数学 IB 演習 ( 第 5 回 ) のヒント
問1. 与えられた関数 f(x, y)に対して, 偏導関数 ∂f∂x を求めるには,y を単なる定 数と思って, x に関する微分を計算すればよい. 全く同様に, 偏導関数 ∂f∂y を求め るには,x を単なる定数と思って, y に関する微分を計算すればよい. また, tan−1y の微分を忘れてしまった場合には, g(y) = tan−1y として,
g(y) = tan−1y ⇐⇒ tang(y) =y
と書き直せることに注意して, tang(y) =y という式の両辺を微分してみるとどう なるかを考えてみよ. さらに, cos2g(y)をtang(y) ( =y)で表わすとどうなるかも 考えてみよ.
問2. 与えられた級数を ∑∞
n=1an として, 例えば, 分母の有理化などを用いて, 一 般項 an を書き直すことで, 部分和 SN =∑N
n=1an を具体的に求めてみよ. その上 で, ∑∞
n=1an= limN→∞SN という極限が存在するかどうかを考えてみよ. ただし,
(1) では, ∑
n=1 Ã ∑
n=0 と置き換えて考えてみよ.
問3. (tan−1x)0 = 1+x1 2 となることに注意して, 例えば, 1+y1 という関数のTaylor 展開において, y=x2 を代入してみるなどして, まずは,
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1 +x2 =a0+a1x+a2x2+· · · (1) というように, 1+x1 2 を「多項式の姿」に「化かし」てみよ. さらに, (1) 式の両辺 を積分することで, tan−1x のTaylor展開を求めてみよ.
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