1
データの代表値：平均
ヒストグラムは，視覚に訴えるもので
データの分布がよく分かるが，客観
性に欠ける．数値情報で補完する必
要がある．
成績データの場合
2
階級
度数
相対度数 累積度数
累積相対
度数
0未満
0
0
0
0
0以上
10未満
1
0.05
1
0.05
10以上
20未満
2
0.10
3
0.15
20以上
30未満
4
0.20
7
0.35
30以上
40未満
6
0.30
13
0.65
40以上
50未満
3
0.15
16
0.80
50以上
60未満
2
0.10
18
0.90
60以上
70未満
1
0.05
19
0.95
70以上
80未満
0
0.00
19
0.95
80以上
90未満
0
0.00
19
0.95
90以上
100未満
1
0.05
20
1.00
合計
20
1.00
-
-0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0 ～10 10 ～20 20 ～30 30 ～40 40 ～50 50 ～60 60 ～70 70 ～80 80 ～90 90 ～100図３－２ 得点の相対度数
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 20 40 60 80 100図3-3 得点の累積相対度数
世帯収入データの場合
3
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500世帯収入分布
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400世帯収入累積分布
4
１ 代表値
——平均
一般にデータは，バラツキを持っている．
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
データの分布の中心的な位置を示す値．
データを代表する値．
5
様々な代表値
平均（算術平均値，mean）：平等に配分し
たときの取り分．
山分け
メディアン（中央値，median）：一列に並べ
替えたとき，ちょうど真ん中に来る値．
勝率
五割の値
モード（最頻値， mode）：ヒストグラムで最
も高い級の代表値．
仲間が多い値
幾何平均値：成長率に用いられる．
平均的な人間は幸せか？
同じ意見の仲間が多い。
自分の利害と政策とが一致しやすい。
社会のニーズを汲み取ることができ
る。
驕らず、僻まずの姿勢を保てる。
洋服や靴、住居など、選択肢が広くな
る。
6
7
平均値（算術平均値）
データを
12,15,18,11,23
とするとき，平均値は，
15.8
1
5
(12
15
18
11
23)
15.8
5
(12
15
18
11
23)
79
平均値にデータ数を掛けると、合計が求ま
る。
8
平均値（算術平均値）
データを
n
x
x
x
x
x
1
,
2
,
3
,
4
,
,
とするとき，平均値は，
n
i
i
n
x
n
x
x
x
x
x
n
x
1
4
3
2
1
1
)
(
1
n
i
i
n
x
x
x
x
x
x
x
n
1
4
3
2
1
)
(
9
例題 1.1
次のデータはある企業に所属する8人全員の年間
所得（単位万円）である．この平均値を求め，そ
の平均値がデータの代表値として適当であるか
議論せよ．
330, 280, 230, 240, 390, 290, 340, 1580
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
460
8
1580
340
290
390
240
230
280
330
10
例題 1.1（続き）
8人全員の平均
7人の平均
460
8
1580
340
290
390
240
230
280
330
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
300
7
340
290
390
240
230
280
330
11
平均値を用いる際の注意
他のデータ集団から飛び離れた極端な値（外れ
値）があるときは注意が必要．
外れ値は，異質なデータが混ざっているか，ある
いは転記・記入ミスが疑われる．
はっきり原因が分からない場合は，外れ値を含
むときの平均値と，含まないときの平均値を併記
するとよい．
異質なグループのデータが混ざっているときは，
データを分類するとよい．
12
異質なグループの例
男女の身長データ．
男女の賃金データ．
正社員とパートタイマーの賃金データ．
管理職と非管理職の賃金データ．
キャリア官僚とノンキャリア官僚の賃金
データ
13
男性と女性の身長
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-144
150
-154
160
-164
170
-174
180
-185
男性
女性
全体
男性１００名の平均身長
は，172.4cm
女性25名の平均身長
は，160.5cm
男女を分けずに求めた平
均身長は，170.05cm
男女分けずに求めた身長
にどのような意味がある
のだろうか？
もしも，全体の分布が２山
になっていたら，警戒せ
よ．
14
度数分布表からの平均値の計算
級
時計の数
人数
時計の数×人数
1
0
30
2
１
10
3
２
8
4
３
２
合計
50
０×30=0
1×10=10
2×8=16
３×2=6
32
時計の数の平均は、32÷５0＝0.６４ 個であ
る。
15
度数分布表からの平均値の計算
階級
人数
級の平均
級の合計
Ⅰ
20
15
Ⅱ
40
35
Ⅲ
25
48
Ⅳ
15
80
合計
41
100
4100
平均
100
20×15=300
40×35=1400
25×48=1200
15×80=1200
4100
16
度数分布表からの平均値の計算
階級
人数
級の平均
級の合計
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
合計
n
1
x
1
n
2
x
2
n
3
x
3
n
4
x
4
n
n
1
n
2
n
3
n
4
n
x
1
x
2
x
3
x
4
n
1
x
1
n
2
x
2
n
3
x
3
n
4
x
4
n
i
x
i
i
1
4
世帯の平均年収は、640万円
階級下限階級上限
階級値
（世帯数）
階級の小計
114
200
157
239
37,523
200
250
225
368
82,800
250
300
275
537
147,675
300
350
323
792
255,816
350
400
373
880
328,240
400
450
423
811
343,053
450
500
473
707
334,411
500
550
522
700
365,400
550
600
572
531
303,732
600
650
621
606
376,326
650
700
673
492
331,116
700
750
720
463
333,360
750
800
772
387
298,764
800
900
842
651
548,142
900
1000
945
520
491,400
1000
1250
1,104
700
772,800
1250
1500
1,359
282
383,238
1500
2470
1,985
334
662,990
合計
10,000
6,396,786
17
239世帯の合
計所得
368世帯の合
計所得
10000世帯の
平均所得=
6396786÷10
000
18
平均値の性質(1)
平均値に標本数を掛けると合計が求まる．
n
x
n
x
x
x
x
x
n
i
i
n
1
2
3
1
n
i
i
n
x
x
x
x
x
x
n
1
3
2
1
19
平均値の性質(2)
を平均からの偏差と呼ぶことにする．すると，偏差の和は０
である．
x
x
i
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
i
i
x
n
x
x
x
x
n
(
1
2
3
)
0
n
x
n
x
20
平均値の性質(3)
n
i
i
n
i
i
n
i
i
a
n
a
x
a
x
x
1
2
1
2
2
1
2
)
(
2
1
)
(
n
i
i
a
x
a
x
のとき最小になる．
n
x
x
n
x
a
n
n
i
i
n
i
i
n
i
i
2
1
1
2
2
1
は
21
平均値の性質(4)
の平均は
x
c
である．
c
x
c
x
c
x
c
x
1
,
2
,
3
,
,
n
n
c
x
c
x
c
x
c
x
)
(
)
(
)
(
n
)
(
1
2
3
n
c
n
x
x
x
x
n
1
2
3
22
平均値の性質(5)
の平均は
c
x
である．
n
x
c
x
c
x
c
x
c
1
,
2
,
3
,
,
n
x
c
x
c
x
c
x
c
1
2
3
n
n
x
x
x
x
c
(
1
2
3
n
)
23
平均値の性質(4,5)より
の平均は
a
x
b
である．
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
1
,
2
,
3
,
,
n
n
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
)
(
)
(
)
(
n
)
(
1
2
3
n
nb
x
x
x
x
a
n
(
1
2
3
)
24
平均の性質（６）
平均値は極端な値の影響を受けやすい．
この事実は，すぐ後で紹介する他の代表
値と比較することにより明らかになる．
最もなじみ深い算術平均値だが，何を示す
かについては，必ずしも明瞭ではない．
25
メディアン（中央値）
データ
n
x
x
x
x
x
1
,
2
,
3
,
4
,
,
を昇順に並べ替えて，
)
(
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
,
x
,
x
,
x
,
,
x
n
x
とするとき，ちょうど真ん中に位置する値を
メディアンと呼ぶ．
26
メディアンの求め方（n:奇数）
データ数が奇数(7)のとき，
)
7
(
)
6
(
)
5
(
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
,
x
,
x
,
x
,
x
,
x
,
x
x
データ数が奇数(n=2m+1)のとき，
)
1
2
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
,
,
x
m
,
x
m
,
x
m
,
x
m
,
,
x
m
x
)
4
(
x
)
1
(
m
x
27
メディアンの求め方（n:偶数）
データ数が偶数(6)のとき，
)
6
(
)
5
(
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
,
x
,
x
,
x
,
x
,
x
x
データ数が偶数(n=2m)のとき，
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
,
,
x
m
,
x
m
,
x
m
,
x
m
,
,
x
m
x
2
)
4
(
)
3
(
x
x
2
)
1
(
)
(
m
x
m
x
28
例題 1.1(続き）
次のデータのメディアンを求めよ．
330, 280, 230, 240, 390, 290, 340, 1580
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
昇順に並べ替えると，
230, 240, 280, 290, 330, 340, 390, 1580
310
2
330
290
1580に無関係：20000でも
360 でも変化なし．
世帯所得のメディアンを求める
ー累積グラフを用いるー
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 200 400 600 800 10001200140016001800200022002400世帯収入累積分布
メディアンは
下から（上か
ら）50%の世
帯の所得だか
ら、
ほぼ、540万
円位である。
四分位数の大体の値
（グラフを利用すると）
30
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400世帯収入累積分布
%
25
第１四分位数
%
75
第3四分位数
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500
世帯収入分布
31
モード（最頻値:mode）
度数分布表で最も度数の多い級の代表値を言う．
級の幅が一定でないときには，修正が必要．
下の図では， 350〜400万円の級の度数が最大である
ので，その代表値373万円がモードとなる
32
４．平均値・メディアン・モードの関係１
平均
640万円
モード
373万
円
メディアン
548万円
分布が右に
歪んでいる
とき．
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500世帯収入分布
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -0.13 ～ -0.12 -0.12 ～ -0.11 -0.11 ～ -0.1 -0.1 ～ -0.09 -0.09 ～ -0.08 -0.08 ～ -0.07 -0.07 ～ -0.06 -0.06 ～ -0.05 -0.05 ～ -0.04 -0.04 ～ -0.03 -0.03 ～ -0.02 -0.02 ～ -0.01 -0.01 ～ 0 0 ～ 0.01 0.01 ～ 0.02 0.02 ～ 0.03 0.03 ～ 0.04 0.04 ～ 0.05 0.05 ～ 0.06 0.06 ～ 0.07 0.07 ～ 0.08 0.08 ～ 0.09 0.09 ～ 0.1 0.1 ～ 0.11 0.11 ～ 0.12 0.12 ～ 0.13 0.13 ～ 0.14 0.14 ～ 0.15 0.15 ～ 0.16
トヨタ株価収益率
33
４．平均値・メディアン・モードの関係２
平均
0.00108
メディアン
0.00203
モード
0.005
なぜ平均値が使われるか？
平均は、メディアンやモードと比べ、
具体的な意味を持たない。
（平均）×（データ数）＝（合計）とい
う関係は利用価値があった。
分布が左右対称で釣鐘型の分布の場
合、平均が用いられる。
平均をとると、平均の分布がきれいな
形になるから（確率法則）
34
コインを投げて表なら１、裏
なら０とする
１回ごとに、０か１を記録して、グラ
フを作ると、
35
0 50 100 150 200 250 300 0 1コインを投げて表なら１、裏
なら０とする
５回投げては平均をとり、データを集
めて、グラフを作ると、
36
0 50 100 150 200 250 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1コインを投げて表なら１、裏
なら０とする
10回投げては平均をとり、データを集
めて、グラフを作ると、
37
0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1コインを投げて表なら１、裏
なら０とする
20回投げては平均をとり、データを集
めて、グラフを作ると、
38
0 20 40 60 80 100 120 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1移動平均とは
表4-3 日経平均株価の移動平均
日経平均 ３か月移動平 均 ５か月移動平均 1997年1月18330
1997年2月18557
18296.7
1997年3月18003
18570.3
18822.0
1997年4月19151
19074.3
19277.0
1997年5月20069
19941.7
19631.8
1997年6月20605
20335.0
19677.0
1997年7月20331
19721.7
19424.4
1997年8月18229
18816.0
18702.4
1997年9月17888
17525.3
17908.6
1997年10月16459
16994.3
16894.2
1997年11月16636
16118.0
16574.0
1997年12月15259
16174.3
16362.8
2006年6月15505
15476.3
15895.2
2006年7月15457
15701.0
15739.6
2006年8月16141
15908.7
15926.0
2006年9月16128
16222.7
16079.8
2006年10月16399
16267.0
16433.6
2006年11月16274
16633.0
2006年12月17226
表2-1より作成39
10000 15000 20000 25000 97.1 97.7 98.1 98.7 日経平均（円） 年．月図4-2 日経平均株価の移動平均のグラフ
原データ ３か月移動平 均40
度数分布表からの平均値の計算
級
時計の数
人数
時計の数×人数
1
0
30
2
１
10
3
２
8
4
３
２
合計
時計の数の平均は、
個であ
る。
41
度数分布表からの平均値の計算
階級
人数
級の平均
級の合計
Ⅰ
20
15
Ⅱ
40
35
Ⅲ
25
48
Ⅳ
15
80
合計
平均
42
度数分布表からの平均値の計算
階級
人数
級の平均
級の合計
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
合計
n
1
n
2
n
3
n
4
x
1
x
2
x
3
x
4
世帯の平均年収は、
万円
階級下限階級上限
階級値
（世帯数）
階級の小計
114
200
157
239
37,523
200
250
225
368
82,800
250
300
275
537
147,675
300
350
323
792
255,816
350
400
373
880
328,240
400
450
423
811
343,053
450
500
473
707
334,411
500
550
522
700
365,400
550
600
572
531
303,732
600
650
621
606
376,326
650
700
673
492
331,116
700
750
720
463
333,360
750
800
772
387
298,764
800
900
842
651
548,142
900
1000
945
520
491,400
1000
1250
1,104
700
772,800
1250
1500
1,359
282
383,238
1500
2470
1,985
334
662,990
合計
10,000
6,396,786
43
世帯所得のメディアンや、四分位数
を求める
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400世帯収入累積分布
復習：
メディアン・モード・平均値
１．下の表を完成させる
階級 階級の範囲
代表値
度数（人数）
相対度数
累積相対度数
Ⅰ
0-200
120
15
Ⅱ
200-400
320
30
Ⅲ
400-600
560
25
Ⅳ
600-800
700
16
Ⅴ
800-1000
900
10
Ⅵ
1000-1200
1100
4
合計
45
復習：
メディアン・モード・平均値
１．下の表を完成させる
階級 階級の範囲
代表値
度数（人数）
相対度数
累積相対度数
Ⅰ
0-200
120
15
0.15
0.15
Ⅱ
200-400
320
30
0.30
0.45
Ⅲ
400-600
560
25
0.25
0.70
Ⅳ
600-800
700
16
0.16
0.86
Ⅴ
800-1000
900
10
0.10
0.96
Ⅵ
1000-1200
1100
4
0.04
1.00
合計
100
1.00
46
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0-200 200-400 400-600 600-800 800-1000 1000-1200 0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0-200 200-400 400-600 600-800 800-1000 1000-1200
復習
２．相対度数グラフを描く
47
モード
320万円
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 200 400 600 800 1000 1200
