ランダムウォークの座標の平均値と分散

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... ランダムウォークの座標の平均値と分散

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

計算科学☆演習II L04(2013-05-01 Wed) 今日の目標

. ..

1 ランダムウォークの座標の母平均値・母分散・

母標準偏差を計算できる .

..

2 CとExcelでランダムウォークの座標の標本平

均値・標本分散・標本標準偏差を計算できる .

3.. Cでランダムウォークに関する確率を推定する

プログラムを書ける http://hig3.net

母/標本 平均値と分散 Quiz解説

ここまで来たよ

母/標本 平均値と分散 Quiz解説

Quiz解答:ランダムウォーカーの到達点の座標の母平均・母分散 .

..

1 µ= E(Rt+1) = (−1)·⁵₉+ 0·¹₉+ (+1)·³₉ =−²₉. .

2.. E((R_t+1)²) = (−1)²·⁵₉ + 0²·¹₉ + (+1)²·³₉ = ⁸₉.E(R_t+1)² = (−²₉)². σ² = V(R_t+1) = E((R_t+1)²)−E(R_t+1)² = ⁶⁸₈₁.

次のように直接に計算しても同じ結果になる. V(Rt+1) = E((Rt+1−µ)²) =

((−1)−(−²₉))²·⁵₉+ (0−(−²₉))²·¹₉+ ((+1)−(−²₉))²·³₉. .

..

3 σRt+1 =

√68 81 = ²

√17 9 . .

..

4 一般に E(XT) =T·E(Rt+1). T = 20^とすると,

E(X₂₀) = 20E(R_t+1) =−⁴⁰₉. .

..

5 一般に V(X_T) =T ·V(R_t+1). T = 20とすると,

V(X20) = 20V(Rt+1) = ¹³⁶⁰₈₁ . .

..

6 σX20 = (V(X20)))^1/2 = (¹³⁶⁰₈₁ )^1/2

ランダムウォークの座標の平均値と分散 ランダムウォーカーの座標の場合

ここまで来たよ

ランダムウォークの座標の平均値と分散 ランダムウォーカーの座標の場合

ランダムウォーカーの座標の母分布

X_t+1 =X_t+R_t+1, X₀ = 0 1^{歩分の母分布}

R=X₁ 確率 サイコロの目 0 q = 1−p= ¹₃ 1,2

1 p= ²₃ 3,4,5,6

ベルヌーイ試行 2歩分の母分布

X2 確率 R1, R2

0 ¹₃ ·¹₃ 0,0 1 ¹₃ ·²₃+ ²₃·¹₃ 0,1 or 1,0 2 ²₃ ·²₃ 1,1 E(X₂) =

黒板で

V(X2) =

黒板で

ランダムウォークの座標の平均値と分散 ランダムウォーカーの座標の場合

ランダムウォーカーの座標の平均値と分散

母期待値をいきなり計算する方法

X_t+1 =X_t+R_t+1, X₀ = 0 ということは

X_T = 0 +

∑T t=1

R_t.

ここで,Rt (t= 1,2, . . . , T) ^{は独立同分布},E(Rt) =µ,V(Rt) =σ^{2 と} する.

X_T の母平均値

E(XT) = E ( _T

∑

t=1

Rt

)

=

∑T t=1

E(Rt) =T ×µR.

直観的解釈:

自分の言葉で書いてね

ランダムウォークの座標の平均値と分散 ランダムウォーカーの座標の場合

X_T の母分散 R_t が互いに独立なので

V(X_T) = V ( _T

∑

t=1

R_t )

=

∑T t=1

V(R_t) =T ×σ_R².

直観的解釈:

だれか教えて〜

XT の母標準偏差 σ =

√T × σ_R

ランダムウォークの座標の平均値と分散 ランダムウォーカーの座標の場合

ってことは,ヒストグラムの時間変化はこんな感じ?

いつでもこんな長方形? 待て中心極限定理

ランダムウォークの座標の平均値と分散 ランダムウォーカーの座標の場合

.Quiz(離散的なランダムウォークの確率・平均・分散・標準偏差)

..

...

ランダムウォークを表す次の数列を考える.

X_t+1=X_t+R_t+1, X₀ = 0.

ただし,Rt+1

は

確率p^でR=−3 確率1−pでR= +1

の値をとる(0< p <1). 次のうち正しいものの記号をすべて答えよう. .

..

1 Xtは t^{に比例する}. .

2.. X_tの母平均は tに比例する. .

..

3 e^Xt の期待値はt に比例する. .

..

4 Xtの母分散は t^{に比例する}. .

5.. X_tの母標準偏差は tに比例する.

ランダムウォークの座標の平均値と分散 ランダムウォーカーの座標の場合

ランダムウォーカーの座標の標本分布

擬似乱数を使ってサイズ N ^の標本 X_T⁽¹⁾, X_T⁽²⁾, . . . , X_T^{(N) を作りたい}. いきなり生成する getrandomT(double y)を書くのはたいへん…

時間発展(=漸化式)そのまま計算しちゃえ →

シミュレーション

1 /∗1∗/

2 f o r( n ){

3 /∗2∗/

4 f o r( t ){

5 /∗3∗/

6 x=x+g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ;

7 /∗4∗/

8 }

9 /∗5∗/

10 }

11 /∗6∗/

問: srand(seed),x=0,printf("\%d",x) ^はどこ?

ランダムウォークの座標の平均値と分散 確率シミュレーション

ここまで来たよ

ランダムウォークの座標の平均値と分散 確率シミュレーション

確率シミュレーション

確率的法則を,擬似乱数を使ってそのままコンピュータ上で再現して, 何かの母期待値

何かの母分布 ← ^確率 を推定すること.

母期待値 E(f(XT))^{を推定するには},^{標本期待値}

f(X_T) = 1 N

∑N n=1

f(X_T⁽ⁿ⁾)

を使う.

ランダムウォークの座標の平均値と分散 確率シミュレーション

課題 rw6, rw7 で作る表

X_t⁽ⁿ⁾ t:

時刻

^漸化式の

^項め

(n):

サンプル内通し番号

t= 0 t= 1 · · · t=T n= 1 X₀⁽¹⁾ X₁⁽¹⁾ · · · X_T⁽¹⁾ n= 2 X₀⁽²⁾ X₁⁽²⁾ · · · X_T⁽²⁾

... ... ... ... ...

n=N X₀^(N) X₁^(N) · · · X_T^(N) これを printfする for の構造は?

ランダムウォークの座標の平均値と分散 確率の推定

ここまで来たよ

ランダムウォークの座標の平均値と分散 確率の推定

確率の推定

母期待値の推定はわかった. ^母分布←^{確率を推定するには}? .例題

..

...

x= 10から出発したランダムウォーカーが,t= 20で,領域 x≤0に到 達する確率は?

破産の確率

.確率の推定 ..

...

‘Aが成立する確率’の推定値=^{Nのうち‘A}_{サンプルサイズ}^{が成立している’}_N^{試行の個数} これは,^次のf(XT)の標本期待値とも思える.

f(XT) =

{1 X_T に対してAが成立 0 XT に対してA^{が成立しない}

ランダムウォークの座標の平均値と分散 確率の推定

1 /∗1∗/

2 f o r( n ){

3 /∗2∗/

4 f o r( t ){

5 /∗3∗/

6 x=x+g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ;

7 /∗4∗/

8 }

9 /∗5∗/

10 }

11 /∗6∗/

ランダムウォークの座標の平均値と分散 確率の推定

.例題 ..

...

x= 10から出発したランダムウォーカーが,0≤t≤20 のいずれかの瞬 間に,^領域 x≤0 ^{にいる確率}

これまで: ^{サンプルは到着点}XT を集めたもの

この例: ^{サンプルは経路} (X0, X1, . . . , Xt, . . . , XT) ^{を集めたもの}

ランダムウォークの座標の平均値と分散 ラグランジュ表現

ここまで来たよ

ランダムウォークの座標の平均値と分散 ラグランジュ表現

ラグランジュ表現: ウォーカーがg = 2人いたら? .例題

..

...

x= 0,10 ^{から出発した}g= 2人のランダムウォーカーが,0≤t≤20^の 期間に衝突する(=同時刻に同地点にいることが1^{回以上起きる})^確率は? int x;→ int x[2];

ラグランジュ表現

1 /∗1∗/

2 f o r( n ){

3 /∗2∗/

4 f o r( t ){

5 /∗3∗/

6 x=x+g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ;

7 /∗4∗/

8 }

9 /∗5∗/

10 }

11 /∗6∗/

ランダムウォークの座標の平均値と分散 ラグランジュ表現

.Quiz(確率シミュレーション) ..

...

ランダムウォークを表す次の数列を考える.

X_t+1=X_t+R_t+1, X₀ = 0.

t= 0 ^にx= 0 から出発するランダムウォーカーが,t= 20^にx= 0 ^に 戻ってきている確率を,標本を作ることによって推定してその推定値を出 力するプログラムを書こう.

ただし,Rt+1 は整数値をとる確率変数で,int

getrandom(getuniform())の返り値として実現されている.

答の記述では,getrandom,getunifrom の宣言や定義は省略すること(^す でに使える状態にあると思ってよい). ユーザは乱数のシードのみを入力 する.

ランダムウォークの座標の平均値と分散 ラグランジュ表現

予習復習問題これからは毎週

金11:05^{締切の予習復習問題は} RaMMoodle

http://el.math.ryukoku.ac.jp/moodle→^計算科学II(講義) で やってね.

水13:30^{締切の予習復習問題は} C-learning http://asp.c-learning.jp/s/^{でやってね}.

連休プチテスト対応. 実際に締切があるのは, 2013-05-08水 (C-learning), 2013-05-15^水(C-learning), ^{そのあとふつう}.

プチテスト演習のプチテストやります! 2013-05-10^金2. ^案内参照. ^出題 計画(って範囲がそれくらいしかない) hist1, rw1, rand2. 数値だけ変え た,よりは変化は大きい予定.

自宅で演習の課題をやろうVisual Studio^には Express Edition^という‘^無 料版’があります. 数理情報学科の学生はDreamSpark 経由で Visual

Studio 製品を自宅で使えます.

https://www.a.math.ryukoku.ac.jp/dreamspark/