ₂aX _{2 2}bY ₂ 1

X Y X Y 

 

整理して

X²Y²aX bY 0 より

2 2 2 2

2 2 4

a b a b

X Y 

      

   

   

xy ≠0よりXY≠0であるから，点P^'の軌跡は 点 ,

2 2 a b

 

 

 を中心とする半径

2 2

2 a b

の円 である. ただし，点(0, 0), 点(a, 0), 点(0, b)は除く.

- 4 - [Ⅳ]

⑴ z₂，z₃について

3 2 3 1 3 1

2 2

z −z = + + − i であるから，

2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2

2 2 2 2

l = + + − i + − − i= よりl=

⑵ z z z₁, ,_{2 3}について

1 2

3 2

3 1 ( 3 1) 2 3 1 ( 3 1)

z z i

z z i

− − + +

− = ⋅ + + −

{ }{ }

2 2

3 1 ( 3 1) 3 1 ( 3 1)

2 ( 3 1) ( 3 1)

i i

− + + + − −

= ⋅ + + −

2 1 3 2 2 i

 

=  + 

2 cos sin

3 i 3

π π

 

=  + 

よって，

tan ₁ 3, ₁ , 2 3 k

θ = θ =^π =

⑶ ⑵より

△ABC 1 2 2 2 3 3

2 2

= ⋅ ⋅ ⋅ =

⑷ z₄−z₂= −a 1(a>1)　であるから，

2

3 12 3 1

tan 2 3

3 1 3 1

2 θ

− −

= = = −

+ +

このとき，

2 2

2(2 3) 2 3 1

tan 2

1 (2 3) 2 3 3 3

θ = ⁻ = ⁻ =

− − −

となり，

2 2

2θ =6^π ∴ =θ 12^π

- 4 - [Ⅳ]

⑴ z₂，z₃について

3 2 3 1 3 1

2 2

z z + − i

− = +

であるから，

2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2

2 2 2 2

l = + + − i + − − i= よりl=

⑵ z z z₁, ,_{2 3}について

1 2

3 2

3 1 ( 3 1) 2 3 1 ( 3 1)

z z i

z z i

− = ⋅ − + +

− + + −

{ }{ }

2 2

3 1 ( 3 1) 3 1 ( 3 1)

2 ( 3 1) ( 3 1)

i i

− + + + − −

= ⋅ + + −

2 1 3 2 2 i

 

=  + 

2 cos sin

3 i 3

π π

 

=  + 

 

よって，

tan ₁ 3, ₁ , 2 3 k

θ = θ =^π =

⑶ ⑵より

△ABC 1 2 2 2 3 3

2 2

= ⋅ ⋅ ⋅ =

⑷ z₄−z₂= −a 1(a>1)　であるから，

2

3 12 3 1

tan 2 3

3 1 3 1

2 θ

−

= = − = −

+ +

このとき，

2 2

2(2 3) 2 3 1

tan 2

1 (2 3) 2 3 3 3

θ = ⁻ = ⁻ =

− − −

となり，

2 2

2θ =6^π ∴ =θ 12^π

数学①＝経営情報学部中部大学解答例 2018.01.31（38（90分・100点）数学）

Ⅰ

(1) 1 (1 2)₂ 3₂ 1 2 3 2 2 6 1 2 6

4 2 4

1 2 3 (1 2) ( 3) 2 2

+ − + − + − −

= = = = +

+ + + −

… (ｱ)，(ｲ)，(ｳ) (2) 最大公約数が6であるからa=6 ,a b′ =6b′（a b′, ′ は互いに素な正の整数でa b′< ′ ）

とおけて，最小公倍数が144であるから，6a b′ ′ =144よりa b′ ′ =24である．

よって( , ) (1, 24), (3, 8)a b′ ′ = であるから，

( , )a b の組は 2 組 … (ｴ) ある．その積は

6 144 8 6 4

ab= × = … (ｵ)，(ｶ)，(ｷ) (3) yを消去したx^の2次方程式 2x²+mx m− + =1 0が正の重解をもつので，

判別式をDとすると

2 8( 1) 0

D m= − − + =m かつ 0

4 x= −m>

よって，m= − 2 6 − 4 … ₍ｸ₎，(ｹ₎，(ｺ₎，(ｻ₎ (4) ABC : APQ AB AC : AP AQ∆ ∆ = ⋅ ⋅ であるから，2 :1 6 7 : AP AQ= ⋅ ⋅

よって，AP AQ⋅ = 2 1 … (ｼ)，(ｽ) 三角形ABCに余弦定理を用いるとcos 7² 6 8^{2 2} 1

2 7 6 4 A= + − =

⋅ ⋅ であるから，

三角形APQに余弦定理を用いると

2 2 2 2 2 21

PQ AP +AQ 2AP AQcos AP +AQ A 2

= − ⋅ = −

となる．よってPQ² (AP AQ)² 2AP AQ 21 (AP AQ)² 63

2 2

= − + ⋅ − = − + と変形できる．

したがってPQ² 63

≥2 であり，等号はAP AQ= = 21のとき成り立つので，

線分PQの長さの最小値は

63 3 1 4

2 = 2 … ₍ｾ₎，(ｿ₎，(ﾀ₎，(ﾁ₎ (5) x 本買うとどちらの店でも同じ値段になるとすると，95x=100 10 90(× + x−10)より

x= 2 0 … ₍ﾂ₎，(ﾃ₎ y 本買うとB店の方が100円安くなるとすると，95y−100 100 10 90(= × + y−10)より

y= 4 0 …₍ﾄ₎，(ﾅ)

中部大学解答例 2018.01.31（38数学）

Ⅰ

(1) 1 (1 2)₂ 3₂ 1 2 3 2 2 6 1 2 6

4 2 4

1 2 3 (1 2) ( 3) 2 2

+ − + − + − −

= = = = +

+ + + −

… (ｱ)，(ｲ)，(ｳ) (2) 最大公約数が6であるからa=6 ,a b′ =6b′（a b′, ′ は互いに素な正の整数でa b′< ′ ）

とおけて，最小公倍数が144であるから，6a b′ ′ =144よりa b′ ′ =24である．

よって( , ) (1, 24), (3, 8)a b′ ′ = であるから，

( , )a b の組は 2 組 … (ｴ) ある．その積は

6 144 8 6 4

ab= × = … (ｵ)，(ｶ)，(ｷ) (3) yを消去したx^の2次方程式 2x²+mx m− + =1 0が正の重解をもつので，

判別式をDとすると

2 8( 1) 0

D m= − − + =m かつ 0

4 x= −m>

よって，m= − 2 6 − 4 … ₍ｸ₎，(ｹ₎，(ｺ₎，(ｻ₎ (4) ABC : APQ AB AC : AP AQ∆ ∆ = ⋅ ⋅ であるから，2 :1 6 7 : AP AQ= ⋅ ⋅

よって，AP AQ⋅ = 2 1 … (ｼ)，(ｽ) 三角形ABCに余弦定理を用いると

2 2 2

7 6 8 1

cosA= 2 7 6+ − =4

⋅ ⋅ であるから，

三角形APQに余弦定理を用いると

2 2 2 2 2 21

PQ AP +AQ 2AP AQcos AP +AQ A 2

= − ⋅ = −

となる．よってPQ² (AP AQ)² 2AP AQ 21 (AP AQ)² 63

2 2

= − + ⋅ − = − + と変形できる．

したがってPQ² 63

≥2 であり，等号はAP AQ= = 21のとき成り立つので，

線分PQの長さの最小値は

63 3 1 4

2 = 2 … ₍ｾ₎，(ｿ₎，(ﾀ₎，(ﾁ₎ (5) x 本買うとどちらの店でも同じ値段になるとすると，95x=100 10 90(× + x−10)より

x= 2 0 … ₍ﾂ₎，(ﾃ₎ y 本買うとB店の方が100円安くなるとすると，95y−100 100 10 90(= × + y−10)より

y= 4 0 …₍ﾄ₎，(ﾅ)

Ⅱ

(1) ¹( ) ¹(2 ³) ⁷ 1.75

2 2 2 4

a A

+a = + = =

(2) ¹( ) 1 ( )²

2 2

a A A a A

a a

+ − = − であるから，

{ ( ) }^{2 2}{ } ²

2 2 2

2 2

1 ( ) ( )

( ) 4 ( ) ( )(3 )

2 4 4

A a A a A

a A a A a a A a A a A

a a a

− −

− − + − = − − = + −

である． 3A a< よりa>0, 3a− A>0であるから( )² { (¹ ) }² 0 2

a A a A A

− − +a − ≥ となり，

{ ( ) }²

2 1

( )

2

a A a A A

− ≥ +a − である．よって a A ¹₂(a ^A) A

− ≥ +a − となり，

( )

1 2

a A

+a はa^よりも Aに近いか，または等しい．

(2) 別解

1 1 2

, ( )

2 2

P a A q a A A a A

a a

 

= − =  + − = − ^とおく.

（ⅰ） A a= のとき，P = q = 0

（ⅱ） A a≠ ^のとき，

2 q a A

P a

= −

0 3

3A a< より < A< a であるから，− < −2a a A a< となり a− A<2aである. よってq 1 q P

P> ⇔ > である. （ⅰ）（ⅱ）より，¹( )

2 a A

+a はa^よりも Aに近いか，または等しい．