平均値と散布度

(1)

１．基礎統計量

• 資料の代表値と散布度

• 代表値

– 平均・モード・メジアン – 平均とは何か？

• 散布度

– 標準偏差

– 高次のモーメント：歪度・尖度

(2)

１．基礎統計量

• 物理的なデータを縮約するには、静的

な（代表値：平均）成分と動的な（散布度：変動・偏差）成分とに分けて考察すると都合が良い。

基礎統計量

代表値

平均値 mean 中央値 median 最頻値 mode 最大値・最小値

分散ー標準偏差 var/std 平均偏差 mean dev.

範囲（Max-Min）散布度

(3)

札幌の日平均気温の時系列（1976-1997）

平均値

平均

頻度分布

(4)

中央値（Median）分位 p-quantile

Median 50%

(5)

ある性質の水が占める空間の面積で重み付けした大きさ

水温

塩分

密度

Rho(T,S,p)

最頻値（Mode） ^モード水 ^{Mode Water}

(6)

平均とは何か？平均と偏差に分けて解釈する

2004年は暑かった。。。

気象庁報道発表資料（2005年2月2日付け）より

気象庁の統計では、西暦の下１ケタが１の年から30年間の平均を「平年値」とすることになっており、「平年差」とは平均値から平年値を差し引いた値（「平年偏差」ともいう）を意味する。2001年１月１日から2010年12月31までについては、1971年から2000年までの平均値を「平年値」として使用する。

(7)

平均とは何か？時間平均と空間平均の類似性

500hPa面でのジオポテンシャル高度分布

ジオポテンシャル高度〜高さ

ニューステージ地学図表

(8)

平均とは何か？時間平均と空間平均の類似性偏西風の蛇行

「渦」がいっぱい！

ニューステージ地学図表

(9)

平均とは何か？時間平均と空間平均の類似性平均＋偏差＝帯状平均流＋渦

H L H L

波打っている

H L

(10)

平均とは何か？平均の階層性

より長いスケールでは平均も変動する

(11)

適切な平均

climatological mean＋ anomaly

絶対値＝平均値＋偏差

いつもより暖水

いつもより南東貿易風冷水

つよい

南東貿易風よわい

http://www.pmel.noaa.gov/tao/elnino/el-nino-story.html

anomaly

(12)

現象を代表するために

領域平均値をインデックスとする

•エルニーニョ監視速報でいうところの「エルニーニョ監視海域」は「B海域」にあたる。

http://www.data.kishou.go.jp/climate/elnino/index/regionmap.html

(13)

Nino3 index

エルニーニョ監視海域の海面水温と南方振動指数の推移(1976年1月〜2000年12月)。

(1) エルニーニョ監視海域の海面水温の基準値との差(℃)。折線は月平均値、滑らかな太線は5か月移動平均値を示し、正の値は基準値より高いことを示す。赤はエルニーニョ現象の発生期間、青はラニーニャ現象の発生期間。

(2) 南方振動指数。太線は5か月移動平均値を示す。

http://www.data.kishou.go.jp/climate/elnino/faq/qa/sstsoi.html

SO index

(14)

偏差

散布度 − 標準偏差

札幌の日平均気温の時系列（1976-1997）

平均値標準偏差

(15)

海流の平均場

(16)

海面高度変動の標準偏差

ここでの海面高度とは潮汐成分や気圧成分を除いたもの

(17)

平均値と散布度

^５００ｈ^Pa^{ジオポテンシャル高度}

平均場

8.5km Low 9km

High ^３００ｈ^Paのジオポテンシャル高度の平均場

SACRp3

(18)

original Slow

Longer than10days

Baroclinic

Between 2.5 and 6 days

FastBetween 1 and 2 days

100 100

50 20

標準偏差 time-filtered 500 hPa height (m)

SACR p58 140

Var(X) ~Var(Xs) + Var(Xb) +Var(Xf)

(19)

変数の頻度分布と歪度 (skewness)

高次モーメント

右すそが長い左右対称左すそがながい

μ x

γ1 ＞０ γ1＝０ γ1＜０

変数の頻度分布と尖度 (kurtosis)

なだらか正規分布とんがり

β2 ＜３ β2＝３ β2 ＞３

(20)

歪度 Skewness

Geopotential height Sea-level pressure

stormtrack 太平洋

positive negative

Nakamura and Wallace 1991 J.Atmos.Sci, 48, 1441-1448

ストームトラックの高緯度側ではskewnessは正で、

低緯度側では負になっている。

(21)

高緯度５８N

低緯度２３N

高緯度のブロッキングと低緯度の切離低気圧を示

している（と解釈している）

(22)

まとめ

• 絶対値は平均と偏差とに分けられる。

• 平均とは、時間・空間を問わず、見たいスケールを切り分ける操作である。（スケールによって主として働く力学が違う）

• 分散はデータのばらつき具合を示すもので、

変動の強さの指標となる。

• 場合によってはより高次の統計量が有効なことがある。