数学教育学における「発展的教材」の開発に関する研究

数学教育学 にお ける「発展 的教材」の開発 に関す る研 究

矢部敏昭

*・

倉吉算数サークル

**

Research on development of

“

PrOgressive Teaching K/1aterials"

in K/1athematics Education

YABE TOShiaki*, Kurayoshi 1/1athematics GrOup**

1.問

題 の所在 Fゆとりの中で生 きる力 をは ぐくむこと』を目指す新教育課程 (平成10年告示

)は

,平

成14年 4 月より全面実施 された。同年秋,“学習指導要領最低基準性

"が

明確 に打 ち出され

,そ

れ に伴 い算数 教育は「発展的な学習 と補充的な学習」に関わる教材事例集が示 された。確 か な学力 の獲得 とその 向上 (学力の実質化

)の

主張は

,学

習指導要領など教育課程の基準に示 された内容 (意図 されたカ リキュラム

)と

学校や教員 によつて実際に指導 された内容 (実施 されたカリキュラム

)と

の間のず れ (ギャップ

)を

問題視 し,ま た

,学

習者 において実現 された学習内容 (実現 された カ リキュラム) との間の さらに大 きなギ ャ ップを も問題視す る ものであ る。 今 日,カ リキュラムの議論 は従 来 までの「意図 されたカリキュラム」 をその対象 とす るのではカ リキュラムの改善 は難 しく

,そ

の議論 の対 象 は「実施 された カ リキュ ラム」 や 「実現 され た カ リキュ ラム」 に 向け られ るに至 ってい る。 この よ うな カ リキ ュ ラム編 成 にお け る背 景 に よって

,新

教育課程 は教育内容 の厳 選 とい う表現 の もとに,「意 図 された カ リキュラム

Jを

「実施 され た カ リキ ュ ラム」 に合 わせ る 方向で編成 された (図

1)と

言 い換 え られ よう。 他 方

,学

校 を取 り巻 く社会 において は子 どもた ちの学力低 下 を指 摘 す る。右 図 をみ る限 り

,新

教 育課程 は明 らか にその学習 内容 の量 に着 目す るな らば

,約 3割

削減 されてい るか らである。厳 選 された教 育 内 容 に関 して

,子

どもたちの学力 を保証 し

,か

つ

_,従

来 に増 して子 ど も た ちの学力 を向上 させ るため には

,そ

の一つ の考 え方 として学習 内容 の「量」 の問題 を「質」の問題 として受 け止 めるこ とが考 え られ る。 つ ま り

,少

な く学 び多 くを考 え られ る学 びを展 開す ることである。 この ことについて

,例

えば「削 られた部分の学力 は減 って も

,自

ら学 び解 いてい く力がで きていれば

,総

合 的学力 は減 らない」 とい う表現 に代表 される (図 -2)。 言 い換 えれ ば

,基

礎 ・基本 を重視 した今 回の 意 図 され たカ リキ ュラム

A

B

実 現 さ れ た カ リ キ ュ ラ ム 図

-1

カ リキュラム間の関係(1) 実現 され た カ リキュ ラム 図

-2カ

リキュラム間の関係(2) 実 施 さ れ た カ リ キ ュ ラ ム *鳥取大学教育地域科学部 学校教育課程 教科教育講座 数学教育学

**代

表 :倉 吉市立上北条小学校教諭 河本了

,泊

村立泊小学校教頭 坂出純子

100矢_{部敏昭・倉吉算数サークル:数学教育学における「発展的教材」の開発に関する研究} 教育課程 は

,学

力の実質化注(1)とぃ う視点に立つ とき,「何 を学ぶか と合わせて

,そ

の学ぶ内容 をい かに豊かに学ぶか,ど_{のように確かに学 び取 るか」 という実施 されたカリキュラム と実現 されたカ リ} キユラムが問われていると言えよう。また

,そ

の一つの具体策 として

,算

数教育 においては発展 的 な学習 と補充的な学習が取 り上げ られるのである。 しか し

,発

展的な学習 と補充的な学習 に関わる教材事例集は示 された ものの

,そ

れ らの教材事例 はどのような考え方のもとに

,ど

の ように教材 をとらえることによつて作 られた ものであるかは示 されていないのである。このことは

,前

述 したカリキュラム議論において意 図 された カ リキュラム か ら実施 されたカリキュラムや実現 されたカリキュラムにその検討の対象 を移す な らば

,日

々の学 習に携わる教師にとつて重要な課題であ り

,問

題の一つ として指摘で きるものである。 なぜ な らば, 多 くの教員にとつて意図されたカリキュラムの具体化の一つ として代表 され る教科書 を もとに学習 を展開することは経験 して きているが

,教

員 自らが多様 な子 どもたちの実態 に即 した教材 の開発 は 未経験だか らである。また

,発

展的な学習のための教材開発 に関 しては

,算

数教 育 にお いて「発展 的な学習」 とはどのような目的の もとに

,ど

のような子 どもたちの数学的な見方

,考

え方や数学 的 態度 を育成することが期待で きるのか。 また

,一

度開発 された教材 は どの ような位置づ けが可能 と なるのか等,こ れ らの課題はすべて教師に委ねるものではな く

,学

習の主体者であ る子 どもたちの 側か らの視点 も含めて本来は提案 されるべ きものと考 えるのである。 本稿 は

,現

職教員で構成 される自主的な研究グループとの共同研 究 による ものであ り

,発

展 的 な 学習 をどのようにとらえ

,ど

のような教材開発の視点を設定 して発展 的学習教材 を開発 した もので あるかを示す ものである。

2.数

学教育学における「発展的学習」教材のとらえ方

(1)「

学力の実質化」

さて

,学

習内容の「量から質」への転換は基礎的・基本的内容 を子 どもたちはいか に学ぶか とい う問題 に置 き換 えて考えることがで きる。それは

,学

ぶ内容の理解 をは じめ

,算

数 の学 習 は既得 の 知識 ・技能を駆使 していかに新 しい知識・技能を作 り上げるかが重要であ り

,そ

の学ぶ過程 におい ては内容の意味を構成するとともに

,算

数の学習に関する学び方をも獲得で きるものだか らである。 基礎 ・基本のとらえ方については

,以

下の考え方に立った ものである1)。 Fある事柄 (内容

)が

基礎的・基本的であるとい うことの意味は

,そ

の内容 がその時 々におい て理解す るための前提や条件になるばか りでな く

,そ

の内容が よ り広い範 囲や よ り高い レベル の内容 を学ぶ可能性 をもつ (開く

)と

いう点に

,そ

の内容が基礎 的・基本的 (あるいは本質的

)で

ある,と いうこと』である。 つ まり

,基

礎的・基本的な内容はその先の学習のための基礎 ・基本 であると言 うよ りは

,む

しろ基礎的・基本的な内容 をいかに学ぶかが より広い範囲や より高い レベルの内容 (発展 的な内容

)を

学ぶ こと を可能にするのである。このいかに学ぶかに着 目するとき

,学

習内容 の「量」の問題は「質」の問題 として とらえられるのである。また, この解釈 に立つ とき

,算

数の学習は常 に発展 をもた らす方向へ と展 開 することが可能になるのである (図-3)。 実現 され たカ リキュラム 図

-3カ

リキュラム間の関係(3) 言 い換 えれ ば

,意

図 された カ リキュ ラムは実施 されたカ リキュ ラム に合 わせ て厳 選 され たが

,も

鳥取大学教育地域科学部紀要 教育・人文科学 第 5巻 第 2号 (2004) し学ぶ内容 (実施 されたカリキユラム

)を

通 して従来に増 して実現 されたカ リキユラムが拡大 され るならば

,前

項 において指摘 した問題点は克服 される方向へ と向か うものであると考える。

(2)発

展的な学習の基本的な考 え方 ① 算数学習の特性に着 目して 基礎的・基本的な内容 を前述 したようにとらえ

,算

数の学習 を常に発展 的な内容 を導 く方向へ と 展開するためには

,発

展的な学習 をどのようにとらえることが必要か。

Gポ

リアは

,科

学 として算 数・数学の学習 を考えるとき,日 常生活 とは非常 に異 なった態度 (帰納 的態度

)を

必要 とす る と述 べ

,そ

れは観察か ら一般化へす ぐに昇れ とか

,逆

に最高の一般化か ら最 も具体 的な観察へ即座 に降 りよとかいう。また

,算

数の問題 は「問題が問題 を生む」 とも呼 ばれ

,あ

る一つの問題が解 決 され る過程では新たな問題が生成 された り

,あ

るいは解決 された後には次 なる問題が生成 ・構成 された りするのである。発展的な学習における「発展」の意味 を

,あ

る特殊 を もとに一般 に向か って探求 する過程 に求め

,逆

に一般の中にある特殊 を探求する過程 に求めるな らば

,算

数の学習 は子 どもた ちにとつて,日 の前の具体的な (特殊な

)問

題 を解決す ることを通 して

,特

殊 の背後 にある一般 を 意識する学習展開が成立すると考えることがで きる。 意図 されたカリキュラムの学ぶ内容を通 して

,上

述 した学習展開は子 どもたちにとつて一般 を意 識することによつて,日の前で考 えている特殊が一般の中の特殊 であることへ の理解 を導 き

,一

般 の中にある特殊 を意識する展開はその学ぶ内容の意味理解 を確かにする とともに

,一

般 を意味 して いることへの理解 を導 くもの と考 えるのである。 ② 発展が意味する学習活動 基礎的・基本的な内容を子 どもたちはいかに学ぶか とい うことに関 して

,こ

こでは具体 的な教材 を取 り上げて発展の

2つ

の方向を示す ものである。例 えば

,第 6学

年 に位置づ け られた「立体」 の 教材は

,そ

の指導のね らい として・立方体や直方体 について

,点 ,線 ,面

の構成要素か ら分析 的 に と らえて立体図形 を構成することがで きること。・三角柱や四角柱等の角柱の構成要素 につ いて考察 す るこ とを通 して立体 図形 の意味が わか る こ と

,が

挙 げ られ る。 右 図の よう な三 角柱 と四角 柱 が子 ど もた ち の前 に 置かれ

,実

際 の活動 と して側面 の数や頂 点の数が 数 え られて表が埋 め られ るのであれば

,そ

れ は発展的 な学 習 を考 える以前 の

,学

習展 開が問題 となる。 角柱 (柱体

)が

,底

面の平行移動でで きる軌跡 によつ て生成 され

,底

面 の形 に着 目す るな らば

,例

え ば三 角 柱 の「頂 ′くの数」 は3×

2=6と

な り

,四

角柱 の 「頂 点の数」 は4×

2=8と

なる。 また,「辺 の数

Jは

三 角柱 が3×

3=9と

な り

,四

角柱 が

4X3=12と

なる。 さて

,発

展の一つの方向は一度示 された四角柱の辺の数は12本 (一般

)を

対象 として

,そ

の一般 の中にある特殊 を考えてみることにする。前時までに学習 した既習の内容 を活用すれば

,四

角柱 の 展開図か ら四角柱 の「辺の数」 を求めることもで きる。四角柱の展開図は

6つ

の四角形 で表 され る ことか ら

,そ

れぞれの面は

4本

の辺で構成 されている。つ まり

,6面

を持つ展開図は 4×

6=24(本

) の辺 を持ち

,そ

れぞれの辺は互いに重なっていることか ら

,24■

2=12で

12本と求めることがで き るのである。この見方・考え方は子 どもたちに十分期待で きるものである。言 い換 えれば

,発

展 の 一つに方向 としての一般の中にある特殊 を意識する学習展開は

,な

ぜ 四角柱 の辺の数が12本になる 側面の数 頂点の数 辺の数 三角柱 3 四角柱

102矢部敏昭・倉吉算数サークル:数_{学教育学における「発展的教材」の開発に関する研究} かという意味理解 を一層確かなものにすると言えよう。 他方

,発

展の もう一つの方向は三角柱

,四

角桂 と順 に考 えて きた 目の前 の問題 (特殊

)が

一般の 中の特殊であることを考 えてみることから導かれる。三角柱や四角柱の「頂点の数」 は

3×

2,4

×

2で

あ り,「辺の数」 は 3×

3,4×

3で

_{あった。考察の対象 を五角柱や六角柱へ と拡げるならば} , もはや子 どもたちはこれ らの角柱が 目の前になくても容易 に「頂点の数」や「辺の数」 は求め られ るのである。 さらには

,未

だ見たことも描いたこともない10角柱や100角_{柱であって も考 え られ るで} あろう。言い換 えれば

,発

展の二つ 目の方向としての学習展開は

,考

察 の封象 を拡 げて子 どもたち の理解 を活用で きるまでの確かな理解に高め

,与

えられた問題 (特殊

)が

一般 の中の特殊 であるこ とへの理解 を導 くのである。 これ らの発展が意味する

2つ

の方向の学習活動は

,子

どもの情意的側面か ら考 えるな らば

,基

礎 的・基本的な内容 を学ぶ過程で常 に現状 に甘んずることな く「新たなもの (意味

)を

生み出したい」, 「見出 した解 (答え

)は

_{なぜそ うなるのか」や「 どのような活用が考えられるのか」等の}

_,子

_どもの 強い向上′と、_{ゃ知的好奇心 に支 えられることは見逃せ ない点である。言い換えれば}

_,発

_{展 の背後 には} , 「四角柱の辺の数はなぜ12本_{になるのか」,「】}Uの_{求め方は考 えられないか」や「五角柱や六角柱 な ら} ばどうなるか」等の問いに代表 されるところの知識への強い要請や知識・技能 を適切 に活用 しよう とする学ぶ心 をも要請 されていると言えるのである。

3.教

材 開発 に向 けた

2つ

の視 点 ―「理解 をより深め′理解 をより拡げる」― 発展的な学習については個 に応 じた指導の充実を図る観点から

,子

どもの能力 ・道性

,興

味 。関 心等に応 じて,さ らに学習 を広げた り深めた り

,進

めた りすることが求め られるワ)と_述べ

_,発

展的 な 学習は学習指導要領 に示す内容 を身に付けている子 どもに姑 して,「内容の理解 をより深める学習 を 行った り,さ らに進んだ内容についての学習を行った りするなどの学習指導」3)と_{定義 されてい る。} ここでは

,ど

_{の子 どもに対 して も発展的な学習を学ぶ可能性 を開 くとともに}

_,実

_{施 されたカ リキュ} ラムを学ぶ過程で「量か ら質」への転換 を図るための発展教材の開発 を考える ものである。 なぜ な らば

,算

数の学習 (問題

)は

常に発展 をもたらす方向の展開が可能であ り

,ま

たそ こに算数学習 の 特質があるか らである。 主要教材 を学ぶ 日々の学習指導の過程で発展的な学習を展開することは

,従

来 に増 して学習指導 を子 どもたちにとってより豊かにすることととらえ

,そ

の学習指導の「豊か さ」 と「確 か さ」 を実 施 されるカリキュラムと実現 されたカリキュラムに求め

,子

どもたちに とって「理解 をよ り深める 学習展開」 と「理解 をよ り拡げる学習展開」 と位置づけたものである。そ して

,こ

れ らの

2つ

を発 展教材の開発の視′点として設定 した ものである。

(1)「

_{理解 をより深める」教材開発の視点} 小学校第

5学

年 においては

,三

_{角形や四角形の内角の和 を求める学習が位置づ け られてい る。三} 角形の内角の和 を求める学習展開においては

,3つ

の角を実測 した り

3つ

の角 を切 り取 って一直線 に並べ た りす る等 の算 数 的活動 が行 われ る。 三角形 の 内角の和 が180度 であ ることを学 ん だ後

,四

角 形 の 内角 の和 を対角線 に よって

2つ

_{の三角形分 け}

_,三

_{角形 に帰 着} した見方 ・考 え方 を もとに四角 形 の内角 の和 が求 め ら れ る。 この とき

,な

ぜ 四角形 の内角 の和 は360度 にな る

△

三角形 四角形

鳥取大学教育地域科学部紀要 教育 。人文科学 第 5巻 第 2号 (2004) のか_,また他 の見方・考 え方 はないのだろ うか。 さ ら に

,な

ぜ 三角形 に帰着 した方法が よ り手際の よい方法 であるのかは算数の学習 を通 して子 どもとともに考 え たい事柄 である。 子 どもた ちが

,上

述 の 問 い を も とに右 図

-4の

よ う なSlか らS3の 多様 な様相 を示す な らば

,三

角形 に帰 着 して対角線 によつて

2つ

の三角形 に分 ける方法が よ り 手際 の よい方法 であ るこ とを知 るばか りか

,四

角 形 の 内角 の和 についての よ り深 い理解 を もた らす もの と考 える。 言 い換 えれば,「理解 をよ り深 め る」 教 材 開発 の視 点 は

,子

ど もたちの多様 な見方 ・考 え方 の側面 か ら対 象 (この場合 は四角形

)を

深 く考察 し

,意

味を豊かにする視点 と言えよう。特殊 と一般 の関係 か ら とらえるならば

,一

度表 された「四角形の内角の和 は360度である。」 とい う一般 の中にある特殊 を 探求することで

,そ

の内容の意味理解 を確 かにするとともに

,一

般 を意味 してい るこ とへの理解 を 子 どもたちに導 くものであると考える。

(2)「

理解 をより拡げる」教材開発の視点 他方,「理解 をより拡 げる」 教材 開発 の視点 は

,四

角形の内角の和の求め方をもとにすると

,他

に どの よ うな活用があるのか

,五

角形や六角形の内角の和 は ど うなるのか,と いつた問いをもとに発展教材の開発が 可能 となる (図 -5)。 言い換 えれば,こ の「理解 をよ り拡げる」教材開発の視点は

,子

どもたちの表現 ・処

理の活用の側面から対象を拡げ

,三

角形や四角形の内角の和の学習で見出 した数学的な見方 ・考 え

方や表現・処理を活用できるまでの確かな理解にするとともに

,意

味を豊かにする視点と言えよう。

また

,特

殊 と一般の関係からとらえるならば

,日

の前で考えていた特殊が一般の中の特殊であるこ

とへの理解を子 どもたちに導 くものと考えるのである。

4.発

展 的学習教材 の開発

(1)「

理解をより深める」教材

FJfl発

の視点

① 2年 下

p31「

13か

け算

(2)」 (よ

り拡げる 。より深める

) 180×3-180 教 科 書 早 刀 内容

2年

下

p31

13

か け ざ

/v(2)

①

8の

だんと

9の

だんの 九九を 8の だんの九九

123456789

1●●●

0●0● 0●

2●

0● 0●0● 0●

3●

0● 0●

●

00●

180×

4-360

180×3-180 五角形

六角形 図

-5 -般

へ向かう多角形ヘ つくりましょう。 9のだんの九九

123456789

1●

0●

00●

0●

0

2●

0●

●

0● 0●

0

3●●

0● 0●

00●

104矢 部敏昭・倉吉算数サークル :数 学教育学における「発展的教材」の開発 に関する研究

40●

0●

●●●●

0

50●

0● 0● 0●

●

60●

●

0● 0● 0●

7●●

00●

0● 0●

8●●●●

0● 0●

0

8×

1=□

8×

2=□

8×

3=□

8×

4=□

8×

5=□

3×

6=□

8×

7=□

8×

8=□

8×

9=□

40●

0●

●

0●0●

50●

●

00●

●

0●

6●

00●

●

0●

0●

7●

0●

00●

0●

●

8000●

●

0●

●●

90●

●

00●

●

0●

9×

1=□

9×

2=□

9×

3=□

9×

4=□

9×

5=□

9×

6=□

9×

7=□

9×

8=□

9×

9=□

8のだんは、

8ず

つ増 えていること、9のだんは、

9ず

つ増 えていることを 確認 し、ア レー図 を通 して求めてい く。

Oい

ままでならつた九九をつかって8のだんや9のだんをもとめま しょ 発展 (より深 める) かけ られ る数

8や

9を 分解 して考える。 8の 段 ・・・2の段 と6の段 に

9の

段・ 分けて考 える。

123456789

000000000

000000000

30● 0●

●

0● 0●

40● 0●

00●

0●

・・ 2 6DB此と7 6Dttに 分けて考える。

123456789

000000000

000000000

30●

0●

●

0●

0●

400●

●

00●

0●

発展 (より拡げる)

0 8Xllや

8× 12、

9Xllや 9X12も

もとめてみま しょう。 8×

10=80

8×

11=8× 10+8=88

8×

12=8Xll+8三

96

8ず

つ増えていくことをもとに、 8×

11や

8X12も

求めること ができることに広げていく。 9×

10三

90

9×

11=9× 10+9=99

9×

12=9Xll+9=108

9ずつ増えていくことをもとに、

9Xllや

9×

12も

求めること ができることに広げていく。

鳥取大学教育地域科学部紀要 教育 ・人文科学 第 5巻 第 2号 (2004) 5●

0●

0●

00●

0

6●

0● 0● 0●

●

0

7●

0●

●●●

0●

0

80● 0● 0● 0●

0

8の段 ・ 3の段 と5の段 4の段 と

4の

段 9の段

123456789

100●

0●

●

0●

0

2● ●

0● 0●0●

0

3●

0●

00●00●

4●

00●00●

●

0

50000●

●●●

0

6●

00●00●

●

0

7000●

0●0●

0

8●

0● 0● 0●

0●

900●

0● 0●

0●

OOOOOOOOO

258

X 34

1032

50●

0● 0● 0●

0

6●

0● 0● 0●

●●

700●

0● 0● 0●

80000●

0● 0●

90●

0●

00●

0●

9の 段・・・3の段 と6の段

4の

段 と5の段

10Xl=10

10X2=20

10X3こ 30

10×

4=40

10X5=50

10× 6=60

10×

7=70

10×

8=80

10×

9=90

10-1= 9

20-2三

18

30-3=27

40-4=36

50-5=45

60-6=54

70-7三 63

80-8=72

90-1=81

(1)一

②「数と計算」領域

3年

下

p55「

17か け算の筆算

(2)」 (よ

り広げる

) 発展 (よ り拡 げる)

258×

34の

計算の しかたを考 えま しょう。

258

×

34

1032

774

258

×

34

1032

774

9772

3年下

p55

「

₁₇

_{んヽす算の筆算(2)」}

58× 34の

筆算を下の よ うに しま した。 どのよ うに計算 したかをいいま しょう。

58

×

34

232

58に

4を か け る

106矢 部敏昭・倉吉算数サークル :数学教育学における「発展的教材」の開発に関する研究 (3位数)× (2位数

)で

も、被乗数を位ごとに分解 してそれぞれの 積を求めればよい。

258X134の

計算の しかたを考えましょう。

258

258

258

258

X134

×

134 X134

×

134

1032 1032 1032 1032

774

774 774

258 258

34572

(3位数)× (3位数

)も

、乗数が何桁であっても同 じアイデアで 計算ができることが、確認できる。

(2)一 ①「量と測定」領域

1年

p56「

9な

がさくらべ」

(よ

り拡げる

) 発展 (よ り拡げる) 色付きクリップつなぎ競争(1分聞)よ り普遍単位 としてのものさし作 りまで ①クリップの長 さ比べ ・端をそろえて並べる ・空中にぶら下げる 。クリップの数での比較 ②教室内のいろいろな物の長 さを狽1り、曲線でできたものも測れることに気づ く ・頭の大きさ

,ボ

ールの周囲 ③ クリップものさし作 り 二年生

P56

なが さくらべ ① どちらがながいで しょう。 〔直接比較】(曲がつたひも・鉛筆・はがき) ・比較するものを一方を起点として重ねた り、揃えた りして比較する。 ② くらべかたをかんがえよう。 〔間接比較】(机と ドア) ・直接比較できないものをイ可かを媒介 として測 り、歩ヒ較する。 ③たてとよこをくらべてみま しょう。【任意単位】(4■l ・任意単位 としての 「あた」や身近のある鉛筆を使つて長さを測り取る。 ④ どちらがながいで しょう。 【長 さの観念・方眼用紙を利用 して】 (水色の鉛筆 と黄色のチューブのりの長 さ比較) ・色や太さに関係なく長さそのものに着目して考える。 ・正確な任意単位で比較するために方眼用紙を使用する。 (紫色と桃色の電車の長 さ比較) 。電車の長さ一両分を任意単位として二つの電車の長さを,ヒ較する。

鳥取大学教育地域科学部紀要 教育・人文科学 第 5巻 第 2号

(2004) 107

E宝中 =ユヨ

=E(教

科書の横の長さは色付きクリンプのちょうど7個分) ユ (もつと図 りやすくする方法はないだろう力ち) 。 一 ・ ・ … … ・ ↑

(↑

のクリップの色を変える)

o12345678910H

※漠然 と した長 さに関す る感覚があ り、それが概念化 され 、客観化 されて数値 表現にいたる過程が学習できる。また、その過程において色や材質に とらわれ ず長 さの観念 に も着 目す ることができる。

→尋

(2)一 ②「数と計算」領域

3年

下

p55「

17か け算の筆算

(2)」 (よ

り拡げる

) 発展 (よ り拡げる)

①曽屋単位としてのものさし作り

圭 日

郷

転

怖

5年上

p51

4

四角 形

①四角形の内角の和が360° であること。

三角形 の 内角 の和 は

180°

180°

X2=360°

②五角形の内角の和を求める。

であるから 三角形の内角の和が

180°

であることを使 つて

180°

X3=540°

同 じや り方で六角形、人角形などの内角の和を求めてみましょう。

103矢部敏昭・倉吉算数サークル!数_{学教育学における「発展的教材」の開発に関する研究} 六角形 人角形 六1角形、人角形め対角線を引くことにより、三角形に分割 して考えると、三 角形の数を用いて内角の和を求めることができる。 六角形

180°

×

4=72o°

人角形

lSO°

X6.=1080°

これ を一般イヒすれば

tn角

形の内角の和は

(n-2)×

180°

である。 三角形の内角の和を次のように して求めました。 してみま しょう。 求め方I どのように考えたのか説明 求め方 2 教科書では、三角形を紺角線で分割 してい くことによつて求めている。対攪 線ではなく、五角形の内部や辺上の一点から頂′様に直線を結ぶことで分割 しよ うと考えている。 ●求め方1 三角形の内部の一点とそれぞれの頂点を結ボと5つの三角形ができる。だか ら、

(180°

X5)-360°

=540°

0求

め方

2

三角形のある辺の上の一点と、その辺の端 以外の3つの頂点を結ぶと

4つ

の三角形ができる。だか ら、

(180°

×

4)-180'=540°

さらに考えると、五角形の外部の一!点と各頂点を結ぶことによって求める方 法がある。 発展 (より深 める)

鳥取大学教育地域科学部紀要 教育・人文科学 第15巻 第2号 (2004)

(3)一

①「図形」領域

6年

上

p31「

3立

_体」

(よ

り拡げる。より深める

)

6年

上

p31(関

連

p87,40,

3

立体 ①直方体の展開図を作図すること。 ②立方体の展開図を作図すること。また、その展開.図を組み立てること。 鞠暖 (より深める) ②で立方体の展開図を描きました.力ゝ展開図は他にもあります。他の1展開図を 描いてみましょう。 立方体の展開図は、全部で

11種

類ある。

31に

示 されていて、立方体の展開図は

p4

例え￨ま 次のよ うな展開図が考えられる。 教科書では、直方体の展開図が p

0, p41に

出ているc 例

2

110矢 部敏昭・倉吉算数サークル :数学教育学における「発展的教材

Jの

開発 に関する研究

(3)一

②「図形」領域

6年

上

p37「

3立

_体」

(よ

り拡げる

) 発展 (よ り拡 げる) 三角柱の展開図を描いてみましょう。 また、円柱の展開図を描いてみま しょう。 立体を考察するとき、

3次

元の図形を扱 うことになる。

3久

元の図形の性質 を考察するには、2久元に して考えるとよくわかる。展開図を描 くことによつ 発展 (よ り拡 げる) 三角柱 の展開図 を描 いてみ ま しょ う。 立方体や直方体は四角柱である。そこで、四角柱以外の柱体である三角柱の 展開図を扱 う。底面や側面のつなが り方に注意ながら展開図を描かせたい。 ここでは、展開図の一つを示すが他 に も考え られ る。上は、底面が正三角形 の ものを示 したが、底面が直角三角形になっているもの、あるいは、底面が一 般の三角形になつている ものな ども描かせてみたい。

6年

上

p37

3

立体 ①角柱について (三角柱、四角柱) 2つの底面は平行で、形 も大きさも同じ図形であること。 側面は長方形で、底面の垂直になっていること。 ②円柱について 2つの底面は平行で、同 じ大きさの円になつていること。 lRI面は曲面になっていること。

③身の回りから角柱、円柱を探す。

(4)一

①「数量関係」領域

3年

下

p41「

15計 算のじゅんじょ

(2)」 (よ

り拡げる

) 鳥取大学教育地域科学部紀要 教育・人文科学 第 5巻 第 2号 (2004) て、三角柱の底面は三角形 であ り合 同な図形になつてい ること、また、側面が 長方形 (正方形

)に

なつてい ること、がより明確 に捉 え られ る。 さらに、それ ぞれ の面のつなが り具合がは つき り捉 え られ る。そ こで、三角本主や 円柱 の展開 図を描 く活動 を取 り入れ てみた。 教科書の問題のあとで、ほかの問題でも同じようにきまりが使えるか、ため してみましょう。 発展 (より拡げる)

p38回

_{の問題に品物をふやして、たしかめま吟ょう。}

『 ただしさんは、6人 でお楽 しみ会をするので、 1本

70円

のジュースを

6本

、 1こ

30円

のみ かん を

6こ

買いま した。 お金は、い くら払えばよいで しょ

3年

下

p41

「

₁₅

_{計算のじゅんじょ}

(2)」

②計算のきまり

□まきさんは、

1ま

い

40円

の絵はがきを

5ま

いと、

50円

の切 手 を5まい買いま した。 だい金 は、 あわせ てい くらで しよ う。 1つの式 にかいて もとめま しょ う。

40+50=90

90×

5=450

(40+50)×

5=450

450円

40×

5=200

50×

5=250

200+250=450

(40×

5)+(50×

5)=450

450円

どち らの式 も、答えは同 じにな ります。

(40+50)× 5=(40× 5)+(50×

5)

112矢 部敏昭 ・倉吉算数サークル:数_{学教育学における「発展的教材」の開発 に関す る研究} このほかに、「1こ

20円

のあめを

6こ

」「1こ

80円

の りん ごを

6こ

」 と品物 をふや してい きます。 計算のきまりが使えるか ど うか 、た しかめま しょう。 品物が増 えて も、個数(人数)は変わ らないので、「まとめて計 算す る」 賜1々 に計算す る」の どち らで も答 えは同 じになる。 品物が2つの場合 か ら、

3つ

、 4つ・・・になるとどうだろ うと広げて考えることによ り、計算 のきま り(分配 法則)が同 じよ うに成 り立つ ことに気づき、計算の しくみのお も しろさを味わっ た り、よ り確かな理解 へ とつながるのではないカモ

(4)一 ②「数量関係」 5年 下

p21「

9式

と計算」

(よ

り拡げる 。より深める

) 発展 (よ り深 め る) 1辺に6個な らべ た ときの

0の

数 は、 どの よ うな求 め 方 が で きるで しよ う。 また、式 に表す と ど うな るで しょ う。 6×

2+(6-2)

n×

2+(n-2)

(6-2)×

4+4

(n-2)X4+4

×

2=12+8

=20

×

2=(n+n-2)×

2

=(2n-2)×

2

=(n-1)X4

=16+4

=20

=(n-2+1)×

4

=(n-1)×

4 5年下

p41

「

9

_{式 と計算 」} ① ●を正方形 の形に並べ ます。 ア かずお さん は、

1辺

に 6個 な らべた ときの

0の

数 を、

(6-1)×

4の式 に表 して求 めた。 どの よ うに 考 えたの か。 →_{1辺の数 か ら1とつた4倍} イ

1辺

に7こや8こな らべ た ときの

0の

数 は、 かず お さん の 求 め方 では どんな式にな るか。 →_{1辺が7この とき……}

_(7-1)×

₄ 1辺が8この とき …

(8-1)×

4 ② けい こ さん は 、

6×

4-4の

式に して求 めた。 この求 め方 で は 、 一辺 に

10個

な らべた ときの

0の

数 は 、 どん な式 に な るか。 →

_10×

_4-4

鳥取大学教育地域科学部紀要 教育・人文科学 第 5巻 第 2号 (2004) (3×

4)+

(3×

4)+

(6-4)×

4=12+8

=20

(4)一

③「数量関係」

5年

下

p23「

_{10同 じものに目をつけて」}

(よ

り拡げる

)

(n-4)X4=(3+n-4)×

4

=(n-1)×

4 【いろんなや り方 で考 えて】 同 じ問題 で も、区切 り方を変 えて考える と、い くつかの式ができる。しか し、 それ らの式 は、計算のきま りを使 つて書き換 えてい くと、教科書のや り方 の「1 辺 の数 か ら 1と つた

4倍

」 と、同 じ計算 「

(n-1)×

4」 であることが、明 らかにな る。 5年下

p23

10同

じものに 目をつけて ① りんご7こをかごにつめてもらったら、かご代ともで

940円

でした。同 じかごでりんどを5こにすると、

700円

になるそうです。りんご1この ねだんはいくらでしょう。 教科書 単元 内容 ■

0●

0●

0●

0

■

00●

●

0

940円

700円

120(円

) 1辺に7こ並べ た とき、8個な らべ た ときにイよ、 どん な式 になるで しょ う。 7個 の とき

(7-1)× 4=24

8個の とき

(8-1)× 4=28

【他の数字 で考えて】 一辺 に並べ る個数が6以外 の場合 で も、●の個数 は 「(個数

-1)×

4」 で 求 め られ ることが、分か る。 更に、四角形以外では どうな るのかな とい う問い も、お も しろい。 発展 (よ り拡 げる)

(940-700)■

114失 都敏昭・倉吉算数サークル :数 学教育学における「発展的教材」の開発 に関する研究 ② みかん 1こ とかき3こ で

380円

、同 じみかん 2こ とかき 3こ で

430円

です。みかん 1こ 、かき1こ のねだんは、それぞれ何円で しょう。 ■

0●

0380円

■ ■

0●

0430円

430-380=50(み

かん 1こ

50円

)

(380-50)■ 3=110(か

き 1こ

110円

) 発展 (より拡 げる) ①や② と同 じような問題を作つて、 自分で解いて下さし、

(餌

Dで

使つた考え方で解ける問題を作 りましょう。) (例) 鉛筆

3本

と消 しゴム3個 で

660円

で、同 じ参合筆 1本 と消 しゴム3個で

46

0円で した。鉛筆 1本 、消しゴム 1個 のねだんはそれぞれ何円で しょう。 ■ ■ ■

0●

0660円

■

00●

460円

(660-460)■ 2=100(鉛

筆1本

100円

)

(460-100)■ 3==120(消

しゴム 1個

120円

) 教科書 ⑪ は減法を 1回適用することによつて答えを求める問題 となつて いた。この問題は、購入する品物が

2種

類で

2種

類 とも複数個になっている問 題である。

660円

から

460円

を引いたとき鉛筆2本分の値段を求めること ができ、それから鉛筆1本分の値段を求める構造になっている。 発展 (1よ り拡げる) みかん 2こ とりん ご 3こ で

360円

、みかん 1こ とりん ご 2こ で

230円

で した。み かん とこ、 りんご 1こ にねだんはそれぞれ何円で しょ う。 ■ ■

0●

●

860円

■

●

0 230円

(230×

2)-360=100(り

んご 1こ

100円

)

230-100× 2=380(り

んご 1こ

30円

) 同 じ物ものに目をつけて、差し引いて考える問題が扱つてある。教科書③②で は差 し引いて考えるものが全く同 じ個数である。2つ の品物の個数が違う場合 を設けてみた。片方を何倍かすることによって、①②の考え方を適用すること ができる。 河本 了 田中靖浩 松本玲子 浅 田倫 也 棚 田 厚 (上 北条小), (三朝西小), (三朝東小), (教育事務所), (三朝 西小), 倉吉算数サークル (研究同人) 坂出純子 (泊小

),

清水伸哉 (高城小), 松 田由美子 (桜小

),

加藤 るみこ (東郷小), 山枡亜希子 (古布庄小

)I姫

由恭江 (附属小), 宇山慎二 (上北条小

),

新川玲子 (東郷小)J 本庄和代 (北谷小

),

藤井浩子 (花見小) 藤 本成子 (関金小) 中原 由香子 (遷喬小) 米村秀 昭 (羽合西小) 竹 中 徳 (上灘小) 以上 19名

鳥取大学教育地域科学部紀要 教育・人文科学 第 5巻 第 2号 (2004)

Sumrnary

The Development of progressive teaching materials is a modern problem in mathematics

education This research is a iOint 、vith independent group organized ttrith the teacher re―

search, and the one that teaching material of progressive study in mathematics 郡ァas devel―

oped

The aspect of the teaching material development took up two points as a characteristic of

the mathematics learning The one is a process to face from special to general, and other

one is a process to face frorn general to special The process to face general expands the range of use, and the prOcess to face specialunderstands certainly.

The originality of this research show,s the aspect of the teaching material development of progressive study, and is development of a lot of teaching materials

注 (1);「 学力の実質化」は,平成12年10月元大島理文部大臣の発 した「 よりよい教育 を目指 して」において登 場 した用語である。子 どもの能力や個性 は多様であるとい う前提 に立って,平均値 に合 わせた一律 一斉指導 か らの転換 を強調 し,現行の学習指導要領の基調 と位置づけた。 引用 ・参 考 文 献

1)高

久清吉者 『教授学』―教科教育学の構造―,協 同出版,1968,174,169_178

2)文

部科学省編『個に応 じた指導 に関する指導資料』一発展的な学習や補充的な学習の推進 一 小学校算数編, 教育出版,2002■,1016-17

3)同

上書 ,1016-17

4)能

田伸彦編著『小学校算数・絶対評価の実際』東洋館 出版

,20032,1723

5)Carolaine V Gipps

『BeyOnd Testing Towards a theory oF educational assessment』 新 しい評 価 を求めて一テス ト教育の終焉 ―,論創社

,20017,16

6)拙

著 『新 しい学力観 と問題解決』明治図書,1992

7)拙

著 『四則計算の基礎の確実な定着 と「特殊Jと「一般J』 東洋館,新しい算数研究,2003,No 387

8)拙

著 『 目標 に準棚 した絶対評価』 一学習評価への招待 ,明 治図書,楽 しい算数の授業 ,2002 No 215

9)拙

著 『基礎 ・基本 を重視 した授業 とその評価 』 一学習評価へ の招待

,明

治 図書

,楽

しい算 数 の授 業, 2002 No 219 10)拙著 『算数的活動 と少人数指導』 一学習評価への招待 ―,明 治図書,楽 しい算数の授業 ,2002 No 220