Hahn-Banach
の定理と選択公理
alg-d
http://alg-d.com/math/ac/
2013
年
10
月
27
日
解析学において，選択公理が欠かせない定理として有名なのがHahn-Banachの定理で ある． 定義. 関数f, g と集合Sに対して f =S g⇐⇒ S ⊂ dom(f), dom(g)かつx ∈ Sに対してf (x) = g(x) f ≤S g⇐⇒ S ⊂ dom(f), dom(g)かつx ∈ Sに対してf (x)≤ g(x) Hahn-Banachの定理. V を実線型空間，W ⊂ V を部分空間として，p : V −→ Rを劣 線型汎関数とする．f : W −→ Rを線型汎関数とし，f ≤W pを満たすとする．このとき Z(p, f ) :={g : V −→ R | g =W f, g≤V p} ̸= ∅である． 証明はZornによるが，実は選択公理より真に弱い超フィルター定理(集合X 上の任意 のフィルターは超フィルターに拡張できる) があれば証明できることが知られている．こ の証明は，超積を使えば次のように簡単にできる． 定理 1. 超フィルター定理=⇒ Hahn-Banachの定理 証明. A := {g : V −→ R: 部分線型汎関数 | W ⊂ dom(g), g =W f, g ≤dom(g) p} と する．任意のx ∈ V に対してAx := {g ∈ A | x ∈ dom(g)} ̸= ∅である．また有限個の x0, . . . , xn ∈ V に対してAx0 ∩ · · · ∩ Axn ̸= ∅が成り立つ．故に超フィルター定理によ り，{Ax | x ∈ X} ⊂ P(A)を含むA上の超フィルターU が存在する．∗R := RA/U とす る．φ : V −→∗Rをx ∈ V に対してφ(x) := [{g(x)}g∈A]で定める．φは明らかに線型で，次の二条件を満たす: (i) φ =W f (ii) φ≤V p．(ii)よりx ∈ V に対してφ(x)は有
限である．よってψ(x) := st(φ(x))∈ Z(p, f)が定義できる．
[1] によれば「一般のBanach空間B においてB∗ が十分豊富に元を持つ事は Hahn-1
Banachの定理によって保証されている」のであるが，ではもしHahn-Banachが成り立 たなければB∗ が豊富に元を持たないようなBanach空間B が存在するのであろうか． 実は以下のことが知られている． 実Banach空間ℓ∞ := {{xn}∞n=0 ∈ RN sup n∈N|xn| < ∞ } と閉部分空間c0 = { {xn} ∈ ℓ∞ lim n→∞xn = 0 } ⊂ ℓ∞から商Banach空間ℓ∞/c 0 が得られる．このとき 命題. (ℓ∞/c0)∗ ̸= 0 =⇒ Baireの性質を持たない部分集合A⊂ Rが存在する． 実は次の定理が成り立つ．[2] 定理 2. ZFが無矛盾ならば ZF+「任意の A ⊂ RがBaire の性質を持つ」も無矛盾で ある． 故に，ZFで(ℓ∞/c0)∗ ̸= 0を証明することはできないのである．
参考文献
[1] 黒田 成俊，関数解析，共立出版，1980[2] H. Judah and S. Shelah, BAIRE PROPERTY AND AXIOM OF CHOICE, Israel J. Math. 84 (1993), 435–450
[3] E. Schechter, Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, 1997
