【論 文】 UDC ：624
．
042．
7：620．
1 日本建築学会構造系論文報告 集 第 369 号・
昭 和 61 年 11 月パ ル ス
応
答解析
に
よ
る
1
質 点
系
の
地
震 応
答評価
一
Bi
−
linear
型
復
元力
特
性
完 全弾
塑性
型 と塑性 劣化型
につ い て一
正 会 員 正 会 員 正 会 員 正 会 員山
河
谷
藤
田
村
谷
明
秀
稔
＊広
＊ ＊勲
＊ ＊ ＊雄
＊ ＊ ＊ ＊1．
序弾塑 性 構 造 物の地 震応答評価は， 時 刻 歴 応 答 解 析に よ る場 合 が 多く
，
そ れ は，
個々の構造 物の特 定の地 震 波 形 に よる振 動特 性を知る ために有 効な手 段で あ る］） 。しか し， 時 刻 歴 応 答 解 析は確定 論 的であるとい う批判 か ら
，
ランダム振 動 論2｝によ る応答評価が 行わ れ ， また，
構造 物の吸 収エ ネル ギー
を応答評 価の指 標とする研 究も 多く行わ れ る よ うに なっ た3 〕−
5）。
そこ で，
筆 者ら は，
単純エ ネルギー
原 理で応 答 評 価の み な らず 損 傷 評 価にも結びつ け ることの できる，
極 限応 答解析を提示 し た6 ；−
8 ）。 この極限応 答 解 析は，
選 択 極大 応答原 理に基づき，
構 造 物が与え ら れ た 入力の 中か ら 入 力エ ネル ギー
が最 大に な るよ う な 入力 を 選 択し応 答 する と し て， 応 答 解 析を行 う方 法であ る。
まず， 構 造 物の応 答をCyclic
（繰 り返 し）とMonotonic
（一
方 向 ）の両 極 端のケー
ス に分け，Cyclic
な答 応に は有 限 共 振 応 答 解 析を，MonotQnic
な応 答にはパ ル ス応 答 解 析 （速 度 パ ル ス，
加 速 度パル ス）を適用す る。
本解 析 法では，
入 力は 地 動ス ペ ク トル特 性と継続時 間で与え られ9 ），
構 造 物の特性も地 動入力ス ペ ク トル と 同 じ座 標 上に描く こと で，
両者の相互 関 係か ら応 答量 を計算す ることができる。 し たがっ て，
人力と構 造 物の特 性が分離し て与え ら れ る こ と と，
数値 計算等に よ る解 析過 程のblack
box
化を防 ぐこ と が で き るの が特 徴で あ る。すで に
，
筆者ら の研 究室で は，
有限共 振 応 答 解 析に よ る履歴系の応 答 解 析7 ｝・
le ）とパ ルス応 答 解 析の検 証 例川，
さ ら にパ ル ス応 答解 析によ る 剛体ロ ッキング振 動の解 析 例IX） を 発表 し た。
また，
極 限 応 答 解 析を，
地 域的な震 害 予測Blや震 害の確率 統 計 的 評 価14〕の ために も有 効な手 段 と して，
耐震性評価に も応 用を試み た。し か し
，
パ ル ス応 答 解 析に関す る 既報の研 究8 胆 1では，
本論 文 は，
文 献15）の内 容を骨 子と して ま と め たもの である。
申 神 戸 大 学 教 授・
工博 ＊ ＊ 神戸大学 助 教 授・
工博 i＃ 神戸大学 助 手・
工 修 ＊ ＊ ＊ ＊ 神 戸 大 学 大 学 院生・
工修 〔昭 和61年 3月 7日原 稿 受理 ｝ 基本的な考え方 と解 析 結 果 を報 告し た が， その定量的な 考 察の結果，
解 析 手 法の物 理 的 意 味に検討の余地が あ る と考え られ たの で， 本 報で は以 下の 4点につ い て根本 的 な検 討 を 加え，
定 量 的に も近 似 性の高い パ ル ス応答解析 を提 示 するもの である。
（1 ）1
正 弦パ ル ス 入力と矩 形パ ルス入力の 振 幅比 （2）’
矩 形パ ル ス入 力の継 続 時 間と，
入力ス ペ ク トル の横 軸の周 期との対 応 関係 （3 ）速 度パ ル ス応 答 解 析の有効範囲 と 加 速 度パル ス 応 答 解 析の関 係 （4） パル ス応 答 解 析の初 期 条件ま た， 本報で は， 復 元 力 特 性 （完 全 弾 塑 性型
，
塑性 劣 化型）の応 答に与え る影 響 を考 察 して いるので，
と り あ えず 構 造 物の粘 性 減 衰 を無 視して いる。
さ らに，
解析結 果を定量的に検 討する た め に， 最 小二乗 法を用い て，
入 力と応 答に統 計 的な処 理 を行い，
解 析に精 度 上の検討を 加える。
2．
極限応答解 析
Bi．
linear
型 復 元 力特 性 （Fig．
2）を有す る1
質 点系振 動子 （Fig．
］）は，
任 意の地 動入力を受け，
任意の応 答 を示す。
本 極限応 答 解 析TL8 ］で は
，
等 価 線 形 化の可 能な安定し たCyclic
な応 答 （Fig．
3）を有 限 共振応答解析で解 析 し，
非 線形性の強い 不 安 定な Monotonic な応 答 （Fig，
4 ） をパ ル ス応 答 解 析で解 析 する。 し た がっ て，
系の極 限 応 答 変 位は パ ル ス応 答 解 析によっ て得ら れ る。
以ドの と お り，
変 数を定 義す る。
m ：質 量 （1−
n＞h
：塑性岡ll性 （Fig．
2） x ：基 礎か らの変 位f
（x）：復元力 z 二地 動 変 位 2 ：地 動 加 速 度 t：時刻 x。 ：降 伏 変 位fy
：降 伏 耐 力 x、1；崩 壊 変 位 Te ：弾 性 固 有 周 期 ω ：固有Pl
振 動 数 Xa ：変形 振 幅fa
：荷重 振 幅 Ac（x。
〉：履 歴 面 積 醜。：等 価剛性 丁。 。：等価 周 期 Xp ：一
方 向 応 答 変 位一 48 一
h
：弾性 剛 性A
（x｝：一
方向履 歴 面 積 Tc，
Tc ：台 形 化 地 動入力ス ペ ク トル の折 点 周 期3．
パル ス の応答解析Monotonic
な応答 （Fig．
4）は，
速 度 あるいは加 速度 のパ ル ス入 力 （Fig．
5）に よっ て生じ る と考え ら れ る。 今， あるパ ルス入力 （Fig．
5）により，
系 がFig．
4
の点 P まで変 形し た と す る。 その パ ル ス入 力の速 度 （加 速 度〉 振 幅 をvN α p）， 継 続 時 間 を tpとす る と， そ の一
方 向応 答 変 位 Xp に対 して， Vp（ap）と tpの組み合わ せは無 数に 存 在 する。 そこ で，
その 組み 合わ せ の 集 合 （Vp−
tp （a。−
t，〉関 係 ）を4軸対数 座標に図 示し た もの を， 速 度 （加 速 度 ）パル ス ス ペ ク トル と呼ぶ （Fig．
6）。
他 方，
地 動 入 力スペ ク トル （Fig．
7）は，
それぞ れの 地 震 動に固 有の もの で，
最大 地動 振 幅4 （加 速度 ），
Vmax （速 度），Dmax
（変位）と 2つ の折 点 周期Tc，
Tc
で構 成さ れ る台形 化スペ ク トル とする5）。
こ こ で，
パ ル ス入力の継 続 時 間 tp（Fig．
5）と地 動入力スペ ク トル の 周 期T
（Fig．7
）の間に適 当 な 関 係 を 与え る と，
Fig．
6 に示す よ うに，
速度 （加 速 度 ）パ ル スス ペ ク トル と 地動 入 力ス ペ ク トル を 同 じ座標上に描 く こ と が で き る。こ こで， Xp よ り大きい
一
方 向 応 答 変 位 x尸、を仮 定す る と，
速 度 （加 速度 ）パ ル ス スペ ク トル は，Fig．
6で速酷
m
f
｛
x ｝ 「｛
1
−
n ｝k
k
鬯
XyOXy XBx一
fy
度 （加 速 度 〉の 増 加す る方 向へ 移 動する。
同時に， 与え ら れ た地 動入力ス ペ ク トル との共有点が存 在し な く な る。 これ は，
その地 動 入 力 を受けて も，
系の応答変位は 砺 に達し ない こと を意味す る。 逆に，
Xp より小さい一
方 向 応 答 変 位 Xn を仮 定す る と， 速度 （加 速 度 ）パ ル ス ス ペク トルは，Fig．
6で速 度 （加 速度 ）の減 少する方 向 へ 移 動する。
同 時に， 与え ら れ た 地動入力ス ペ ク トル の一
部が速 度 （加 速 度 ）パ ルス スペ ク トル より上 方に存 在 す る。 これ は，
そ の地 動入力 を受け る と，
系は Xp2 よ り 大 きい変 形を強 制され る こと を意味 する。 し たがっ て， 速度 （加 速 度 ）パ ル ス スペ ク トル が 地動入力ス ペ クトル と接し た とすると，
その とき仮定して い た一
方 向応 答 変 位 Xp が，
与え ら れ た地動入力に よ る応 答 変 位 とな る。
解 析で は， 矩 形パ ル ス入力につ い て Vp
− tp
（ap−
tp） 関 係 を 求 める。
ある応 答変位Xp を仮 定し た と き，一
つ の矩 形パ ル ス入力の速度振 幅 Vp （加 速 度 振 幅 α ，）に対 して 1つ の継続 時間tp
が確 定 的に計 算でき，
速度 （加bgV
速 度 速 度パ ル ススペ ク ト ルx卩
Xp1 （＞Xp
）
Xp2（くXp
）Vp
−
tp
関 係 广一一一一一
！！
／
地 動入 力ス ペ ク トル 丶 丶 ！ 丶驚
f
｛x ） o四
7帋
tFig
，
1 1質点系振 動 子 Fig．
2 B重・
linear型復元力 特性f
【x｝
foA
匸IXo
〕殴
q一
x α0
xαX
■
fo
Fig．
3 Cyclicな応答 V震
・・ 【OO
f
｛x0
logV
・。、嗣
速 度log
tp
va
間L
・g
Tfi
b9
τd
。gT
周 期 （a ）速 度パ ル ス ス ペ ク トル 加 速 度パ ル ス スペ ク トルXp1
〔
＞X卩）X αP
−
tp
Xm （くXp
）
関 係 ／弩
Fig．
4
Monotonicな応 答 TlI−
0
α偽
o
加 速 度 7− 『一一■
A 丶 ！ 丶 ！地 動入 力スペ ク トル ＼ 丶 、
f
卩t
時 間 十Pt 時 間 （a ｝速 度パ ル ス 入 力 （b）加 速 度パ ルス入 力 Fig．
5 パ ル ス入力togtp
時 間lOg
TG
logT
⊂［ogT 周朋 （b〕加 速度パルス ス ペ ク トル Fig
．
6 パ ル スス ペ ク トルbgV
速 度A
logTG
ヒngTi
⊂【〔胆T
周 期 Fig．
7 パ ル ス応 答 解 析地 動 入 力スペ ク トル一
49
一
速 度）パ ル ス スペ ク トル も即座に描 か れ る
。
とこ ろ が，
よ り実 状に近い パ ル ス入力とい えば， 正 弦パ ル ス入力が 考え られる。
しか し，
正弦パ ルス入力 を仮 定 する と，1
つ の vKap ）に対 応す る tpを得る た めに は， 繰 り返 し計 算が 必要にな り， 1つ の速 度 （加速 度）パ ル ス スペ ク ト ル を描 くことも容 易では ない。
し た がっ て， 本 報では解 析を簡単にする ために
，
矩 形 パ ルス 入力に よる解 析 を 行 うが， 3−
1（1 ）一
（3｝に示す 適 用変換 則 を導い て正弦パ ル ス入力 を 仮 定した場 合と等 価な解析とな るよ うにす る。
3−
1 パ ルス 応 答 解 析の仮 定（1） 正弦パル ス入力と矩 形パ ル ス入力の振 幅 比
既 報8）
・
Ll）・
12｝では ， 速 度パ ル ス も加 速 度パ ル ス も， 正 弦 波と矩 形 波の 面積が等 しい場 合に等 価であ る と仮定して い たが，
速 度パ ル ス と加 速 度パ ル ス では，
系に与え るエ ネルギー
を支 配す る物 理 量 が異 なるの で，
個別に仮定 す る必 要が あ る と考え る。
そこ で，
矩 形パ ルス 入力と正 弦 パ ル ス入力の理 想的な状 態 （初 速 度 V。＝
0 ）で微 分 方 程 式 を 解い て得た， 矩 形パ ル ス入 力対正弦パ ルス入力の最 小 振 幅の比 の値 （文 献 15）の Table2，
hv，
ic
、 の値 ） も参 考に して，
次の よ うな考え方で，
新たに仮定 を行 う。
速 度パ ル スの場合， 速 度の変 化 量が系に与え る運 動 エ ネルギ
ー
を支配 してい る （cf．
式 （3
），
V
。＋Vp）の で，
正 弦パ ル ス入力の最 大 振 幅と矩 形パ ル ス入力の振 幅が 等 しい もの を等 価と み な し，振 幅比hv
をkv
＝
1（Fig．
8
（a）） と す る。
加速 度パ ル ス の場 合
，
加速 度による慣 性 力 （m α p）と，
それ による変 形 （x）の積（m αpx ｝が，
系に与え るエ ネル ギー
を 支 配 し て いる （cf．
式 （10））の で，
正弦パ ル ス 入力と矩 形パ ル ス入 力の面 積 が等しLiもの を等価と み な し，
振 幅M
ka
を，
h
・−
9
（Fi
・・
8
（b
｝）とする・（2） 矩 形パ ル ス入力の 継 続 時 間 と地 動 入 力スペ クト ル と の関 係
矩形パル ス入 力に よ るパ ル ス スペ クトル を地 動入力ス ペ ク トル と 同じ座 標に描く た めに は， 矩 形パ ル ス入力の 継続 時間
tF
と地 動入力スペ ク トル の横 軸の周 期T
の関 係を 仮 定す る必 要が あ る。enva
・・，
］1・，
・・1 で ・，
矩 形パ ・レ从 加弖
サ イ・ル の入 力で あ る と考え て，
tpを 2倍する こ と で周 期 T と整 合 させ て いた が，
これ は 入力 側か らの仮 定である。
そこ で，
VO
速 度一
Vp加 0（
凄
o
−
Ctp
一
葦
o〔p （a）速度パ ル ス 入 力 （b）加速 度パ ル ス入力 Fig．
8 矩 形パ ル ス入力と正 弦パ ル ス入 力一
50
一
矩 形パ ル ス入力に よる Vp−
tp（ap−
tp＞関係の tpを2
倍 お よび4倍 し た パ ル ス ス ペ ク トルと，
正弦パ ル ス入力に よ る パル ス ス ペ ク トル を比 較し た結果 （文献15
）Figs．
9〜
20，Table
2，
tpと T の対 応 関係 ）を参考に して，
次の よ うな考え方で，
新たに仮定 を 行 う。
継 続 時 間tp
の実 際の長さ は， 系が原点 を 通 過してか らMonotonic
な変 形を終 了す る まで の時 間に相 当 する。 ・ れ は1
サイ・ ル の応答で あ る・
・ た… て・
tpは 4 倍す ることで周 期T
と整 合さ れ，Fig．6
に示すよ うに，
パ ル ス スペ ク トル は地動入力ス ペ ク トル と同 じ座 標に図 示で きる と仮 定す る、 こ れ は，
パ ル ス スペ ク トル，
地動 入力スペ ク トル と もに，
応 答の観点か ら見た仮定である。（3） 速 度パル ス応 答 解 析の有効 範囲 と加 速 度パル ス
応
答
解 析の関 係Fig．
9
に，
矩 形 速 度パ ル ス によ るパ ル ス スペ ク トル と 正弦速 度パ ルス に よるパ ル ス ス ペ ク トルを 示す。
その概 形の相違 点は， 矩 形 速 度パ ル ス’
によ る 場合に下限 値 （直 線部分 ）が存 在 することであ る。 ま た，Fig．
9
で は， 矩 形 速 度パ ル ス に よる パ ル ス ス ペク トルは，
その直線 部 分 だ け で地 動入力スペ ク トル と 接 してい る。
こ の と き，
両 者に よ る応 答結 果 を比 較す る。 矩 形 速 度パ ルス による一
方 向応答変位を x．と し，
正弦速度パ ルス に よる一
方 向 応 答変位をXs と すると， Xp＞Xs であ る。
こ の結 果は，
矩 形 速 度パ ルスに よ る パル ス ス ペク トルが， その直線 部 分だけ で地 動 入 力ス ペ ク トル と接す る場合，
地 動入力ス ペ クトルの 周期特 性 （加 速 度一
定 領 域 ）を 十 分に抽 出で きない で，矩
形速 度パル ス に よる一
方向応答変位x。 は 過 大 評 価とな pてい る こ と を示し て い る。
こ の とき，
矩 形 速 度パ ルス に よ るパ ル ス ス ペ ク トルの 曲線部分 と直線 部 分の境 界 点の継 続 時 間 をt
。 。とする と4
×tv
。〈T
， の 関 係が成立 す る。
また
，
Fig．
10に， 地 動入力スペ ク トル と速 度パ ル ス ス ペ ク トル お よび 加 速 度パル ス ス ペ ク トルの関 係の具 体 例 を 示 す。
以 後，
パル ス はすべ て矩 形パ ルス であ る。
Fig
．
10（a）は，
弾性固有周 期 Teが非 常に短い 場合の 例で，
速 度パ ル スろペ ク トル におい ては 4×t
。o〈Tc
とlogV
速 度Fig
．
9 正 弦 速 度パ ル ス と矩 形 速 度パ ルス によるパ ルス ス ペク ト ル の比 較V 速 度 LegV 速 崖
剛
蓬
編
謁
b・覧 ・・
炯
嗣
晶
（a ⊃弾 性 固 有 周 期Te の短い 栂 合（b）弾 性 固 有 周 期Te の 申間的な場 合
（c）弾 性 固 有 周 期Te の長い樋 合 Fig
．
10 地 動 入 力スペ ク トルと速度 （加 速 度1
パ ル ス ス ペ ク トル の 関係 なっ て，
前出の説 明よ り速 度パ ルス に よる応 答は過 大 評 価と な り無 効である。一
方， 加速度パ ル ス ス ペ ク トル は 地動入力ス ペ ク トル の加 速度一
定領 域 （短 周 期 領 域〉に 接 して い て，
加 速 度パル スは， 矩 形パ ル ス である ことの 問 題が生 じない の で， 有 効であ る。Fig，
10
（b
）は，
T
、の中 間的な場合の例で，
速 度パル ス， 加 速度パ ル ス と もに有 効で あ る が，
速度パ ル ス スペ ク トル は，
地 動 入 力スペ ク トルの速 度一
定 領 域 （中周期 領域 ）に接してい る の で，
速 度パ ル ス の方が よ り有効 性 が高い と考えられる。
Fig
．
10（c）は，Te
の特に長い場 合の例で，
速度パ ル ス，
加 速 度パ ル ス ともに有効である が，
速 度パ ル ス スペ ク トル は，
地 動入力スペ ク トル の変 位一
定領域 （長 周 期 領 域 ）に接し ている ので，
速度パ ル ス の方が よ り有効 性 が高い と考え ら れ る。
以上の点よ り
，
本 報の パ ルス応答 解 析に おい て は，
ま ず 速 度パ ル ス応 答解析を行い，
そ れ が有 効で あ ること を 確認す る。 有 効な場 合 （4× t。。≧T∂は，
速 度パ ル スによ る応答 変位 xv を 極限応答変 位 Xu と する。
速度パ ル ス が無 効な場 合 （4
×t
。。＜Tc
）は，
加 速 度パル ス応答解 析を 行い，
加 速 度パル ス によ る応 答変位 xa を極限 応答 変 位 Xu と する。
（4） パ ル ス応 答 解 析の初 期 条 件系は
，
静 止し た状 態か ら突然，
極限応 答を 示 すの で は な く，
応 答の経 過 中にパ ル ス人力 を 受け てMonotonic
な極 限 応 答 をす る と考え ら れ る。 そこで，
系に初速度V
。を与えて パ ル ス応 答 解析を行う。
本報で は
，
予め有限共 振応 答解 析51 川 ゜】を 行い，その結 果の有限共振 振 幅 xa によっ て初速度V
。を 決 定す る。
そ こ で， 有限 共 振 応 答 解 析につ い ては，
Appendix に示 す。
有限 共 振 応答 解 析の結 果， 有限共 振振 幅 xa が弾 性 域 （Xa≦Xy）の と き
，
系が振 幅 x。で自 由 振動 して原 点 を 正 方 向に通 過す る と きの速 度 tUXaを初速 度V
。 とす る （Fig．
11（a））。
ま た，
有 限 共 振 振 幅 Xa が 塑 性 域 （Xa＞Xv）の と き，
系が振 幅 xy で 自 由 振 動して 原 点 を 正 方向に通 過する とき の速 度 aAXy を初速度 V。 と する （Fig．
11（b
））。
3−
2 パル ス応 答 解 析の解析式パ ルス応答解 析では
，
パル ス スペ ク トル を求め ること，
つ ま りVp−
tp（α p−
tp）関係式を求 める ことが， 主な作 業と な る。（
1
）（単
一
）矩 形 速 度パ ルス入力を受け る場合 もヨ
Fig．
12に，
矩形 速度パ ル ス 入力と系の一
方向の横 カー
変位 （f
〔x）−
x ）関 係 を示す。 次 式で与え ら れ る初期 条 件と極大応 答 条 件 を満た す Vp−
tp関 係 を求め る。
t−
o
・x− o，
審
一
v 。＋ v。……・
………一
（1）t− t
・・x−
x・，
審
一
〇・
………・
………
（2） エ ネル ギー
の保 存 則より，0
≦x≦Xp，
0≦t≦tp
におい て次式が成 立 する。弖
・（… v・）…A
（x）・S
・（
dxdt
）
2・
一 ・
……
（・） た だ し，
f
｛x ）flx
｝fy
f
ン 瑞 ζωx ・ノ
1 ▽』＝ωXy ！ヲ
一
Xy−
0x
αXyx層X
α一X
ンXyX
αx
一
fy
0
−
fy
（a） x。SXv の と き の Vo （b） Xe ＞Xv の と きの V 。 Fig．
11
初 速 度 v。f
（x0VO
一
Vp Fig．
12
矩 形 速 度パル ス 入力 と ノ（x ｝−
x 関 係log
Vp嚇
薊
一
val
−一
vp−
tp開係 ｛x＝）IP
）
！ogtp
Fig．
13 速 度パル ス スペ ク トル一
51
一
Table 1 速度パ ル ス応答 解 析 解析 式
．
瓢 弛一
（禽一
D 塑 性 率 μ3 翼り ，η＝
ω xり
■
（《『
2）・
最大応繼 性率仰 VP一
い関 係，
η。 下 限 億 vo，
匙．
o 速度パルス ス ペク トルi
，難 （り〉”o ｝ （η＝
つo ） 10αVP f（μ ）0
＜μP≦1 ηo ＝1
−
（△一
劭 Vo3 ω 掬 μP−
Vo−
（八一
5） η〉ηo fり η＝η0 い＝
「
エs血一
泡．
ω ” π t》o＝
【OεVOkl
2一
（《−
6） ω 00 μpl μ 且o区t．
o Logtp Fig．
A冒
1 Fig，
A−
2 尢 f（μ）ii
院 全弾 塑性型（n2D μP＞ 1 （η 〉 ηo） ”o＝偏一
（八一
7） （つ＝ηo ） 109VP η〉ηo t，ユ Siガ IL ⊥（R，−
R、｝一
“適） Vo ＝ω恥 ηo冒
Vo−
（《−
9〕f
り ω ” ωLogvo
η＝ηo k0 R 、＝
岬t．。
．⊥
Sir
・
1
＋⊥
y
万7
＝τ ω η0 0 1 μP μ F19．
A−
3 R2＝
研 τ ω一
（自一
ゆ 1。8t・
。L。客い Fi唇．
A−
4．
麺
i1
．
難 劣嶼．
1
輿 ｝．
．
1 く μP＜畑 （η〉ηo ） （鞭；
ηo ） 且09VP η〉η0 f（μ｝ fり q−
n ）k ηo＝
（1−
n》 μP2 ＋2nμP噛
n．
一
（八一
11） …告
… 1÷
・詣
・Ll−
L・・一
。一
、2｝ Vo ＝ ωxりηo■
Vq−
（A−
L3） …吉
S1・・1
。 ・論
r
・L・一
・・） η＝
ηo k ｝‘
一
（A−
14〕Io区Vo L笛；
lnl （n−
1｝μP−
n＋ （n一
η一
ηol
00 1 μP μ8 μ L3＝且nl （r1 ）μP¶1
b区t・。logtp Fi8．
A−
5 L2＝且nl−
1十 n騨
1，（η一
1
L4冨
L励1
−
1＋ （n一
ηo−
1
Fig．
A−
6．
幽
．
L
μP留 μ8 （η〉ηo） （η→ ηo ） 109VF η〉ηo 正（ρ ηo＝佩 「一
（△一
15） VP → Vo＝
ωxりηD−
Vo−
（A−
17） （1¶ ｝k fy 且 t，．
⊥Sin−
・⊥＋（L・
−
L ・） tp→ oo−
“−
L8） 且09VO「
9，
9
k ω 写 ω7F
丁一
”＝ηo （A−
16） 0O l μP＝μ臼μ logtp Fig．
A−
7 Fig．
A−
8A（・）
一
∬
∫馳一 一 ・
………・
・
…・
・
（・） （3）式を変数分離 型の微 分 方 程 式 とみて，
x，
tにっ い て，
各x＝
Xp，
t
＝tp
まで の定 積 分を行う と，
塩
。．龕
・A
，x、−
f
・ ”d
…＝
tP””
（5
｝ 況 の形で v。− tp
関 係が得ら れ る。Fig．
13に （5）式を 図 示 すると，
双 曲 線 状の速度パル ス スペ ク トルが描 ける。ま た，
翩 ・ で 入力 臘 は一
・・＋ 瞭 跏ア譫
醐 にな れば極大 応 答 条 件 （2）を満た す。
各々 の復 元 力 特 性 （弾性， 完全 弾 塑 性 型，
塑性 劣 化 型 ） につ い て は，
Tab 且e 1に示す。
（2｝
（単
一
）矩 形 加速 度パ ル ス入力を受け る場合Fig．
14に， 矩 形 加 速 度パ ル ス入 力と系の一
方 向の横 カー
変位 げ（x）−
x ＞関 係を示す。 次式で与きられ る初 期 条 件，
パル ス終了時境 界 条件と極 大 応 答 条 件牽
満た す α p−
tp関係を求める。
t
−
b
・x− o
，｛
弩
一v
・・
………・
・
…
（6＞t＝
tp
；ユ：＝
コじP・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
『
・
…
（7）
嫉 ・… 鈎
審
一
………・
…………・
・
…
（8
） 運 動 方 程 式は0≦t≦tp
で聯
・f
（・）−
map−
・
…・
一 …・
……・
・
（・） と な り，t
＞tpに おい て は右 辺は0
で あ る。
（9）式を x につ い て積 分す る とf
（
xlA ｛・）・S
f
｛・）d
・丶
戸
00
x
Xp 羅
x
鞠
tngtp
Fig．
15
加 速 度パ ル ス ス ペ ク トル ・・9．
14 矩 形 飃 度バ ・レス人A〔x）
−
em
・：力 と∫（エ）
一
躙 係Fig
・
16m 、c
．
・
．
一一
＝関 係一
52
一
S
・（
dx
厩）
！ ＋A
（x）−
m ・。x ＋・……・
……一
（1・） し た カ’ ・ て・
（’°）式は以 下の よ うになる・
硼 条 件 （、〉。，， 積 分 定 数C
を決定。 。．去
・（
貅
＋醐一
m ・・x＋S
・ ・：・
………
（12
）・t・
Sm
・：……・
…・
・
…………・
・
…・
・
・
・
………
（11） （12
＞式を変嬲 離型の微 分 方 程 式 と見な し，
。，
，。つ Table2
加 速 度パル ス応答解析解析 式一
難 庫 μ・希
一
田一
D、
ξ・ 。寒
，一
餽 ），
u・
讒
：，
μ・ ＝ n ＋ 2 ） r−
6−
4｝，
率 μP’
パル ス終了塑 牲 率μP α 广 い閤係．
μp’
とμpの関係，
ξ0，
ξ乳，
（ξo ） 下 限 僵α 。，
t虞。 加 速 度パル ス スペク トル 正（μ） fり oi
弾 性0＜μP’
≦1 μρ≦μPlk …
i
（ξ〉ξ0 ）（μPくμP’
）ξ・
・
、夛
，・ ・… 2−
…一
《B−
5） …吉
・S1・S
・・一
… S・rl
≠
齢
S2＝Sin−
1一＿＿
＿
1
僻 μ・＝ 耳 （μ・
’
2−
uaエー
ω一
7） （ξ＝ξ・）（μP＝
μρつ αo＝ω2xレξo−
（B−
8） 1t 償o＝一
（S5
＋S4）一
（B−
9） ω… s…
論
ξ。 lo9αP 三〇9αQ ε）ξ。 ξ＝ξ。 0 μPμPIK μ F薀9．
B−
1 S4＝Sir1 柳 L。Et氓。10醒tp Fi8．
B−
2ii
）
自「
7F
．
7．
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．
，
鹽
P．
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．
．
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7F
鹽
1幽
鹽
鹽
■
■
■
L」
F」
■
■
」
，
μP’ ＞10
＜μpく1ki
i
・… ξ1・量
・2… ＋ Uり一
・一
・・ μ・手
「
「
−．
．
．
．
L」
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」
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L」
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．
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1．
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幽
．
幽
，
幽
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幽
．
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．
」
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．
L」
．
．
r
（ξ〉ξρ （μP 〈μPり…
器
・S・・S・・一
・一
・2・齟
’
L，
1「
「
．
−”
7．
F・
．
．
．
’
”
L．
’
齟
7’
層
1，
幽
幽
・
…
．
L齟
・
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L齟
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．
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、
r、
−．
．
．
（ξOくξ≦ξ1）（ μP くμρ
’
）一
（B−
1P．
．
7．
F．
，
F囓
．
．
．
．
．
．
．
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．
．
．
．
，
1，
■
．
．
．
．
L
＋ f（μ）f
り o f（μ） f” 0 μρ 1 μP’
μ Fig，
B−
3．
’
7’
F．
P．
囓
．
「
’
”
．
F■
．
層
P．
幽
．
鹽
・
L」
・
齟
，
・
μP卩
＞1 1≦μP≦μ〆1「
1．
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−．
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L．
．
LlF
．
「
「
．
．
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■
■
■
層
層
，
■
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．
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．
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−−”
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”
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”
」
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’
」
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L’
」
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●
・
r・
…
r…
．
・
・
」
P．
．
、
L．
．
．
（ξ＝
ξ0｝ （μP＝μP，
） 曙o；
ω2麗り εo−
6−
15） 1 lo9αP lo8伽 ε〉ε11 ξ＝ε1、
ξGくεくξ1 εo＝ ξ1 ξ富
ξD 0 i i r l kii
O 1μP μP’
μ Fig．
B−
4一
（B−
13） μP，
…岩
・S・＋・ ・…
夛
一
・ （R・品辷
吁 1、） … s・一
・態
R3＝ 2（−
D μP＋1← R4＝
顳 ・…吉
・s・＋s・・一
。 、ξ。．
D ・・一
（B−
i6） … Slr 1論
R5＝ 2 0−
1＋U2 1。醒tα
010gtp Fig．
B−
5，
「
■
幽
．
P．
．
鹽
L．
L齟
層
」
rrrr
．
7層
．
F■
F，
．
F，
．
．
．
．
．
，
層
1＜μP’
≦μ3 0＜μP＜呈 q−
n）k k i ；乙
：iiD
雛 抛 ・・ 〉・ ξ・号
・（1−
・… ’・・・…’
−
rU ・・一
・一
・η，
…争
一
・−
18・．
．
．
．
齟
．
．
．
．
F．
．
鹽
「
鹽
鹽
鹽
「
．
．
．
L．
L齟
齟
齟
LFPr
■
■
■
．
7rF
．
十 f（μ） fり」
」
「1
正（μ ） 「レ ゜ 0。，1 。，・
。、μ Fi醒，
B−
6．
「
．
．
齟
．
齟
．
．
．
」
「
「
「
．
「
．
■
■
■
幽
■
，
r．
．
．
．
．
．
1
＜μP’
＜μc 1≦μP≦μP’
．
．
P．
．
．
齟
．
．
，
．
11rL
」
，
．
r．
r．
r．
．
LL
．
」
齟
L」
．
．
「
1．
「
．
．
．
1．
PF
．
「
．
．
F．
．
．
．
．
．
，
「
「
7P
層
■
鹽
■
．
．
L
（ξ〉ξ1〕（μP〈μP’
） t， ・⊥（S，＋S，）．一
儡．
19） ω．
．
’
，
’
1．
．
鹽
1幽
’
．
’
齟
」
」
齟
」
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．
’
’
”
」
．
”
L，
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…
r
…
．
−，
F．
．
、
r
．
．
．
．
．
．
，
層
．
層
F．
．
．
LL
（ξ0 くε≦ξρ （μP くμP「） …吉
・S・・・… 万斎
・L・−
L・・一
（B一
λ）） L5＝lnl（n呷
D μP 十ξ一
轟 ←R61」
L．
L．
」
．
「
1「
．
rr
．
．
．
．
r．
．
．
．
．
．
．
・
」
P．
．
L齟
，
LL
」
．
r「
．
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．
1．
．
F．
層
P幽
．
．
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−．
．
．
．
．
」
」
L．
「
．
」
」
」
．
．
「
1．
．
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．
幽
．
・
幽
1■
鹽
−鹽
r「
■
■
．
■
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F．
．
P幽
．
1．
．
，
幽
．
」
齟
．
齟
L
（ε＝ξo）（μP＝μPりξ。・
f
÷一
侶一
2D μP αo＝ω2罵りξo−
（B−
22〕 1 星 ξ〉ξ1 、 ξ＝ε1 ξo 〈ξ〈ξ1 ε＝
ξo （1−
n ）k … k l i．
；
t醒・ （S・＋S・冫＋ 。ぜ肩一
（L・’
L・） 《B−
23） Lτ＝hl （n−
D μP’
＋書。¶1
109αP 且09 αo．
．
10唇αP ko唇αo 且。齢 1。目 い Fig，
B−8
．
11
■
．
−■
■
■
■
L」
−，
1幽
rr
■
●
■
■
■
−■
■
■
L」
■
層
1●
幽
■
鹽
L
十 00 1μPμP’
μc μaμ Flg．
B−
7．
，
7．
「
PPP
．
．
．
齟
齟
．
齟
「
．
−r「
■
■
1層
．
FF1
，
r−．
．
．
．
．
μc≦μP’
≦μB 1≦μPくμゲ L・；
lnl ξ一
且＋R，r
R5 ザ ＋ 2 ｝i
K μ） fり （1「 ）k kl
．
．
＝ （n−
D ｛（n−
D μP 〜＋2（ ¶ ）μρ＋n＋U2｝ R7＝
（n−
D （一
1十 ） L8＝
i
ξo−
【＋ n呷
L．
．
．
」
，
．
層
幽
．
11
，
．
．
．
．
．
．
LL
．
」
L
1「
−．
．
．
LL
．
．
．
．
．
」
L．
．
．
「
1．
LL
．
．．
1
（．
ξ→ ξo） （μP→ μP’
） εo＝r 而 可 碑一
6−
2の αP→ αo＝ ω2躍り
ξo−
（B−
25） tp → oo−
（B−
26） ξ〉ξ1 1 ε冨ξ■ 、．
軸
ξ・〈ξ〈ξ1．
．
「
．
．
．
L．
L」
L，
「
．
11
．
7．
．
■
，
■
■
鹽
■
■
P■
鹽
ξ＝ξo 001 μρμcμP’
μBμ Fi8．
B−
9 lo霧tp Fi8．
B−
to一
53
一
いて各 x ＝ Xp ，
t
＝tp
まで の定 積 分を行う と，
砲
＿籖
闘一
∬
齢 糀……一 …・
……・
・
一 ……・
…
（13 ） の形で，
ap−
tp
関係が え ら れ る。
ただし ， Xp は， （12＞ 式 をτ壽
轟 まで定積分す ること よ り，
Xp
．
欄一
；
・ ・1
…．．
．
．
．＿ ＿ ．
．
．．．
（14＞ m α P で与え ら れ る。
（13＞ 式 を 図 示 すれ ばFig．15
の よ う な 双 曲 線 状の加速度パ ル ス スペ ク トルが描か れ る。
し か し 加速度パ ルス入力継続時 間 中に，
系の 応 答が停 止また は“
A
（x）−
5
mv
； 逆 転し ない た めの条 件は・
Fig・
16
で一
m 、c−
xA
（・）一
劫
y
‘ 関 係が 与え られ る と き，
が，
x に対し て mx 単 調 増 加であ ること で ある。
し たがっ て，
α p は，Fig．
16
。極 大点M ．
。 ， ，｛
醺
・ γ訥
小，。。 に は な らない の で，
この値が，Fig．
15の加 速度パ ル ス ス ペ ク トルの下限値 を与え ることになる。 各々 の復元力 特 性 （弾 性，
完 全 弾 塑 性t 塑 性 劣化型） につ い ては，Table
2に示す。
4．
数値計 算 次の 3 種の地震動につ い て数値 計算を行っ た。
（1
） ElCentro
1940，
NS，
Max．
Acc．＝
＝
342
（cm ／s2＞，14．
98
（s）161 （2 ）Taft
1952，
NS ，
Max．
Acc，＝
153 （cm ／s2），14，
98
（s）16） （3
） Hachinohe1968，
NS ，
Max ．
．
Acc．＝248
（cm ／s2），39．
98
（s）17｝ 4−
1 地動入力ス ペ ク トル 有限 共 振 応 答 解 析 に．
用 い る地 動入力ス ペ ク トル （Fig．
19
），
パ ル ス応 答 解 析に用い る地 動入力ス ペ ク ト ル （Fig．
20 ）は， それ ぞれ減 衰 定 数 h＝
o．
473T
｝お よ びh ＝0，
21B
）の 変 位応 答ス ペ ク トル か ら変換した擬 似 速 度 応答ス ペ ク トル19 ）（刻み時間 はO．
02 （s）） を 台 形 化し たもの で あ る5i。 台形化ス ペ ク トル は， 応 答スペ ク トル を対 数 軸上で最小二 乗法を用い て， 速 度一
定 値 （Va
．。 or Vmax）と折 点周期 （T。
andT
、）の 3個の推 定 値 を決 定 し て得ら れ る。 ま た，
ばらつ きの指標と しての標 準 偏 差 σ は，
自由度を3
と し て次 式で与え ら れ る。
Table 3 解 析パラ メー
ター
とFig．
No．
塑牲剛性q−
n）k 完全弾塑性型（n＝
Lo ） 塑性劣化型（n＝
L2 ） 復 元 力特 性降 伏 震度 晦 Ky
＝
0，
5Ky ＝0．
2Ky ＝0．
5Ky ＝0．
2EL C6ntroFig
，
21ω Fi魍．
21（d｝F且9．
22（a）Fi8．
22（d）入 力 地 震 動 Taft Fi8
．
21 （b）Fi区．
21（8 ）Fi8，
22（b）Fi8．
22（e）HachinohoFi8
．
21（c｝Fig．
21（正）Fi8．
22（c〕Fig．
22（1） 有 限 共振 応 答 解 析 共搬 振 幅Xu
YS Xα≦Xy NO マ6
＝ωXy
V
』＝ωxα パ ル ス 応 答 解 折 速 度パ ル スxり 輪 加 速 度パ ル ス
X
譜α。 YES4
対が τ NOXu ＝ Xv Xu ＝xα 極 限 応 答変 位 為 Fig．
17 極 限 応 答 解 析フ ロー
チャー
ト「
5
1
時 刻歴 最大 応 答変 位 Xm一
一
一
一
一
一
一
一
粘 弾 性 応 答 ス ペ ク ト ルも
平均 化E
折 れ 線 化 時 刻 歴 最大応 答 変位［
ー
L
「
φ
〔
1
比 較・
考 察1
極 限 応 答変 位B
． ＿
＿
」
「
う
台 形化 地 動入 力 ス ペ ク トル 平均化L
＿
＿
＿
＿
＿
＿
＿
＿
＿
」
Fig．
18 入力と 応 答の評 価 法一 54 一
・
一
纛 象
α・gv
厂1
・9 vr）・”・
・
一
…
（15 ＞N
：横軸 （周期 ）の ポイン ト数 Vi：も との応答ス ペ ク トル の各 周 期の速 度の値 vぎ：台形化ス ペ ク トル の 各 周 期の速 度の値4−2
計 算結 果計 算結果 は
，
降 伏震 度K
。 （＝
fy
／mg ）と塑 性 剛 性 （1−
n）h をパ ラメー
タ と し て示す （Table 3）。 Figs．
21，
22に， 有 限 共 振 応 答 振幅Xa，
速度パ ル ス によ る応 答 変 位 x。
，
加 速 度パ ル ス に よ る 応 答変 位Xa，
極 限応 答 変 位 Xu お よ び時 刻 歴最大 応答変 位Xrcを示 す （Tab14 ）。 た だ し，
時 刻 歴 応 答 解 析は，
筆者らの提唱す る区 間 線 形 解 法2°） （刻み時間 は 0．
02 （sD で 行 っ た。
極 限 応 答 変 位 Xu は，
Fig．
17に示す極限 応答 解析フ ロー
チ ャー
トに 従っ て決 定され る。 ま た， 時 刻 歴 最 大 応 答 変 位πm を対 数 軸 上で最 小二乗法 を 用い て， 折れ線に近 似し た。 ば ら つ きの指 標 として の標準偏差 a は，
推 定 値が 3個 （cf．
Fig．21
（a）），
傾き α，
折れ点の周 期T
，， 長 周期領域に お け る応答変位一
定 値 Xb ）あるの で，次 式で与え ら れ る。
・
一
。≡
、嵩
G
・9
・x・− 1
・9
・x．
n2
，
・
・
………
（16
）N
：横軸 （周期 ）のポイン ト数 Xt ：近似さ れ た最 大 応 答 変 位 Xmi ：時 刻 歴 最 大 応 答 変 位 また，Fig．18
に 入力と応 答 評 価の概 念 図 を示す。
5．
考 察 （1 ） 地動入力ス ペ ク トルとパ ル ス スペ ク トル弾 性固有周期
T
。が 短 く な る と，
時 刻 歴最大 応答変位 Table 4 記号区分 o 有 限共 撮 振 幅 XG 口 速 度パ ル ス 応 答 変 位 Xv ロ ：有餌
4t・。＞T・） 回 ：無効（4t 四 く G｝ △ 加 速 度パ ル ス応 答 変 位 X ¢ 。 、採。当
・ … 圃 4 ：不 採 用 一 極 限 応 答 変 位 Xu き←■ ：崩 壌 変 位 XB に達 した ● 時 刻 歴 最大 応 答 変 位 Xm ↑；崩 製 変 位 XB に達 した v
貯
に 速 度 10 5 O、
1 v 50 速 度 に 105 o．
41
．
03
．
oT
｛s ）o
．
10
．
］51
．
os
．
oT‘s）D
．
1 （a ）E且Centro 周 期 周期 （b
）Taft
Fig．
19 有限共 振応 答解 析の地動入カス ペ ク トル 0．
45 1．
O （c ）Hachinohe 4．
oTCs
） 周 期 O．
1 0．
55 1，
0 2．
5 （a〕El Cent 「o V 咄 50 速 度 に 105 Vl 匸哦150
速 度 10 5T
〔・｝。
、
1。
．
51、
。コ
．
o τ〔・1
0」 周 期 周 期 （b）Taft Fig
．
20 パ ル ス応 答 解析の地 動入カス ペ ク トル 0．
ら5 1、
O （C ）Hachinohe 3．
5Tts ｝ 周期一
55
一
Xm と同 様に
，
極 限 応 答 変 位 Xu も小さ く な る傾 向を示す （Figs．
21，
’
22）。 これ を 地動入力ス ペ ク トル とパ ル ス スペ ク トルの 関 係か ら考 察 する。Te
の 長い領 域では，
速 度パ ル ス に よっ て決 定さ れ た 極 限 応 答 変 位 Xu は一
定で あ る。
こ の と きは，
速度パ ル ス ス ペ クトル は地 動入力ス ペ クトル の変 位一
定 領 域に接 して い て，T
。 が 短 く な る と，
そ の接点は変位一
定領域 に沿っ て左 上方へ 移 動して行く （Fig．
lo（c））。
Te
の中 間 領 域では，
T
。が短く な る に従っ て，
速度パ ル ス によっ て決定さ れ たXu は小さ く な る。 この と き，
速 度パ ル ス ス ペク トルは 地 動 入 力スペ ク トル の速度一
定 領 域に接して い て，Te
が短く な る と，
その接 触 部 分は 速 度一
定 領 域に沿っ て左方 向に移 動して行く が，
これ は 変 位 成 分の減 少する方 向である （Fig．
10（b））。
Te
の短い領域で は，
地動入力ス ペ ク トル の変位 成 分 はい っ そ う小さ く なっ て いるのに，
速度パ ルス によ る応 答変位 Xv は あ ま り小さ く な ら ない 。 これ は，
速 度パ ル スス ペ ク トルが地動入力スペ ク トル と下 限値 （直線部 分） だ けで接 して い て （Fig．9，
10（a）），
地動入 力ス ペ ク ト ルの周期特性 （加速度一
定領域 〉を応答に反映す ること が で き ないか ら で あ る。
こ の場合は，
加 速度パルスに よ る 応 答変位 Xa を 極 限 応 答変位 Xu と してい る （cf．
3−
1 （3
），Fig．
17 ）。
」
逆に，
加 速 度パル ス スペ ク ト・
ルは地 動入力スペ ク トル の加 速 度一
定 領 域に接す るの で，Te
の長 い領 域で は地 動入力ス ペ ク トルの周期特性 （変位一
定領域 ）を応答結 果に反 映で．
き ない （Fig．
10
（c））。
（2
） 入力と応答の評価法 （Fig．
18
）と 入力の評 価 耐 oX に 10 応 答 変 位 10 1o．
1 1。。）暫 10）9
）暫 4凸 6 4tり
0 ＜TG 4tvo＞TG 煙 彑 ユ9一
矼＿＿
昏 『 Xb∠
∠
＿＿
皇●＿ 一
σ 。％
須
∠ 口 σ ＝ 0，
127 Tbz7
7
E
且Centro 完 金 弾 塑性型 n二 且．
OKy＝
0，
5 O・
11 弾 性周 期 10
昌
’
（a ）Ky＝
O．
5，
EI Centro x柵
応 答 変 位10
1O．
1 x刪
応 答 変 位 10 1 0．
1 x刪
応 答 変 位 10 1 O、
1 O．
1 1 弾 性 關 1嘔
（b）Ky＝0，
5 凾 Ta正t 100）呼 10Xy ）勉 4t．oくτ6 06 4tvo＞TG o窰
＿
4
・ 蟹一
一一
＿
2＿＿
．
一幽
一．
一．
一．
・
σ∠
∠ 囗 σ幕 0．
109 ∠『
〃7
∠7
Ta正t 完全弾 塑性型 n＝
LOKy≡
0．
2 ゜湘1 弾 欄 期 1
囓
品
X 姪1 応 答 変 位 −o 1 O，
1 X 悩 応 答 変 位 10 1 0．
1 ゜A1 弾 性 醐 1
鳴
（d｝Ky＝
0．
2， E凪 Centro （e）Ky＝0，
2置
τaft Fig．
21 完 全 弾 塑 性 型 復 元 力特 性の場合の 応 答 解 析 結 果 ゜・
11 弾 欄 期 1
嘔
（c）Ky＝O．
5，
HacbinΦhe ゜・
11 難 醐 1
囓
（f）KyFO・
2，
Hachiりohe
