米田埋め込みと米田の補題

米田埋め込みと米田の補題

久木田水生

Cate研2011年10月20日

米田埋め込みとは，任意の局所小圏CをC上の前層presheaf（C^opからSetへの関手圏）に埋め込む関 手である．本稿では関手のいくつかの性質の定義を導入し，米田埋め込みを定義する．そしてそれが実際に埋 め込みになっていることを確認する．米田埋め込みとは直接関係はないが，第1節では圏同値の二つの定義を 紹介し，それらの定義が等しいことを確認する．

1

関手の性質と圏同値

Definition 1.1 (単射的，全射的). 関手F :C→Dが対象に対して単射的injective on objectsであるのは 任意のA, B ∈C0に対してF A=F BならばA =Bであるときである．F が対象に対して全射的である surjective on objectsのは任意のA∈D0に対してあるB ∈C0が存在してF B=Aが成り立つときである．

射に対して単射的（全射的）injective (surjective) on arrowsという概念も同様に定義される．またF が対象 に対して実質的に全射的essentially surjective on objectsであるのは，任意のA∈D0に対してあるB∈C0

が存在してF B'Aが成り立つときである．

単射的，全射的の概念は大きな圏に対しても適用される．小さな圏の間での対象（射）に対して単射的（全 射的）関手は，対象部分（射部分）について単射（全射）である．

Definition 1.2 (忠実，十全). ある関手F :C→Dが忠実faithfulであるのは，任意のA, B ∈C₀, f, g : A→Bに対してF f =F gならばf =gであるときである．

ある関手F :C→Dが十全fullであるのは，任意のA, B∈C₀, f :F A→F Bに対してあるg:A→B が存在してF g=f であるときである．

C,Dが局所小圏であるときFA,Bによって次のように定義される，C(A, B)からD(F A, F B)への関数を 表す：

FA,B(f) =F f (f ∈C(A, B))

この記法を使うと，局所小であるC,Dに関してはFが忠実（十全）であることは任意のA, B∈C0に対し てFA,Bが単射（全射）であることに等しい．

Example 1.3. (1)MonからSetへの忘却関手は忠実であるが十全ではない．

(2)PPosは前順序集合の圏とする．任意の前順序集合(P,≺)に対して'P⊆P×P をa'P b ⇐⇒ a≺ b∨b≺aとして定義する．このとき明らかに'は同値関係．PPosからPosetへの関手F を次のように定 義する：

F P =P/'P,

F(f :P →Q) =f /'P. このときFは十全だが忠実ではない．

(3)C×DからDへの投射関手は忠実かつ十全である．

忠実（十全）であることと射に対して単射的（全射的）であることの違いに注意．例えば上の例の(3)は忠 実であるが，射に対して単射的ではない．また例えばCを

A ^f //B C ^g //D

という圏とし，Dを

X

α //

β //Y という圏とする．関手F :C→Dを

F A=F C=X, F B=F D=Y, F f=α, F g=β と定義すると，Fは射に対して全射的であるが，十全ではない．

Exercise 1.4. SetからMonへの自由生成関手は忠実性，十全性を満たすか？

Definition 1.5 (圏同値). 圏C,Dと関手F :C→D, G:D→Cが圏同値equivalence of categoriesを構 成するのは，自然同型η:idC→G◦Fと²:idD→F◦Gが存在するときである．

圏C,Dがある関手F :C→D, G:D→Cとともに圏同値を構成するとき，CとDは（圏として）同値 equivalent as categoriesであるといい，

C∼D

と書く．

Exercise 1.6. ∼が反射性，対称性，推移性を満たすことを示せ．

圏同値には次の命題によって示される同値な定義がある．

Proposition 1.7. C,D, F :C→D, G:D→Cが圏同値を構成する ⇐⇒ F :C→Dは忠実かつ十全 で，対象に対して実質的に全射的である．

Proof. ⇒^を示す．C,D, F :C→D, G:D→Cが圏同値を構成するとする．このとき自然同型η:idC→ G◦Fと²:id_D →F◦Gが存在する．まずFが忠実であることを示す．A, B ∈C₀, f, g:A→B, F f=F g とする．このときGF f =GF g．ηの自然性より

A ^ηA //

f

GF A

GF f

B _η

B

//GF B

が可換．よってGF f◦ηA=ηB◦f．同様にGF g◦ηA=ηB◦g．GF f =GF gよりηB◦f =ηB◦g．ηA

は同型射だからf =g．よってFは忠実である．Gが忠実であることも同様に示される．

次にF が十全であることを示す．f :F A→F Bを考える．ηの自然性より任意のC∈Cに対して

C ^ηC //

η_C

GF C

GF η_C

GF C _η

GF C

//GF GF C

が可換．ηは自然同型だから

η⁻_{GF C}¹ ◦GF η_C =η_C◦η_C⁻¹=id_{GF C} (1) 再びηの自然性より

GF A ^{ηGF A} //

Gf

GF GF A

GF Gf

GF B _η

GF B

//GF GF B

が可換．ηは自然同型だから

GF Gf=η_{GF B}◦Gf◦η⁻_{GF A}¹ (2) 以上より

Gf◦η⁻_{GF A}¹ ◦GF η_A=η_{GF B}⁻¹ ◦GF η_B◦Gf (1)より ηGF B◦Gf◦η⁻_{GF A}¹ ◦GF ηA=GF ηB◦Gf

GF Gf◦GF η_A=GF η_B◦Gf (2)より GF η_B⁻¹◦GF Gf◦GF η_A=GF η⁻_B¹◦GF η_B◦Gf

GF(η_B⁻¹◦Gf◦ηA) =GF(η_B⁻¹◦ηB)◦Gf

=GF(idB)◦Gf

=idGF B◦Gf

=Gf Gは忠実だから

F(η_B⁻¹◦Gf◦ηA) =f η_B⁻¹◦Gf◦ηA:A→BだからFが十全であることが示された．

最後にF が対象に対して実質的に全射的であることは²:idD →F Gが自然同型であることから直ちに帰 結する．

⇐^を示す．F :C→Dは忠実，十全かつ対象に対して実質的に全射的だとする．関手G:D→Cを次 のように定義する．対象について．A∈D0に対してあるB ∈C0が存在してF B'Aである．このような Bを各Aに対して一つ選んでおき，それをGAの値とする．またAからF GAへの同型射を²_Aとしてお く．射について．A, B∈D₀, f :A→Bとする．Fの忠実性と十全性から，²_B◦f◦²⁻_A¹:F GA→F GBに 対して一意的なg :GA→GBが存在して，Gg =²_B◦f ◦²⁻_A¹が成り立つ．各f に対して，このgをGf の値とする．Gが実際に関手になることを示そう．G(dom(f)) =dom(Gf), G(cod(f)) =cod(Gf)は自明．

F GidA =²A◦idA◦²⁻_A¹ =idF GA =F idGA．F の忠実性よりGidA =idGA．よってGは恒等射を保つ．

f :A→B, g:B→Cを考える．F G(g◦f) =²C◦g◦f◦²⁻_A¹=²C◦g◦²⁻_B¹◦²B◦f◦²⁻_A¹=F Gg◦F Gf= F(Gg◦Gf)．Fは忠実だからG(g◦f) =Gg◦Gf．よってGは合成を保つ．以上よりGが関手であること が示された．

次に自然同型η:idC →G◦F, ²:idD→F◦Gを定義する．²に関しては上で各A∈D0に対して定めて おいた²Aを構成要素として持つものとする．これが自然であることはGの定義より明らかである．ηに関し て．Fの十全性より²F A:F A→F GF Aに対してあるf :A→GF Aが存在してF f =²F A．このようなf を各Aに対して選んでおき，それをηAとして定める．このときF ηA=²F A．ηが実際に自然であることは 次のように示される．f :A→B∈C1を考える．F ηA=²F A, F ηB=²F Bであり，²は自然であるから

F A ^{F ηA} //

F f

F GF A

F GF f

F B _{F η}

B

//F GF B

が可換．よってF の忠実性より

A ^ηA //

f

GF A

GF f

B _ηB //GF B が可換．よってηは自然変換．

最後に各ηA が同型射であることを示そう．F の十全性より²⁻_{F A}¹ : F GF A → F A に対してあるf : GF A→Aが存在してF f=²⁻_{F A}¹．よって

F(f◦ηA) =F f◦F ηA

=²⁻_{F A}¹ ◦²F A

=idF A

=F idA

Fの忠実性よりf◦ηA=idA．ηA◦f =idGF Aも同様に示される．従ってηAは同型射． ¤ Definition 1.8 (埋め込み). 関手F :C→Dが埋め込みembeddingであるのは，Fが忠実，十全，かつ対 象に対して単射的であるときである．

F :C→Dが埋め込みであるとき，F[C]はDの十全な部分圏である．

2

米田埋め込み

Definition 2.1(前層). 任意の圏Cに対してC^opからSetへの関手からなる関手圏Set^CopをC上の前層 presheafと呼ぶ．

米田埋め込みは任意の局所小圏CからSet^Copへの埋め込み関手である．本節では米田埋め込みの定義と 米田の補題の証明を行う．

Cは局所小圏とし，A∈C0とする．このとき任意のB∈C0に対してC(A, B)はAからBへの射の集 合として定義される．またCの任意の射f :B→Cに対してC(A, B)からC(A, C)への関数C(A, f)を次 のように定義する：

C(A, f)(g) =f ◦g (g:A→B).

このときC(A,+)はCからSetへの共変関手である．

同様にして反変関手C(−, A) :C^op →Setも定義することが出来る．具体的には任意のf :B →Cに対 してC(f, A) :C(C, A)→C(B, A)は次にように定義される関数である：

C(f, A)(g) =g◦f (g:C→A).

任意のA∈C₀に対して，この反変関手C(−, A)をyAによって表す．f :A→B ∈C₁が与えられたと する．このとき任意のC ∈C₀に対してyAC（=C(C, A)）からyBC（=C(C, B)）への関数yf_Cを次の ように定義する：

yf_C(g) =f◦g (g:C→A).

このときyfはyAからyBへの自然変換である．実際任意のg:C→D，h:D→Aに対して yBg◦yfD(h) =yBg(yfD(h))

=yBg(f◦h)

= (f◦h)◦g

=f ◦(h◦g)

=yf_C(h◦g)

=yfC(yAg(h))

=yfC◦yAg(h)

C

g

yAC ^yfC //yBC

D yAD

yAg

OO

yf_D //yBD

yBg

OO

このときyはCからSet^Copへの関手である．

Exercise 2.2. (1)C(A,−)，C(−, A)がそれぞれ関手になっていることを確かめよ．

(2)yがCからSet^Copへの関手になっていることを確かめよ．

この関手y:C→Set^Copに関して以下のことを確かめていく．

(I)任意のP :C→^とA∈C0に関してSet^Cop(yA, P)とP Aの間に一対一対応φA,P が存在する．

(II)φはAとP において自然である．すなわちすなわち任意のf :A→B ∈C1に対して Set^Cop(yB, P) ^φB,P //

Set^Cop(yf,P)

eval(P, B)

eval(P,f)

Set^Cop(yA, P)

φ_A,P //eval(P, A) が可換であり，任意のη:P →Q∈Set^C₁^opに対して

Set^Cop(yA, P) ^φA,P //

Set^Cop(yf,η)

eval(P, A)

eval(η,A)

Set^Cop(yA, Q)

φ_A,Q //eval(Q, A)

が可換である．ただしeval(+,+) :Set^Cop×C→Setは評価関手である．

以上が米田の補題の内容である．最後に米田の補題を使って次を示す．

(III)関手y:C→Set^Copは埋め込みである．

(I)について．まずφA,P :Set^Cop(yA, P)→P Aを次のように定義する：任意のη:yA→Pに対して φA,P(η) =ηA(idA)

以後，これをη˜によって表す．次にψA,P :P A→Set^Cop(yA, P)を次のように定義する．x∈P Aとする．

B∈C0に対して，

ψ_A,P(x)_B(f) =P(f)(x) (f :B →A∈C₁) 以後，これをxと表す．

φ_A,P が一対一であることを示す．すなわちη˜=ηおよび˜x=xが成り立つことを示す．任意のf :B →A に対してηの自然性より

yAA ^ηA //

yAf

P A

P f

yAB _η

B

//P B

が可換である．よってidA∈yAAを考えると

P f(ηA(idA)) =ηB(yAf(idA)) P f(˜η) =η_B(id_A◦f)

˜

η_B(f) =ηB(f)

またx˜=xA(idA) =P(idA)(x) =idP A(x) =x．従って(I)が示された．

(II)について．まずAにおける自然性を示そう．f :A→Bを考える．このときeval(P, f)◦φB,P(η) = P f(ηB(idB))．また

φ_A,P ◦Set^Cop(yf, P)(η) =φ_A,P(η◦yf)

= (η◦yf)A(idA)

=ηA◦yfA(idA)

=ηA(yfA(idA))

=ηA(f ◦idA)

=η_A(f)

ηの自然性より

yBB ^ηB //

yBf

P B

P f

yBA _η

A //P A

が可換である．従ってidB ∈ yBBを考えればP f(ηB(idB)) = ηA(yBf(idB)) = ηA(idB◦f) =ηA(f)． よってφA,P のAにおける自然性は示された．

次にP における自然性を示す．² : P → Q ∈ Set^C₁^op を考える．η : yA → P に対してeval(², A)◦ phiA,P(η) = ²A(ηA(idA))．一方φA,Q◦Set^Cop(yA, ²)(η) = φA,Q(²◦η) =²A◦ηA(idA) =²A(ηA(idA))． よってPにおける自然性も示された．

以上から，

Proposition 2.3(米田の補題). 上で定義された関手y:C^op→Setと任意のP :C^op→Set，A∈C0に 対してSet^Cop(yA, P)とP Aの間には一対一の対応があり，かつ，この対応はAとPにおいて自然である．

最後に次の系を示す．

Corollary 2.4. y:C→Set^Cop は埋め込みである．

Proof. yが対象に対して単射的であることは自明である．また任意のA, B ∈C₀に対して米田の補題より

Set^Cop(yA, yB)とyBA（=C(A, B)）の間には自然な一対一の対応がある． ¤

参考文献

[1] S. Awodey. Category Theory. Oxford University Press, New York, 2006.