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月の満ち欠けから
月の軌道を求める
12R1-004 林 愛也
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目次
1 要旨...3 2 理論...4 2.1 地球を経た太陽と月との角度...4 2.2 地球と月との距離...11 3 観測と測定方法...14 3.1 観測装置...14 3.2 観測方法...14 3.3 測定方法と画像処理...14 3.3.1 測定方法...14 3.3.2 画像処理...15 4 結果...16 4.1 観測結果...16 4.2 測定結果...19 4.3 計算結果...21 4.3.1 地球を経た太陽と月との角度...21 4.3.2 地球と月との距離...26 5 考察...32 6 謝辞...33 7 参考文献...333
1 要旨
地球の唯一の衛星である月。月は太陽の光を反射によって輝いて見え、月と地球が公転す ることで、新月・上弦の月・満月・下弦の月といったように、満ち欠けをする。 月の半径と満ち欠けによって影になる部分までの長さから、地球を経た太陽と月との角度 を計算し、求めた角度と観測した時間から月の周期を求め、求めた周期から地球と月との 距離を計算することで、月の軌道を求める。4
2 理論
2.1 地球を経た太陽と月との角度
月の満ち欠けは、太陽の光を月が反射することで光り、月と地球の公転することで影がで きることから生じる。 月の半径を𝑅、満ち欠けによって影になる部分までの長さを𝐷とすると、図１のようになる。 図１から、月を経た地球と太陽の角度を𝜃とおくと、地球と月の影の角度は𝜃 −𝜋 2 となる。 これらから𝐷を求める式は、 𝐷 = 𝑅 sin (𝜃 −𝜋 2) となる。 この式から𝜃を求めると、 𝜃 = sin−1(𝐷 𝑅) + 𝜋 2 図 15 となる。 太陽と地球と月との位置関係を図２のように表すと、 図２から、地球を経た太陽と月の角度は、𝜋 − 𝜃となる。 また、次に観測する月は、月と地球の公転から図３のようになったとする。 図 2 図 3
6 最初の太陽の方向を基準線として、基準線から太陽が移動して回った角度を𝜑とおくと、図 ３より移動した月が基準線から回った角度𝜓は、 𝜓 = 𝜋 − 𝜃′ + 𝜑 となる。 しかし、これは新月から上弦の月までのときの𝜃と𝜓の式であり、月の満ち欠けによって、𝜃と 𝜓の式は変化する。 ① 新月から上弦の月 (𝜋 2< 𝜃 < 𝜋) のとき sin (𝜃 −𝜋 2) = 𝐷 𝑅 𝜃 = sin−1( 𝐷 𝑅) + 𝜋 2 𝜓 = 𝜋 − 𝜃 + 𝜑 ② 上弦の月のとき 図 4
7 𝜃 =𝜋2 𝜓 =𝜋2+ 𝜑 ③ 上弦の月から満月 (0 < θ <π2) のとき 図 6 図 5
8 sin (𝜋2− 𝜃) =𝐷𝑅 𝜃 = − sin−1(𝐷 𝑅) + 𝜋 2 𝜓 = 𝜋 − 𝜃 + 𝜑 ④ 満月のとき 𝜃 = 0 ， 2𝜋 𝜓 = 𝜋 + 𝜑 ⑤ 満月から下弦の月 (32𝜋 < 𝜃 < 2𝜋) のとき 図 7 図 8
9 sin (𝜃 −32𝜋) =𝐷𝑅 𝜃 = sin−1(𝐷 𝑅) + 3 2𝜋 𝜓 = 3𝜋 − 𝜃 + 𝜑 ⑥ 下弦の月のとき 𝜃 =32𝜋 𝜓 =32𝜋 + 𝜑 ⑦ 下弦の月から新月 (𝜋 < 𝜃 <32𝜋) のとき 図 9
10 sin (3 2𝜋 − 𝜃) = 𝐷 𝑅 𝜃 = − sin−1( 𝐷 𝑅) + 3 2𝜋 𝜓 = 3𝜋 − 𝜃 + 𝜑 ⑧ 新月のとき 𝜃 = 𝜋 𝜓 = 2𝜋 + 𝜑 以上のように場合分けする。 図 10 図 11
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2.2 地球と月との距離
月の質量は地球の質量よりも小さいので、月の軌道の重心は地球と一致することから、月 の軌道を円であると近似する。 月の軌道が円であるため、月の遠心力と重力は等しくなる。 地球と月との距離を𝐿、月の周期を𝑃、地球の質量を𝑀、月の質量を𝑚、月の角速度を 𝛺＝
2𝜋 𝑃、重力定数を𝐺、遠心力を𝑚𝐿𝛺 2、重力を𝑚𝐺𝑀 𝐿2とすると、図12 のようになる。 遠心力と重力は等しいので、 𝑚𝐿𝛺2= 𝑚𝐺𝑀 𝐿2 となり、これを変形させると、𝐿の式は、 𝐿 = {𝐺𝑀𝑃(2𝜋)2} 1 3 となる。 ここで、 𝑃を求めるために、観測時間を𝑡とすると、𝛥𝑡の式を、 𝛥𝑡 = 𝑡 − 𝑡0 （基準とした観測時間𝑡0を𝑡から引いた時間を𝛥𝑡とする） となる。 𝛥𝑡と𝜓との関係をグラフにし、𝜓が0～2𝜋間のときの𝛥𝑡の値が 𝑃となる。 （この周期は、地球が動いていないときに月が地球の周りを一周する周期である） 図 1212 ただし、月は日によって見かけの大きさが変化する。 月の大きさは変化しないので、地球と月との距離が変化していることになり、月の軌道は 楕円になる。（図13） 楕円の程度を決める離心率をe、楕円の平均半径をaとおくと、 最遠距離 a(1 + 𝑒) 最近距離 a(1 − 𝑒) となる。 使用したカメラ・望遠鏡の焦点距離𝑑・画面サイズ・画素数から、１pixel が見込む角度𝜗は、 図14 より、 𝜗 = tan−1(1(pixel) 𝑑 ) となる。 月の半径の見込み角度を𝛼とおくと、 𝛼 = 𝑅(pixel) × 𝜗 となる。 𝑅を𝑎 , 𝑒 , 𝛼を用いて表すと、図 15 より、 図 13 図 14
13 𝑅 = 𝑎(1 + 𝑒) 𝑡𝑎𝑛 𝛼𝑚𝑖𝑛 𝑅 = 𝑎(1 − 𝑒) 𝑡𝑎𝑛 𝛼𝑚𝑎𝑥 となり、𝑅に代入すると、 𝑎(1 + 𝑒) 𝑡𝑎𝑛 𝛼𝑚𝑖𝑛= 𝑎(1 − 𝑒) 𝑡𝑎𝑛 𝛼𝑚𝑎𝑥 これを変形させて𝑒の式は、 𝑒 =𝑡𝑎𝑛 𝛼𝑚𝑖𝑛− 𝑡𝑎𝑛 𝛼𝑚𝑎𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝛼𝑚𝑖𝑛+ 𝑡𝑎𝑛 𝛼𝑚𝑎𝑥 となる。 図 15
14
3 観測
3.1 観測装置
望遠鏡：リッチークレチアン式40cm 反射望遠鏡の 15cm ガイド望遠鏡（明星大学の天文台） カメラ：Canon EOS 5D MarkⅡ
パソコン ソフト：ESO Utility・Master 2013
3.2 観測方法
カメラを望遠鏡に取り付け、カメラと電源・パソコンを配線でつなげる。 カメラ・パソコンの電源を入れ、パソコンのソフト「ESO Utility」「Master 2013」を 立ち上げる。 「Master 2013」で、望遠鏡を目標天体である月の座標に移動させる。 「ESO Utility」のライブビューを見ながら月の焦点を合わせる。 撮影する。3.3 測定方法と画像処理
パソコンの天体画像処理ソフト「ステライメージ７」を用いて、撮影した画像を測定・画 像処理する。 3.3.1 測定方法 「ステライメージ７」の「編集バー」から「楕円選択」ツールを選び、撮影した月の 輪郭に合うように、円を描く。15 描いた円の中心を分かりやすくするために、「ステライメージ７」の「編集バー」から 「ライン」ツールを選び、描いた円をクリックすると現れる円の中心に合うように、 縦・横にラインを引く。 ステライメージ７」の「編集バー」から「計測」ツールを選び、円の端から中心を通 って反対側の端までドラッグし、現れる「計測ダイアログ」の「計測結果」から月の 直径(2R)を測定する。 同じように、「計測」ツールより、円の中心から月の影のところまでドラッグし、「計 測ダイアログ」の「計測結果」から月の中心から影までの長さ(D)を測定する。 3.3.2 画像処理 撮影した画像が一部月の輪郭や影が分かりにくかったため、「階調」メニューから「明 るさ/コントラスト」を選び、画像の明るさ・コントラストを調整する。 画像処理 2 画像処理 1
16
4 結果
4.1 観測結果
撮影日 2015 年 10 月 19 日 ISO 感度 800 撮影枚数 102 枚 シャッタースピード 1/250・1/200・1/160・1/100・1/80・1/60・1/30・1/25・1/20・ 1/2.5 秒 画像 １ 2015/10/19 18:44:59 シャッタースピード：1/2017 撮影日 2015 年 10 月 21 日 ISO 感度 800 撮影枚数 118 枚 シャッタースピード 1/40・1/30・1/25・1/20・1/10 秒 撮影日 2015 年 10 月 26 日 ISO 感度 800 撮影枚数 140 枚 シャッタースピード 1/125・1/100・1/80・1/30・1/10 秒 画像 ２ 2015/10/21 18:25:40 シャッタースピード：1/40 画像 ３ 2015/10/26 18:25:01 シャッタースピード：1/125
18 撮影日 2015 年 11 月 27 日 ISO 感度 800 撮影枚数 190 枚 シャッタースピード 1/200・1/160・1/125・1/100・1/80・1/50・1/40・1/30 秒 撮影日 2015 年 12 月 4 日 ISO 感度 800 撮影枚数 160 枚 画像 ４ 2015/11/27 20:28:46 シャッタースピード：1/100 画像 ５ 2015/12/4 7:28:33 シャッタースピード：1/200 画像処理前 画像処理後 明るさ：-100 コントラスト：+100
19 シャッタースピード 1/400・1/250・1/200・1/160・1/100・1/80・1/50 秒 撮影日 2015 年 12 月 16 日 ISO 感度 800 撮影枚数 56 枚 シャッタースピード 1/125・1/100・1/80 秒
4.2 測定結果
測定回数は10 回ずつ行った。 2015 年 10 月 19 日 2𝑅（pixel） 𝐷（pixel） 2898.281 2897.220 433.497 448.446 2907.537 2913.745 448.446 432.666 2892.108 2900.541 433.184 439.090 2906.491 2895.522 440.454 433.497 2899.059 2890.543 437.484 433.848 画像 ６ 2015/12/16 18:16:00 シャッタースピード：1/10020 2015 年 10 月 21 日 2𝑅（pixel） 𝐷（pixel） 2990.266 3010.164 181.417 185.300 2979.764 2999.076 198.595 208.806 2998.538 2999.272 198.917 201.316 2998.274 2998.889 198.595 191.708 2997.127 2998.422 187.275 205.056 2015 年 10 月 26 日 2𝑅（pixel） 𝐷（pixel） 3170.059 3142.963 1500.108 1507.481 3193.694 3148.966 1501.451 1514.676 3200.905 3140.789 1508.019 1512.762 3198.620 3180.041 1509.450 1500.000 3185.861 3179.608 1503.883 1507.195 2015 年 11 月 27 日 2𝑅（pixel） 𝐷（pixel） 3025.401 3039.882 1411.276 1401.292 3042.952 3030.034 1416.051 1410.817 3035.354 3034.622 1417.271 1404.820 3045.066 3051.912 1408.621 1402.165 3040.339 3045.669 1420.518 1404.628 2015 年 12 月 4 日 2𝑅（pixel） 𝐷（pixel） 2795.198 2813.414 150.000 140.071 2797.541 2805.780 133.222 145.245
21 2794.808 2808.527 140.584 141.605 2774.455 2779.231 140.584 153.675 2776.404 2775.571 138.521 144.997 2015 年 12 月 16 日 2𝑅（pixel） 𝐷（pixel） 2989.235 2978.206 708.838 736.706 2978.400 2983.093 732.025 718.899 2972.042 2981.117 739.365 711.576 2971.606 2972.711 706.473 713.773 2977.895 2981.227 717.847 724.710
4.3 計算結果
測定した値をExcel を用いて計算する。 4.3.1 地球を経た太陽と月との距離 𝑅・𝐷の計算 2015 年 10 月 19 日 平均値 2𝑅 = 2900.105（pixel） 𝑅 = 1450.052（pixel） 𝐷 = 438.061（pixel） 最大値 2𝑅 = 2913.745（pixel） 最小値 2𝑅 = 2890.543（pixel） 𝑅 = 1456.873（pixel） 𝑅 = 1445.272（pixel） 𝐷 = 448.446（pixel） 𝐷 = 432.666（pixel） 2015 年 10 月 21 日 平均値 2𝑅 = 2996.979（pixel） 𝑅 = 1498.490（pixel）22 𝐷 = 195.699（pixel） 最大値 2𝑅 = 3010.164（pixel） 最小値 2𝑅 = 2979.765（pixel） 𝑅 = 1505.082（pixel） 𝑅 = 1489.882（pixel） 𝐷 = 208.806（pixel） 𝐷 = 181.417（pixel） 2015 年 10 月 26 日 平均値 2𝑅 = 3174.151（pixel） 𝑅 = 1587.075（pixel） 𝐷 = 1506.503（pixel） 最大値 2𝑅 = 3200.905（pixel） 最小値 2𝑅 = 3140.789（pixel） 𝑅 = 1600.453（pixel） 𝑅 = 1570.395（pixel） 𝐷 = 1514.676（pixel） 𝐷 = 1500.000（pixel） 2015 年 11 月 27 日 平均値 2𝑅 = 3039.117（pixel） 𝑅 = 1519.559（pixel） 𝐷 = 1409.746（pixel） 最大値 2𝑅 = 3051.912（pixel） 最小値 2𝑅 = 3025.401（pixel） 𝑅 = 1525.956（pixel） 𝑅 = 1512.701（pixel） 𝐷 = 1420.518（pixel） 𝐷 = 1401.292（pixel） 2015 年 12 月 4 日 平均値 2𝑅 = 2792.093（pixel） 𝑅 = 1396.046（pixel） 𝐷 = 142.850（pixel） 最大値 2𝑅 = 2813.414（pixel） 最小値 2𝑅 = 2774.455（pixel） 𝑅 = 1406.707（pixel） 𝑅 = 1387.228（pixel） 𝐷 = 153.675（pixel） 𝐷 = 133.222（pixel） 2015 年 12 月 16 日 平均値 2𝑅 = 2978.553（pixel） 𝑅 = 1489.277（pixel）
23 𝐷 = 720.121（pixel） 最大値 2𝑅 = 2989.235（pixel） 最小値 2𝑅 = 2971.606（pixel） 𝑅 = 1494.618（pixel） 𝑅 = 1485.803（pixel） 𝐷 = 739.365（pixel） 𝐷 = 706.473（pixel） 𝜃の計算 2015 年 10 月 19 日
𝜃 = sin
−1(
𝐷 𝑅) +
𝜋 2 より 平均値から 𝜃 = 1.8769（rad） 最大値から 𝜃 = 1.88369（rad） 最小値から 𝜃 = 1.87483（rad） 2015 年 10 月 21 日𝜃 = − sin
−1(
𝐷 𝑅) +
𝜋 2 より 平均値 𝜃 = 1.43983（rad） 最大値から 𝜃 = 1.43161（rad） 最小値から 𝜃 = 1.44873（rad） 2015 年 10 月 26 日𝜃 = − sin
−1(
𝐷 𝑅) +
𝜋 2 より 平均値から 𝜃 = 0.32001（rad） 最大値から 𝜃 = 0.32888（rad） 最小値から 𝜃 = 0.30055（rad） 2015 年 11 月 27 日𝜃 = sin
−1(
𝐷 𝑅) +
3 2𝜋
より24 平均値から 𝜃 = 5.90068（rad） 最大値から 𝜃 = 5.90927（rad） 最小値から 𝜃 = 5.89700（rad） 2015 年 12 月 4 日
𝜃 = − sin
−1(
𝐷 𝑅) +
3 2𝜋
より 平均値から 𝜃 = 4.60988（rad） 最大値から 𝜃 = 4.60293（rad） 最小値から 𝜃 = 4.61621（rad） 2015 年 12 月 16 日𝜃 = sin
−1(
𝐷 𝑅) +
𝜋 2 より 平均値から 𝜃 = 2.07549（rad） 最大値から 𝜃 = 2.08827（rad） 最小値から 𝜃 = 2.06631（rad） 𝜓の計算 𝜑を黄経として、天文年鑑 2015 年版より 2015 年 10 月 19 日 𝜑 = 3.57916（rad） 2015 年 10 月 21 日 𝜑 = 3.61384（rad） 2015 年 10 月 26 日 𝜑 = 3.70069（rad） 2015 年 11 月 27 日 𝜑 = 4.26187（rad） 2015 年 12 月 4 日 𝜑 = 4.38563（rad） 2015 年 12 月 16 日 𝜑 = 4.59845（rad） 2015 年 10 月 19 日𝜓 = 𝜋 − 𝜃 + 𝜑
より 平均値から 𝜓 = 1.26390（rad）25 最大値から 𝜓 = 1.25790（rad） 最小値から 𝜓 = 1.26677（rad） 2015 年 10 月 21 日
𝜓 = 𝜋 − 𝜃 + 𝜑
より 平均値から 𝜓 = 1.73585（rad） 最大値から 𝜓 = 1.74406（rad） 最小値から 𝜓 = 1.72695（rad） 2015 年 10 月 26 日𝜓 = 𝜋 − 𝜃 + 𝜑
より 平均値から 𝜓 = 2.94251（rad） 最大値から 𝜓 = 2.93364（rad） 最小値から 𝜓 = 2.96197（rad） 2015 年 11 月 27 日𝜓 = 3𝜋 − 𝜃 + 𝜑
より 平均値から 𝜓 = 4.20620（rad） 最大値から 𝜓 = 4.19761（rad） 最小値から 𝜓 = 4.20988（rad） 2015 年 12 月 4 日𝜓 = 3𝜋 − 𝜃 + 𝜑
より 平均値から 𝜓 = 5.62076（rad） 最大値から 𝜓 = 5.62772（rad） 最小値から 𝜓 = 5.61444（rad） 2015 年 12 月 16 日𝜓 = 𝜋 − 𝜃 + 𝜑
より 平均値から 𝜓 = 2.08479（rad） 最大値から 𝜓 = 2.07201（rad） 最小値から 𝜓 = 2.09397（rad）26 4.3.2 地球と月との距離 𝛥𝑡・𝜓の計算 基準とした観測時間𝑡0を2015 年 11 月 27 日とする。 （2015 年 10 月 19 日・21 日・26 日は𝑡0より一周前の周期であり、𝜓に−2π、2015 年 12 月 16 日は𝑡0より一周後の周期であり、𝜓に+2π変動させる。） 𝛥𝑡 = 𝑡 − 𝑡0より 2015 年 10 月 19 日 18:44:59 𝑡 = 1709099（s） 𝛥𝑡 = －3375827（s） 平均値から 𝜓 = －5.01928（rad） 最大値から 𝜓 = －5.02529（rad） 最小値から 𝜓 = －5.01642（rad） 2015 年 10 月 21 日 18:25:40 𝑡 = 1880740（s） 𝛥𝑡 = －3204186（s） 平均値から 𝜓 = －4.54734（rad） 最大値から 𝜓 = －4.53913（rad） 最小値から 𝜓 = －4.55624（rad） 2015 年 10 月 26 日 18:25:01 𝑡 = 2312701（s） 𝛥𝑡 = －2772225（s） 平均値から 𝜓 = －3.34068（rad） 最大値から 𝜓 = －3.34955（rad） 最小値から 𝜓 = －3.32122（rad） 2015 年 11 月 27 日 20:28:46 𝑡 = 5084926（s） 𝛥𝑡 = 0（s） 平均値から 𝜓 = 4.20620（rad）
27 最大値から 𝜓 = 4.19761（rad） 最小値から 𝜓 = 4.20988（rad） 2015 年 12 月 4 日 7:28:33 𝑡 = 5642913（s） 𝛥𝑡 = 557987（s） 平均値から 𝜓 = 5.62076（rad） 最大値から 𝜓 = 5.62772 （rad） 最小値から 𝜓 = 5.61444（rad） 2015 年 12 月 16 日 18:16:00 𝑡 = 6718560（s） 𝛥𝑡 = 1633634（s） 平均値から 𝜓 = 8.36798（rad） 最大値から 𝜓 = 8.35520（rad） 最小値から 𝜓 = 8.37716（rad） 𝛥𝑡と𝜓との関係をグラフにし、𝑃を計算 𝛥𝑡・𝜓の値から一次関数を求めると、 平均値から 𝑦 = 2.65394 × 10−6𝑥 + 4.20620
𝑥 =
𝑦−4.20620 2.65394×10−6 最大値から 𝑦 = 2.65782 × 10−6𝑥 + 4.19761𝑥 =
𝑦−4.19761 2.65782×10−6 最小値から 𝑦 = 2.65073 × 10−6𝑥 + 4.20988𝑥 =
𝑦−4.20988 2.65073×10−628 -6.00000 -4.00000 -2.00000 0.00000 2.00000 4.00000 6.00000 8.00000 10.00000 -4000000 -2000000 0 2000000
ψ
(ラ
ジアン
）
Δt
(s)
Δt-ψ
のグラフ（平均値）
データ 線形 (y=2π) 線形 (データから 計算した一次関 数) -6.00000 -4.00000 -2.00000 0.00000 2.00000 4.00000 6.00000 8.00000 10.00000 -4000000ψ
-2000000 0 2000000(ラ
ジアン
）
Δt
(s)
Δt-ψ
のグラフ（最大値）
データ 線形 (y=2π) 線形 (データから 計算した一次関 数)29 グラフより 平均値から 𝑃 = 2367497（s）≅ 27.402（日） 最大値から 𝑃 = 2364037（s）≅ 27.362（日） 最小値から 𝑃 = 2370360（s）≅ 27.435（日） 𝐿の計算 天文年鑑2015 年版より 𝐺 = 6.67428 × 10−11(m3⁄kg･s2) M = 5.9736 × 1024（kg） 平均値から 𝐿 = 3.83961 × 108（m）= 383960.5（km） 最大値から 𝐿 = 3.83586 × 108（m）= 383586.3（km） 最小値から 𝐿 = 3.84270 × 108（m）= 384270.0（km） -6.00000 -4.00000 -2.00000 0.00000 2.00000 4.00000 6.00000 8.00000 10.00000 -4000000 -2000000 0 2000000
ψ
(ラ
ジアン
）
Δt
(s)
Δt-ψ
のグラフ（最小値）
データ 線形 (y=2π) 線形 (データから 計算した一次関 数)30 𝛼の計算 カメラ・望遠鏡より 焦点距離𝑑：1085（mm） 画面サイズ：36（mm） × 24（mm） 画素数から：5616（pixel） × 3744（pixel） 𝜗 = 6.41 × 10−3（rad） 2015 年 10 月 19 日 平均値 𝛼 = 8.57 × 10−3（rad） 最大値 𝛼 = 8.61 × 10−3（rad） 最小値 𝛼 = 8.54 × 10−3（rad） 2015 年 10 月 21 日 平均値 𝛼 = 8.85 × 10−3（rad） 最大値 𝛼 = 8.89 × 10−3（rad） 最小値 𝛼 = 8.80 × 10−3（rad） 2015 年 10 月 26 日 平均値 𝛼 = 9.38 × 10−3（rad） 最大値 𝛼 = 9.46 × 10−3（rad） 最小値 𝛼 = 9.28 × 10−3（rad） 2015 年 11 月 27 日 平均値 𝛼 = 8.98 × 10−3（rad） 最大値 𝛼 = 9.02 × 10−3（rad） 最小値 𝛼 = 8.94 × 10−3（rad） 2015 年 12 月 4 日 平均値 𝛼 = 8.25 × 10−3（rad） 最大値 𝛼 = 8.31 × 10−3（rad） 最小値 𝛼 = 8.20 × 10−3（rad） 2015 年 12 月 16 日
31 平均値 𝛼 = 8.80 × 10−3（rad） 最大値 𝛼 = 8.83 × 10−3（rad） 最小値 𝛼 = 8.78 × 10−3（rad） 𝑒の計算 平均値 𝛼𝑚𝑎𝑥 = 9.38 × 10−3（rad） 𝛼𝑚𝑖𝑛= 8.25 × 10−3（rad） 最大値 𝛼𝑚𝑎𝑥 = 9.46 × 10−3（rad） 𝛼𝑚𝑖𝑛= 8.31 × 10−3（rad） 最小値 𝛼𝑚𝑎𝑥 = 9.28 × 10−3（rad） 𝛼𝑚𝑖𝑛= 8.20 × 10−3（rad） 平均値 𝑒 = 0.0640 最大値 𝑒 = 0.0644 最小値 𝑒 = 0.0619
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5 考察
計算から得られた値と、天文年鑑2015 年版の値を参考値として比較する。 天文年鑑2015 年版 （参考値） 計算結果から得られた値 平均値 最大値 最小値 𝑃 27.322（日） 27.402（日） 27.362（日） 27.435（日） 𝐿 3.84400× 108（m） 3.83961× 108（m） 3.83586× 108（m） 3.84270× 108（m） 𝑒 0.0549 0.0640 0.0644 0.0619 𝑅・𝐷が平均値のときと参考値を比較すると、𝑃・𝐿・𝑒のいずれも誤差は小さく、𝑅・𝐷が最 大値・最小値のときと参考値を比較しても、𝑃・𝐿・𝑒のいずれのときも誤差は小さい。 このことから、計算結果から得られた値は平均値・最大値・最小値のいずれも、参考値に 近しい値を得ることができたと言える。 また、𝑅・𝐷が平均値のときと、𝑅・𝐷が最大値・最小値のときを比較しても、あまり大きな 誤差は認められないので、測定はほぼ正確に行われたと思われる。 しかし、𝑒の値は観測した中での最遠距離・最近距離なので、観測している月の周期の中で、 地球と月との最遠距離・最近距離のときに観測していれば、より正確な値を求めることが できたと思われる。 𝑃・𝐿・𝑒の値をより真値に近づけるには、月の 1 周期の間に新月・上弦の月・満月・下弦の 月の観測を行うことや、2・3 周期分の観測を行うと、より正確なデータが得られたのでは ないかと考えられる。 また、スーパームーンのときに、観測を行えば、𝑒の値はより真値に近づけたのではないか と考えられる。33
