異 時 点 問双 対 性 ア プ ロ ー チ に も とつ く 消 費 者 行 動 の動 学 理 論

6i

異 時 点 問双 対 性 ア プ ロ ー チ に も とつ く 消 費 者 行 動 の動 学 理 論

IntertemporalDualityApproachtotheDynamic TheoryofConsumerBehavior

板 垣 有記輔

YukioITAGAKI

は じめに

価 格 と所 得 が 与 え られ た と き,消 費 者 の効 用 を最 大 化 す る財 ベ ク トル で あ る マ ー シ ャル の 需 要 関 数 は,価 格 と所 得 に依 存 して 定 ま る.こ の と き,こ の 消 費 者 が,達 成 しう る最 大 の 効 用 の 値 で あ る 間接 効 用 関 数 も,も ち ろ ん,価 格 と所 得 に依 存 して定 ま る.し た が っ て,価 格 お よび 所 得 が 変 化 す る とマ ー シ ャ ル の 需 要 量 の 変 化 を通 じて,間 接 効 用 の値 を変 化 させ る.価 格 お よび 所 得 が 変 化 す る と きの 間 接 効 用 の 変 化 とマ ー シ ャル の 需 要 関 数 との 問 に,ロ ア の 恒 等 式 が 成 立 す る こ と が 包 絡 面 の 定 理 を適 用 して 示 され る.

他 方,価 格 と最 小 限 の効 用 が 与 え られ た と き,消 費 者 の 支 出 を最 小 化 す る財 ベ ク トル で あ る ピ ッ ク ス の需 要 関 数 は,価 格 と最 小 限 の効 用 に依 存 して定 ま る.こ の 消 費 者 が,こ の 与 え られ た価 格

と最 小 限 の効 用 の も とで 達 成 し う る最 小 の 支 出 で あ る最 小 支 出 関 数 も,も ち ろ ん,価 格 と最 小 限 の効 用 に依 存 して 定 まる.し た が っ て,価 格 が 変 化 す る と ピ ッ ク ス の 需 要 量 の 変 化 を通 じて,最 小 支 出 額 を変 化 させ る.同 じ く包 絡 面 の 定 理 を用 い て,価 格 が 変 化 す る と き最小 支 出 額 の変 化 と

ヒ ッ クス の 需 要 関 数 との 間 に,シ ェ フ ァー ド ・マ ッケ ン ジ ー の 補 題 が 従 うこ とが 確 認 で きる . さ らに,所 得 制 約 の も とで の効 用 最 大 化 問 題 と効 用 制 約 の も とで の 支 出 最 小 化 問題 の 間 に,双 対 定 理 が 成 立 す る こ とが 簡 単 な帰 謬 法 に よ っ て 示 さ れ,こ の双 対 定 理 と シ ェ フ ァー ド ・マ ッケ ン ジ ー の 補 題 を適 用 して,価 値 理 論 の 基 本 方 程 式 と も呼 ば れ て い る,価 格 変 化 が 需 要 量 に与 え る 効 果 に関 す る ス ル ー ッ キ イ方 程 式 を 簡 潔 に 導 出 で き る.

上 で 言 及 した ミ ク ロ経 済 学 の 双 対 性 ア プ ロ ー チ に も とつ く消 費 者 選 択 の 静 学 理 論 の 詳 しい説 明 につ い て は,日 本 な ら学 部3・4年 生,米 国 な ら大 学 院 の1年 生 を主 な 読 者 層 に想 定 した ミ ク ロ 経 済 学 の信 頼 で き る 中級 テ キ ス トブ ッ ク,例 え ば,邦 語 文 献 で は,奥 野 ・鈴 村(1985),英 語 文 献 で は,マ ス コ レル 他(1995)を 参 照 す る の が よい.

わ れ わ れ は,ア ー ビ ング ・フ ィ ッ シ ャ ー(1930)の 考 え 方 に従 っ て,消 費 者 選 択 問 題 を動 学 化 し,比 較 動 学 分 析 の 手 法 を用 い て,異 時 点 問 双 対 性 ア プ ロ ーチ に も とつ く消 費 者 行 動 の 動 学 理 論

62季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXV,No.1‑4

を構 成 した い.ま ず,現 在 の 価 格 が 与 え られ た と き,そ れ に も とつ い て 将 来 の価 格 の 時 間径 路 の 予 想 が 形 成 され る とす る.こ の と き,現 在 の 価 格 と生 涯 に わ た る所 得 の 流 列 の 割 引 現 在 価 値 が 与 え られ れ ば,消 費 者 の 生 涯 効 用 を最 大 化 す る動 学 的 なマ ー シ ャ ル の 需 要 量 の時 間 径 路 と呼 ぶ べ き そ れが 一 意 的 に定 ま り,こ れ に対 応 して 間接 生 涯 効 用 関数 を定 義 す る こ とが で き る こ と を第1節

に お い て 示 す.さ ら に,わ れ わ れ は,現 在 の 価 格 と生 涯 に わ た る所 得 の 流 列 の 割 引 現 在 価 値 が 変 化 す る と きの 間接 生 涯 効 用 関 数 の変 化 と動 学 的 な マ ー シ ャ ル の需 要 関数 と の 問 に,動 学 的 な ロ ア の 恒 等 式 と呼 ぶ べ き命 題 が 成 立 す る こ と を第2節 にお い て オ ニ キ(1969)の 動 学 的包 絡 面 の 定 理

を適 用 して 示 す.

つ ぎ に,第3節 に お い て,現 在 の価 格 と最 小 限 の 生 涯 効 用 水 準 が 与 え ら れ た と き,消 費 者 の 生 涯 に わ た る 支 出 の 割 引 現 在 価 値 を最 小 化 す る動 学 的 な ピ ッ ク ス の 需 要量 の 時 間径 路 と呼 ぶ べ き そ れ が一 意 的 に定 ま り,こ れ に対 応 して 最 小 生 涯 支 出 関数 を定 義 す る こ とが で き る こ と を示 す.そ して 第4節 で は,現 在 の価 格 が 変 化 す る と きの最 小 生 涯 支 出額 の 変 化 と動 学 的 な ヒ ッ ク ス の 需 要 関数 と の 問 に,動 学 的 な シ ェ フ ァー ド ・マ ッケ ン ジ ー の補 題 と呼 ぶ べ き命 題 が従 う こ とを,動 学 的包 絡 面 の 定 理 を用 い て確 認 す る.

最 後 に,生 涯 所 得 制 約 の も とで の 生 涯 効 用 最 大 化 問題 と生 涯効 用 制 約 の も とで の 生 涯 支 出 最 小 化 問題 の 間 に,動 学 的 双 対 定 理 と呼 ぶ べ き命 題 が 成 立 す る こ と を第5節 に お い て 示 し,こ の 動 学 的双 対 定 理 と動 学 的 な シ ェ フ ァー ド ・マ ッ ケ ン ジ ー の補 題 を適 用 して,現 在 の 価 格 変 化 が 動 学 的 な 需 要 量 に与 え る 効 果 に 関 す る,動 学 的 なス ル ー ッ キ イ 方 程 式 と呼 ぶべ き関係 式 が 成 立 す る こ と を,第6節 に お い て 示 す.

第1節 生涯効用最大化問題

時 点0の 財 の 市 場 価 格 がp°=(p、o,...,p°n)>0で 与 え ら れ る と き,消 費 者 は 時 点tの 財 の 予 想 市 場 価 格p(t)=(p、(の,...,pn(の)を,

ρ(の=η(ちpo)>0(1)

の よ う に 形 成 し,p° に 関 し てC2一 級 関 数 で あ る と し よ う.

こ の と き,生 涯 期 間[0,刀 に わ た る 当 該 消 費 者 の 賃 金 所 得 の 流 列 を 利 子 率yで 割 引 い た 現 在 価 値 の 総 和M>0を も つ 消 費 者 は,彼 の 生 涯 予 算 制 約 式

∬(nΣ ρ,(のx1(ti=1))E‑rtdt‑M(2)

に 服 し な が ら,生 涯 の 期 間 に わ た る 効 用 流 列 を,主 観 的効 用 割 引 率 ρ で 割 引 い た現 在 価 値 の 総 和 で あ る彼 の 生 涯 効 用

U=foTu(x(t))e‑p̀dt ⁽³⁾

の 値 を 最 大 化 す る 生 涯 消 費 計 画{x(の)T4を 見 出 そ う とす る.こ こ に,x(t)=(xl(の,̲xn(t))は,

時 点tの 消 費 量,u(x(t))は 効 用 関 数 で,x(t)に 関 し て,単 調 増 加,狭 義 の 凹,C3一 級 関 数,ρ

Novemberl996板 垣 有 記 輔:異 時 点 間 双 文剥生ア プ ロー チ に も とつ く消 費 者 行 動 の 動 学 理 論63 は 主 観 的 効 用 割 引 率 で あ る.

ρ(の,Mが 与 え ら れ た と き,生 涯 予 算 制 約 式(2)に 服 し な が ら,生 涯 効 用(3)を 最 大 化 す る 最 適 な 生 涯 消 費 計 画(d(t,ρ(の,励)TOは,効 用 関 数 に つ い て 付 し た 仮 定 の も と で 唯 一 存 在 す る.

d{t,ρ(の,乃 の を,(1)を 考 慮 し て

d(ちp(t),M)=d(ち η(ちp°),」M)≡d(ち1}o,n(4)

と 書 き換 え,d(ρ 。,M,t>を,時 点tの 動 学 的 な マ ー シ ャ ル の 需 要 関 数 と 呼 び,こ れ に 対 応 す る 間 接 生 涯 効 用 関 数 σ(ρo,励 を,

σ ψ 吻 ≡ ∬%(d(ち 珊)e‑ptdt(5) に よ っ て 定 義 す る.

最 適 な 生 涯 消 費 計 画(d(ρo,M,の)TOを,ポ ン ト リ ヤ ー ギ ン の 最 大 原 理(ポ ン ト リ ヤ ー ギ ン 他 (1962))を 適 用 し て 求 め る.そ の た め,新 し い 状 態 変 数M(t)を,

M(t)一 π 〔n

i=1(z,p°)x=(・)〕e‑"Tdz(6)

と定 義 す れ ば,

M(の=(Σりn η(t,po)勘(の)2‑rt(7)

1=1

で あ り,こ の 微 分 方 程 式 は,(2),(6)よ り境 界 条 件 M(0)=0,M(T)=M(g)

を 満 た す.し た が っ て,当 初 の 生 涯 効 用 最 大 化 問 題

問 題Al):

際 σ一 ∫㌦(x(t)國' subjectto

{^∬(Σ か(t)x1(のi=1)e‑rtdt=M:所 与 p(t)=η(ちp°),

は,つ ぎ の 生 涯 効 用 最 大 化 問 題

問 題A':

MaxU

(x(t))o‑∫ ㌦(x(の 國' subjectto

64季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXV,No.1‑4

M(の=(Σ

n

と 同 じ に な る(板 垣(1985)の 命 題3,50頁 参 照).

そ こ で,問 題A〆 に ポ ン ト リ ヤ ー ギ ン の 最 大 原 理 を 適 用 し,最 適 な 生 涯 消 費 計 画(d(t,p°,

⑳)TOを 求 め る こ と に す る.各 時 点t∈ 〔0,T〕 で,d(t,po,⑳>0と 仮 定 す れ ば,こ の(d(ち po,⑳)TOは,つ ぎ の 諸 条 件 を 満 た す2).

辮 ・幽)〆 一 一 ちp°M)η1(tp°)ぬ 一 ・一 …n(9)

鯉 一(急 η・(t,p・)φ(ち珊)e‑Yr・(1・)

M(0,p・,1吻=0,(11)

。M(T,p°,⑳=M:所 与(12)

募(tp° ・劫 一・(13)

π(T,p・,⑳:自 由(14)

こ こ に,M(t,po,肩),え α,p°,1吻 は,そ れ ぞ れ 動 学 的 な マ0シ ャ ル の 需 要 関 数4α,po,⑳ に 対 応 す る,状 態 変 数1 4(t}と 共 役 変 数 λ(t)を 示 す.

(9),(13),(14)よ り,

π(ちp°,M)=λ(po,肩)<0,for∀t∈ 〔o>7〕(15) で あ る.

(9)と(15)よ り,(9)は, au{d(t

axi(t)・ カo,劫 ・剃 一 一 λψ ・・⑳ η・(t,p・)e‑rt・2‑・ ・…,n・(16)

と な る.(16)よ り,時 点tの,第2財 の 第 ノ財 に 対 す る 限 界 代 替 率MRSt,;(t)は,第2財 と 第 ブ 財 の 予 想 市 場 価 格 比 に 等 し く な り,

MRSt,;(の ≡ax

1(t)eax;(t)ち ρo・効)・ 一 η・(t,p・)/坊(ち が)

が 成 り 立 つ.ま た(16)よ り,時 点tの 第Z財 の 時 点 τ(τ>t}の 第2財 に 対 す る 限 界 代 替 率 MRS(t,τ)は,

MRSi(ち τ)≡au(d{ta

xi(t)・ 鋼)e‑pt/辮 坦 〆 一 需 〆耐)(・7)

と な る.MRSi(t,τ)‑1は,第 ゴ財 の 消 費 を 時 点tで 限 界 的 な1単 位 だ け 減 少 さ せ る と き,そ れ に も か か わ らず,生 涯 効 用 水 準 を 一 定 に 保 つ た め に,第2財 の 消 費 を 時 点 τで,1単 位 に 加 え て 何 単 位 追 加 す る 必 要 が あ る か を あ ら わ し て い る の で,第Z財 で 表 わ し た 時 間 選 好 率RTP;(t,τ) を

Novemberl996板 垣 有 記 輔:異 時 点 問双 対 性 ア プ ロ ー チ に も とつ く消 費 者 行 動 の動 学 理 論65 RTPゴ(t,τ)≡MRSげ(t,τ)‑1(18)

で 定 義 す る,RTPI(t,τ)/(τ 一 の は,第i財 で 表 わ し た 単 位 期 間 当 り の 平 均 的 時 間 選 好 率 で あ る か ら,わ れ わ れ は,第2財 で 表 わ し た 時 点tの 瞬 間 的 時 間 選 好 率IRTPZ(t)を

IRTP2(t}≡limRT讐 τ)(19)

τ一→'

と 定 義 す れ ば(宇 沢(1990)の ・itペ ー ジ 参 照),(17) ,(18),(19)よ り,

IRTP;(t)=lim

Tit

ロ ピ タル の 定 理 よ り

au(d

/axe(t)ち 畑)・ 溜/辮 ・ρ馬 切)e一 醒)一 ・ z‑t

一lim∂ 〔(axt(t}/axi(z))一 ・]/∂t

。→r∂(τ 一 の/∂t

急辮 鯉 ・一 ρ辮 ・爾)e‑p:

∂u(d(t,カo,み の) axi(t) e‑pt

一 概 墨 鴇謡)繹 ・ ⑳)

が 成 り立 つ.ま た,

卿 鰍 並

鯉 一 ・η、(t,p・) ὴ(ち1)o) 拠

y ∂'‑

η∫(ちpo)

=r一 第Z財 の 価 格 の 予 想 上 昇 率

≡ 第2財 で 表 わ し た 時 点tの 実 質 利 子 率R(の(21)

が 成 り立 つ.し た が っ て,(17),(18),(19),(20),(21)か ら,

第2財 で 表 わ し た 時 点tの 瞬 間 的 時 間 選 好 率=第i財 で 表 わ し た 時 点tの 実 質 利 子 率 R{t),

す な わ ち,

嬬(一 讐雛(響 礁 ㌘

一r一響(22)

が,任 意 の 各 時 点t∈ 〔0,刀 の,任 意 の 第2財(i=1,̲,n)に つ い て 成 立 す る.(22)は,ケ イ ン ズ=ラ ム ゼ ー の 公 式(theKeynes‑Ramseyrule)と 呼 ば れ て い る(宇 沢(1990),112頁 お よ び ブ ラ ン チ ャ ー ド=フ ィ ッ シ ャ ー(1989),41‑43頁 を 参 照).

第2節 動 学 的 な マ ー シ ャ ル の 需 要 関 数 と 間 接 生 涯 効 用 関 数 と の 関 係

静 学 的 な マ ー シ ャ ル の 需 要 関 数 と 間 接 効 用 関 数 と の 問 に は,間 接 効 用 関 数 の 価 格 と 所 得 に 関 す る 偏 微 分 の 比 よ り マ ー シ ャ ル の 需 要 関 数 が 得 ら れ る と い う,ロ ア の 恒 等 式(Roy'sidentity)が 従 う こ と は よ く知 ら れ て い る(ロ ア(1947),マ ス コ レ ル 他(1995)の 命 題3.G.4,73‑74ペ ー ジ を 参 照).

わ れ わ れ は,ま ず,わ れ わ れ が 第1節 で 導 出 し た 動 学 的 な マ ー シ ャ ル の 需 要 関 数 と 間 接 生 涯 効 用 関 数 と の 間 に,動 学 的 な ロ ア の 恒 等 式(thedynamicversionofRoy'sidentity)と 呼 ぶ べ き 命 題 が 成 り立 つ こ と を,オ キ ニ(1969),板 垣(1985),カ ブ ト[1990ユ,フ ラ ン ス=バ ア ネ イ[1991]

の 動 学 的 包 絡 面 の 定 理 を 適 用 し て 示 す.

命 題1(動 学 的 な ロ ア の 恒 等 式)動 学 的 な マ ー シ ャ ル の 需 要 関 数6α,ρo,M)と 間 接 生 涯 効 用 関 数U(p。,π)と の 間 に,つ ぎ の 関 係 式

一誰 幌m/1警m‑∬(書

1響 卿o・ ⑳)猷 ブー・・…・n,

が 成 り立 つ.

証 明(5)の 間 接 生 涯 効 用 関 数 σ(pa,⑳ は, σ ψ吻 一 ∬%(d(ち ρ吻)e‑ptdt

(10),(15)よ り

0

+λ ゆ[n(Σ η」(ちρo)4∫(ち カo,沸 の

ゴ=1)e‑rt̲aM(ち 鋼]}dt

‑rTJ

O{u(d(t,p°,111))6叫 姻 礁 η・(ちp°)d;(t・ 踊 〕e‑Yt}dt 一 λ(ρo

,1レのM(T,pa,鋤+λ(ρo,1レ のM(0,p°,五 の (ll),(12)よ り

一 ∬{u(d(ち 繭)凶 λψ ・・M)〔 急 η・(ちρo)φ(t,p°>M}〕e‑ỳ}dt一 λψ ら 麗

(4)よ り,

November1996板 垣 有 記 輔:異 時 点 間双 対 性 ア プ ロ ー チ に も とつ く消 費 者 行 動 の動 学 理 論67

‑∬{u(d(ち η(t

,p・),⑳)e^・t+λ ψ 噛 〔隆 η〃)鵡(t,η(t,p・)M}〕e‑yt}dt

ゴ=1

一 λ(p°

,M)M,(23)

と 変 形 で き る.(1)の η(t,p°)がp° に 関 し てC2一 級 効 用 関 数 以 頭'))がx{t)に 関 し て C3一 級 で あ る と の,わ れ わ れ の 仮 定 の も と で,間 接 生 涯 効 用 関i数 σ(p°,⑳ が,ρo,Mに 関 し てCZ̲級 で あ る こ と は 容 易 に 示 さ れ る の で,こ こ で は 省 略 す る こ と に す る .

σ(p°,⑳ を現 在 時 点0の 第 ブ財 の 市 場 価 格 ρノoで偏 微 分 す れ ば,(1),(10),(23)か ら

響 一 ∬{i=1auaat差101diapk(t)apk(tap;°)凶瓶 ⑳(急 響 の' +λ 帆 励(≦iカ ・(の

k=1adlapk(t)響)6‑rt}dt

7講{蝉 4'一 躍 ・π

+f O

‑∬ 禽 ∂Yk¥t

ap;0)急 轟)(au‑vtadre+凧 伽(の の4' +λψo・物 ∬ 急 腎)鵡(ち 此 励 翻

+議M(T・ 此 ⑳ 一講M(・ 鴻 ⑳ 一講 π

(9),(11),(12)よ り,

一λげ ・π)∬ 嵩 瀞 鵡(ちρ吻 ・一瑠 ・ つ ぎに,σ ψ。,劫 をMで 偏 微 分 す る と

難 一∫T{(急 識)四 踊[鷺 あ(t)藷 レ}dt

+∬ 磐9タ(ち ρ渤4'一 響 π一λψら⑳

一fTJOt=1(auad=e‑・'+λψ・,聯 ・(')・…)藷 レ'

+磐M(T・ 力吻 一響M(・ ・ρ働 一響 π一λψ・・物

(9),(10),(ll),(12)よ り

=一 λ(po ,五 の>0.

(24)

(25) (25)は,問 題A'の 共 役 変 数 λ(po,⑳ の も つ 経 済 学 的 意 味 を 示 す も の と し て 重 要 で あ る.

68季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1.XXV,No.1‑4 一 λ(ヵ。

,肩)は,生 涯 に わ た る 所 得 の 流 れ の 割 引 現 在 価 値 の 総 和Mの 変 化 が 間 接 生 涯 効 用 関 数 σ(p°,五の に 与 え る 限 界 効 果 を 示 し て い る の で あ る.

(24),(25)か ら

一 誤 帆 効/1艶M)一 ∬(n

i=1∂騒1)め(ち 此 ⑳)e‑ỳdt,j‑・ ・…n, (25) が 成 り立 つ.

証 了

つ ぎ に,凹 性 の 命 題 を 見 て み よ う.

命 題2(凹 性 の 命 題)効 用 関 数u(x(t)):R+n→ 。R+がx(t}に 関 し て 狭 義 の 凹 関 数 で あ れ ば, 間 接 生 涯 効 用 関 数 σ(p°,⑳:R++n×R++→Rtは,Mに 関 し て 狭 義 の 凹 関 数 で あ る.

証 明 ま ず,任 意 の π1∈R.+,1匪 ∈R..,M1≠ 砕 と 任 意 の θ ∈(0,1)に 対 し て 塑 ≡ θπ+(1一 θ)研 ∈R++.1匠,紐,"に 対 す る 問 題A1の 最 適 径 路 を そ れ ぞ れ(M(t,ρo,M), d(ち ρ0,π))TO,(M(tp°,扉),d(ちp・,腔))TO,(M(tp°,砕),d(tp°,灌))TOと す る.こ の

と き,M;・ σ ニ1,2)に 対 す る 最 適 径 路(M(t,ρo,114ゴ),d(t,p°,M))TOは,

1ダ(ち ρo,M')一(￡ i=1η'(t,p・)dt(t,p・,M'))e‑rt,ブ ー ・・2,(27) M(T,p°,M')=M',j=1,2,(28)

M(0,po,M')=0,ブ̲1,2,(29) を 満 た す.

し た が っ て,(27)よ り,

∂〔θ.M(t,po,2匠)十(1一 θ)M(t,po,2V2)〕

at

atat n̲n

=θ(Σ η

、(tp°)4、(tp°,M))e‑rt+(1一 θ)(Σ η,(tp°)di(ち ρo,ル グ))e‑Yt 謬=1i=1

n

={Σ η ゴ(tp°)〔Bdi(t ,p°,M)+(1一 θ)4、(tp°,雌)〕}e‑rt(30)

i=1

が 成 り 立 ち,(28)よ り,

eM(T,p。,バ グ)十(1一 θ)M(T,≠)o,2依)=θ2畝 十(1一 θ)ノ砕=2砕(31) が 成 り 立 ち,(29)よ り,

θ1レf(0,ρo,1匪)十(1一 θ)M(0,po,2詔)=0(32)

Novemberl996板 垣 有 記 輔:異 時 点 問 双 対 性 ア プ ロ ー チ に も と つ く消 費 者 行 動 の 動 学 理 論6g

が 成 り 立 つ.(30),(31),(32)は,時 間 径 路8M(ち ρo,M1)+(1一 θ)M(t,p°,M2),Bd(t,

p°,Mi)+(r)d(t,p°,雁))TOが,ザ に 対 す る1つ の 実 行 可 能 な 時 間 径 路 で あ る こ と を 示 し て い る.し た が っ て 任 意 の θ ∈(0,1)に 対 し て

σ(≠)o,r十(1一 θ)研)=U(p°,浬)

≧ ∬ 麗(Bd(ち 珊)+(・ 一 θ)d(t,p°,M2))e‑°tdt

>∬ 〔Bu(d(ち ρ厩)+(1一 θ)u(d(ち 珊)〕e‑p̀dt

‑BfTu

O(d(ち 卿)e‑ptdt+(・ 一 θ)∫Tπ(d(ち 珊)e‑ptdt

=θ σ(poM)十(1一 θ)σ(p°,紐),

が 成 り立 つ.こ れ は,間 接 生 涯 効 用 関 数 σ(p°,初 がMに 関 し て 狭 義 の 凹 関 数 で あ る こ と を 示 して い る.な お,最 初 の 不 等 号 ≧ は,時 間 径 路(θM(',カo,ノ レf)十 θ」M(',1)o,ノレ12),Bd(t,ρ0, 躍)+(r)d(t,p°,1匪))Taが1匪 に対 す る1つ の 実 行 可 能 な 時 間 径 路 で あ る が,必 ず し も1炉

に 対 す る 最 適 径 路(M(t,p°,M3),d(t,ρ0,1匪))TOと は 等 し く な い こ と に よ り,最 後 の 不 等 号

〉 は,効 用 関 数%が 狭 義 の 凹 関 数 で あ る こ と に よ る.

証 了

σ(po,効 がp°,Mに 関 し てC2一 級 関 数 で あ る こ と と命 題1の(25)お よ び 命 題2よ り

塑L̲∂ 巡P・・⑳ ≦o

∂浬 ∂M

で あ る.こ れ は,生 涯 に わ た る賃 金 所 得 の 流 列 の 割 引 現 在 価 値 の 総 和Mに 対 す る 限 界 間 接 生 涯 効 用 が,Mに 対 して非 逓 増 で あ る こ と を示 して い る.

第3節 生 涯 支 出 最 小 化 問 題

問 題Aを 原 問 題 とす る と き,こ の 問 題 に対 す る双 対 問題 と して,つ ぎの 問 題Bを 考 え る.

問 題B3>:

T MinE‑=」

(.x(t)00(急 幽 の 脚(33) subjectto

」Tu(x{t))e‑p̀dtO=U:所 与:¥:

これ は,所 与 の 生 涯 効 用 水 準Uを 達 成 す る生 涯 消 費 計 画 の 中 で,予 想 価 格p(の が(1)に よ っ て 形 成 され る と き,生 涯 に わ た る 消 費 支 出 の 割 引 現 在 価 値 の総 和 を最 小 化 す る生 涯 消 費 計

70季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1.XXV,No.1‑4 画@(の)TOを 見 出 せ と い う 生 涯 支 出 最 小 化 問 題 で あ る.

p(の,Uが 与 え ら れ た と き,(34)に 服 し な が ら 生 涯 支 出Eを 最 小 化 す る 最 適 な 生 涯 消 費 計 画(h(',ρ(t>,の)0は,唯 一 存 在 す る.h(ち ρ(の,の を(1)を 考 慮 し て

h(t,p(t),の=h(ち η(t,ρo),の ≡h(tp°,の(35)

と書 き 換 え,h(t,p°,の を,時 点tの 動 学 的 な ピ ッ ク ス の 需 要 関 数 あ る い は 動 学 的 な 補 償 需 要 関 数 と 呼 び,こ れ に 対 応 す る 最 小 生 涯 支 出 関 数E(p°U)を,

E(p°,II}≡ ∬(nΣ η,(ちpo

1=1)ht(t・ ρ・・め 幽(36)

に よ っ て定 義 す る.

新 しい状 態 変 数 σ(の を

U(t)=」to{x(z))e‑pzdz O と 定 義 す れ ば,

U(t)=u(x(t))e‑・t,

σ(0)=0,U(T)=σ:所 与

で あ る.し た が っ て,問 題Bは,つ ぎ の 最 大 化 問 題 問 題B':

Max

(x(t})o←E)一 一 ∬(急 η・噛(t))e‑rtdt subjectto

U(t)=u(x(t))e‑pz(37)

U(0)=0,σ(T)=σ:所 与(38) と 同 じ に な る.

そ こ で,問 題B'に,ポ ン ト リ ヤ ー ギ ン の 最 大 原 理 を 適 用 し,最 適 な 生 涯 消 費 計 画(h(t,p°, U)>TOを 求 め る こ と に す る.各 時 点t∈ 〔0,T〕 で,h(t,p°,⑦>0と 仮 定 す れ ば,こ のh(t,

p°,の は,つ ぎ の 諸 条 件 を 満 た す4).

一 η・(tpo)e‑Yr+4(ち 踊 謡 誓 ち 珊)e‑pt‑・

,i‑・,…,n,

鯉 一u(h(ちp・,め)〆

σ(0,p°,U)=0

σ(T,p°,の=σ:所 与

弊 一・,

4(T,ρo,の:自 由.

(39) (40) (41) (42) (43) (44)

Novemberl996板 垣 有 記 輔:異 時 点 間 双 対 性 ア プ ロ ー チ に も と つ く消 費 者 行 動 の 動 学 理 論7・

こ こ に,U(t,p°,σ),q(t,ρ0,σ)は,そ れ ぞ れ 動 学 的 な ヒ ッ ク ス の 需 要 関 数 奴',p°,の に 対 応 す る 状 態 変 数 σ(の と 共 役 変 数4(の を 示 す.

(39),(43),(44)よ り

q(ち 、ρo,U)=9(p°,U)>o,for∀t∈ 〔0,の,(45) で あ る.し た が っ て,(39)と(45)よ り,(39)は,

ηM'‑9㈹ 離1'・p° ・の)典 ・,i‑・,…n,(46)

と な る.

第4節 動学的 ピックスの需要関数 と最小生涯支出関数 との関係

静 学 的 な ヒ ッ ク ス の 需 要 関 数 と最 小 支 出 関 数 と の 問 に は,最 小 支 出 関 数 を 価 格 に つ い て 偏 微 分 す る と ヒ ッ ク ス の 需 要 関 数 と な る と い う,シ ェ フ ァ ー ド ・ マ ッ ケ ン ジ ー の 補 題

(Shepherd's/Makenzie'sLemma)と 呼 ば れ る 命 題 が 成 立 す る(例 え ば,マ ス コ レ ル 他(1995) の 命 題3.G.1,68‑69,奥 野 ・鈴 村(1985),195頁 を 参 照).

ま ず,わ れ わ れ は,第3節 で 導 出 し た 動 学 的 な ピ ッ ク ス の 需 要 関 数 と最 小 生 涯 支 出 関 数 の 間 に,動 学 的 な シ ェ フ ァ ー ド ・マ ッ ケ ン ジ ー の 補 題(thedynamicversionofShepherd's/Mcken‑

zie'slemma)と 呼 ぶ べ き 命 題 が 成 り立 つ こ と を 示 す,

命 題3(動 学 的 な シ ェ フ ァ ー ド ・マ ッ ケ ン ジ ー の 補 題)動 学 的 な ヒ ッ ク ス の 需 要 関 数 短, po,の と 最 小 生 涯 支 出 関 数E(ρo,U)と の 問 に,つ ぎ の 関 係 式

響 一 ∬(i=]、ap;・ ⑦)e‑"̀dt,j‑・ ・…,n・(47) が 成 り立 つ,

証 明(36)の 最 小 生 涯 支 出 関 数E(po,の は, E㈹ 一 ∬(n1']i

i=1(ち 幽(ちp・,め 圃 (40),(45)よ り

∬(ny]t=i'(ち 幽(ちp・ ・⑦)e‑・‑4ψ ・・の レ 卿 ・・め)・ 一・一{響]dt

‑∬{嵩 η・(ち

、ρo)乃},(ち1ρo,の)e‑rf一姻 め 〔u(h(t,p° ・⑦)'}dt

十4(ρo,U)σ(T,p°,の 一q(ρo,r/「)ひ(0,1)o,の

(41),(42)よ り

一 ∬{(Σ η、(ちp°)砺(ちp° の

i=1)・‑9ψ ら 聯(ち 爾)・ 吻'

+q(ρo,0)・ σ, (48)

と 変 形 で き る.(40)と(48)か ら

綴 鯉 一 ∬1急(ap,(tap;0)卿 ら ⑦+η ・(ちρo)k=1∂藷)askap;0)}e‑rt

‑9ψo ・の(暢 禽 轟)askap

;°)e‐Ac 一籍{μ}dt+鰐Lσ

一 ∬{n

i=1(apr(o)htap;(ち ρo,の ・一"tdt

+∫ 鴇 雛 轟)[卿o)e‑"‑9ψo,鴫 〆 レ ー{糾 σ(T・ρらめ+籍 σ(・,力吻+{劉Lσ

(4!),(42),(46)か ら 一rTJ

O(急 離 傷(ち ρo・め)・   4'・ブー ・・… ・n・

が 成 り立 つ.

証 了

つ ぎ に,問 題B■ を解 くた め に導 入 した 共 役 変 数g(p°,の の経 済 学 的 意 味 付 け を与 え る つ ぎの 命 題 が 成 立 す る こ とを示 そ う.

命 題4最 小 生 涯 支 出 関 数 を 生 涯 効 用 に つ い て 偏 微 分 す る と共 役 変 数 に等 し い.す な わ ち,

∂E(p°・U)=q(p・

av ,め が 成 立 す る.

証 明(40),(48)か ら,

製 一 ∬{急 卿 ・)響)e‑〃

‑9ψ 吻(n

i=1∂aux;(t)響)e‑pt}dt

‑;空o・ のfTaU

at(t,p。,の4'+1窪o・ の ・σ匂 ψ・・の 一 ∬{鷺 響[η ・(t,p・)8‑yt‑9ψ ・・の ∂auxT(t)e‑・t]}dt

‑{響 σ(T

・p・・め+{騨 σ(o,p・,め+{響 ・U

November1996板 垣 有 記 輔:異 時 点 問 双 対 性 ア プ ロ ー チ に も と つ く消 費 者 行 動 の 動 学 理 論

+q(カ 。,の (41),(42),(46)よ り

=q(p° ,の>0,

73

証了 第5節 需要理論における動学的双対定理

静 学 的 な マ ー シ ャ ル の 需 要 関 数,ヒ ッ ク ス の 需 要 関 数,間 接 効 用 関 数 お よ び 最 小 支 出 関 数 に 対 して,需 要 理 論 の 双 対 定 理 と 呼 ば れ る 関 係 が 成 り立 つ こ と は 周 知 の と お りで あ る(例 え ばJマ ス コ レ ル 他[1995]の(3.E.1),60頁 お よ び(3.E.4),62頁,奥 野 ・鈴 村[1985],192‑194を 参 照).

わ れ わ れ は,わ れ わ れ の 導 出 し た 動 学 的 な マ ー シ ャ ル の 需 要 関 数,動 学 的 な ピ ッ ク ス の 需 要 関 数,間 接 生 涯 効 用 関 数 お よ び 最 小 生 涯 支 出 関 数 に 対 し て,需 要 理 論 に お け る 動 学 的 双 対 定 理 (dynamicanaloguestothestaticdualitytheoremsofconsumerchoicetheory)と 呼 ば れ る べ き 命 題 が 成 り立 つ こ と を 示 す.

問 題A:

MaxU=fTu(x(t))e‑ptdt (c(t))00

subjectto

∬(i=1(t・ 伽(t))e‑Ỳdt‑M:所 与 ・

問題B

MinE‑∬(Σ η,(ち ρo)xl

i=1))e‑'"tdt

subjectto

/'TJ u(x

O(t))e‑ptdt‑U:所 与 ・

す で に み た よ う に,問 題Aの 解 が,動 学 的 な マ ー シ ャ ル の 需 要 関 数d(t,p°,ル の の 時 間 径 路 (d(t,ρo,ハ の)TOで あ り,こ の 最 適 生 涯 消 費 計 画(d(t,p°,乃 の)TOに 対 し て,

∬(Σ ηゴ(ちpo)d1(ちp°,初t=1)勘 一M が 成 立 す る.(d(t,p°,初)TOに 対 す る 生 涯 効 用

ひ ψ 吻 一 」Tu

O(d(ち ρ吻)e‑ptdt

が 間 接 生 涯 効 用 関 数 で あ り,po,Mが 与 え られ た と き に え られ る最 大 の 生 涯 効 用 で あ る.

(49)

(5)

問 題Bの 解 が,動 学 的 な ピ ッ ク ス の 需 要 関 数 奴'p°,の の 時 間 径 路(h(t,p°,の)TOで あ り, こ の 最 適 生 涯 消 費 計 画(h(t,p°,の)TOに 対 し て

74季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXV,N。.1‑4

∬%卿 ら め 國'‑U(5・)

が成 立 す る.(h(tp°,の)TOに 対 す る 生 涯 支 出

E㈹ 一 ∬(n1"]i

i=1(ちp°)h;(ち 此 め)e‑rtdt(36)

が 最 小 生 涯 支 出 関 数 で あ り,p° が 与 え られ た と き,所 与 の 生 涯 効 用 水 準 σ を 実 現 す る た め の 最 小 の 生 涯 支 出額 の 割 引 現 在 価 値 で あ る.

これ らに対 して次 の よ う な対 応 関 係 が 成 立 す る.

命 題5(動 学 的 双 対 定 理1)時 点0の 価 格p°>0と 生 涯 効 用 水 準 σ>0が 任 意 に 与 え ら れ た と す る 、 そ の と き,p° お よ び 生 涯 所 得

1レ7=E(po,σ)>0(51)

に 対 す る 問 題Aの 解(d(t,p°,E(p°,の)TOは,p° お よ びUに 対 す る 問 題Bの 解(h(t,p°,の)TO と一 致 す る.す な わ ち,p°>0お よ び σ に 関 し て,

h(ち ρo,の=d(ちp°,E(ρo,の),for∀t∈ 〔0,刀,(52) が,恒 等 的 に 成 立 す る.

さ ら に,任 意 の ρo>0,σ に 対 して, σ(ρo,Eψo,σ)=σ(53)

が 必 ず 成 立 す る5)

証 明 い ま,あ る 時 点 τ∈ 〔0,の に お い て,あ る 財k∈ 〔1,̲,n〕 に 対 して 蝋 τ,ρ0,の ≠dk(τ,p°E(カ0,U))

で あ る と す る,そ の と き,動 学 的 マ ー シ ャ ル の 需 要 関 数 の 性 質(49)よ り,

∬(書 η1(tp°)卿 らE爾)e‑r̀dt‑E㈹

(51)よ り

=M(54) で あ り な が ら,

σ(poE(ρ ・㌧ の)一 ∫T%(d(ちpoE(p・rU)))e‑ptdt

>ル 卿 ら ⑦)e‑・tdt

(50)か ら

=U(55)

が 成 立 す る こ と に な る.な ぜ な ら,(d(t,po,E(po,U)))TOは,p°,M=E(p°,U))の も と で 生 涯 効 用 を 最 大 に す る 一 意 的 な 消 費 径 路 で あ る か ら で あ る.し た が っ て,効 用 関 数 の 連 続 性 に よ

November1996板 垣 有 記 輔:異 時 点 間 双 対 性 ア プ ロ ー チ に も とつ く消 費 者 行 動 の 動 学 理 論 り,各 時 点t∈ 〔0,z〕 の 各 財Z(=1,̲,n}に つ い て,実 数 ε、(t)>0を 適 当 に 選 ん で,

(1‑Ei(の)4、(t,p°,Eψo,σ))≡4、 ε(t,po,E(ρo,の) と し,こ れ よ り 構 成 し た 新 し い 消 費 径 路 を,

(4ε(tp°,E(p°,の))TOと す れ ば,

∬(Σ i=1 η,(tp°)φ ・(t,p・E(p・,の))E‑rt<E㈹

かつ

∬%(dε(ちp° ・E⑦o,の)e‑p̀dt‑U

75

が 成 立 す る よ う に で き る.し か しこ れ は,最 小 生 涯 支 出 関 数 の 定 義 に 矛 盾 す る.こ れ で(52) の 成 立 が 示 され た.

次 に(53)の 成 立 を示 そ う.

σ ψ馬E⑳)一 ∬ π(d(t,p・,E⑦ ら 恥 瑠

(52)よ り

一 ∬%(h('

,po,乙 り)e‑ptdt

(50)よ り

=U

証了

命 題6(動 学 的 双 対 定 理II)時 点0の 価 格p°>0と 生 涯 所 得M>0が 任 意 に 与 え ら れ た と す る.そ の と き,paお よ び 生 涯 効 用

σeσ(po,M)(56)

に 対 す る 問 題Bの 解(h(',ρo,σ(ρ 。,⑳)TOは,p° お よ びMに 対 す る 問 題Aの 解(d(t,p°,M ))TOと 一 致 す る,す な わ ち,p。>0お よ びM>0に 関 し て,

d(ちp°M)=h(ち ρo,σ(po,ハ の),for∀t∈ 〔0,7〕,(57) が 恒 等 的 に 成 立 す る.

さ ら に,任 意 のp°>0,M>0に 対 し て, E(po,σ(ρo,M))=M(58)

が 必 ず 成 立 す る6)

証 明 い ま,あ る 時 点 τ ∈ 〔0,T〕 に お い て,あ る 財k∈ 〔1,̲,n〕 に 対 し て dk(τ,ρ0,み の ≠hk(ちp°,U(ρ0,乃 の)

で あ る と す る.そ の と き,動 学 的 な ピ ッ ク ス の 需 要 関 数 の 性 質(50)よ り

67

季刊 創 価 経 済 論 集 Vol.XXV,No.1‑4

∬%(h(ちpo,σ(ρo,乃 の))e‑prdt一 σ ψ 吻 (56)よ り

=U(59) で あ り な が ら,

E⑦ ら σ 爾)‑T

O(Σ ηゴ(',p°)ん(ち ρ0,び(ρ0,ル のt=1))e‑ỳdt

〈f Tn‐

O^(Σ η,(tp°)4,(ち ρo,初)E‐rc

i=1

(49)か ら M(60)

が 成 立 す る こ と に な る.な ぜ な ら ば,((h(t,po,σ ⑦0,⑳))TOは,p°,U=σ ψ0,mの も と で 生 涯 支 出 を 最 小 に す る 一 意 的 な 消 費 径 路 で あ る か ら で あ る.し た が っ て,各 時 点t∈ 〔0,7〕

の 各 財i(=1,...,n)に つ い て,実 数 εゴα)>0を 適 当 に 選 ん で (1+si(t))傷(t,po,σ(po,初)≡htE(tpo,σ(po,」M))

と し,こ れ よ り 構 成 し た 新 し い 消 費 径 路 を,(hE(',p°,σ(po,⑳))TOと す れ ば,(59)と 効 用 関 数%の 強 い 単 調 増 加 性 か ら

∬ π(hE(ち1)OU(ρo,.砒0)e‑ptdt>σ ⑦ ・,⑳

か つ

∬(鷺 η・(t,p・)脚 ら σ ψら ⑳))B‑rtdt‑M

が 成 立 す る よ う に で き る.し か し こ れ は,間 接 生 涯 効 用 関 数 の 定 義 に 矛 盾 す る.こ れ で(57) の 成 立 が 示 さ れ た.

最 後 に(58)の 成 立 を 示 す.

E㈹ ゆ)一 ∬(葛 η・(tp°)h;('・此 σ 伽)>e‑Ỳdt

(57)よ り

一 ∬(nΣ ηf(tpo

t=1)di(ち 爾)e‑rtdt (49)よ り

=M

証了

第6節 動 学 的 な ス ル ー ツ キ イ 方 程 式

ス ル ー ッ キ イ(1915)に よ っ て 最 初 に 導 出 さ れ,ピ ッ ク ス(1939)に よ っ て 「価 値 理 論 の 基 本

Novemberl996板 垣 有 記 輔:異 時 点 問 双 対 性 アプ ロー チ に も とつ く消 費 者 行 動 の動 学 理 論7フ

方 程 式 」 と み な さ れ た,価 格 変 化 の 需 要 に 与 え る 効 果 を 表 わ す ス ル ー ッ キ イ 方 程 式 は,後 に マ ッ ケ ン ジ ー(1957)に よ っ て,元 来 の ス ル ー ッ キ イ=ピ ッ ク ス ・ア プ ロ ー テ と は 異 な り,需 要 理 論 に お け る 双 対 定 理 と シ ェ フ ァ ー ド ・マ ッ ケ ン ジ ー の 補 題 を適 用 し て,非 常 に 簡 潔 に 導 出 さ れ る こ

と が 示 さ れ た(例 え ば,マ ス コ レ ル 他(1995)の 命 題3.G.3,7ユ 頁,奥 野 ・鈴 村(1985),!96‑

197頁 を 参 照).

わ れ わ れ は,わ れ わ れ の 導 出 し た 動 学 的 双 対 定 理1(命 題5)と 動 学 的 な シ ェ フ ァ ー ド ・マ ッ ケ ン ジ ー の 補 題(命 題3)を 用 い て,動 学 的 な ス ル0ッ キ イ 方 程 式(thedynamicversionofthe

Slutskyequation)を 導 出 す る.

命 題7(動 学 的 ス ル ー ッ キ イ 方 程 式)p°>0,M>0と す る.Uニ ひ ψo,⑳ に 対 し て, 次 の 式 が 成 り立 つ.

adi

ap;0(ち1》0,乃 の̲∂ 傷(ちp°,σ(po,ル のap;0)一(∬(=1綴 暮)h(t,p° σ(p° 」め))e‑Ytdt)

・ ∂ 望(ち カo・ 初

,f。,吻 一1,...,n,t∈ 〔0,刀,

alvr

証 明 命 題5(動 学 的 双 対 定 理1)に よ れ ば,p°>0,Uに 関 し て, 砺(ちp。,の=4、(ちp°,E(カo,U)),for∀2=1,̲,n,t∈ 〔0,T.〕

が 恒 等 的 に 成 立 し て い る.こ の 式 を ρゴoに 関 し て 偏 微 分 す れ ば, ahs(t,p°,

ap;0の 一adiap;°ちp°E㈹)+adiaNr(',ゲ,E㈹)・ 霧 蝉 ・ i,j=1,...,n,tECO,T)

が 得 ら れ る.こ れ を 命 題3(動 学 的 な シ ェ フ ァ ー ド ・マ ッ ケ ン ジ ー の 補 題)を 適 用 し て 書 き 直 せ ば,

∂飢(tpo,の ̲∂4フ(tp°,E(po,の) の ゴoap;°

+[∬(n

i=]、響 聯.・ の)e‑rtdt1・adzalvr(ち 此Eげ ・の)・

2,ブ=1,̲,n,t∈ 〔0,T〕

が 得 ら れ る.こ の 式 に お い て,M=Eψo,の と お け ば,命 題5(動 学 的 双 対 定 理1)の 恒 等 式 (52)と(53)よ り

∂d=(',p°,ル の̲∂h1(',po,U(ρ0,ハ の)

∂p°ap;0

‑[∬(n

{=1、api(o)hti(t,p°ap;・σ ⑦0・物))]8矯(ち 此 初,

2,ブ=1,̲,n,t∈ 〔o,T〕

7g

が 成 り立 つ.

季刊 創 価 経 済 論 集 Vol.XXV,No.1‑4

証了

注

1)等 式 積 分 制 約 条 件 の 形 を と る問 題Aの 生 涯 予 算 制 約 式

∬(Σ ρ∫(t)ヱ(tゴ=1))e‑r̀dt‑M:所 与

を,不 等式積分制 約条件 の形 をとる生涯予算 制約式

∬(Σ ρ∫ω 銑 αi=1))e‑'"tdt≦M:所 与

に 置 き換 え た次 の 生 涯 効 用 最 大 化 問 題 問題A":

灘 ひ 一Tu(xO(の)幽 subjectto

{^∬(Σ ρ,(t).x;(のf=1)e‑Ỳdt≦M:所 与

p(の=η(ちp°)

を考 え る.こ の 問 題A"の 生 涯 効 用 を最 大 にす る 唯 一 の 最 適 な生 涯 消 費 計 画 を(x*(t))TOと す れ ば,

∬(Σ ρf(の ㊨*(ti=1))8‑rtdt一 π(α) が 成 立 す る.な ぜ な ら,定 義 よ り,

∬(Σ ρ,αi=1)x・(t}e‑r̀dt≦M

は,必 ず 成 立 す る か ら,も し(α)が 成 立 し な け れ ば,

∬(Σ ρ∫(t)x*(のi=1)'<M

と な る.こ の 場 合,実 数 εf(の>0を 十 分 小 さ く選 べ ば,

1(Σ ρ,(の(1+ε ゴ(の)x;*(ti=1))〆‑M

で しか も,効 用 関 数 πの 強 い 単 調 増 加 性 か ら,

rT

JuO((1+・ ・(t})xl*(t),…,(・+砺(t}x{n)・(の)・ 細'>TuO(x・(の)e‑ptdt

と な る.し か し,こ れ は 明 ら か に,(x*(t))0が 生 涯 効 用 を 最 大 に す る 唯 一 の 最 適 生 涯 消 費 計 画 で あ る こ と に 矛 盾 す る.

こ の よ う な 理 由 か ら,わ れ わ れ は,問 題A"の 代 り に 最 初 か ら 問 題Aを 考 察 す れ ば よ い の で あ る.

2)必 要 性 に つ い て は,ポ ン ト リ ヤ ー ギ ン 他(1962),板 垣(1985>,命 題3,50頁 を 参 照,十 分 性 に つ い て は,次 の よ う に し て 示 す こ と が で き る.

(M*(の,x*α))TOを 必 要 条 件

∂轟)e‑pr+λ(のn η〃)e‑rt‑・,2‑1,…n,(16) M(の=(Σ i=1ηゴ(t,po)蝋 の)B‑rt,(10) .M(0)ニ0,(11)

M(T)=M(12)

λ(の=λ<0,for∀t∈ 〔0,7〕(15)

を 満 た す 時 間 径 路,(M(t),x(t))TOを(10),(11),(12)を 満 た す 時 間 径 路 と す る.こ の2つ の 時 間

November1996板 垣 有 記 輔 異 時 点 問 双 対 性 ア プ ロー チ に も とつ く消 費 者 行 動 の動 学 理 論 径 路 に対 して,

∫ ㌦(x・(rt)e‑ptdt‑‑uO(x(の)e‑°tdt‑∬ 〔u(x・(t)‑u(x(t))〕 副4'

uは 狭 義 の 凹 関 数 で あ る こ と と(10)よ り

〉 ∬ 艦:(x(t)*(t))(x=・(t)‑x;(t})e‑p̀+λ(の 〔(萬 η・(ちρ厨(t))E‑rt‑1V1*(t)

一(Σn ;(t,po)苅(の)e‑rt+111(t)〕}dt i=1

rTn

O[au;(xaxi(t)*(t!‑Ate+λ(の η・(t,p・)e‑Yt]・(xi・(t)一 鍛(t))一 λ(111*(t)‑1VI('))}dt (16)よ り

=一 λ〔M*(T)‑M(T)〕+λ 〔M*(0)‑M(0) (ll),(12)よ り

=0

3)等 式 積 分 制 約 条 件 の 形 を と る 問 題Bの 生 涯 効 用 制 約 式

∫ τ劇)e‑ptdt‑U:所 与

を,不 等式積分制約 条件 の形 をとる生涯効用 制約式

∫T・(x(t))eTp̀≧U:所 与

に置 き換 え た 次 の生 涯 支 出 最 小 化 問題 問 題B":

囎E‑∬(Σ ρ,(ti=1)xi(の)e‑'"̀dt subjectto

{魎)}e‑ptdt≧ 鮪

79

p(t)=η(p° の,

を,考 え る,こ の 問 題B"の 生 涯 支 出 を最 小 に す る唯 一 の 最 適 な 生 涯 消 費 計 画 を(x**(の)TOと す れ ば ,

∬%(x**(の)e‑・idt‑U(β)

が 成 立 す る.な ぜ な ら,定 義 よ り

∬u(x**(の)e‑・'≧U

は,必 ず 成 立 す る か ら,も し(β)が 成 立 しな け れ ば,

T̲

と な る.こ の 場 合,実 数 εf(t)>0を 十 分 小 さ く 選 べ ば,効 用 関uの 強 い 単 調 増 加 性 か ら, T

u

O((・ 一 ε1(の)銑**(の,̲,(・ 一 砺(の)xn**(の)e‑p̀=U と な り,し か も

Σ ρぎ(t}(1‑s;(の)必 、**(t)<Σ ρ∫(t)x=**(t}

i=ii=i

と な る.し か し,こ れ は 明 ら か に,(xt**(の)TOが 生 涯 支 出 を 最 小 に す る 唯 一 の 最 適 生 涯 消 費 計 画 で あ る こ と に 矛 盾 す る,

し た が っ て,わ れ わ れ は,問 題B"の 代 り に,最 初 か ら 問 題Bを 考 察 す れ ば よ い の で あ る .

4)必 要 条 件 で あ る こ と に つ い て は,ポ ン ト リ ヤ ー ギ ン 他(1962) ,板 垣(1985)命 題3,50頁 を 参 照.

十 分 条 件 で も あ る こ と に つ い て は,次 の とお り で あ る.

(σ**(t),x**(t))0を 必 要 条 件

η・(ちpu)e‑"一 略 斑)一 ・3‑・ ・i=1,… ・n・

II(t}=u(x(t>)e‑Pt, U(0)一=0, U(T)=U

4(の=4>0,forbt∈ 〔0,刀 を 満 た す 時 間 径 路,(U(t),x(t))TOを(40),(41) 径 路 に 対 し て,

(46) (40) (41) (42) (45) (42)を 満 た す 時 間 径 路 と す る.こ の2つ の 時 間

∫T(Σ η、(tp°f=1)η・・('))・瑠 一 ∬(急 η・(ちp°)x;(の)・瑠 一 ∫T〔 急 η〃)(x;**(h(t)〕B‑rtdt (40),(45)よ り

一rTJ

O〔 Σ ηピ(ちp°i=1)(x;**(t>‑x;(t}〕 幽 〔u(x(t))e‑pt‑U(t)‑u(x**(t))・ 叫 σ**(t)〕dt

uが 狭義 の凹関数 である ことか ら

く ∬ 〔nT]i

i=1(tp°)(x=**(の 一 銑(の 〕・一 艦 害1*(の)(銑**(h(の)e‐,or‑4(ぴ(t)‑II**(t))}dt 一 薦 〔η,(tp°)‑rtau(x*eqa

x;(t)*(t))・ 噌 弓 ・(x;**(t)一 一x1(t))‑qCU(T}‑U**の 〕

‑1‑q(U(0)‑U**(0)) (41),(42),(46)よ り

●!

5)第2節 で 導 出 し た 命 題1の 動 学 的 ロ ア の 恒 等 式 は,こ の 動 学 的 双 対 定 理1と 第4節 の 命 題3の 動 学 的 シ ェ フ ァ ー ド ・マ ッ ケ ン ジ ー の 補 題 を用 い て,次 の よ う に 導 出 す る こ と も で き る.

(53)の 両 辺 を ρ,oで 微 分 す る と

∂σ ⑦o・Eψo・ の)+∂ ⊆ ψo・Eψo・ の ∂Eψo・ の 一 〇 ap;0 ,

∂カノoalvr

で あ る が,(51)か ら

∂U(ρo・ 丑の+∂U(ρojの ∂E(カo,U)=O aMap;°ap;0

し た が っ て

一響/{響 一磐

命 題3の 動 学 的 シ ェ フ ァー ド ・マ ッ ケ ンジ ー の 補 題 よ り

一rTJ

O(npi(tS‑1∂i)ん(ちp°U})e‑‑rtdt

(52)よ り

一 ∬(急 離4・(ち ρ馬Eψ 勉 の))e‑ỳdt (51)よ り

一/̀TJ

O(急 離4・(ち ρo・⑳)e‑r̀dt,j‑・,…n.

6)第2節 の 命 題1(動 学 的 ロ ア の 恒 等 式)は,こ の 動 学 的 双 対 定 理IIと 第4節 の 命 題3(動 学 的 シ ェ フ ァ ー ド ・マ ッケ ン ジ ー の 補 題 を 用 い て,次 の よ う に 導 出 す る こ と も で き る.

(58)の 両 辺 を ρゴoで偏 微 分 す る と

ap;°auapp°

で あ る が,(56)よ り

Novemberl996板 垣 有 記 輔:異 時 点 問双 対 性 ア プ ロ ー チ に も とつ く消 費 者 行 動 の動 学 理 論

∂Eψo・U)+塑 鯉L =o .

ap;°ap;Oav

ま た(58)の 両 辺 をMで 偏 微 分 す る と

∂Eo,UOの)」 塑 =1

∂ひ ∂M

で あ り,

au‑1/1彩 ψ髄

で あ る か ら,(56)よ り

1多ψo・の 一・/1岩 ψ禰

(γ)と(δ)よ り

一 誹 ψo'効/1髪 ψ禰 一 溺 ψ勉の

命 題3の 動 学 的 シ ェ フ ァ ー ド ・マ ッ ケ ン ジ ー の 補 題 よ り

81

Cr>

(δ)

一rTJ

O(重 の'(ti=1ap;0)海・(ち が,の)e‑Ytdt (56)よ り

一 ∫T(発 の ・(t

t=1∂ ρノo)h;(ちp・ ・ひ ψ ら ⑳))e‑'"̀dt (57)よ り

一T

O(発 の ・('周∂ρノo)畝(ちρ吻)e‑rfdt,ブ ー ・,…,n・

参 照 文 献

Arrow,K.J,andM,Kurz(ユ970),PublicInvestment,the、Rateoア 、Return,andOptimalFiscalPolicy.Baltimoreand London:TheJohnsHopkinsPress

Blanchard,0.J.andS.Fischer(1989),LecturesonMacroeconomics.Cambridge,Massachusetts:TheMITPress.

Caputo,M.R.(1990),"HowtoDoComparativeDynamicsontheBackofanEnvelopinOptimalControl

Theory,"ノouynalofEcrneamicDynamicsandContyol,VoLl4,No.3/4,July/Oct.PP.655‑・:

Epstein,L.G.(1981),"GeneralizedDualityandIntegrability,"Econonzetrica,Vol.49,No.3,May,PP.655‑678

Fisher,1.(1930),TheTheoryof/nterest.NewYork:AugustusM,Kelley,1965.気 賀 勘 重 ・ 気 賀 健 三 『利 子 論 』

(東 京:日 本 経 済 評 論 社,1980年),

Fleming,W.H.andR.W.Richel(1975),DeterministicandStochasticOptimalControl.NewYork:Springer‑Ver‑

lag

Hicks,J.R.(1939),ValueandCapital,2ndedition,Oxf。rd:TheClarendonPrss,1946.安 井 琢 磨 ・ 熊 谷 尚 夫 訳

『価 値 と 資 本 』(1,II)(東 京:岩 波 書 店1951年),『 価 値 と 資 本 』(上 ・ 下)(岩 波 文 庫,1995年)

板 垣 有 記 輔(1985),『 動 的 最 適 化 と 経 済 理 論 』 東 京:多 賀 出 版.

Kamien,M.1.andN.L.Schwartz(1971),"SufficientConditionsinOptimalControlTheory,"JournalofEcono‑

micTheory,Vol.3,June,PP.207‑214.

Lafrance,J.T.andL.D.Barney(1991),"TheEnvelopTheoreminDynamicOptimization,"ノournalofEconomic

DynamicsandConrol,Vol.15,PP.355‑385.

Mckenzie,L.(1957),"DemandtheorywithoutUtilityIndex",ReviewofEconomicStudies,Vol.24,PP.185‑189.

Mangasarian,0.L.(1966),"SufficientconditionsfortheOptimalConrolofNonlinearSystems,"Journalof

SIAMControl,Vol.4,No.1,PP.139‑152.