数学 IB 演習 ( 第 12 回 ) のヒント

数学 IB 演習 ( 第 12 回 ) のヒント

問1. 例えば, e^−axsinbx =(₋₁

a e^−ax)₀

sinbx などと考えて, 部分積分を二回繰り返 すとどのような式が得られるのか考えてみよ.

問2.

(1) 必要なら部分積分を施してみよ.

(2) e^−tt^x = (−e^−t)⁰t^x と考えて,部分積分を施してみよ.

(3) (1)と (2) の結果を合わせて考えてみよ.

問3.

(1) F(x) =∑_∞

n=0a_nxⁿ を項別微分して得られる

dF dx(x) =

∑∞ n=1

na_nxⁿ⁻¹, d²F dx²(x) =

∑∞ n=2

n(n−1)a_nxⁿ⁻²

などの式を微分方程式に代入して,

x(1−x)d²F

dx²(x) +{γ−(α+β+ 1)x}dF

dx(x)−αβF(x) =

∑∞ n=0

b_nxⁿ

というように x のベキの形に整理してみよ. さらに,b_n= 0 という条件を解 いて,一般項 an を求めてみよ.

(2) 「級数の収束判定法」を用いて, (1) で求めたベキ級数の収束半径を求めて みよ.

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