企 業 間 の 費 用 格 差 と製 品 差 別 の あ る複 占超 ゲ ー ム の 解
鵜 沢 秀
寡 占 理 論 は,ク ー ル ノ ー(Cournot)[1838]に よ っ て 定 式 化 さ れ て 以 来,均 衡 の 存 在,安 定 性,行 動 様 式 お よ び 解 概 念 の 多 様 性 な ど を め ぐ っ て 展 開 さ れ て き た(例 え ば,フ リ ー ドマ ン(Friedman)[1977,1983]を 見 よ)。 ク ー ル ノ ご 解 は 代 表 的 な 寡 占 モ デ ル の 解 概 念 の 一 つ で あ る 。 よ く知 られ て い る よ う に,ク ー ル ノ ー 均 衡 の 配 分 は ,パ レ ー ト効 率 的 配 分 で は な い 。 即 ち,複 占 の 例 で 言 え ば2つ の 寡 占 企 業 の 利 潤 が と も に 大 き く な る 配 分 が 技 術 的 に 可 能 で あ る 。 別 の 言 い 方 を す れ ば,技 術 的 に2つ の 企 業 で 達 成 可 能 な 利 潤 の 組 み 合 わ せ(利 潤 可 能 性 フ ロ ン テ ィ ア)の 内 部 に ク ー ル ノ ー 均 衡 の 利 潤 の 組 み 合 わ せ は 存 在 して い るD。
一 回 限 り の ゲ ー ム と し て 寡 占 ゲ ー ム を 見 て み る と フ リ ー ドマ ン[1977]な ど が 明 らか に し た よ う に ク ー ル ノ ー 解 は 均 衡 を 構 成 して い る 。 既 に 指 摘 した よ う に,複 占 の 場 合 で 言 え ば,2つ の 企 業 が 協 力 な い し共 謀 す れ ば,よ り 大 き な 利 潤 が 得 られ る 。 しか し,寡 占 ゲ ー ム が 一 回 限 り で あ れ ば,協 定 を 裏 切 る こ と に よ って,よ り大 き な 利 潤 を(相 手 企 業 の 犠 牲 の 上 に)獲 得 で き る こ と も 知 られ て い る 。 フ リー ドマ ン[197ユ,1977,1983]は,非 協 力 寡 占 モ デ ル の 枠 組 の 中 で,無 限 回 同 一 の 寡 占 ゲ ー ム が 繰 り返 し行 な わ れ る,い わ ゆ る 超 ゲ ー ム(super‑
game)を 考 察 し た 。 一 回 の 裏 切 り に よ る 利 潤 の 増 分 と報 復 に ホ る 将 来 の 利 欄 の 減 少 分 の 現 在 価 値 を 比 べ る こ と に よ り,暗 黙 の 協 定 が 成 立 す る条 件 を フ リ ー ド マ ン は 明 ら か に し た 。
原稿 受 領 日1985年11月29日
1)一 般 に,nケ の 企 業 か らな る 寡 占 モ デ ル に っ い て も成 立 して い る [1977]を 見 よ)。
(Friedman
〔125〕
デ ネ ッケ レ(Deneckere)[1983]は,製 品 差 別 の あ る複 占超 ゲ ー ム2)を考 察 し,,2つ の 財 が 互 いに 補 完 財 で あ るか,密 接 な代 替 財 で あ る と き,暗 黙 の 協 定 は,数 量 設 定 超 ゲ ー ム よ り も価 格 設 定 超 ゲ ー ムに お いて 生 じや す い こ とを 明 ら か に した。 しか し,代 替 の 程 度 が 弱 い と き逆 の 結 論 と な る。 この 結 果 は,一 回 限 りの寡 占 ゲ ー ムで は,価 格 設 定 戦 略 が 数 量 設 定 戦 略 よ り も常 に よ り高 い厚 生 を もた らす と い う結 論 と対 比 的 で あ る。
こ こで は,企 業 間 に費 用 格 差 が あ り,製 品 差 別 の あ る複 占超 ゲ ー ムを 考 察 し, 費用 格 差 の増 加(縮 少)お よ び2っ の財 の補 完 性 や代 替 性 の程 度 が2っ の 企 業 の行 動 に どの よ うな影 響 を与 え るか,協 定へ の誘 因 は どの よ うに変 わ るか を明 らか にす る。以 下,第1節 で,モ デ ル を 提示 し,第2節 で クー ル ノ ー解 を求 め る。 第3節 で は,共 同 利潤 を最 大 に す る解 を 求 め,第4節 で,2つ の解 を比 較 す る。 第5節 で は数 量 設定 超 ゲ ー ム の解 を求 め,費 用 格 差 お よ び製 品差 別 の 程 度 の 効 果 を 調 べ る。第6節 で 簡 単 な 要 約 と今 後 の 課題 に つ い て触 れ る 。
1.モ デ ル
製 品 差 別 で き る財 を 生産 す る2っ の 寡 占企 業 を 考 え る。 ま た,こ の経 済 に は, 価 値 尺 度 財 を 生 産 す る完 全 競 争 企 業 が い る。2っ の 企 業 に は,費 用 格 差 が あ る。
簡 単 化 の ため に,低 費 用 企 業(企 業1と 呼 ぶ)と 高 費 用 企 業(企 業 ぬと呼 ぶ) の 費 用 関 数 を,そ れ ぞ れ,
C,=O
Cゐ=oσ ゐ
(1) (2)
と仮 定 す る。 ここで,の,偽 は,そ れ ぞ れ,低 費 用 企 業 と高 費 用 企 業 の 生 産 量 を示 し,oは 一 定 で あ る。 従 って,低 費 用 企 業 の 平 均 費 用 と限 界 費 用 は と もに ゼ ロで あ り,他 方,高 費 用 企 業 の平 均 費 用 と限 界 費 用 は と もに6で あ る。
代 表 的 な 消 費者 の 効 用 関 数 を
2)2っ の企 業 の 費 用 関 数 は同 一 で,特 に,平 均 費 用 も限 界 費 用 もと もに ゼ ロ と仮 定 さ れて い る。
企 業間の費用格 差と製 品差別あある複 占超ゲ ームの解
σ(σ ム 卯)一[カ14,+力 乃4ゐ 〕 と す る3)。 た だ し,
σ(σム 砺)一 乃 σ'・砺 一 ÷(β4多 一2Eg'σ ・+β の こ こ で,!1>0,β>0,β2‑E2>0,24(β 一E)>0,
127
(3)
(4)
と し4),カ',恥 は,そ れ ぞ れ 企 業1と 企 業 んの 生 産 物1単 位 の 市 場 価 格 を 示 す 。 こ の 効 用 関 数 は,線 型 の 需 要 関 数 を 与 え る 。 財1と 財 〃に 対 す る 逆 需 要 関 数 は,そ れ ぞ れ,∂ σ/∂の=ρ 」と ∂σ/∂恥=加 か ら次 の よ う に な る 。
ρ'=刃 一B41+Eσ ゐ ρ彦こ ノ4+E4,一 β4々
(5) (6)
た だ し,価 格 ρム 毎 が 正 と な る よ うな(41,4の に 対 して 成 立 す る 。 E∈(一 β,8)に 対 し て,(5),(6)は,数 量 に っ い て 解 く こ と が で き る 。 β2‑E2>0で あ る か ら,
(1り一[.餐 一2ゴ(鑑)
一
。 、主E,(、4(8+E)一湾(B+E)‑Eρ,一 β ρ,‑E毎β飢)
(7)
∂σ,/∂毎=rE/(β2‑E2);∂ σ彦/∂ρ'だ か ら,Eが 正,ゼ ロ,負 に 対 応 して , 財1と 財 ん は,そ れ ぞ れ,補 完 財,独 立 財,代 替 財 と な っ て い る 。
2.ク ー ル ノ ー 解
企 業1の 利 潤 は,(1),(5)よ り,
3)[汐'4'十 クゐσゐ]は,価 値 尺 度 財 に 対 す る支 出 を表 わ して い る 。 この効 用 関数 は,従 っ て,価 値 尺 度 財 に関 して分 離 可能 で あ る か ら,SinghandVives[1984]の 指 摘 を ま っ ま で もな く,製 品 差 別 で き る2つ の企 業 の生 産 物 に 対 す る所 得 効 果 は な い こ とは 知 られ て い る 。従 って,部 分均 衡 分析 を 行 う ことが で き る こ とに注 意 しよ う。
4)関 数 σ(9',9ゐ)は,従 って,強 い 意 味 で の 凹 関数 で あ る。
ノ
∫28』 商 学 討 究 第36巻 第3号
π'=ク'σ,一 α
=(A一 β4,十E(防)4'(8)
で あ る.利 撫 大 化 の 条 件 は,・,が ・1に っ1・て 凹 騰 で あ るか ら,
雰+・ … 吻 ・一・(・)
ま た,企 業 ん の 利 潤 は,(2),(6)よ り
πド ρ砂rcゐ
=(ノ1‑o十E(7,一 β4ゐ)σ 血(1・0)
で あ る 。利 潤 早 大 化 の 条 件 は,π ゐ が 卯 につ いて 凹 関 数 で あ るか ら,
諺+・+E・'一 ・・炉 ・(11)
(9),(11)よ り4β2‑E2>σ で あ る か ら,
(ll)一[‑7諮 ゴ(∴)
従 つて,ク ー ル ノ ー 解 は5),'企 業 ん の 限 界 費 用6に 依 存 す る 。
、.4(2β+E)‑E6(12)4
」=4β2 ̲E2
/4(223+E)一2Z∋o(13) σ易二4β2 ‑E2
、
(5),(9)よ り
1ノ
カ,=β σ∫(14)
同 様 に,(6),(10)よ り
ρ傷一 〇=β σ傷(15)
5)上 付 き の 添 字cは,℃ournot解 を 示 す 。
企 業 間 の費 用 格 差 と製 品 差 別の あ る複 占超 ゲ ー ムの 解
従 っ τ,(8),(12),(14)よ り σ/A≡ μ,E/β 箋 α・と お け ば,
・7三β{・7}・一・{A(2霧 舞Ec}2一 誉{2静 ヂy
ま た,(10)ち.(13),(15)よ り,同 様 に し て,
・髭一・圃 ・一β{4(2群 孟≡2βo轄{2器 μ}
が 得 ら れ る6)。
3.共 同 利 潤 最 大 化 の 解
企 業1と 企 業 ん の 共 同 利 潤 は,(1),(2),(5),(6)よ り
πr《 ノ1‑Bσ'+Eσ 海)9♂+(A‑C十 」E(1♂‑Bσ 海)σゐ
で あ る 。 共 同 利 潤 最 大 化 の 条 件 は,
、∂π/∂(1';14『28(7'+E4海+E(1ゐ=0
∂πノ∂砺;Eの+A‑c+Eg「28㊨;0
129
(16)
(17)
(18)
(19) (20)
で あ る 。 β2‑E2>0だ か ら,(19),(20)・ よ り7)企 業 ぬ の 限 界 費 用oに 依 存 して 、
(ll)一÷[.髭E]一1(Aぞ 。) 一,(。1‑E、)(驚 瑠=彦:)
(5),(19)よ り
ρ 峠
6)c=0の 、と き は,Deneckere[1983]の 結 果 に 一 致 し て い る 。 7)上 付 き の 添 字Mは,共 同 利 潤 最 大 化 の 解 を 示 す 。
(2ユ)
(22)
ま1こ,(6),(20)よ り
・」ウ夢 一 〇〒(、4‑o)ノ2
従 っ て,(21),(22)よ り
πダ=ρ ダ9ダ
ー坐1劉 誘80L害{装 誓 鍔}
ま た,(21),(23)よ り
π解 一(ρ トo)姥
一(且一c辮 留 一βc}一害{(1一 鐸 藷 一μ)}
4.ク ー ル ノ ー 解 と 共 同 利 潤 最 大 化 の 解 の 比 較
(i)μ=0の と き8)
(16),(17)よ ◎ μ ニ0の と き.
・1‑・ 易・害(12 一 α)2
ま た,(24),(25)よ り,μ=0の と き
・野一・望一害{14(1 一 α)}
が 得 ら れ る 。
8)Deneckere[1983]の 結 果 に 一 致 し て い る 。
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
企 業 間 の 費 用 格 差 と製 品 差 別 の あ る嶺 占超 ゲ ー み の 解 ・1訂
(2一 α)2こ4‑4α+α2>4(1一 α)
で あ る か ら,共 同 利 潤 最 大 化 の 解(27)カ ギ ク ー ル ノ ー 解(26)に 優 越 す る こ と が わ か る 。
(ii)μ>oの と き
ク ー ル ノ ー 解 と 共 同 利 潤 最 大 化 の 解 を 再 掲 す れ ば,
・,一誉{2篶 多μy・ 機2告 野μ}2
(28)
、 か,=Bσ,
略一窒{2吉等 絆 ・4{2告 珂
(29)
力易一 〇;β(1易
・ダー歪{1+α 一α2)}・一αμ4(1 ダー書{詳 『鍔}
(30)
峠
・誇{(1一 μ)(1十(z一μ4(1一α2))}・ ・が一鶴 器}
(31)A(1 一 μ)
酵 一 〇=2
と な る 。
利 潤 お よ び 生 産 量 が と も に 正 と な る条 件 は,(28),(29),130),(31)よ り 得 られ る 。
[1]0<α<1の と き(2つ の 財 が 補 完 財)
112 α1<1十
一 く1十 α く1十 一 く1十 一
2α α
を考慮す ると,利 潤が正,生 牢量 が正 となる条件 は, 0く μ<ユ.(32)
利潤 奢{、、,当。、
α
1一
2(瀞B
μ(α) 図1各 利 潤 の比 較(0<α 〈1の 場 合)
で あ る 。 図1か ら 次 の こ と が 明 ら か と な る 。
πダ〉 π,forO<μ 〈1 π望〉 π匿forOく μ〈 μ(α)
こ こ で,μ(α)は π多=㌶ な ら しめ る μ の 値 で,
2+α4一 α2
・(α)≡2‑2偏'
μ
(33)
(34)
と な る(Appendixの 第1節 を 見 よ)。
従 っ て,超 ゲ ー ム を 考 え れ ば,(M〃π'・π海)が 均 衡 の 候 補 に な る 。 と こ ろ が, μ(α)<μ 〈1な る μ に 対 して は,婿 く 補 で あ る か ら,低 費 用 企 業1は,高 費 用 企 業 乃 に 対 して 手 付 け(sidepayment)を して,協 定 を 結 ぼ う と す る 誘 因 を 持 っ 。
[2]α=0の と き(2っ の 財 が 独 立 財)
明 らか な よ う に,利 潤 が 正, 、生 産 量 が 正 とな る 条 件 は,
企 業 間 の 費 用 格 差 と製 品 差 別 の あ る複 占超 ゲ ー ムの 解133
0<μ<1(35)
この と き,
・ダー・2講
●(36)
・望一・購(1一 μ)・
とな 砥 超 ゲ ー 螺 ・ まで もな く・ ・ 一 ル ジ ー解 が 騨 ・一 致 して い る 。
[3コ ー1<￠<0の と き(2つ の 財 が 代 替 財)
十 α<1十 一 く12α1
を 考 慮 す る と,利 潤 が 正,生 産 量 が 正 と な る 条 件 は,
0<μ<1+α ゴ'(37)
さ て,μ 瓢1+α の と き の π1,πダ の 値 は,そ れ ぞ れ,(28),(30)よ り 計 算 す る と,
・,一書{2一一 α2}2(・8)α24
・協(39)
と な る 。(2一 α2)/(4一 α2);1‑2/(4一 α2)だ か ら,一 工く α〈0に 対 し て は,
言 ・(2一 α24一α2)2<去(・ ・)
従 っ て,0<μ<1+α に 対 し て は,
利潤
頚 、、1≒、}
誉(、≒)2
πグ〉 π,
1十 α ㌔馬
、、
、、
図2各 利 潤 の 比 較(‑1〈 α く0の 場 合)
μ
(41)
が 得 ら れ る 。 図2か ら
{宴:裏 forO<μ<1+α
forOく μ<μ(α)〈1+α (42)
と な る 。 こ こ で,
企業間の費用格差 と製 品差別のある複 占超 ゲームの解 135
・(・)≠ 野 一,誤1・ ・一芸 (43)
で あ る(Appendixの 第1節 を 見 よ)。 超 ゲ ー ム を 考 え れ ば,(ザ,婿)が 均 衡 の 候 補 に な る 。 と こ ろ が,μ(α)<μ<1+α な る μ に 対 し て は,婿 く 煽 で あ る か ら,低 費 用 企 業1は,高 費 用 企 業 届 こ対 し て 手 付 け を し て 協 定 を 結 ぼ う
とす る 誘 因 を 持 つ 。
α≡ β/β は,2つ の 財 の 補 完 財(0<α 〈1の と き)ま た は 代 替 財(‑1〈
α<0の と き)の 程 度 を 示 す 指 標 と な っ で い る こ と を 考 慮 す る と,μ(α)の 性
質 、
∂μ(α)/∂ α>0 (44)
は 次 の よ う に 述 べ る こ と が で き る(Appendixの 第1節 を 見 よ)。
命 題12つ の 財 の 代 替 性 が 強 ま れ ば 強 ま る程,低 費 用 企 業1は,高 費 用 企 業 ん に 対 して 手 付 け β を 行 っ て,(πr一 β,π 望+β)〉(π1,煽)を 実 現 し よ う と す る 誘 因 を も つ こ と が わ か る 。
5.数 量 設 定 に よ る 超 ゲ ー ム の 解
萬(1葦 。ア(・ダー・,)・η(々',・ 多)一η(・誹)
乱(11+7)'(・ 炉一・完)…(輌 好)… 曜)
(45)
(46)
の と き,共 謀 ま た は 協 定 が 成 立 し,協 力 価 格 が 形 成 さ れ る9)。 こ こ で,プ ,は 利 9)Friedman[1977]に よ れ ば,staticgameが 無 限 回 繰 り返 さ れ る とき,陽 表 的 で な くて も協 力 す る可能 性 が あ る こ とが 明 らか に さ れ た 。 この よ うな 協 力 行動 は,次 の 条 件 が 成 立 す れ ば起 こ る。(45),(46)の 左 辺 は,(協 定 を裏 切 った こ とに対 す る 報 復 に よ る)、損 失 の現 在 価 値 で あ り,(45),(46)の 右 辺 は,協 定 を 裏 切 る こ と に よ る一 期 間 の利 益 を表 わ して い る。 従 って,(報 復 に よ る)損 失 の 現 在 価 値 が 裏 切 りに よ る一 期 間 の 利益 よ り も大 き け れ ば,2つ の寡 占企 業 は,か りに費 用差 が あ っ て も,協 力行 動 を しで(π κ π紛 を享 受 す る。
子 率 を 示 し,π 々(κ,ッ)は,相 手 企 業 が 戦 略 ッ を 選 ん だ と き,自 分 が 戦 略 κ を 選 ん だ と き の 企 業 ん の 利 潤 を 示 す 。 ま た, 、σ',卯 は,そ れ ぞ れ,相 手 企 業 が 曜,げ を 選 ん だ と き の 最 適 裏 切 り 戦 略 を 示 す 。
上 の 条 件(45)・(46)は ・ 第4節 の 分 析 か ら明 らか に な っ た よ う に 」
・<・<・(・)一 聖 一,謡
,・ 一 男(47)
を 満 たす 範 囲 の μ に対 して 成 立 す る必 要 が あ る 。条 件(45),(46)を 書 き換
え る と, π'ヲ π'
レ び
・ ・'(ラ♂,姥)一 ・'(・ダ1・夢)(48)
π≒ π傷
・ ・、(ラゐ.ρ ダ)一 ・、(,第 げ)'(49)
と な る 。
5.1最 適 裏 切 り 戦 略 の の 導 出 幻=[4一 β切+E4卸 ξ'だ か ら,
器+・ ・ξ働 夢一・
(31),(50)よ り
鵜{(1+α)(2一 α)一 αμ4(1一α2)}
(5),(50),(51)よ り
う1一β4'巡1認 窪 講)一 αμ}
(50)
(51)
(52)
企業 間の費 用格 差 と製 品差 別のある複 占超ゲ ームの解137
従 って,
元' ・(∂・,・ガ鴫 一書{(1+αlll≡ 翁 μ}2(53)
5.2最 適 裏 切 り戦 略 ㊨ の 導 出 為;[ノ1‑6十E4ダ ーβ4ゐ]4〃 だ か ら,
舞+・+E・ ダー昨 ・(54) (30),(54)よ り
場{(1+α)(2一 α)一(2一 α24(1一α2))μ}(55)
(6),(54),(55)よ り
多 ・一 ・4 {五{(1十(Z)(2一 一 α)丙(2一α)4(1 α2)μ}(56)
従って,
・酬 ζ…r)一 害{(1+α)(1蒜12‑"2)μ}2(57)
、.3諭 解 成 立 の 条 件
協 力 解 は,(47),(48),(49),(53),(57)が 成 立 す る と き,自 己 拘 束 的 (self‑・nf・r・i・ 琴)と な る ・
(28),(30),(53)を 用 い る と,(48)は
一{=舞,
K 儲 蟹}一{2潔 μ}2
(1+%≒ 藷 一αμ}2‑{垢 窪i鍔} (58)
計 算 の 結 果,
・<4(1一 α2)[(4一 α2)2(1+α 一 αμ)‑4(1一 α2)(2+α 一 αμ)2 (4一 α2)2
4(1一 α2)
(4一 α2)2
{(1.。)(,一 。).。 μ}、.、(1.。 、)(1.。 一 。μ)]
[{(1+α)(2+α)2‑(2留 鴇1多 一4)μ 一4(1 2)翅2}]
(59)
μ=̀0の と き,(59)は,
4(1一 α) 7<(2 一 α)2
と な り,デ ネ ッ ケ レ[1983]の(13)式 に 一 致 す る 。 ま た,(29),(31),(57)を 用 い る と,(49)は,
(1一 μ)(1十 α 一 μ)
{
一 2千 α 一2μ 7<一
π卜 π易 4(1一 α2) 4一 α2
2
}
レ πゐ一 π
ゐ
{(1+α)(1蒜12 2)μ}2‑(卜 多〜1≡岩 一μ) (60)
計 算 の 結 果,
・<4(1一 α2)[
(、.。)、{(1宰議 睾 畿 聯 ≒ 砦≒ 霧浩 留 茎。)]
1辮{(1+α)(2+α)2一 農 導 缶薯2)μ+(8+α2)μ2}](61)
μ=0の と き,(61)は,
企 業 間 の 費 用 格 差 と製 品 差 別 の あ る 複 占超 ゲ ー ム の解
4(1一 α) 7〈(2 一 α)2
と な り,デ ネ ッ ケ レ[1983]の(13)式 に 一 致 す る 。 (59)の 右 辺 を ρ1,(61)の 右 辺 を 仰 と お く と,
・「 ・・‑1浮ll{α αH IEゐ}
こ こ で,
G'≡(1+α)(2+α)2‑(2+α)(α2+6α 一4)μ 一4(1Lα ・)μ・
0・ …(1+・)(2+α)2‑(2・ の(8・ ・2)μ+(8+〆)μ2 1ヲ'≡(1十 α 一 μ)2
1ノ々≡(1十 α 一 αμ)2
で あ る 。 計 算 の 結 果,1α1<1,0<μ<μ(α)〈1に 対 し て,
0,‑0ゐ 蒙3(4一 α2)μ(2一 μ)>O Hr脇=(1一 α2)μ(μ 一2)<0
と な る 。0,/H」>G海/H1>σ 〃 出 し,
139
(62)
(63)
よ り0<μ く μ(α)<1な る μ ≡6ん4に 対
ρ」〉 ρ海foralllα1く1
と な る 。
0≦ μ<μ(α)<1な る μ に 関 し て ρ彦 は 減 少 関 数 で あ る(foralUα1<1)。
(証 明 は,Appendixの 箏2節 を 見 よ)。
(59),(61),(64),(65)か ら 次 の 命 題 が 引 き 出 せ る 。 命 題2
(64)
(65)
与 え られ た α≡・E/β に 対 して,高 費 用企 業 々の限 界 費用(=平 均 費 用)が 低'く、な れ ば な るほ ど,暗 黙 の 協 力解 が超 ゲ ー ム の解 とな る よ うな利 子
ρ1,ρ 隔
4(1一 α) (2一 α)2 rO
μ(α) 図3暗 黙 の 協 力 解 の 成 立 す る領 域81(0<α<1の 場 合)
μ
率 の 上 限 は 高 ま る 。
(証 明)(65)よ り明 らで あ る が,グ ラ フ を 用 い て 説 明 す る 。 図3ま た は 図 4に お い て,第1象 限 は3つ の 領 域 に わ け られ る 。 即 ち,隔 の 下 側 部 分31 , ρ'と 隔 に は さ ま れ た 部 分32お よ び ρ,の 上 側 部 分5'3で あ る 。(58) , (60)よ り31は,2つ の 寡 占 企 業 に と っ て 暗 黙 の 協 力 解 が 超 ゲ ー ム の 解 と な る (μ,7)の 組 み 合 わ せ を 示 し て い る 。 同 様 に,32は,低 費 用 企 業1は,暗 黙 の 協 力 解 を 望 む が,高 費 用 企 業 〃は,暗 黙 の 協 力 解 を 望 ま な い1μ,7)の 組 み 合 わ せ を 示 して い る 。 即 ち,(μ,7)∈32な る(μ ,7)に 対 して は,低 費 用 企 業 1は,高 費 用 企 業 〃 に 手 付 け を して 協 力 解 を 維 持 した い 誘 因 を も っ こ とが わ か ,る。83は,2っ の 企 業 と も 相 対 的 に 利 子 率 が 高 す ぎ る た め,暗 黙 の 協 力 解 は 望 ん で い な い 。
さて,(μ0,70)∈ ε1な る(μ0,70)を 考 え る 。 μ<μ0に 対 して,7>70 , (μ,7)∈31な る 利 子 率 ・7が 存 在 す る こ と が 図3,図4よ り 明 らか と な る 。
企業 間の費用格差 と製品差別の ある複 占超ゲ ームの解 141
ρい ρh
4(1一 α) (2一 α)2
μ(α)亀 ＼1+α
F噺 、ら噂軸
図4暗 黙 の 協 力 解 の成 立す る領 域81(‑1〈 α<0の 場 合)
μ
い ま,領 域31の 境 界(即 ち,曲 線 動 上)に あ る(μ0,70)を 考 え る 。 高 費 用 企 業 んで,限 界 費 用(=平 均 費 用)が 少 し高 ま っ た 場 合,(μ,70),(た だ し,μo<μ<μ(α)と す る)は,領 域 ε2に 含 ま れ て しま う 。 従 っ て,次 の 命 題 が 成 立 す る 。'
命 題3与 え られ た α ≡E/β に 対 し て,(μo,70)が31の 境 界 に あ る (即 ち,曲 線 ρゐ 上 に あ る)と き,高 費 用 企 業 ぬの 限 界 費 用(=平 均 費 用)が 少 し高 ま る と,低 費 用 企 業1が 協 力 解 を 望 む に は,高 費 用 企 業 へ の 手 付 け を 必 要 とす る。
次 に一 定 の μ≡6/・4に 対 して製 品 間 の 補完 や代 替 の 程 度 を示 す 指 標 α と 超 ゲ ー ム の協 力解 の 関係 に つ い て 調 べ る。
(61)の 右 辺 よ り
、
・・一 畿 誓1[(1+α)(2+α)2一 農 舞2)μ+(8+α2)μ1(66)
1午 α一 αμ>0で あ る か ら,1α1<1な る 範 囲 で,飢=0と す る α'の値 は,
(1十 α)(2+α)2‑(2+α)(8+α2)μ+(8+α2)μ2壽0(67)
を 満 た す 。 これ は,Appendixの 第1節 よ り 明 ら か な よ う に 煽 篇 婿 な ら し め る(μ,α)1の 組 に 他 な ち な い 。0く μく μ(α)〈1に 対 し て は,(44)よ り
∂μ(α)/∂ α>0で あ る か ら,与 え ら れ た μ に 対 し て(67)を 満 た す α(こ れ を α(μ)と お く)』 は,1つ で あ る 。
(ρ・)・一・‑1‑4μ+2μ21 .(68)
で あ る か ら,
・<・ 〈1一 穿 の と き(・")。 。。〉・
(68) 1一 穿 ・ ・ の と き(・ ・)α一・<・
と な る 。
(66)よ り,所 与 の μ に 対 し て lirnρ 彦=Iimρ ゐエ0(69)
αゆ1α ゆ一1
と な る 。
従 って,図5の よ う に の の グ ラ フ は,‑1と α(μ)の 間 で 最 小 値,α(践) と1の 間 で 最 大 値 を もつ 。
(59、 の 右 辺 よ り,
・'‑ll響[(1+α)(2+α)2‑(2モ 砦 等 一4)μ 一4('一 α2)μ2](・・)
企業間の費用格差 と禦品差別の南 る複 占超ゲームの解 143
ρ 取,ρh
T3
ρ1
世(1一 μ)2 T2
ρ1 r廓 一一一 一一ρh‑一 一一一一
α(μ>rO 2 「
一1μ 一1 0αo α零 1
1‑4μ+2μ2 T
9
} Tf
α
図5暗 黙の協力解 の成立す る領域 辱 および τ〜
ρ'は,α 篇 μ一1に お い て 不 連 続 に な って い る ご と が わ か る 。 ま た,
limρ 」=limρ,=0(71) ノ
αゆ1α ゆ 一ユ
そ し て,(33),'(41),(58)よ り
ρ'>01forO<μ<μ(α)(72)
(62),(63)よ り,1α1<1な る α ≡E/β に 対 し
ρ'〉ρ々f・rallO<μ<μ(α)〈 ヱ(73)
と な る こ と も わ か る 。
図5に お い て,ρ>0の 範 囲(即 ち,第1象 限 と 第3象 限)で 考 え る 。曲 線 ρ露 よ り 下 側 の 部 分 をT1,2曲 線 ρ'と ρ海 で 狭 ま れ た 部 分 をT2,曲 線 ρ'よ り 上 側 の 部 分 を τ3ζ お く。(59),(70)と(61),(66)を 考 慮 す れ ば 次 の こ
と が わ か る 。 即 ち,領 域7'1に あ る(α,7)は,2っ の 寡 占 企 業 が と も に 暗 黙 の 協 力 解 を 望 む パ ラ メ ー タ の 組 み 合 わ せ で あ る 。 こ こ で,7は 利 子 率 を 表 わ す 。
ま た,領 域 τ2に あ る(α,プ)は,低 費 用 企 業1は,暗 黙 の 協 力 解 を 望 む が, 高 費 用 企 業 ぬ は,暗 黙 の 協 力 解 を 望 ま な い パ ラ メ ー タ の 組 み 合 わ せ で あ る 。 即 ち,(α,7)∈72な る(α,7)に 対 して は,低 費 用 企 業1は,高 費 用 企 業 〃 に 手 付 け を し て 協 力 解 を 維 持 し た い 誘 因 を も つ こ とが わ か る 。 領 域73に あ る (α,7)は,2つ の 寡 占 企 業 と も相 対 的 に 利 子 率 が 高 す ぎ る た め に,暗 黙 の 協 ,、
力 解 は 望 ん で い な い 。
さ て,曲 線 隔 の 最 大 値 を も た ら す α の 値 を α*,そ の と き の 最 大 値 を7*
と お く10)(Appendixの 第3節 を 見 よ)。 い ま,領 域7'1を2つ に 分 割 して,
町 ≡71∩{(α,7)>olα 〉 α*}
71≡71∩{(α,7)>Olα(μ)<α<α ・}
と お く。 す る と,図5よ り 明 ら か な よ う に 次 の 命 題 が 得 ら れ る 。 命 題4与 え られ た μ ≡oん4に 対 して,
(1)(αo,70)が7'望 の 境 界 に あ る(即 ち,曲 線 ρゐ 上 に あ る)と ぎ,2っ の 寡 占 企 業 の 製 品 間 の 補 完 の 程 度 が わ ず か に 増 加(即 ち,α が 増 加)す る と き,あ る い は,
(2)(αo,70)が τ1の 境 界 に あ る(即 ち,曲 線 ρ乃 上 に あ る)と き,2っ の 寡 占 企 業 の 製 品 間 の 補 完 の 程 度 が わ ず か に 減 少(即 ち,α が 減 少)す る と
'
き11),
低 費 用 企 業1が 協 力 解 を 望 む に は,高 費 用 企 業 んへ の 手 付 け を 必 要 とす る 。 図5に は,(αo,70)∈ …増 が 境 界(即 ち,隔 上 に あ る)の 場 合 が 描 か れ て い る 。 曲 線 隔 は,α(μ)く α〈 α*な る α に 対 して 増 加 関 数 で あ り,α*く α〈1 な る α に 対 して 減 少 関 数 で あ る か ら,命 題4が 得 られ る 。
10)α*も 〆 も と も に μ に 依 存 して い る こ とに 注 意 せ よ。
エ1)α(μ)く0の とき は,僧 が α<0の 部 分(製 品 間 で め 代 替 性 の 程 度 を示 す)を 含 ん で い る。 α<0の とき は,α の 減 少 は,製 品 間 の 代 替 の 程 度 の 増 加 と読 み 換 え る こ とが で き る。
企業 間の費 用格差 と製品差 別のある複 占超ゲ ームの解 145 '
命 題4の 経 済 的 意 義 は次 の 点 に あ る。2つ の寡 占企 業 が 同一 の 費 用構 造 を も って い る場 合(デ ネ・ッケ レ 〔1983Pと は 異 な り,費 用 構 造 が 違 うた め に,2 っ の寡 占 企業 の製 品 間 の 補 完 の 程度 の変 化 ま た は代 替 の程 度 の変 化 に依 存 して, 暗黙 の 協 力解 が とっ ぜ ん 成 立 しな くな る情 況 が あ らわ れ る こ とが判 明 した 。
7.結 語
製 品 差 別 の あ る2つ の 寡 占企 業 の 費 用 構 造 の 差 を 陽 表 的 に考 慮 す る こ とに よ り,製 品 間 の補 完 や代 替 の程 度 を示 す指 標 αミ β/β と2つ の寡 占企業 の 費 用 差 を 示す 指標 μ≡o/、4が,利 子率7に 対 して ど の よ うに超 ゲ ー ム の解 に影 響 を 与 え るか を 知 る こ とが で き た。 即 ち,与 え られ た α に対 して 暗 黙 の 協 力 解 が 成立 す る(μ,〆)の 集 合31と 与 え られ た μ に 対 して 暗 黙 の 協 力 解 が 成 立 す る (α,7)の 集 合7「1を 特徴 づ け る こ とが で き た(命 題2,3,4)。 特 に,低 費 用 企 業 が 高 費 用 企 業 に 手 付 けを して 協 力 解 を 望 む 誘 因 が パ ラメ ー タの 組 み 合 わ せ に よ って生 ず る こ とは 注 目に 値 す る。 そ れ は高 費 用 企 業 んと低 費 用 企 業1の 費 用 差 が な い場 合 に は,検 討 で きな い ケ ー ス にな って い る 。
今 後 の課 題 は,こ こで取 り扱 った よ うな特 殊 な費 用 構 造 の差(低 費 用 企 業 の 限界 費 用 と平 均 費 用 は と もに ゼ ロで あ り,高 費用 企 業 の 限界 費 用 と平 均 費用 は と もに 一 定 値oで あ る)だ けで な く,一 般 的 な 費 用構 造 の 差 を 考慮 して,非 対 称 とな る寡 占企 業 の均 衡 分析 を行 な う こ とで あ る 。 ま た,ク ー ル ノ ー解 と共 同 利 潤最 大 の 解 に も と つ く超 ゲ ー ム の 分 析 だ け で な く,例 え ば,ベ ル トラ ン (Bertrand、 解 や,市 場 占有 率 を 戦 略 変 数 に した ゲ ー ムの解 を考 慮 す る必要 が あ る。'どの よ うな解 が,費 用構 造 の 差 に 応 じて優 越 す るの か が 明 らか に され れ ば,寡 占企 業 分析 に 貢 献 す る と こ ろが 大 とな るで あ ろ う。
Appen〔lix
1.畷=ぜ な ら し め る μ ≡6ん4の 値 を 求 め る 。(29),(31)か ら,
{2毒劉2‑(1一 畿 竃一μ)
計 算 す る と,
、(α2+8)μ2‑(2+α)(α2+8)μ+(1+α)(2+α)2=0(A.1)
図1お よ び 図2か ら 明 ら か な よ う に,上 の2次 方 程 式 の 根 の う ち,小 さ い 根 が 求 め る もの で あ る 。 従 って,そ の 値 を μ(α)と お け ば,
・(・)‑2青 α一 、諾
8(A・2)
よ っ て,
・(・)胡 ・(・)一 五{2考 α 一,藩}
、 層(A・2)
こ れ か ら簡 単 に 次 の 結 果 が 得 られ る 。
∂o(α)/∂ α>0
即 ち,製 品 間 の 代 替 性 が 強 く な れ ば な る ほ ど(即 ち,α の 減 少),低 費 用 企 業1 は,高 費 用 企 業 ん に 対 し て 手 付 け を 行 な う誘 因 を 持 っ こ と が わ か る 。
4(1一 α2){(1+α)(2+α)2‑(2+α)(8+α2)μ+く8+α2)μ2}(A
.4)2.ρ彪=(4 一 α2)2(1+α 一 αμ)2
(62)を 考 慮 す る と,
企業間の費用格差 と製品差別のあ る複 占超ゲー ムσ〜解147
瓢i≒ 鵯(G勘H々)(A.5) 妾(G形Hゐ.)一毒{篶 ・∬ゲG・・誰}
」
計 算 す る と次 の 結 果 を 得 る。
￡(G苑Hゐ)一(1+姦 αμ){(・ …)(・ 一 ・・) (1・ ・)(・・ 。)(・.、 。.。 ・)}
(A。6)
0≦ μ<μ(α)〈1に 対 し て,
1+・ 一 ・ん 一1・ ・(1一 μ)・ ・ ・・…<。 ≦1 1+α 一 ・μ 一(1・ ・)・(一 α)。>Of。, .1〈 。 〈0(A・7)
∂ρゐ(0) と な る
。 従 っ て,隔 の グ ラ フ は, ∂ く0だ か ら,μ 荒0で 右 下 が り で
μ
あ る と と が わ か る 。 二 方,(A.1),(A.4),(A.7)か ら の の グ ラ フ は,横 軸
を ・回(・ 一μ④ お よ び 画 ・・(・))横 切 ・ ・ こ こ で ・ β一聖
・,藩 ・ ・(・)…1β ・ ・で あ る か ら ・・ は ・ … 〈…)な ・ ・ に 対
し て 減 少 関 数 で あ る 。
3.(A.4)よ り,log両 を α に 関 して 偏 微 分 す る と,
1∂ ρゐ 一2α
ρ勘 ∂α1一 α2
(2+α)・+2(1+α)(2+α)《8+α ・11μ一2α(2+α)μ'+2α μ ・ 十(
1+α)(2十 α)2‑(2+α)(8+α2)μ+(8+α2)μ2
4α2(1一 μ)
キ
4‑(メ21十 α 一 α μ
と な る 。 計 算 の 結 果,・
1∂ ρゐ ρ海 ∂α
十
一2α(2‑← α2) (1一 α2)(4一 α2)
(2+α)(4+3ご)一(8+4α+3α2)μ+2α μ2 (1+α)(2+α)2‑(2+α)(8+α2)μ+(8+α2)μ2
2(1一 μ)・
1+α 一 αμ (A.8)
特 に μ=0の ときは,
(÷ 瓢.。 一(1.読 、.の(A・9)
と な り,デ ネ ッ ケ レ[1983]の 式(13、 よ り 得 ら れ る 結 果 に 一 致 し て い る 。 (A.8)よ り ∂ρ〃 ∂α=0な ら しめ る α が 求 め る α*で あ り,そ の と き の (ρ海)α。α寧'が 求 め る7*で あ る 。 明 らか な よ う に,・α*も7*も μ に 依 存 して
い る(図5を 見 よ)。 ま た,
∂α*/∂μ>0
ξ な る こ と が 数 植 計 算 で 確 か め られ る 。
,
企 業 間 の 費 用格 差 と製 品差 別 の あ る複 占超 ゲ ー1ムの 解
'
149
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・
'
脚
,
