物性物理学I_2.pptx

3．格子振動

（フォノン phonon)

0) 原子の動力学の一般論

・原子の平衡位置の近傍における運動を考える

断熱近似（Born-Oppenheimer近似）

原子の位置を固定して電子状態を計算する

・原子は電子に比べてゆっくり運動すると仮定する

・電子が決める性質と原子の運動が決める性質に大別

◎ 調和振動子モデル 

U

(

r



_nαi

+ u

_nαi

)

= U r

( )

_nαi

+

1

2

∂

2

_U

∂r

_nαi

∂r

_mβj m

∑

βj nαi

∑

u



_nαi

u



_mβj

+

原子のポテンシャル  を平衡位置      近傍で展開 

_∂r

∂U

nαi

= 0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

調和項 非調和項

U

k

_n(2)_αi,mβj

:=

∂

2

U

∂r

_nαi

∂r

_mβj

> 0

結合係数

 セルの  原子が  方向に   だけ変位する時、 

 セルの  原子の 方向にはたらく働く力は 

α

m

i j

β

n

−k

_n(2)_αi,mβj



u

_mβj (バネ定数)



u

_mβj

調和振動子近似の復習 U x

( )

=U x

( )

₀ + x − x

(

₀

)

U x′

( )

₀ + 1 2!

(

x− x0

)

2 _{′ ′} U x

( )

₀ +1 n!

(

x− x0

)

n U(n )

( )

x₀ + 極（小）値近傍で Taylor展開すると x U x

( )

x₀ U x

( )

 U x

( )

0 + 1 2!

(

x− x0

)

2 ′′ U x

( )

0 E = 1 2m˙ x 2 _{+U x} 0

( )

+ 1 2!

(

x− x0

)

2 _{′ ′} U x

( )

₀ ′ E = E −U x

( )

₀ = 1 2m d dt

(

x− x0

)

⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 2 + 1 2!

(

x− x0

)

2 ′′ U

( )

x₀ ポテンシャル中の質点の運動 ′ U x

( )

₀ = 0

(

 ′ U x

( )

0 = 0

)

極値近傍の振る舞い 調和振動子型ポテンシャル フックの法則=線形近似 F = −∇U = − x − x

(

₀

)

U′′

( )

x₀  r_nα =t_n + r_α  t_n = n₁a+ n₂b+ n₃c  u_nαi n

( )

≤ N O ◎ 原子の位置・変位ベクトル ′ n −1 n′ n′+1 n−1 ′′ n −1 n n+1 ′′ n n′′+1 ◎ 他の原子からの寄与

k

_n(2)_αi,mβj

:=

∂

2

U

∂r

_nαi

∂r

_mβj

> 0

 u_nαi  u_n′′βi  u_{n′′β ′′j}  u_{n′β ′j}  r_α

′

N

′

N

個

◎ 原子の運動方程式

M

_α

d

2

_u



nαi

dt

2

+

k

nαi,mβj (2) m

∑

βj



u

_mβj

=

0





u

_nαi

=

1

M

_α



u

_αi

( )

q



e

iq⋅rn−iωt

+ c.c.

平面波解 (格子点上) F変換!

−ω

2

u



_nαi

+

1

M

_α

M

_β

k

nαi,mβj (2) m

∑

e

iq⋅rm−iq⋅rn

u



mβj βj

∑

=

0



k

_n(2)_αi,mβj

= k

₀(2)_{αi, m( −n)βj} 並進対称性!

∴ −

ω

2



u

_αi

+

D

_α(2)_i,βj

u



_mβj βj

∑

=

0



D

_α(2)_i,βj

=

1

M

_α

M

_β

k

αi, n( −m)βj (2) m

∑

e

iq⋅rm−iq⋅rn 動力学行列! (   本)

3N

N

′

(  本)

N

′

(特性方程式)! 分散関係 ω = ω q

( )

◎ N自由度の結合振動子（単原子種一次元格子） 連立の運動方程式 mx₁ = −kx₁+ k x

(

₂ − x₁

)

mx₂ = k x

(

₁− x₂

)

+ k x

(

₃ − x₂

)

 mx_N = −kx_N + k x

(

_N−1− x_N

)

−mω2 + 2k −k 0 0 −k −mω2+ 2k −k 0     0  −k −mω2+ 2k ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x₁ x₂  x_N ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 0 特性方程式 から基準振動を解析する これらを行列表示して

x

₀

= x

_N+1

= 0

m x₁ x₂ k x₃ x_N k k m k m x_N−1 x₀ x_N+1 a a a a a

1) 結合振動子モデルと周期性

(固定端条件)

運動方程式 mxn = k x

(

n−1 − xn

)

+ k x

(

n+1 − xn

)

(n∈) x0 = xN+1 = 0

x_n = Asin (qna −ωt+θ)

波動解として を仮定

−ω2

m sin (qna−ωt+θ)= 2k cos qa −1

[

]

sin (qna−ωt+θ)

mω2 = 2k cosqa −1

(

)

= 4k sin2 qa 2 （ は波数） q q= 2π_λ ∴

ω

= 2 k m sin qa 2 （音響フォノンの）分散関係 m x₁ x₂ k x₃ x_N k k m k m x_N−1 x₀ x_N+1 a a a a a e.o.m.に代入 して整理すると 固定端 固定端 のとりうる範囲について q

x₀ = x_N+1 = 0 から Asin

(

−iωt +θ

)

= Asin iq(N +1)a − i

{

ωt +θ

}

= 0

q_j = π

N +1

(

)

a j

(

j = 1, 2, 3, 

)

sin

(

−iωt +θ

)

= sinq(N +1)acos −iωt +θ

(

)

+ cos q(N +1)a sin −i

(

ωt +θ

)

= 0 整理すれば sin q(N +1)acos −iωt +θ

(

)

= 0

( )

∀t

t の恒等式だから sin q(N +1)a = 0 x₀ = Asin ( −ωt+θ)= 0, x_N+1= Asin ( n N +1 N +1π −ωt +θ)= 0 x_−i = Asin (−n iπ N +1−ωt+θ)= − Asin n i N +1π ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ cos(−ωt+θ)= −xi(≥1) x_N+l(≥2) = Asin (n N + l N +1π −ωt +θ)= Asin n l−1 N +1π ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ cos(−ωt +θ)(−1)n = (−1)nxl−1 1 から N までの N 個で必要十分． なぜならその他は以下のように符号を除き重複．

− π a

音響フォノンの分散曲線の図

q₂ = 2π N+1

(

)

a ω = 2 k msin qa 2 0 π a = limn→N+1 N→∞ n N+1 π a 2 k m q₁₀= 10π N+1

(

)

a q_j = π N +1

(

)

a j j= 0,1, 2, , N, N +1

(

)

Brillouin ゾーン端 Brillouin ゾーン端 自由度=モード数 負の領域は 時間（空間）反転に対応 波長が短い 波長が長い Brillouin ゾーン端 dω dq _k=0 = 2 k m d dq sin qa 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ k=0 = k ma 音響フォノンと呼ばれるわけ を用いれば k m ≈ 10 12 _{Hz, a 10}−8 _{m c}= k ma= 10 4 _{m/s 音速のオーダー} 原点での接線の傾き 分散曲線から得られるもうひとつの情報 D

( )

ω = dq dω = 1 a m k cos −1qa 2 = 2 m k 1 2k m

(

)

2 −ω2 ω q

状態密度 (DOS: density of states)

ln D( )ω D( )ω 単位エネルギー幅当りのモード数 ゾーン端で発散 ∴ ω = a k m ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟q 音波の分散 「分散なし」 c が波長非依存

固定端の場合の振動モードと定在波（包絡線）のイメージ q₁= π N+1

(

)

a q₁= 2π N+1

(

)

a q₁= 3π N+1

(

)

a q₁= Nπ N+1

(

)

a 隣どうしが逆位相で振動

x

_n

= Ae

iqna−iωt Floquet-Bloch解 を仮定 自由端条件下の振動解（周期的境界条件） −ω2 mx_m = k e

(

−iqa + eiqa −1

)

x_m 運動方程式に代入すると mω2 = 2k cosqa −1

(

)

= 4k sin2 qa 2 （ は波数） q q= 2π λ ω = 2 k m sin qa 2 （音響フォノンの）分散関係 m x₁ x₂ x₃ x_N k k m k m x_N−1 周期(的)境界条件

x

₁

= x

_N Aeiqa−iωt = AeiqNa−iωt ∴ q =

₍

_N2₋₁π

₎

_al l= 0, ±1,, ± N−1

2 , N 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ より

◎ 2N自由度の結合振動子（二原子種からなる無限一次元格子） M k m m k M k 運動方程式 M˙ ˙ u _j = c v

(

_j + v_j−1− 2u_j

)

m˙ ˙ v _j = c u

(

_j + u_j+1− 2v_j

)

(M > m)

u

_j

(q)

= A

_q

e

i q ja+1 4a ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ −ωt ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥

_{+ A}

q*

e

−i q ja+1 4a ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ −ωt ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥

v

_j

(q)

= B

_q

e

i q ja+3 4a ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ −ωt ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥

_{+ B}

q*

e

−i q ja+⎡ ⎛_⎝⎜ 3₄a⎞_{⎠⎟ −ω}t ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ Floquet-Bloch解 2k − M

ω

2 −k(1+ e−iqa) −k(1+ eiqa_{) 2k − m}

_ω

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ A_q B_q ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ = 00 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 特性行列 a u_j(q) vj(q) a u_N(q) v_N−1(q) m k k v_j−1(q) u_j−1(q) a ω2 _{= k} 1 M + 1 m ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ ± 1 M + 1 m ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2 − 4sin2

(

qa 2

)

Mm ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ q= 2π Nam

(

m= 0, ±1, ±2, ±3,....

)

3 acoustic modes (2xT + L)! 3N-3 optic modes !

For N atoms in a 3-D crystal!

(TO>LO, LA>TA in general)!

2k − Mω2 −k(1+ e−iqa) −k(1+ eiqa_{) 2k− mω}2 = 0 ω = 2k⎛_⎝⎜M1 + _m1⎞_{⎠⎟ → B}Aq q = − m M ω = 0 → Aq B_q = 1 音響モード 光学モード 特性方程式 フォノンの分散関係 2k 1 M + 1 m ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2k M 2k m 光学分枝! q=π a q= − π a 0 T! T! L! _q! ω = k 2(M+ m)qa Forbidden gap! 2Nモード 音響分枝!

q=2π a q= − π a q= πa q= −2π a ◎ 光学フォノン分枝の発生起源  単一種原子格子のBrillouinゾーン (格子定数 ) ２種原子格子のBrillouinゾーン （格子定数  ） 禁制帯 （    の極限を考える）

M

→ m

ω = 2 k msin qa 2 ω = _M1 +1 m ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟k± k M1 + 1 m ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2 −4sin2(qa 2) Mm M → m ゾーン折り返し a m k k v_j−1(q) u_j−1(q) a 2a （還元ゾーン表示） Bragg反射 Bragg反射 禁制帯が発生 （縮退解消） ゾーン端 （縮退発生） ◎ 拡張ゾーン表示： ゾーン端では進行波のBragg反射が発生 q=2π a q= − π a q= πa q= −2π a 単一種原子格子のBrillouinゾーン (格子定数 ) ２種原子格子のBrillouinゾーン （格子定数  ） a 2a ω = 2 _mk sin qa 2

T! T! L! _q! Forbidden gap!

◎ ゾーン端の振動モード

k = 0 → λ = a ? q=π a q= −π a 0 a /2 a /2 k= 0 (λ = ∞) k= 0 ⇔ λ = ∞ a /2 k=π /a λ = 2a ( ) 2k 1 M + 1 m ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2k M 2k m 音響分枝! 光学分枝! 光学分枝 q=π a q= − π a 0 ω= k 2(M+ m)qa 音響分枝

◎ フォノンと光の結合

光の分散関係

ω

= c n k 光の分散関係 交点で相互作用 (結合)が発生 光散乱振幅

A t

( )

= dr n(r) exp(−iΔ

∫

k



⋅ r)

× e

−iωt Δk≡k′−k n(r ) = n₀

δ

(

r− r_m(t)

)

m

∑

散乱中心 ベクトル分解 r_m(t)= r_m + u_m(t)

∴ A t

( )

= A

₀

e

−iΔ  k⋅(rm+ um(t))−iω0t m

∑

= A

₀

e

−iΔ  k⋅r_m

_e

−iΔk⋅u_m(t) m

∑

e

−iω0t

= A

₀

e

−iΔ  k⋅r_m

₁

_{− iΔ}

_k



_{⋅ u}

m

(t)

⎡⎣

⎤⎦

m

∑

e

−iω0t

= A

₀

e

−iΔ  k⋅rm m

∑

e

−iω0t

− iA

0

Δ



k

⋅ e

−iΔ  k⋅rm

u



m

(t)

m

∑

e

−iω0t

(*)

弾性散乱項 非弾性(Raman)散乱項



u

_m

(t)

= u

_m

( )

q



1

M

e

iq⋅r_n−iω (q)t

_{+ e}

−iq⋅r_n+iω (q)t

(

)

平面波解

(*)

= A

₀

e

−iΔ  k⋅rm m

∑

e

−iωt

− iA

₀

1

M

Δ



k

⋅ e

−i(Δ  kq) ⋅rm m

∑

e

−i(ω0±ω(  q))t 散乱(位相整合)条件 Δk q = G ω =ω0 ±ω(  q) 保存則との対応 k− k′  q = G ω = ω0 ± ω(  q) 光 光 フォノン 結晶? 光 光 フォノン

◎ Raman散乱の古典論

P=ε₀

(

χ₀(1)+ χ₁(1)cosΩt

)

E₀cosω₀t =ε₀E₀χ₀(1)cosω₀t +ε0E0χ1(1)cos

(

ω0 − Ω

)

t +ε0E0χ1 (1) cos

(

ω₀ + Ω

)

t 格子振動（フォノン）による分極率変調 基底状態!

Ω

振動励 起状態! 反ストークス光 ! ストークス光 ! ωP ω_S g 仮想準位! （中間状態)! m 弾性(Rayleigh)散乱項 非弾性(Raman)散乱項 Int ens it y (a .u.) 565 560 555 550 545 540 535 Wavelength (nm) SiGe (x=0.64) alloy Si-Si Si-Si Si-Ge Ge-Ge Pump: 532 nm

2) 結晶の熱的性質

◎フォノンの状態密度

ω

(q)

ω

+ d

ω

D

( )

ω

d

ω

= V

(2

π

)

3

d



q

ω ω+dω

∫

= V

(2

π

)

3 ω

dS

ω

dq

⊥ ω+dω

∫

= V

(2

π

)

3

dS

_ω

∇

q

ω

ω

∫

d

ω

= V

(2

π

)

3

dS

_ω

v

_g

∫

d

ω

← ∇qω = d ω dq = cL,T1,T2

D

_α

( )

ω

d

ω

= V

(2

π

)

3

d

ω

4

π

q

2

c

_α ω

∫

= V

2

π

2

ω

2

c

_α3

d

ω

D

( )

ω

d

ω

=

D

( )

ω

d

ω

α

∑

=

V

2

π

2

1

c

3_L

+ 2

c

3_T

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ω

2

d

ω

全振動モードの和 各モードのDOS v_g = dω dq ⎛ ⎝ ⎞⎠ 群速度

dq

_⊥ ◎Siのフォノンの分散曲線と状態密度 DOS $ dE dk _k=0 = 0 dE dk _{k=2π a} = 0

◎フォノンの光学スペクトル フォノンの観測  （赤外吸収、Raman散乱、発光 etc） いずれもピークが見える！ Int ens it y (a rb. uni ts ) 1150 1100 1050 1000 950

Photon energy (meV)

SiTO NP TOSi-Si TA TOSi-Ge TOGe-Ge 2 K SiTO+O Γ SiTA SiTO e-2h 横軸はエネルギー単位 横軸は波数単位 $F.$A.$Johnson$Proc.$Phys.$Soc.$73,$265$(1959$)$ 発光スペクトル 赤外スペクトル

◎ 調和振動子のエネルギー

熱平衡状態の調和振動子

E

_n

= 

ω

n

+ 1

2

⎛

⎝

⎞

⎠ n = 0, 1, 2

(

)

モード n に見出される確率

P

_n

= Aexp −

E

n

k

_B

T

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

総和則

P

_n n ∞

∑

= 1

A

e

− EkBnT n=0 ∞

∑

= Ae

− 2kωBT

e

−n ω kBT n=0 ∞

∑

= Ae

− 2kωBT

1

1

− e

− k_BωT

= 1

を用いて規格化

∴ P

_n

= (1− e

− ωk_BT

)e

−nωkBT

∴ E

(

ω

, T

)

= 

ω

1

e

ω /kBT

−1 +

1

2

⎛

⎝

⎞

⎠

xn n=0 ∞

∑

= 1_{1− x ,} nxn−1 n=0 ∞

∑

= x (1− x)2 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥→

= (1− e

− k_BωT

)

ω

_n

+ 1

2

e

−n_k ω BT n ∞

∑

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

f

_BE

= n =

1

e

ω /kBT

−1

◎ Bose-Einstein 統計 占有上限、相互作用なし Boltzmann 統計

f

_MB

= e

− Ek_BnT エネルギー期待値

E

=

P

_n n ∞

∑

E

_n

= (1− e

− k_BωT

)

ω

_e

−n ω k_BT n ∞

∑

(

n

+1/ 2

)

◎ 格子比熱

1) 古典振動子モデル (単一モード調和振動子の集合体） (定積)比熱

U T

( )

= 3N

_A



ω

= 3N

_A

k

_B

T

内部エネルギー (熱平衡にある固体の全エネルギー）

C

_V

= ∂U

⎛

_⎝

_∂T

⎞

_⎠

V

= 3N

_A

k

_B 低温極限

C

_V

= 3R

Dulong-Petit則

C

_V

= 3R

全自由度が熱励起される 1.5 1.0 0.5 0.0 CV /3R 3 2 1 0 T/T0

2) Einsteinモデル (単一モード調和振動子の集合体） (定積)比熱

U T

( )

= 3N

_A

1

e

ω /kBT

−1 +

1

2

⎛

⎝

⎞

⎠ 

ω

内部エネルギー (熱平衡にある固体の全エネルギー）

C

_V

= ∂U

⎛

_⎝

_∂T

⎞

_⎠

V

= 3N

_A

k

_B



ω

k

_B

T

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

e

ω /kBT

(e

ω /kBT

−1)

2

     = 3R

θ

E

T

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

e

θE/T

(e

θE/T

−1)

2

θ

_E

= 

ω

k

_B

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Einstein温度 高温極限

lim

T→∞

C

V

= lim

T→∞

3R

θ

E

T

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

e

θE/T

(e

θE/T

−1)

2

= 3R

低温極限

lim

T→0

C

V

= lim

T→∞

3R

θ

E

T

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

exp

−

θ

E

T

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Dulong-Petit則 CEV = ∂U⎛⎝∂T⎞⎠ V = 3NAkB  ω k_BT ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2 eω/kBT (eω/kBT −1)2 ω      = 3R θE T ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 2 eθE/T (eθE/T −1)2 ω CD_V = 9Nk_{B θ}T D ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 3 ezz4 (ez−1)2 dz 0 θD/T

∫

h;p://hyperphysics.phyAastr.gsu.edu/hbase/Solids/phonon.html 1.0 0.5 0.0 CV /3R 3 2 1 0 T/T0

内部エネルギー (熱平衡にある固体の全エネルギー）

U T

( )

=

d

ω

D

( )

ω

0 ∞

∫

E

(

ω

,T

)

一様な3D弾性体の長波長近似   

(q

= 0)

分散関係

ω

= cq

C

_V

= V

2

π

2

1

c

_L3

+ 2

_c

T3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0

ω

2

∂T

∂

ωD

∫

E

(

ω

,T

)

d

ω

(定積)比熱 3) Debyeモデル (音響モードの分散を反映、総モード数保存）  : Debye遮断周波数

ω

D 音速3_{の調和平均}

3N

_A

= V

2

π

2

1

c

_L3

+ 2

_c

T3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0

ω

2 ωD

∫

d

ω

振動子数保存則

C

_V

= 9N

_A

_ω

1

₃ D

∂

∂T

0 ωD

∫

e

ω/k

1

BT

−1

ω

3

_d

ω

θ

D

= 

ω

k

_B

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Debye温度

= 9N

A

1

ω

3 D

e

ω /kBT

(e

ω /kBT

−1)

2



ω

k

_B

T

2



ω

3

_d

ω

0 k_Bθ_D/

∫

= 9N

_A

k

_B

_θ

T

D

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

e

z

_z

4

(e

z

−1)

2

dz

0 θD/T

∫

Dulong-Petit則

lim

T→∞

C

V

= 9N

A

k

B

T

θ

D

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

e

z

z

4

(e

z

−1)

2

dz

0 ∞

∫

≅ 12

₅

π

4

_N

A

k

B

T

θ

D

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3 低温極限 高温極限 9N_Ak_{B θ}T D ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 3 (1+ z)z2_dz 0 θD/T

∫

≅ 9N_Ak_{B θ}T D ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 3 1 3 θD T ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 3 + 1 4 θD T ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ → 3R ez ≈1+ z T3_-則 θD#(K)# C 2230 Ge 370 Si 640 Au 165 Al 328 Fe 467 Cs 38

T

3

◎  -則の定性的な導出法

有限温度で    までフォノンモードが占有される

ω

T

=

ω

(k

T

)

k

_D

n

= 3N

_A

k

T

k

_D

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

= 3N

A

T

θ

D

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

U

= n × k

_B

T

= 3N

_A

_θ

T

D

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

× k

_B

T

C

_V

= ∂U

_{∂T = n × k}

_B

T

= 12N

_A

k

_B

_θ

T

D

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3



ω

_D

= k

_D

c

= k

_B

θ

_D

k

_T



ω

T

= k

T

c

= k

B

T

比熱に寄与するフォノン数

◎ フォノン熱伝導

熱流密度  温度勾配 熱拡散（酔歩過程）

J



= −

κ

∇T

非弾道的な過程 気体分子運動論

κ

= 1

3

Cv

λ

熱伝導率

κ

:

∂T

∂t =

ρ

κ

C

_P

∂

2

T

∂x

2 熱伝導方程式

ρ

:

密度 定圧比熱

C

_p

:

Fourier則

ΔT = ∂T

_{∂x l}

_x

= ∂T

_∂x

v

_x

τ

J

= −cΔT × 1

⎡

_{2 n}

v

_x

− − 1

⎛

_⎝

_{2 n}

v

_x

⎞

_⎠

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= cnv

2 x

τ

∂T

∂x = C

v

2x

τ

∂T

∂x

T x

(

+ Δx

)

T x

( )

x x+ lx ΔT 1 2 nvx 1 2 nvx

J

= −C v

2_x

τ ∂T

_∂x

= −C 1

₃

v

2

_{τ ∂T}

∂x

= − 1

_{3 C}

vl ∂T

_{∂x ↔ −κ}

∂T

_∂x

二乗平均速度

_∴

_κ

_{= 1}

3 C

vl

l < a

a :

試料サイズ

κ

= Cva

◎  の効果

(l > a)

_{de Haas-Biermasz}

l

1. サイズ効果 2. フォノン散乱 (多フォノン過程）(非調和振動の寄与）



q

₁

+ q

₂

= q

₃



ω

1

+ 

ω

2

= 

ω

3 結晶運動量保存 エネルギー保存則



q

₁

+ q

₂

= q

₃

+

G



Normal-過程 Umklapp-過程



q

₁



q

₂



q

₃



q

₁



q

₂



q

₃



G



q

₁

+ q

₂

= q

₃

q



₁

+ q

₂

= q

₃

+

G



Normal-過程 (熱抵抗０) _{Umklapp-過程}

◎ フォノンの散乱過程

∝ exp − θD 2T ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ q_1,2 ≈ 1 2kBθD (熱抵抗 T)

h;p://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/Si/thermal.html

Glassbrenner, C. J. and G. A. Slack, Phys. Rev. 134, 4A (1964) A1058-A1069.

Si（半導体）熱伝導率の温度依存性

◎ 非調和振動と熱膨張

U(x)

= U(0) +U

(2)

(0)

x

2

2!

+U

(3)

(0)

x

3

3!

+U

(4)

(0)

x

4

4!

非調和ポテンシャル

U

(2)

(0)

= 2!c > 0, U

(3)

(0)

= −3!g < 0, U

(4)

(0)

= −4! f < 0

変位の平均値

x

=

xe

−U (x)/kBT

dx

−∞ ∞

∫

e

−U (x)/kBT

dx

−∞ ∞

∫

=

xe

−βU ( x )

dx

−∞ ∞

∫

e

−βU ( x )

dx

−∞ ∞

∫

xe−βU ( x )dx −∞ ∞

∫

≅ (x+βgx4 +β fx5)e−βcx2 dx −∞ ∞

∫

= 3 4 π g c5/2 β −3/2 e−βU ( x )dx −∞ ∞

∫

≅ e−βcx2 dx −∞ ∞

∫

= π c1/2 β −1/2

∴ x = 3g

4c

2

β

−1

_{= 3g}

4c

2

k

B

T

・柔らかいと膨張が大きい ・3次項が寄与 ・温度に比例 Cf. Lindemann則 10%以上で融解

3) 結晶の力学的性質（熱膨張、弾性）

h;p://science24.com/paper/24579 PbTe（狭ギャップ半導体）の格子定数の温度依存性 ◎ 熱膨張の統計物理的説明 F = F x

( )

₀ + x − x

(

₀

)

∂F_∂x x=x0 F_T = U x

( )

− k_BT log Z = U x

( )

+ 1 2ω + kBT ln(1− e − ω_k BT)

Z

=

e

− ωk_BT

( )

n+12 n=0 ∞

∑

F

= −k

_B

T log Z

分配関数 自由エネルギー p = 0 = − ∂F⎛_{⎝ ∂V}⎞_⎠ T → k x − x

(

0

)

= − 1

ω

∂

ω

∂x E

(

ω

,T

)

線膨張係数

α

= 1_x 0 dx dT = − 1kx2 0 ∂ln

ω

∂ln x ∂T E∂

(

ω

,T

)

体積膨張係数

α

V = 1_V dV dT = − 1

β

V ∂ln

ω

( )

q, j ∂lnV ∂T E∂

(

ω

( )

q, j ,T

)

 q, j

∑

β = 1 V dP dV 体積弾性率 Grüneisen数

γ

= −∂ln

ω

 q, j

( )

∂lnV

( )

≈ 2 U x

( )

= U x

( )

₀ + 1 2k x

(

− x0

)

2

Okada, Y. and Y. Tokumaru, ! J. Appl. Phys. 56, 2 (1984) 314-320