数学Ａ 図形の性質 発展問題
（
１）
（平行線と線分比） 【３角形の角の２等分線の定理】 【問１】 ＡＢＣの内角 Ａの２等分線が辺ＢＣと交わる点をＤとする。 内角 Ａの外角の２等分線が辺ＢＣの延長線と交わる点をＥとする。 ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤ ＡＢ：ＡＣ＝ＢＥ：ＥＣ が成り立つことを証明せよ。 （証明） 点Ｃから辺ＡＢに平行線を引いてＡＢの延長線と交わる点をＦとする。 点ＣからＡＥに平行線を引いてＡＢと交わる点をＧとする。 ＡＤとＣＧの交点をＨ Ａ とＣＦの交点をＩとおく。 また とおく。 ＡＣＨ ＡＧＨ（ ＡＨ共通 ＣＡＨ＝ ＧＡＨ ＧＣ ＡＥより錯角を見て ＡＣＨ＝ ＣＡＥ 同位角を見て ＡＧＨ＝ ＦＡＥ また ＣＡＥ＝ ＦＡＥより ＡＣＨ＝ ＡＧＨ） よって … ① となる。 同様に ＡＣＩ ＡＦＩ（ ＡＩ共通 ＣＡＩ＝ ＦＡＩ ＡＤ ＦＣより錯角を見て ＡＣＩ＝ ＣＡＨ 同位角を見て ＡＦＩ＝ ＧＡＨ また ＣＡＨ＝ ＧＡＨより ＡＣＩ＝ ＡＦＩ） よって … ② となる。ところで「平行線と線分の比」の関係より ＢＣＦにおいて ＡＤ ＦＣ より ＡＢ：ＡＦ（＝ ）＝ＢＤ：ＣＤ ②より ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤ ＢＡＥにおいて ＧＣ ＡＥより ＡＧ（＝ ）：ＡＢ＝ＥＣ：ＢＥ ①よりＡＣ：ＡＢ＝ＥＣ：ＢＥ これを書き直して ＡＢ：ＡＣ＝ＢＥ：ＥＣ （証明終り） （円に関する定理） 【問２】右図のように 円と正三角形ＡＢＣが重なっている。 ＡＰ＝ＡＳ＝ ＱＲ＝ のとき この正三角形の１辺の長さを求めなさい。 （図は正確ではない） （解） とおく。 「方べきの定理」から ･ ･ ･ ･ が成り立つので …① …② ① ② より よって …③ より …④ ④ とＡＢ＝ＢＣから …⑤ これより …⑥ ⑥ を ① に代入して整理すると より これを ⑤ に代入して 正三角形の１辺の長さ …（答） （三角形の基本性質） 【問３】次の各問いに答えよ。 （１）ＡＢ＝２ ＢＣ＝３ ＣＡ＝４ である三角形ＡＢＣの内角について ２ ＢＡＣ ３ ＡＣＢ＝ が成り立つことを証明せよ。 （２）ＰＱ＝ ＱＲ＝ ＲＰ＝ である三角形ＰＱＲにおいて ＱＰＲ＝ ＰＱＲ＝ とするとき となる自然数の組 を一組求めよ。 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ （１）（証明） ＢＡＣ＝ ＡＣＢ＝ とおく。 ＢＡＣの二等分線とＢＣの交点をＤ とすると ＢＡＤ＝ ＣＡＤ＝ …① 「角の二等分線の定理」より ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝２：４＝１：２ これより ＢＤ＝１ ＤＣ＝２ …② である。次にＣＡ上にＣから２のところをＥとおくと ＡＥ＝ＥＣ＝２ …③ となる。 ＡＢＤと ＡＥＤにおいて ① とＡＤ共通 ③ よりＡＢ＝ＡＥ＝２ となるから ２辺挟角相等より ＡＢＤ ＡＥＤ これより ＤＥ＝１ ＡＤＢ＝ ＡＤＥ …④ また ＣＤＥは二等辺三角形より ＣＤＥ＝ ＣＥＤ＝ …⑤ ＡＤＢ＝ （ ④ より）＝ ＝ （ ⑤ より）＝ …⑥ また ＡＢＣの内角の和より …⑦ また ＡＢＤの内角の和より よって （ ① ⑥ より） …⑧ ⑦＝⑧ より ２ ＢＡＣ ３ ＡＣＢ＝ （証明終り） Ｐ Ｑ Ｒ Ｔ Ｎ （２） ＱＰＲ＝ ＰＱＲ＝ とおく。 ＰＱＲの二等分線とＲＰの交点をＮ ＱＰ上でＱから８のところの点をＴとおく。「 ＰＱＲの角の二等分線の定理」より ＰＱ：ＲＱ＝ＰＮ：ＲＮ ：８＝ＰＮ：ＲＮ ＰＮ：ＲＮ＝３：２ ここで ＲＰ＝ であったから ＰＮ＝３ ＰＮ＝２ となる。 次に ＲＱＮ ＴＱＮ（ ＱＮは共通 ＲＱ＝ＴＱ＝８ ＲＱＮ＝ ＴＱＮ＝ …① より 二辺挟角相等より） これより ＴＮＰはＴＮ＝２ ＮＰ＝３ ＰＴ＝４ の三角形であるから（１）の最初に与えられた 三角形 ＡＢＣと同じ長さの辺をもつ三角形となった。 よって （１）の結果が使える。
２ ＮＴＰ ３ ＴＰＮ＝ が成り立つ。これより ＮＴＰ＝ また ＮＴＱ＝ ＮＴＰ＝ ＝ …② ＲＮＱ＝ ＴＮＱ＝ …③ ＮＴＱにおいて内角の和を考えると ＴＱＮ ＮＴＱ ＴＮＱ＝ ここに ① ② ③ を代入して これより これより 求める自然数の組 は …（答） 実はこれ以外に条件を満たす自然数の組 がないことが知られている。 （三角形の基本性質） 【問４】長方形ＡＢＣＤがある。辺ＢＣ上に点Ｍ 辺ＣＤ上に点Ｎ 辺ＤＡ上に点Ｐ 辺ＡＢ上に点Ｑをとった ところ ＭＣ：ＣＮ＝ＭＰ：ＰＱ＝３：４ ＣＮ＝ＮＤ ＭＮＰ＝ ＭＰＱ＝ となった。 （１）ＡＢ：ＢＣを求めよ。 （２） を満たす 最大公約数が１である２つの自然数 の組を一組あげよ。 ⑤ ③ ④ （解）（１）三角形の三辺の比が整数である三角形を ピタゴラス三角形というが ＭＣ：ＣＮ＝３：４ で ＭＣＮは 直角三角形より ＭＣ：ＣＮ：ＭＮ＝３：４：５ …① である。 また 直角三角形ＮＤＰと直角三角形ＭＣＮにおいて 直角と ＮＰＤ＝ ＣＮＭ（ ＤＮＰ ＣＮＭ＝ ＤＮＰ ＮＰＤ＝ これより ＮＰＤ＝ ＣＮＭ ）から ２角相等より ＮＤＰ ＭＣＮ よって ＮＤ：ＤＰ：ＰＮ＝３：４：５ …② ところで ＣＮ＝ＮＤ より ① のＣＮ＝ と② のＮＤ＝ から４と３の最小公倍数 を考えて ＣＮ＝ＮＤ＝ …③ とおいて できるだけピタゴラス三角形をたくさん作っていく。 ③ と ① より ＭＣ＝９ ＭＮ＝ …④ ③ と ②より ＤＰ＝ ＰＮ＝ …⑤ 次に直角三角形ＭＮＰの辺の比を考えると ＭＮ：ＰＮ＝ ： ＝３：４ よって ＭＮ：ＰＮ：ＭＰ＝３：４：５ これより ＭＰ＝ …⑥ 次にＭからＡＤに垂線を下ろし その足をＨとすると ＭＨ＝ＣＤ＝ …⑦ 直角三角形ＭＨＰと直角三角形ＰＡＱを考える。 ＭＨＰ ＰＡＱ（ 直角共通 ＨＰＭ ＡＰＱ＝ ＨＰＭ ＨＭＰ＝ よって ＡＰＱ＝ ＨＭＰ これより２角相等であるから） また ④ ⑤ よりＰＨ＝ＤＰ－ＭＣ＝ ９＝７ …⑧ よって ＰＨ：ＭＨ：ＭＰ＝ＡＱ：ＡＰ：ＰＱ＝７： ： …⑨ （ ⑥ ⑦ ⑧ より） ここで与えられた条件より ＭＰ：ＰＱ＝３：４ であったから ＭＰ：ＰＱ＝３：４＝ ： と表せる（ ⑥ より） これよりＰＱ＝ …⑩ ⑨ ⑩ より ＡＰ：ＰＱ＝ ： ＝ＡＰ： よって ＡＰ＝ …⑪ ＢＣ＝ＡＤ＝ＡＰ＋ＤＰ＝ ＝ …⑫（ ⑤ ⑪ より） ＡＢ＝ＣＤ＝ （ ⑦ より） ゆえに ＡＢ：ＢＣ＝ ： ＝１：２ …（答）
（２）ＢＭ＝ＢＣ－ＭＣ＝ ＝ （ ④ ⑫ より） ⑨ ⑩ より ＡＱ：ＰＱ＝７： ＝ＡＱ： これより ＡＱ＝ ＡＱ＝ …⑬ よって ＱＢ＝ＡＢ ＡＱ＝ＣＤ ＡＱ＝ ＝ …⑭（ ⑦ ⑬ より） ＢＭ＝ＢＣ－ＭＣ＝ －９＝ …⑮（ ⑫ ④ より） 次に直角三角形ＭＰＱの辺の比を考えると ＭＰ：ＰＱ＝ （ ⑥ ⑩ より）＝１： （ を掛けた）＝３：４（ ３を掛けた） これより ＭＰ：ＰＱ：ＭＱ＝３：４：５＝ （ を掛けた） ゆえに ＭＱ＝ …⑯ ここで直角三角形ＭＢＱにおいて 三平方の定理が成立しているので （ ⑭ ⑮ ⑯ より） これより を満たす 最大公約数が１である２つの自然数 の組は または …（答） （注）これ以外に答えがないことが知られている。 （平行線と線分比） 【問５】図において ＯＢＣと ＯＤＡは正三角形で ＡＤ ＢＣである。 いま 線分ＯＡ ＯＢ ＣＤ上にそれぞれＳ Ｐ Ｑ を となるようにとるとき ＰＱＳは正三角形となることを証明せよ。 （証明） これから使うために「線分比の定理」を確認しておく。 「線分比の定理」 ＡＢＣの辺ＡＢ ＡＣ上に点Ｐ Ｑ があるとき ならば （ ＡＰＱ ＡＢＣ より） （ア） （イ）ＰＱ ＢＣ （ウ） ここから証明を開始する。 次の等式を満たすように 線分ＡＢ上に点Ｒ 線分ＯＣ上に点Ｔを 線分ＯＤ上に点Ｕをそれぞれとる。 …① とおく。 ① と「線分比の定理」（ア）より …② …③ …④ …⑤ …⑥ …⑦
① より これより 分母を払って ･ ･ 「線分比の定理」 ウ より …⑧（ ③ より） ① より これより 分母を払って ･ ･ 「線分比の定理」 ウ より …⑨（ ⑥ より） ⑧ ⑨ より ここで正三角形ＯＢＣよりＢＯ＝ＣＯであるから ＲＳ＝ＱＵ …⑩ ① の条件式より 「線分比の定理」 ウ より …⑪ ① の条件式より 「線分比の定理」 ウ より …⑫ ⑪ ⑫ より ここで正三角形ＯＤＡよりＯＡ＝ＯＤであるから ＰＲ＝ＴＱ …⑬ ① より これより ･ ･ 「線分比の定理」 ウ より ここで正三角形ＯＢＣよりＢＯ＝ＣＯ＝ＢＣより ＯＰ＝ＯＴ＝ＰＴ …⑭ ① より 「線分比の定理」 ウ より ここで正三角形ＯＤＡよりＯＡ＝ＯＤ＝ＡＤより ＯＳ＝ＯＵ＝ＳＵ …⑮ ① より より「線分比の定理」（イ）を使うとＰＲ ＯＡ …⑯ ② ③ より より「線分比の定理」（イ）を使うとＲＳ ＯＢ …⑰ ⑯ ⑰ より四角形ＲＳＯＰは２組の向かい合う辺が平行より平行四辺形である。 よって ＲＳ＝ＯＰ …⑱ ＰＲ＝ＯＳ …⑲ ⑩ ⑭ ⑱ より ＲＳ＝ＯＰ＝ＯＴ＝ＱＵ …⑳ ⑬ ⑮ ⑲ より ＰＲ＝ＯＳ＝ＴＱ＝ＯＵ＝ＳＵ … ⑳ より２組の向かい合う辺が等しいので 四角形ＯＴＱＵは平行四辺形である。 よって ＯＵ ＴＱ このとき ＰＯＴ＝ ＯＴＱ＝ （ 正三角形ＯＢＣより） これより ＰＴＱ＝ ＰＴＯ ＯＴＱ＝ ＝ また 平行四辺形ＲＳＯＰより ＰＲＳ＝ ＰＯＳ＝ ＰＯＴ＝ これと ⑭ ⑳ よりＲＳ＝ＰＴ これと のＰＲ＝ＴＱ より 二辺挟角相等より ＰＲＳ ＱＴＰ よって ＰＳ＝ＱＰ … また 平行四辺形ＯＴＱＵよりＯＴ ＵＱ このとき ＯＵＱ＝ ＳＯＵ（ 錯角より）＝
これより ＱＵＳ＝ ＯＵＱ ＯＵＳ＝ ＝
これと ⑳ よりＲＳ＝ＱＵ これと よりＰＲ＝ＯＵ より 二辺挟角相等より ＰＲＳ ＳＵＱ よって ＰＳ＝ＳＱ …
