命題線形作用素T :X −→Y に対して以下は同値

有界線形作用素

X, Y をノルム空間とし,T はX からY への線形作用素とする. つまり

T(x+y) =T x+T y, T(αx) = αT x, x, y ∈X, α∈C.

命題線形作用素T :X −→Y に対して以下は同値.

(1) T は 0で連続 (2) T は連続

(3) T は有界 i.e., (∃M)(∀x∈X)(kT xk ≤Mkxk)

T が有界のとき

kTk= sup{kT xk | kxk= 1}

によって作用素のノルムを定義する.

命題X.Y をノルム空間とする.

(1) X₁ は X の稠密な部分空間, Y は完備, T :X₁ −→Y が有界線形作用素ならば 有界線形作用素T˜ : X −→ Y で, ˜T|_X1 = T, kTk = kT˜k となるものが一意的 に存在する.

(2) T :X −→Y が上への線形写像で

∃m >0 ∀x∈X mkxk ≤ kT xk ならば有界な逆作用素T⁻¹ が存在する.

(3) Y が完備のとき, X からY への有界線形作用素の全体B(X, Y) はノルム kTk= sup{kT xk | kxk= 1}= inf{M | kT xk ≤Mkxk ∀x}

によってBanach 空間になる.

以下, ヒルベルト空間H 上の有界線形作用素の全体 B(H, H)(= B(H)) について 述べることにする.

B(H) の構造

• B(H) は Banach空間

• ノルム

kTk= sup{kT xk | kxk= 1}= sup{|(T x|y)| | kxk=kyk= 1}

• 代数(algebra): S, T ∈B(H), x∈H に対して (ST)x=S(T x) によって積ST を定義する.

kSTk ≤ kSkkTk が成立する.

• 対合(involution): T ∈B(H), x, y ∈H に対して H 3x7→(T x|y)∈C

はH 上の有界線形汎関数になる. 従って Riesz の定理により (T x|y) = (x|z_y)

となるz_y がただ一つ定まる. この対応で有界線形作用素 T^∗ :H3y 7→zy ∈H

が定義でき,このT からT^∗を構成する操作*を対合(involution)という. S, T ∈ B(H), α∈C に対して

kTk=kT^∗k, (ST)^∗ =T^∗S^∗, (αT)^∗ =αT^∗, (T^∗)^∗ =T が成立する.

• 対合とノルムの関係

kT^∗Tk=kTk²

いろいろな作用素

T が自己共役作用素(self-adjoint operator), エルミート作用素(hermitian) である とは

T =T^∗ ⇔(T x|y) = (x|T y), ∀x, y ∈H ⇔(T x|x)∈R, ∀x∈H V が等距離作用素(isometry) であるとは

kV xk=kxk, ∀x⇔(V x|V y) = (x|y), ∀x, y ⇔V^∗V = 1 U がユニタリ作用素(unitary)であるとは

U は上へのisometry ⇔U^∗U = 1 =UU^∗

射影作用素(projection): H の閉部分空間K に対してH =K⊕K^⊥ と直交分解で きる. このときH 3x=y+z ∈K⊕K^⊥という分解をもとにP :H 3 x7→y ∈K が定義できる. この作用素P を射影作用素といい, P = P² = P^∗ であることがわか る.

逆にP =P^∗ =P² を満たしているときP は直交分解H =P H ⊕(1−P)H に対 応する射影になっている.

部分等距離作用素(partial isometry): ある閉部分空間からある閉部分空間の上への 等距離作用素

⇔V^∗V : 射影 ⇔V V^∗ : 射影 縮小写像(contraction): ノルムが1 以下の作用素 kTk<1 のときS = 1 +T +T²+· · · ∈B(H)で

(1−T)S=S(1−T) = 1 となる.

T が正値作用素(positive operator)であるとは,

∀x∈H (T x|x)≥0

となること. 特にT =T^∗ である.

T が正値, S ∈B(H) ならば S^∗T S も正値.

自己共役作用素に順序を考える. すでに有限次元の場合に順序を導入したが同じア イデアである. S, T 自己共役作用素に対して

S ≤T ⇔T −S が正値作用素 ⇔ ∀x∈H (Sx|x)≤(T x|x) と定義する. 射影作用素 P, Qにこの順序を考えると

P ≤Q⇔P H ⊂QH ⇔P Q=P =QP となる.

大雑把な作用素の種類の紹介は終わったが, 多くの場面でどのような作用素を対象 として考えているのか, 少し具体的に述べてみる.

両側シフト(bilateral shift)

可分Hilbert空間の正規直交基底を {x_n}_n∈Z とする. このときBx_i =x_i+1 (i∈Z) と定義すると B はH 上の有界線形作用素に拡張できる. この B を両側シフトとい う. B はユニタリ作用素である.

片側シフト(unilateral shift)

可分Hilbert空間の正規直交基底を {x_n}_n∈N とする. このときSx_i =x_i+1 (i∈N) と定義すると S はH 上の有界線形作用素に拡張できる. この S を片側シフトとい う. S は等距離作用素であるがユニタリ作用素ではない. S^∗ は部分等距離作用素であ る.

対角作用素(diagonal operator)

Hilbert空間の正規直交基底を {x_n}_n∈Z を選んで Dx_i =λ_ix_i (λ_i ∈C)

という形にできる有界線形作用素Dのこと. (対角行列の無限次元版) 掛け算作用素(multiplication operator)

測度空間 (Ω,B, µ) に対して, 2乗可積分な関数全体L²(Ω,B, µ)はHilbert空間に なる. 本質的に有界な関数f ∈L^∞(Ω,B, µ)に対して

(M(f)g)(ω) = f(ω)g(ω), g ∈L²(Ω), ω∈Ω

と定義すると M(f) は L²(Ω) 上の有界線形作用素になる. この作用素を掛け算作用 素という. (対角行列の一般化または対角作用素の連続版)

積分核作用素

K ∈L²(Ω×Ω)つまり

Z Z

|K(s, t)|²dsdt <∞

となる関数を用いて定義される次のようなL²(Ω)上の有界線形作用素.

(T f)(t) = Z

K(s, t)f(s)ds f ∈L²(Ω).

群からできるユニタリ作用素

離散群G に対してG上の複素数値関数ξ で X

g∈G

|ξ(g)|² <∞

を満たすもの全体を`<sup>2</sup>(G) と表す. `²(G) はHilbert空間になる. G の各元g に対し て`²(G)上のユニタリ作用素が

(λ(g)ξ)(h) =ξ(g⁻¹h), (ρ(g)ξ)(h) = ξ(hg)

によって定義できる. このとき λ : G3 g 7→ λ(g) ∈ B(`<sup>2</sup>(G)), ρ : G3 g 7→ λ(g) ∈ B(`²(G))は群準同型になる. これをGの左正則表現,右正則表現という.

われわれが扱う無限次元の作用素についていろいろ述べたが, 有限次元の行列に対 応するものとして有限階作用素(finite rank operator)がある. つまりT ∈B(H)で値 域T H が有限次元空間となるものである. T H の一次独立なベクトルをx₁, x₂, . . . , x_n とすると, x ∈H に対してT x は x₁, x₂, . . . , x_n の一次結合で表せる. このときx か らT x のx₁ の係数への写像はH上の有界線形作用素になるから, Rieszの定理より, T x の x₁ の係数は適当なy₁ ∈ H を用いて (x|y₁) と表されることになる. 同様の議 論を用いて

T x= (x|y₁)x₁+ (x|y₂)x₂+· · ·+ (x|y_n)x_n

となることがわかる. このような有限階作用素を次のように表すこともある T =x₁⊗y₁ +x₂⊗y₂+· · ·+x_n⊗y_n.

有限階作用素でノルムの意味で近似できる有界線形作用素(有限階作用素のノルム 極限になる作用素)を完全連続作用素(compact operator)という. 完全連続作用素は 弱収束列を強収束列に写す線形写像という特徴付けもある. (∀y ∈ H (T xn|y) → (T x|y)⇒ kT x_n−T xk →0)

T を完全連続作用素, {x_n}を H の完全正規直交系とする.

X

n

|(T xn|xn)|<∞

のときT をトレースクラス作用素(trace class operator)という.

X

n

|(T xn|xn)|² <∞

のとき T をヒルベルトシュミット作用素という. これらの概念は完全正規直交系の 選び方に依存しないことがわかる.