@懸購纏灘騰

(1)

川部健t近藤芳朗‡寺元貴幸§

Relaxation Phenomena of On−off intermittent Chaos

Takeshi KAWABE， Yoshiro KONDO and Takayuki TERAMOTO

Abstract

Two homogeneous chaos systems generated by a logarithmic map synchronize by connecting with a coupling strength C． On−ofiintemittent chaos is observed and the critical value C， is numerically obtained as af㎞ct三〇n of a control parameter臥The syste瓜atic chaos systems withα＝一〇．9 lead to the synchronization with smaller coupling strength than the theoretical value C．． Relaxation time to the synchronized state exhibits the scaling law e hi just above C， and its probability has a single peak．

Key wo7 ds＝syロchronization， olレ。∬intermittency， logarithlnic皿p， relaxation time

．1 はじめに

非線形力学系に関連して現れるカオスの一つとして，

よく知られたPomeau−Mannevilleタイプの間葛欠性カオス1）がある．これは周期運動を含むregulαrな運動か

ら乱れた運動に変化する際に現れる現象である．ここでは2つのカオスカ学系を結合した系を扱う．結合強度 Cが小さいときには2つのカオス力学系は独立に運動

しているが，結合強度が大きくなると2っのカオス力学系は同調して同じ振る舞いをする．同調が起きる結合強度の臨界値0，があって，σ、より僅か小さいときに，2 つのカオス力学系は準同調（off状態，ラミナー相）と非同調（on状態，バースト相）が繰り返される。

そして，臨界値0，に近づくにしたがってラミナー相が長くなっていく．2つのカオス結合系で起こるこのような運動は，最初，藤坂，山田2）によって見いだされ，その後N．Plattら3）はこれをon−off間弾性カオスと名付けた．結合カオス系の実験としては，電子回路系の2つのダイオード間電位差4）で観測されているが，その他に化学振動子系，地震発生の断層モデル系，

Zeemanレーザー系，強磁性共鳴系で見出されている

5︶

2つのカオスカ学系としてロジスティック写像からつくられるカオスが一般的によく用いられる．αをロジスティック写像の制御パラメータとするとき，解析的に同調する条件は0、＞a−3，（α＞3）で与えられる6）．

ここでは著者らの研究対象であった対数写像7），8）を用いて，en一 off間敏性カオスの振る舞いや元のカオス系

＊原稿受付平成14年8月31日

t一般科目（物理）

．．t川崎医科大学（情報科学）

1§情報工学科

のリアプノブ指数とこれらのカオス系が結合したときの結合の臨界値0、がどのような関係を持っているのか調べる．元のカオス力学系に対数写像を用いるメリッ

トはロジスティック写像と違って，リアプノブ指数が制御パラメータaのスムーズな関数（lal≦1）で変化していることにある．但し，解析的に求めることができないので数値解析を行うことになる．また，結合が臨界値C、より少し大きいとき，結合系の定常状態に達するまでの緩和時間とその分布を計算する．これらの内容は以前に解析しているが，今回，再検討を行った9）．

カオスの数値解析には，一般に膨大な時系列の計算を行わなければならない．このCPUとメモリーの問題を克服するために，計算機専用サーバとWebサーバを接続して多数のパソコンをネットワークで接続，計算の分散化により処理していくことが望ましい．これら多数のパソコンの計算状況をコントロールするシステムの構築を行って10），今回の問題に応用することを検

討する．

2 結合カオス系の同調現象

2つの1次元力学系は時系列｛xY）｝，｛x￡2）｝で与えられ，それぞれ次の差分方程式に従って運動している．

x9！i ＝ f（x9））＝ ln（lxS」）1）＋a （i ＝ i， 2）（1）

制御パラメータαの値によって，この力学系は規則的な運動（lal＞1）やタイプ1，タイプIIIの間敏性運動を含むカオス運動（回≦1）をする7），8）．この2つの力学系が次の式

迎一f（・S」））＋号歯｛f（・￡i））一∫健））｝（・）

i＝1

(2)

津山高専紀要第44号（2002）

6⊃

Xn

o

一5

a＝O

o loo n 200

図1：カオス力学系（1），（2）の時系列

で与えられるような結合をしているときの系の振る舞いは，系（1），系（2）が本来もっているカオスの性質（制

御パラメータaによって変化する）や結合強度0によって様々な様相を呈するだろう．

最初に，on一。が間歌性カオスの発生する状況を見るために，2っの系が共に対数写像（1）でa＝Oのカオス運動（図1）をしている場合を考える．結合強度σ を少しずつ大きくして同調していく様子を数値実験で確かめてみよう．同調状態を考えるのに便利な変数 v．＝；｛x￡i）一 x＄2）｝（3）

を定義しよう．一Vn＝0のとき，2つの系（1），系（2）

が同調を起こす。逆に，Vn≠0のとき2つの系は非同調状態にある．カオス停学系（1）は初期値￠9）＝0．1，

力学系（2）は初期値x82）＝0．7から運動始めるとする．

a＝Oの場合に，図2は結合強度σを少しずつ大きくしていくと，時系列Vnが非同調状態（a）からon−off間内性カオス状態（b），（c）を経て，．同調状態（d）に至る状況を示している．結合強度の臨界値はσ、＝0．43394であるが，図（b），（c）からも分かるように，時系列はラミ

ナー相と呼ばれるoff状態（Vn〜0）とバーストと呼ばれる。n状態からなっていて，臨界値に近づくに従いラミナー相が長くなる．

a＝0，0＝O．433の場合，on−off間骨性カオスの時系列を詳しく観察するとカオスに一般的な特徴である自己相似な時系列が観測される．その状況は図3に与えられるが、（a）の時系列ではほとんどラミナー相に見える部分n＝30， OOO〜35，000を10倍に，縦軸は 100倍に拡大したものが（b）図である．変化の様子が類似しており自己相似性を示している．

航42

＝

σ司︵

＝．講灘∴ ・・魏 O．ゾ︐．灘㍗

．∵箏・．馬●

、．?兼蛛A

● 蝕飛h

?語t

熊

嶺

4

0 隔

・O．

一〇，4

0 1000

2000

n

0隔 4 （b） C ＝ O．43

o鍵暗譜魏

一一Z．4

o 1000 n 2000

3 リアプノブ指数と0，の関係

J，Heagyら11）（a on一 offカオスを起こす基本的な条件は写像の非線形性ではないとして，結合がランダムな時系列Yn＋1＝ Zn f（Yn），（Znが結合ランダム変数）

O．4t （c）．O＝ O．432．

1」乳

︒

」i

一〇，4

・鯉ll≒

1

o lcoO 2000n

4鴨0り ︒

＝O．4

（d） C ＝ O．434

o 100q n ptoo

図2：0n−off間歌性カオスと同調現象

(3)

4．0

2．0

o

一2．0

2Vn

t

．

（a）

．

． L ．（ b）

．．．．： le：．）1．t，，

．

＝軸．^｛vi

．

ilxioh

1 2

一方，結合力学系のリアプノフ指数λ は

At＝無去1・1舞1

麟書㎞1藷1

〈1司藷1＞

最後の式で〈…〉は長時間平均を表す．（8）式から

4，0

1i［× 1 o21

2．0

o 3 n 4 ⁵

o

・2．0

2Vn ^（b）

，撫』。癩望

、 ● ・．》㌦

，［・loう

30 31 32 33 n 34 35

図3：．．on・off間歌姓カオス（a＝0，0＝0．433）の自己相似性

で与えられるようなモデルを用いて解析を行った．そして，oη一〇∬間歌性カオスの一般的性質としてラミナーの分布関数は一3／2のべキ則に従い，ラミナー長さの臨界指数は一1で与えられるという結論を得ている．

On． ofi間歌性カオスから同調へ至る状況をみるために，同調解｛Xon｝の近傍で（2）式に従う時系列｛誼）｝（」＝

1，2）を展開する．

xS」）＝： xo．＋6xS 〉（4）

λ ＝〈1皿11−Ol＞十〈1皿1ノ（￠〔li）1＞．

（9）

（10）

第2項は結合していない（0＝O）元の系（1）と（2）

のりアプノフ指数λを与えるから

，）t ＝〈ln 11 一Cl＞十A．（11）

を考慮して

・。。＋、＋δ・￡i）＝ノ（m。。）＋ア（・。。）礫）（5）

＋ upt （xon）S．｛6，ff）一6xY）｝，

i＝1 同調解は

￠da＋i ＝ f（￠da）（6）

を満たすので，これを考慮して（2）式に代入すると

ixS」！，＝ f （x，．）｛6￠￡」）＋ g SI）（6￠lj）一 6．sJ ））｝．

i＝1

（7）

（3）式から

6vn＋1 ＝ f （￠on）（1 一 C）6vn ^（8）

同調が起こるとき，結合力学系のリアプノブ指数λ は 0になり，結合強度の臨界値σ、を与えることになるから

Os＝1一ビλ （12）

の関係が導かれる．

対数写像（1）に従う系のリアプノフ指数は数値計算で求められるから，（12）式より0、が得られる，この結果をaの関数として図4に示す．一方，元の力学系（1）

の制御パラメータαの種々の値一〇．9，一〇．6，0．0，0．5 に対して．結合力学系（2）が同調を起こす結合強度の臨界値0、を数値解析で求めることができる．結合力学系

（2）の数値解析では，力学系（2）の初期値をx82）＝e．13 とし，力学系（1）の初期値x8i）を乱数で適当な25個を選んで，それぞれについて結合強度0を変えて同調を起こす臨界値0、を求めた．初期値￠82）＝0．13には特別な意味はなくどんな数値でもよい．結果を図5に示す．α＝一一〇．9以外は大体よい一致を示している．aニ0 の場合には0 ＝0．432で100万回の時系列をとっても同調を見出すことはできなかったが，（］＝ O．433では

1．0

O．8

O．6

O．4

O．2

A．： Lyapunov exponent

C，： threshold of coupling strength

rA

C．／2

，ZX 一 N

一1 ．o o a 1．o typ・川 typ・1

図4：元の力学系のλと0、の関係

(4)

津山高専紀要第44号（2002）

O．6

Cs

O．4

O．2

0

￠，＝Oj3

4．

ｿ＝0．5 ^{．．．、；隔}

● ^{層，} ●Oo ^■ o ^● ● ● ● o ●

q＝0．0

舳 o ● ^・．● ^・ ● ○管

uf＝一〇．6

●■●

ず

■ ● ^●．_B ^o● ●託9ラ・ ^・●^怐@grじ

一2．0 0・O x♂Ω ^2．0

n

lo4

103

102

101

榊鱒．モ

（a） Cs＝O．43394 Crc、（1＋ε）

一1 n oc E

℃

10−3 10−2 io i e loO

図5：数値解析（黒丸）と理論式（12）（実線）の比較

14万回程度の時系列で相対誤差10−15の精度でxSi）

と￠S2＞は一致，即ち同調する．従って，0、は両者の間にあると推測される．一方．a＝0の対数写像（1）

の時系列を100万回とってリアプノフ指数λを数値解析で求めた．さらにこれを初期値平均（10回）行うと λニ0．56906が得られる．（12）式から既に与えている 0，＝ O．43394が求められ，上記との誤差は0．3％以内にある．

a＝一〇．9の場合の不一致は何処からきているのであろうか，数値解析でCeを求めるときに，同質なカオス系で異なる初期値から出発して力学方程式（2）を解いて，￠Si）と￠￡2）が相対誤差10−15以内（計算機の倍精度の限度）で一致するとき，時刻nで2つの力学系は同調したとみなしてそのときの0、を確定してきた．

しかし，理論式（12》には同調を起こすまでのこのようなダイナミックスは含まれていない，所謂，熱力学的な平衡状態の式に対応していて，無限長さの時系列の平均値になっている．a＝一〇．9はタイプIIIの間歌性カオスで，かなりsystematicな時系列を与える7），8）．そ

して，その時系列｛Xn｝の分布は方程式

一一 ?＝@1me 十a

n

tO3

102

tGl

・● ●●●《向

e （b） c．＝O．24265 c＝c．（1 ＋ e ）

イ n oc e

．

（13）

の解げを中心とする鋭いローレンツ分布を示す．a→

一一Pで分布はδ関数に近づき，一1より大きくなるに従いピーク幅はひろくなる．同質のカオス系であるからこの解ゴの近傍で￠￡1）とx￡2）が一致する確率が大きくなる．従って，（12）式で与えられるσ、より小さな値で同調するようになる．図5の結果はこのことを裏

付けている．

4 0、近傍の緩和現象

結合強度がC、を越えると同調するが，任意の初期値

lo−3 lo−2 lo t 100 E

図6：0、近傍の緩和時間：（a）a＝Oと（b）a＝一〇．9

m81）， xE2）から出発して同調するまでの時間（number oノ伽アα伽η5）即ち，緩和時間（Relaxation time）n は0＝（フ、（1＋e）；（ε《1）を定義するとき，eを小さくしていくに従い長くなっていく．（a）a＝Oと（b）

a＝一〇．9の場合にそれぞれ800個の初期値平均の数値解析の結果を図6に示した．スケーリング則〈n＞oc e−1 がarOとα＝一〇，9の両方の揚合に成り立っている

ことが分かる．この関係はタイプIIのスケーリング則 12）と同じである．しかし，a＝一〇．9の方がスケーリ

ング則の成り立つ領域がa＝Oの揚合よりεの大きな方へずれている．これは，同質の結合系においては，元のカオス系がsystematicなほど揺らぎが大きくなるこ

とを示している．

最後に，a＝0の揚合の緩和時間nの分布P（n）を ε＝0．1とε＝0．2に対して求めた，図7のようにそれぞれきれいな正規分布を示す．そして，onL ofi間歌性カオスの緩和時間の分布が1っのピークをもつという普遍性を裏付けるものになっている13）． εに対する

ピークの相対的な位置も妥当な結果を与えている，

(5)

O．03

P・狽?j

O．02

O．Ol

O

i a＝O・o cs＝o，43394

＝

⁝

3・ε富0．2

・1

：＝

● 5

λノ慢

200 400 磯・n

図7：緩和時間nの分布

5 おわりに

元の力学系として同質の対数写像（1）を用いて，OTi・

0：ff二二性カオスの振る舞い，自己相似性，結合強度と制御パラメータで決まる元のカオスの性質の関係を数値解析で調べた。そして，時系列がでたらめな振る舞いのカオス（a＝0に相当）よりもsystemoticな振

る舞いのカオスの方が結合力学系の。伽。ガ二二性カオスの揺らぎが大きくなる．07）一〇fi間歌性カオスのラミナー相の長さの平均はCsの前後でε『1のスケーリング則に従うことが知られているが11），0＞Csに対し

てこれを確認した．σ＜σsのスケーリング則を数値的に求めることは簡単ではないが，元のカオスの性質がどのように関係するのだろうか．今後の課題である，

多数のパソコンを使った数値解析の分散化は，まだ準備段階で今回の解析には応用できなかったが，残された問題に適用していきたい．

参考文献

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辮風調者卿

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9 1 1 1 1 ︶ 0 1 2 3 ︵ 99泊蛛E・算−空空シ繭ア年月く岡 199

講演部会

支国

四中会

学騨鑑㎞

蟹漁奮

露

馬 65

q ゆ恥

P 鼠 37 工

鋤記