母 / 標本平均値と分散

(1)

母

/

標本平均値と分散

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

計算科学☆演習

II L03(2014-04-25 Fri)

今日の目標

1

母平均値・母分散・母標準偏差の意味を説明できる

2

母分布から母平均値・母分散・母標準偏差を計算できる

3

標本から標本平均値・標本分散・標本標準偏差を計算できる

ランダムウォーク…

http://hig3.net

樋口さぶろお (数理情報学科) L03母/標本平均値と分散計算科学☆演習II(2014) 1 / 24

(2)

母分布と標本分布,期待値の計算 Quiz解説

ここまで来たよ

1

母分布と標本分布

,

^{期待値の計算}

Quiz

解説

2

母

/

標本平均値と分散

復習

:

^{母期待値と標本期待値} 平均値

分散標準偏差

ランダムウォーカーの座標の場合

(3)

L02-S4

Quiz

解答

:

期待値

1 3

11×(−2)²+₁₁¹ ×(−1)²+₁₁² ×(0)²+₁₁⁵ ×(+1)² = ¹⁸₁₁.

2 3

11×(−2) + ₁₁¹ ×(−1) + ₁₁² ×(0) + ₁₁⁵ ×(+1) =−₁₁².

3

1(r) = {

1 (e^r >0.9) 0 (

それ以外

)

とすると

, ₁₁³ ×1(−2) +₁₁¹ ×1(−1) + ₁₁² ×1(0) + ₁₁⁵ ×1(+1) =

3

11×0 +₁₁¹ ×0 +₁₁² ×1 +₁₁⁵ ×1 = ₁₁⁷.

(4)

L02-S5

Quiz

解答

:

標本期待値

1

階級度数相対度数

0

^{より大きく}

1

^以下

4 0.4 1

より大きく

2

以下

3 0.3 2

より大きく

3

以下

1 0.1 3

^{より大きく}

4

^以下

1 0.1 4

より大きく

5

以下

0 0.0 5

より大きく

6

以下

1 0.1

(5)

2

Histogram of x

x

Density

0 1 2 3 4 5 6 7

0.00.10.20.30.4

3

標本期待値は

f(R) = (_R¹) = ₁₀¹(¹₁+¹₆+¹₁+¹₂+¹₁+¹₃+¹₄+¹₂+¹₂+¹₁) = ⁷⁵₁₂ = ⁵₈.

母期待値

E(_R¹)

^を

⁵₈

^{と推定する}

.

4

標本期待値は

f(R) =R= ₁₀¹ (1 + 6 + 1 + 2 + 1 + 3 + 4 + 2 + 2 + 1) = ²³₁₀.

母期待値

E(R)

^を

²³₁₀

^{と推定する}

.

(6)

母/標本平均値と分散復習:母期待値と標本期待値

ここまで来たよ

1

母分布と標本分布

,

^{期待値の計算}

Quiz

解説

2

母

/

標本平均値と分散

復習

:

^{母期待値と標本期待値} 平均値

分散標準偏差

ランダムウォーカーの座標の場合

(7)

母/標本平均値と分散復習:母期待値と標本期待値

復習

:

母期待値と標本期待値

R:

確率変数

f(R)

の母期待値

確率の表

⇝E(f(R)) =

∑m j=1

p(rj)×f(rj) .

f(R)

の標本期待値

サンプル

⇝f(R) = 1 N

∑N n=1

f(R⁽ⁿ⁾)

N:

^{サンプルサイズ}

. (n):

^{サンプル内の通し番号}

.

N

が大きくなるほど

,

標本期待値は母期待値に

‘

近くなる

’

つまり

,

標本期待値で母期待値を推定できる

.

(8)

母/標本平均値と分散平均値

ここまで来たよ

1

母分布と標本分布

,

^{期待値の計算}

Quiz

解説

2

母

/

標本平均値と分散

復習

:

^{母期待値と標本期待値} 平均値

分散標準偏差

ランダムウォーカーの座標の場合

(9)

平均値

mean

(

復習

)

母平均値の定義

µ= E(R)

つまり

f(R) =R

の母期待値

母平均値の性質

R:

確率変数

,a, b:

定数のとき

,

E(aR+b) =

∑m j=1

p(rj)×(arj+b) =



a

∑m j=1

p(rj)rj



+b=aE(R) +b.

R1, R2:

^{確率変数のとき}

, ^数学^C,^{確率統計演習}^I E(R₁+R₂) = E(R₁) + E(R₂).

(10)

平均値の直観的意味

母分布の重心の座標

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2 -1 0 1 2 3 4

Probability

x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2 -1 0 1 2 3 4

Probability

x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2 -1 0 1 2 3 4

Probability

x

母平均値をサンプルから推定するには

?

母平均値は母期待値の一種だから

,f(R) =R

^と思って

,

サイズ

N

のサンプル

R⁽¹⁾, R⁽²⁾, . . . , R^(N)

が与えられたとき

,

標本平均値

R¯ = _N¹(R⁽¹⁾+R⁽²⁾+· · ·+R^(N))

で推定できる

.

Excel

^{では標本平均値は}

average

(11)

母/標本平均値と分散分散

ここまで来たよ

1

母分布と標本分布

,

^{期待値の計算}

Quiz

解説

2

母

/

標本平均値と分散

復習

:

^{母期待値と標本期待値} 平均値

分散標準偏差

ランダムウォーカーの座標の場合

(12)

分散

variance

母分散の定義

σ² = V(R) = E((R−µ)²)

^つまり

f(R) = (R−µ)².

同じ結果を与える別の計算手順

数学C,確率統計演習I

V(R) =· · ·= E(R²)−(E(R))².

母分散の性質

R₁, R₂:

独立な確率変数

, ^数学C,確率統計演習I

V(R₁+R₂) = V(R₁) + V(R₂).

当たり前ではない

. ‘

確率関係のものはみんな線形

’

^{なわけではない}

.

(13)

母分散の直観的意味

母分布が母平均値から広がってる度合い

平均値は同じでも母分布はいろいろ

.

すみません縦軸は信じないで

.

Frequency

16 18 20 22 24 26 28

01234 Frequency

16 18 20 22 24 26 28

01234 Frequency

16 18 20 22 24 26 28

01234 Frequency

16 18 20 22 24 26 28

01234

(14)

母分散をサンプルから推定するには

?

サイズ

N

のサンプル

R⁽¹⁾, R⁽²⁾, . . . , R^(N)

が与えられたとき

,

「標本分散」

s^{2 ?}=1

N[(R⁽¹⁾−µ)²+ (R⁽²⁾−µ)²+· · ·+ (R^(N)−µ)²]

でも

µ

^{はわからないので}

R

^{で代用したい…}

標本分散

s² = 1

N −1[(R⁽¹⁾−R)²+ (R⁽²⁾−R)²+· · ·+ (R^(N⁾−R)²]

= N

N −1 [

1 N

∑N n=1

(R⁽ⁿ⁾)²−R² ]

.

Excel

では

var(varp

ではない

)

s²

は不偏分散

,

標本不偏分散などといわれることもある

. N

^{が大きくなるほど}

,

標本不偏分散は母分散に

‘

^近くなる

’

(15)

母/標本平均値と分散標準偏差

ここまで来たよ

1

母分布と標本分布

,

^{期待値の計算}

Quiz

解説

2

母

/

標本平均値と分散

復習

:

^{母期待値と標本期待値} 平均値

分散標準偏差

ランダムウォーカーの座標の場合

(16)

標準偏差

standard deviation

母標準偏差の定義

σ =√ V(R)

標準偏差の直観的意味

母分布の ‘ 幅 ’ の半分

Frequency

16 18 20 22 24 26 28

01234 Frequency

16 18 20 22 24 26 28

01234 Frequency

16 18 20 22 24 26 28

01234 Frequency

16 18 20 22 24 26 28

01234

母標準偏差をサンプルから推定するには

?

標本分散を求めることで母分散を推定する

.

そして

,

その平方根をとる

.

つまり標本標準偏差

s=√

s².

(17)

L03-Q1

Quiz(標本平均値・標本分散・標本標準偏差)

次の標本

x_i (i= 1,2,3,4,5)

を考える

.

9, 10, 13, 12, 6

1

標本平均値を求めよう

.

2

標本分散

(

標本不偏分散

)

を求めよう

.

3

標本標準偏差

(

^{標本不偏標準偏差}

)

^{を求めよう}

.

(18)

母/標本平均値と分散ランダムウォーカーの座標の場合

ここまで来たよ

1

母分布と標本分布

,

^{期待値の計算}

Quiz

解説

2

母

/

標本平均値と分散

復習

:

^{母期待値と標本期待値} 平均値

分散標準偏差

ランダムウォーカーの座標の場合

(19)

ランダムウォーク

X(t+ 1) =X(t) +R(t+ 1), X(0) = 0

ということは

X(t) = 0 +

∑T t=1

R(t).

ここで

,R(t) (t= 1,2, . . . , T)

^{は独立同分布}

,E(R(t)) =µ,V(R(t)) =σ²

とする

.

X(t)

の母平均値

E(X(t)) = E ( _T

∑

t=1

R(t) )

=

∑T t=1

E(R(t)) =T×µ.

直観的解釈

:

自分の言葉で書いてね

(20)

X(t)

の母分散

R(t)

が互いに独立なので

V(X(t)) = V ( _T

∑

t=1

R(t) )

=

∑T t=1

V(R(t)) =T×σ².

直観的解釈

:

だれか教えて〜

X(t)

の母標準偏差

σ =

自分で書いてね

(21)

L03-Q2

Quiz(

ランダムウォークの到達点の座標の母平均値・母分散

)

確率変数

R(t)(t= 1,2, . . .)

は

,

確率

q= 1−p

で

R(t) = 0

確率

p

^で

R(t) = 1

の値をとる

(Bernoulli

分布

). t̸=t^′

のとき

R(t)

と

R(t^′)

は独立

.

時刻

t

におけるランダムウォーカーの座標を

,

次の漸化式で定める

(t= 0,1,2, . . .).

X(t+ 1) =X(t) +R(t+ 1), X(0) = 0.

1 R(t)

の母平均値を求めよう

.

2 R(t)

^{の母分散を求めよう}

.

3 R(t)

の母標準偏差を求めよう

.

4 X(t)

の母平均値を求めよう

.

5 X(t)

の母分散を求めよう

.

6 X(t)

の母標準偏差を求めよう

.

(22)

(23)

L03-Q3

Quiz(

ランダムウォーカーの到達点の座標の母平均・母分散

)

確率変数

R(t)(t= 1,2,3, . . .)

は,

確率

5/9

で

R(t) =−1,

確率

1/9

で

R(t) = 0,

確率

3/9

で

R(t) = +1,

の値をとる.

t̸=t^′

のとき

R(t)

と

R(t^′)

は独立.

時刻

t

におけるランダムウォーカーの座標

X(t)

を, 次の漸化式で定める

(t= 0,1,2, . . .).

X(t+ 1) =X(t) +R(t+ 1), X(0) = 0

1 R(t)

の母平均値を求めよう

.

2 R(t)

の母分散を求めよう.

3 R(t)

の母標準偏差を求めよう.

4 X(20)

の母平均値を求めよう.

5 X(20)

の母分散を求めよう.

6 X(20)

の母標準偏差を求めよう.

(24)

プチテスト演習のプチテストやります

! 2014-04-30

水

2.

やり方は別紙参照

.

以下は別紙からの修正点

プチテストでの到達目標

(Windows / Visual Studio / Excel

^のスキル

)

Visual Studio

でソリューションを作って

,

ビルド

,

実行ができる

.

Visual Studio

で実行したプログラムの出力から

, Excel

^{で相対度数分}

布表

,

^{ヒストグラムが作れる}

.

追加

:

母期待値が推定できる

上を確認するために

,

問を出題します

.

確率が与えられたときに離散値乱数のプログラムを作る

(rand2

^に似たのり

)

確率が与えられたときにランダムウォークの標本抽出するプログラ

ムを作る

(rw13

^{に似たのり}

)

母 / 標本平均値と分散

母

標本 平均値と分散

樋口さぶろお

計算科学☆演習

今日の目標

母平均値・母分散・母標準偏差の意味を説明で きる

母分布から母平均値・母分散・母標準偏差を計 算できる

標本から標本平均値・標本分散・標本標準偏差 を計算できる

ランダムウォーク…

ここまで来たよ

母分布と標本分布

期待値の計算

解説

母

標本 平均値と分散

復習

母期待値と標本期待値 平均値

分散 標準偏差

ランダムウォーカーの座標の場合

解答

期待値

それ以外

とすると

解答

標本期待値

階級 度数 相対度数

より大きく

以下

より大きく

以下

より大きく

以下

より大きく

以下

より大きく

以下

より大きく

以下

標本期待値は

母期待値

を

と推定する

標本期待値は

母期待値

を

と推定する

ここまで来たよ

母分布と標本分布

期待値の計算

解説

母

標本 平均値と分散

復習

母期待値と標本期待値 平均値

分散 標準偏差

ランダムウォーカーの座標の場合

復習

母期待値と標本期待値

確率変数

の母期待値

確率の表

の標本期待値

サンプル

サンプルサイズ

サンプル内の通し番号

が大きくなるほど

標本期待値は母期待値に

近くなる

つまり

標本期待値で母期待値を推定できる

ここまで来たよ

母分布と標本分布

期待値の計算

解説

母

標本 平均値と分散

復習

母期待値と標本期待値 平均値

分散 標準偏差

標本平均値と分散

母平均値・母分散・母標準偏差の意味を説明できる

母分布から母平均値・母分散・母標準偏差を計算できる

標本から標本平均値・標本分散・標本標準偏差を計算できる

^{期待値の計算}

標本平均値と分散

^{母期待値と標本期待値} 平均値

分散標準偏差

階級度数相対度数

^{より大きく}

^以下

^{より大きく}

^以下

^を

^{と推定する}

^を

^{と推定する}

^{期待値の計算}

標本平均値と分散

^{母期待値と標本期待値} 平均値

分散標準偏差

^{サンプルサイズ}

^{サンプル内の通し番号}

^{期待値の計算}

標本平均値と分散

^{母期待値と標本期待値} 平均値

分散標準偏差

定数のとき

^{確率変数のとき}

^と思って

^{では標本平均値は}

^{期待値の計算}

標本平均値と分散

^{母期待値と標本期待値} 平均値

分散標準偏差

^つまり

^{なわけではない}

^{はわからないので}

^{で代用したい…}

^{が大きくなるほど}

^近くなる

^{期待値の計算}

標本平均値と分散

^{母期待値と標本期待値} 平均値

分散標準偏差