伝熱工学講義ノート
(第 8 版)
埼玉工業大学工学部機械工学科
はじめに やかんで湯を沸かす．冷蔵庫で氷を作る．洗濯物が乾燥する．路面の水が蒸発する．等々，日 常的に目にする機会の多い事柄は，すべて熱の移動を伴う現象である．工業的にも生産工程にお いて，加熱や冷却といった熱の問題は避けて通ることができない．熱の移動に関する知識は伝熱 工学として理論的に体系化され，熱の概念を扱う熱力学とともに熱工学分野の重要な科目となっ ている．機械系エンジニアにとって，伝熱の基本的な知識は必要不可欠である． 本書は教員が講義する上で用いる講義ノートの形式をとっており，伝熱工学に関する要点をま とめると共に，式の導出を詳細に解説している．各項目に関して，市販の教科書の解説を熟読す ると共に本書を併用することによって，重要事項の理解が容易になるものと期待している． 内容は今後とも加筆修正の予定である．内容に関して不明な点やお気付きの点があれば著者ま でご連絡いただきたい． 平成 26 年 9 月 1 日 埼玉工業大学 工学部 機械工学科 小西克享
目次
第 1 章 伝熱工学の基礎事項 1.1 伝熱の定義 ････････････････････････････ 6 1.2 伝熱の本質 ････････････････････････････ 6 1.3 伝熱の 3 形式 ････････････････････････････ 8 第 2 章 定常熱伝導 2.1 熱流束(heat flux) ････････････････････････････ 10 2.2 フーリエの法則 ････････････････････････････ 11 2.3 熱伝導率，λ ････････････････････････････ 13 2.4 温度場 ････････････････････････････ 13 2.5 平行平板の熱伝導 ････････････････････････････ 14 2.6 円管の熱伝導 ････････････････････････････ 21 2.7 球状壁の熱伝導 ････････････････････････････ 25 熱伝導のまとめ１ ････････････････････････････ 28 熱伝導のまとめ２（伝熱量の式） ････････････････････････････ 29 第 3 章 熱通過 3.1 熱伝達率 ････････････････････････････ 31 3.2 平板壁の熱通過 ････････････････････････････ 32 3.3 多層平板壁の熱通過 ････････････････････････････ 34 3.4 円管の熱通過 ････････････････････････････ 35 3.5 多層円管の熱通過 ････････････････････････････ 37 3.6 伝熱面付着物の影響 ････････････････････････････ 38 第 4 章 熱交換器の伝熱計算 4.1 熱交換器の種類 ････････････････････････････ 42 4.2 温度差 ････････････････････････････ 42 4.3 対数平均温度差 ････････････････････････････ 44 4.4 温度効率 ････････････････････････････ 48 4.5 エネルギー効率 ････････････････････････････ 49 第 5 章 フィンの伝熱 5.1 温度分布の式と全放熱量 ････････････････････････････ 50 5.2 フィン効率 ････････････････････････････ 53 5.3 フィン付き伝熱面からの放熱量 ････････････････････････････ 55 5.4 フィン付き伝熱管の放熱量 ････････････････････････････ 57 第 6 章 無次元数 6.1 基本単位と次元式 ････････････････････････････ 60 6.2 無次元数 ････････････････････････････ 606.3 レイノルズ数（Re数）： 流れの特性を表す無次元数 ･･････････････ 60 6.4 ヌセルト数（Nu数）： 熱伝達の大きさを表す無次元数 ･･････････････ 62 6.5 プラントル数（Pr数）： 流れと熱移動の相関を示す無次元数 ･･････････････ 63 6.6 グラスホフ数（Gr数）： 自然対流の強さを示す無次元数 ･･････････････ 63 第 7 章 次元解析 7.1 次元式 ････････････････････････････ 64 7.2 物理系と工学系の次元式 ････････････････････････････ 64 7.3 バッキンガムのπ定理 ････････････････････････････ 65 7.4 次元解析 ････････････････････････････ 67 7.5 次元解析のメリット ････････････････････････････ 69 7.6 対流熱伝達の実験式 ････････････････････････････ 69 第 8 章 沸騰 8.1 沸騰様式の分類 ････････････････････････････ 74 8.2 沸騰熱伝達の様相 ････････････････････････････ 74 8.3 核沸騰と伴流 ････････････････････････････ 74 8.4 沸騰特性曲線 ････････････････････････････ 75 8.5 飽和温度 ････････････････････････････ 75 8.6 臨界点 ････････････････････････････ 77 8.7 二相流 ････････････････････････････ 77 8.8 核沸騰における熱伝達率 ････････････････････････････ 77 8.9 バーンナウト熱流束qmax[W/m2]の値 ････････････････････････････ 78 第 9 章 凝縮 9.1 凝縮の分類 ････････････････････････････ 79 9.2 凝縮熱伝達 ････････････････････････････ 79 9.3 膜状凝縮の熱伝達率 ････････････････････････････ 80 9.4 滴状凝縮の熱伝達率 ････････････････････････････ 81 9.5 直接接触凝縮の熱伝達率 ････････････････････････････ 81 第 10 章 放射伝熱 10.1 放射伝熱の概念 ････････････････････････････ 82 10.2 熱放射の基本法則 ････････････････････････････ 82 10.3 高温ガスの熱放射 ････････････････････････････ 85 10.4 二面間の放射伝熱 ････････････････････････････ 86 10.5 放射熱の遮断 ････････････････････････････ 91 10.6 形態係数の算出式 ････････････････････････････ 93 10.7 形態係数に関する法則 ････････････････････････････ 94 第 11 章 太陽放射 11.1 データ ････････････････････････････ 96 11.2 太陽放射のメカニズム ････････････････････････････ 97
11.3 太陽定数 ････････････････････････････ 97 11.4 太陽放射の組成（太陽からの放出時） ････････････････････････････ 97 11.5 地表に到達する成分 ････････････････････････････ 98 11.6 日射量の測定 ････････････････････････････ 98 第 12 章 物質拡散（拡散） 12.1 拡散現象 ････････････････････････････ 100 12.2 フィック（Fick）の法則（拡散方程式） ････････････････････････････ 101 12.3 境界層の種類 ････････････････････････････ 105 12.4 拡散に関する無次元数 ････････････････････････････ 106 12.5 拡散係数 ････････････････････････････ 107 12.6 液滴の蒸発 ････････････････････････････ 107 第 13 章 内部発熱問題 13.1 内部発熱を伴う円柱内部の熱伝導 ････････････････････････････ 111 13.2 発熱体を内部にもつ円筒の熱伝導 ････････････････････････････ 112 13.3 発熱体から液体への熱伝達 ････････････････････････････ 113 第 14 章 Excel による非定常および定常伝熱計算 14.1 熱伝導方程式 ････････････････････････････ 118 14.2 差分近似 ････････････････････････････ 122 14.3 表計算による直交座標系非定常熱伝導の数値解法････････････････････････････ 125 14.4 表計算による円柱の非定常熱伝導の数値解法 ････････････････････････････ 133 14.5 直交座標系定常熱伝導の数値解法 ････････････････････････････ 135 14.6 円柱座標系定常熱伝導の数値解法 ････････････････････････････ 144 14.7 熱交換器の定常熱伝導の数値解法 ････････････････････････････ 147 14.8 フィンの定常熱伝導の数値解法 ････････････････････････････ 153 14.9 非定常拡散の数値解法 ････････････････････････････ 156 理解度チェック ････････････････････････････ 158 理解度チェック解答 ････････････････････････････ 175 引用文献 ････････････････････････････ 178
第 1 章 伝熱工学の基礎事項 1.1 伝熱の定義 伝熱 (heat transfer) ＝ 熱の移動 工学の分野では熱，物質，電子，情報などの移動や伝達の問題を扱うことが多い．これらの要 素は相互に関係を持ち，組み合わせによって熱流体，熱電子，電磁流体など呼ばれる．伝熱工学 は主に熱の移動を扱う学問分野であるが，熱に移動には物質の移動を伴う場合と，伴わない場合 がある． 物質の移動を伴う場合 → 流体の伝熱 物質の移動を伴わない場合 → 固体内部の伝熱，熱放射 このほか， 物質のみの移動＝流動（流体）および物質拡散 電子の移動＝電流 情報の移動＝通信（情報伝達） などがある． 1.2 伝熱の本質 熱の本質は分子の振動（もしくは回転）による運動エネルギーであり，熱はエネルギーの一種 と言える（熱力学の第 1 法則）．振動（回転）が激しければ激しいほど高温となる．伝熱とは， より激しく振動（回転）する分子が振動（回転）の弱い周囲の分子をより激しく振動（回転）さ せる．このとき，分子から分子に運動エネルギーの伝播が起き，熱は高温から低温に流れるとい う現象（熱力学の第 2 法則）が発生する．また，物質はその表面から電磁波を放出するとともに， 他からの電磁波を吸収して熱に変換する性質がある．このため，物体間では電磁エネルギーの伝 播が起こる．これがもう一つの伝熱の本質である． (1) 振動（回転）エネルギーの伝播＝分子の振動もしくは回転のエネルギーが伝達 ① 固体，静止液体，静止気体の場合
電子
物質
情報
熱
電磁流体
熱流体
熱電子
通信
流動
電流
伝熱
体や気体の場合は分子が回転することもある．分子の振動（回転）は周囲にある他の分子を振動 （回転）させるため，振動（回転）のエネルギーは次々と分子間を伝播して行く．分子の振動も しくは回転のエネルギーが周囲に伝播する現象を熱伝導という． ② 流れがある場合 流れが存在すると（分子が流れていると），分子間の接触が静止時より活発となって分子の振 動（回転）が周囲に伝播しやすくなり，伝熱が促進される．壁面近傍の温度分布は急勾配となる． 温度差によって流体内部には密度差が発生し，周囲より軽い部分には浮力が生じて上昇しようと するため，自然に流れが発生する．これを自然対流と呼ぶ．（強制的に流れを発生させた場合は 強制対流という）対流がある場での熱移動は対流熱伝達と呼ばれる． 参考：電流 電子が左端から流れ込むと，左端の原子は流れ込んだ電子を取り込み，持っていた電子（自由 電子）を隣の原子に渡す．電子の受け渡しは連鎖的に発生する．これが電流（電子の流れ）であ る．電子そのものが導体内を通過する速度は遅いが，導体内部の自由電子ほぼ一斉に移動するた 分子（粒子）の振動 振動：弱 低温側 振動：強 高温側 熱の流れ 固体（静止流体）内部 振動が減衰しながら伝わる
分子（粒子）
流れ＝分子（粒子）の流れ 振動伝播 分子（粒子）の振動 流れがある場合 （対流熱伝達） 流れ＝０のとき （熱伝導）壁面からの高さ
y
壁面 壁面 温度分布 は直線的 温度 温度y
温度分布は壁面近傍 で急激に変化する 分子(2) 電磁エネルギーの伝播＝電磁波 すべての物体からは電磁波が放出されている．その強さ（放出されるエネルギー）は絶対温度 の 4 乗に比例している．これを熱放射という．物体は電磁波を放出すると同時に，他の物体から 放出された電磁波を吸収している．このため，放出する電磁波のエネルギーより吸収するエネル ギーの方が大きい場合，物体は加熱され，放出量が上回る場合には冷却されることになる． 例題 1.1 伝熱の本質は何と何か？ 解答 「運動エネルギーの伝播」と「電磁エネルギーの伝播」 1.3 伝熱の 3 形式 (1) 熱伝導 (heat conduction)： 固体（静止液体･静止気体）中を熱が高温部から低温部に移動する現象を熱伝導という． 熱力学の第 2 法則 ex）金属棒の一方を加熱すると，他方は徐々に暖かくなる．
(2) 対流熱伝達 (heat convection, convection heat transfer)：
流れ場における熱の移動．特に，流体から固体壁（もしくはその逆）へ熱が移動する現象を対 流熱伝達という． ex）やかんで湯を沸かす．
e
e
e
e
e
電子の流れ＝電流（向きは逆） 自由電子 密着の場合，ほぼ同時に運動 球が離れている場合，遅れて運動 押す 押す球の衝突（距離による違い）
あらゆる物体は，物体の温度に応じて様々な電磁波を物体表面から放出（放射）している．放 射された電磁波を他の物体が受けると，電磁波はその物体表面で吸収されて熱に変わる．このよ うな伝熱を熱放射という． ex）日に当たると暖かい． 例題 1.2 対流熱伝達は，伝熱の本質のどれに該当するか？ 解答 「運動エネルギーの伝播」
第 2 章 定常熱伝導 2.1 熱流束(heat flux) 単位時間 [s]に単位面積 [m2]を通過する熱量 [J]を熱流束 (heat flux) [W/m2]と呼ぶ．速度を 表わす「流速」とは字が異なるので注意が必要である．一般に，熱が伝わる物体（物質）の断面 積が変化するため，熱流束は次の微分形で表わされる．
q
dQ
dA
[W/m2] ここで，Q は単位時間当たりの通過熱量（伝熱量）[J/s]，A は断面積 [m2]である． 参考：熱流束の単位は次のように導出される． 単位 2 2 2m
W
m
J/s
sm
J
通過熱量（断面を通過する熱量，伝熱量ともいう）は熱流束を断面積で積分したものとなり，次 式で表される． 通過熱量Q
qdA
定常状態のとき，熱が伝わる物体（物質）の断面積が変化する・しないにかかわらず，どの断 面でも通過熱量（伝熱量）は一定となる． 参考：通過熱量に差が生じる場合は，図に示すように加熱もしくは冷却が起こる非定常現象 となる． 一方，断面積が一定なら熱流束は一定となるが，断面積が変化する場合は断面積が小さい所ほど 熱流束が大きくなる． 断面積一定の場合 断面積が一定の場合，どの断面でも通過熱量（伝熱量）は等しい．同様に，熱流束もどの断面 でも等しくなる．熱流束 q を，断面積を A とすると通過熱量 Q は，qA
dA
q
qdA
Q
と表される．dA の積分は断面積を表す．すなわち，A
dA
Q
1>Q
2Q
1<Q
2 物体の温度上昇 物体の温度降下A
Q
q
A
積分は面積を 求めること q 一定断面積が変化する場合 伝熱量は定常状態なら，どの断面でも通過熱量（伝熱量）は等しい．（熱流束は等しくない．） 通過熱量は
Q
1
Q
2
Q
3
Q
(
一定
)
となり，このとき，熱流束 q はq
dQ
dA
であるから，各断面の位置でq
dQ
dA
1 1
，q
dQ
dA
2 2
，q
dQ
dA
3 3
となる．断面積が異なるから熱流束は一定とはならない．断面積が小さい所ほど熱流束が大とな る．q
1
q
2
q
3（q
1
q
2
q
3） 例題 2.1 定常熱伝導で，断面積が異なる場合，熱流束は大きいのは断面積の大きい方かそれと も小さい方か？ 解答 小さい方 例題 2.2 断面積が 10.0cm2の金属棒の内部を 200W の熱が流れているとき，熱流束は何 W/m2か？ 解答 5 42
.
00
10
10
0
.
10
200
dA
dQ
q
W/m2 2.2 フーリエの法則 フーリエの法則とは，通過熱量（伝熱量）は温度勾配に比例するという伝熱工学においてもっ とも重要な法則である． 水＝冷却＝低温A
1A
3A
2Q
3Q
2Q
1 熱の移動 火＝加熱＝高温注意：伝熱工学では，温度を表す変数としてを用いることが多いため，本書においてもを 用いることとする． フーリエの法則を式で表すと次のようになる．これをフーリエの式という． 単位時間に微小面積 dA を通過する熱量 比例定数＝熱伝導率（物質により値が異なる） フーリエの式
dA
dx
d
dQ
温度勾配 dQ をプラスにするため，符号をマイナスにする 熱は高温側から低温側へ流れる このとき，d
dx
0
温度勾配と伝熱量の関係は，次の図のようになる． フーリエの式を熱流束で表すと，次式となる．q
dQ
dA
dA
d
dx
dA
d
dx
1
重要： フーリエの式を解く（積分する）と，温度分布が求まる． 例題 2.3 平板壁の両面温度が 80℃と 20℃で，平板壁の厚さが 10.0cm のとき，この平板壁内部 の温度勾配は何 K/m か？ 解答600
100
.
0
0
.
80
0
.
20
1 2
dx
d
K/mx
dQ
q
1q
2q
1< q
2 温度勾配緩やか→伝熱量小 温度勾配急→伝熱量大2.3 熱伝導率，λ 熱伝導率λ [W/(mK)]とはその材質の熱の伝わりやすさを示す物性値であり，物質の種類によっ て固有の値を持ち，熱伝導率の値は，金属＞液体＞気体 の順となる．例えば 0℃において，グ ラスウール 0.040，空気 0.554，鉄 83.5，銅 403 である1)．熱伝導率が小さな材質は，「保温材」 や「断熱材」と呼ばれるが，実際に熱伝導率が 0 の物質は存在しない． 熱伝導率は温度の影響を受けるため，厳密には熱伝導率の値は一定ではない 2)．ただし，狭い温 度範囲では差はわずかでありことから，計算を簡単にするため一定とおくことが多い． 1) 引用文献 1 参照 2) 本書 p.15 例題 2.6 参照 2.4 温度場 温度場とは，時間的・空間的に温度分布が存在する場のことである．時間的に変化しない定常 状態における温度分布（定常温度分布）は物体の 3 次元的な形により決る．温度分布が時間的に 変化する場合，非定常温度分布と呼ばれる． 空間的温度場 1 次元温度分布：
f x
2 次元温度分布：
f
x
,
y
3 次元温度分布：
f
x
,
y
,
z
非定常温度場 1 次元温度分布：
f
x
,
t
2 次元温度分布：
f
x
,
y
,
t
3 次元温度分布：
f
x
,
y
,
z
,
t
温度場の区別 空間的 時間的 1 次元：温度が x 軸方向のみに変化 定常：時間的に温度分布が変化しない 2 次元：x,y 非定常：時間的に変化 3 次元：x,y,z 組み合わせによって呼び方が変わる．例）1 次元定常温度場 低 温 側 高 温 側 温度分布 が存在 温度場2.5 平行平板の熱伝導 (1) 単層平行平板 平板内の温度分布は，熱流速に対するフーリエの式
dx
d
q
から求めることができる．ただし，x の正の方向に熱が移動する場合 Q>0．逆向きの場合 Q<0 と なる． フーリエの式を変形するとd
q
dx
両辺を積分すると
d
q
x
dx
に無関係
q
dx
x
C
C
不定積分
:
積分定数
q
x
C
q
x
C
．．．(1) (1)式は，x の 1 次関数だから，平板内の温度分布は，下図の赤い線のように直線となることが分 かる． 次に，境界条件を用いて積分定数を決定する． 境界条件（B.C. Boundary Condition の略）を次のようにおく．
)
3
(
)
2
(
0
2 1
で
右端
で
左端
L
x
x
(2)式を(1)式に代入すると 1 10
C
C
よって 1
q
x
(4) (3)式を(4)式に代入するとq
L
dx
x
2
1q
L
2
1
L
q
もしくは
1
2
L
q
[W/m2] (5) 平行平板の熱流束は①熱伝導率と温度差に比例し，②板厚に反比例する． 面積 A [m2]を t 秒間に流れる熱量は，次式で与えられる．
At
L
qAt
Q
2
1 [J] もしくは
At
L
Q
1
2 単位：[W/m2][m2][s]=[W･s]=[J] 例題 2.4 壁の外気に触れる面から 2 ヶ所（x1, x2 [m]）で温度を測定したところ，θ1, θ2[℃]となっ た．このとき，熱流束 q[W/m2]はいくらになるか． 解答 1 2 1 2x
x
dx
d
q
0
1 2 1 2
x
x
よりq
0
符号は方向を示す．q
0
なら x 軸の負の方向に熱が流れる． 例題 2.5 平板壁の両面温度差が 80℃で，平板壁の厚さが 10.0mm，熱伝導率が 1.74 W/(mK) のとき，この平板内部を板厚方向に伝わる熱流束は何 W/m2か？ 解答1392
0100
.
0
0
.
80
74
.
1
dx
d
q
W/m2 例題 2.6 熱伝導率が温度によって変化する場合の平行平板内温度分布を求めよ．（金属では高 温で，熱伝導率が小さくなるものが多い．例えば，銅．） 解答 熱伝導率を
0
とおく． 外気 (表面) 炉 内x
1x
2q
d
q
dx
より
d
qdx
両辺を積分すると
d
q
dx
を代入すると
d
q
dx
γ を積分定数とすると，qx
22
1
(1) 境界条件x
0
で
1より0
2
1
1 2 1
(2) 境界条件x
l
で
2よりql
2 2 22
1
(3)(2)-(3)より，
12
22
1
2
ql
2
1
熱流束は
1 2
2 2 2 11
2
1
l
l
q
となる．(1)-(2)より，
0
2
2
2
0
2
2
2
1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
qx
qx
qx
解の公式より
2
2
qx
2
12
qx
2 1 2 2 1 2 1 2
0
x
を代入すると，λ
θ
λ
θ
β
β
熱伝導率
の変化
1 1 1 2 1 2 1 2 1 22
,
2
となるが，境界条件x
0
において，
1で
あることを考慮すると，
2
12
qx
2 1 2 2
のみが，解となることがわかる．この解は，関数y
a
b
cx
a
0
,
b
0
,
c
0
と同様 のグラフを描くことになる．ここで，
0
,
0
,
0
a
b
c
c
b
x
c
a
cx
b
a
y
は，次図のように，y
cx
c
0
の原点を(0, 0)から
a
c
b
,
に平行移動したグラフである． よって，温度分布は，下図のように上に凸の曲線となる．0
のとき，この解は関数y
a
b
cx
a
0
,
b
0
,
c
0
と同様のグラフを描くこと になる．
0
,
0
,
0
a
b
c
c
b
x
c
a
cx
b
a
y
は，下図のように，
0
cx
c
y
の原点を(0, 0)から
a
c
b
,
に平行移動したグラフである．y
x
0
l
この部分が温度分布となる-a
b/c
x
0
l
よって，温度分布は下図のように下に凸の曲線となる． 参考： 2 次関数（放物線のグラフ）の性質
y
x
0
a
l
この部分が温度分布となる
-b/c
x
0
l
y
x
y
x
y
x
(2) 多層平行平板 熱伝導率λが温度に関係なく一定のとき ①どの層も温度分布は直線 ②どの層も熱流束 q は一定 q の値が一定でなければ，どこかの層で 発熱→温度上昇を続ける 温度分布は非定常 吸熱→ 下降 第 1 層から第 n 層までのフーリエの式を変形して，温度に関する式を導くと， 第 1 層
q
q
1 1 1 2 1 2 1 1
第 2 層q
q
2 2 2 3 2 3 2 2
．．． 第 n 層q
q
n n n n n n n n
1 1y
x
y
x
y
x
となるので，枠内の式の両辺をそれぞれ合計すると
n i i i n n nq
q
1 2 2 1 1 1 1
これより
n i i i nq
1 1 1
[W/m2] 通過熱量は
n i i i nA
qA
Q
1 1 11
[W] 熱伝導抵抗 R を
n i i iA
R
11
[K/W] とおくとR
R
Q
n1
1
1
n1 [W] となる． 例題 2.7 図のように 2 層からなる炉壁がある．熱伝導率が
1
2のとき，2 層の定常温度分布 として最もふさわしいいのは a, b, c のどれか？ 解答 b 例題 2.8 図の 2 点 A，B の温度を求めよ．a
b
c
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
10 C
20 C
同じ
B
A
30 C
60 C
50 C
40 C
熱の流れる方向
解答 熱平衡を考えると，A 点に関して
A50
A
B
A
A2
40
2
2
30
2
(1) A 点に入る熱量 A 点を出る熱量 B 点に関して
B60
B
A
B
B2
2
10
2
20
2
(2) B 点に入る熱量 B 点を出る熱量 (1)式より
A
50
A
40
B
A
30
A
4
A
B
120
(2)式より
B
60
B
A
10
B
20
B
A
4
B
90
2 つの式を連立して解くと15
570
38
4
38 120
32
A A B
C
C
2.6 円管の熱伝導 (1) 単層円管 平板の場合，x のどの位置においても 熱流束const
dx
d
q
（一定） 通過熱量Q
qA
const
すなわち，熱流束 q，通過熱量 Q は一定となる． 一方，円管の定常熱伝導では通過熱量 Q は一定であるが，任意の半径 r における熱流束は変化す る．重要l
dr
r
2r
1q
2q
1r
1
2通過熱量
Q
1
Q
2 熱流束q
1
q
2 注意：Q
1
Q
2円管の温度が上昇 or 降下する過程（途中）にある非定常 通過熱量の計算式を求める． 半径 r の位置での熱の通過面の面積を A とするとdr
d
A
Q
r の正の方向に熱が移動する場合 Q>0．逆向きの場合 Q<0 となる．ここで，半径 r，長さ l の円筒 面の面積はA
2
rl
より，円管のフーリエの式はdr
d
rl
Q
2
となる．この式を変形するとr
dr
l
Q
d
2
不定積分の公式r
C
r
dr
ln
を適用して，与式を積分するとC
r
l
Q
ln
2
ここで，B.C. を次のようにおく．)
2
(
)
1
(
2 2 1 1
で
で
r
r
r
r
(1)式より)
3
(
ln
2
1 1r
C
l
Q
(2)式より)
4
(
ln
2
2 2r
C
l
Q
(3)式－(4)式より
[
W
]
ln
2
ln
2
ln
ln
2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
r
r
l
Q
r
r
rl
Q
r
r
l
Q
この式は，対数関数の関係式 1 2 2 1ln
ln
r
r
r
r
より
[
W
]
ln
2
1 2 1 2
r
r
l
Q
と表記することもできる。熱流束はy
x
0
1
[
W/m
]
ln
ln
2
2
1
2 1 2 1 2 1 2 1 2
r
r
r
r
r
l
rl
A
Q
q
直径で表示すると
[
W
]
ln
2
1 2 1 2
d
d
l
Q
[
W/m
]
ln
2
2 1 2 1 2
d
d
d
q
例題 2.9 円管内部の任意の半径 r における温度を与える式を導け． 解答 円管のフーリエの式
2 1
1 2ln
2
r
r
l
Q
は任意の位置において成立する．よって，r と r1間 に適用すると
(
1
)
ln
2
ln
2
1 1 1 2 1 2
r
r
l
r
r
l
Q
(1)式を整理すると 1 1 2 1 2 1ln
ln
r
r
r
r
(2) 多層円管 一つめの層に関して，通過熱量はフーリエの式より
2 1
1 2ln
2
r
r
l
Q
となるから，温度差はr
2r
1
1
2r
1 2 1 2
ln
2
r
r
l
Q
となる．よって，各層の温度差を並べると i i n i i n n n n n nr
r
l
Q
r
r
l
Q
r
r
l
Q
r
r
l
Q
1 1 1 1 1 1 2 3 2 2 3 1 2 1 1 2ln
1
2
ln
2
ln
2
ln
2
辺々足し合わせると，
よって
i i n i i nr
r
l
Q
1 1 1 1ln
1
2
となる． 例題 2.10 図のように，熱伝導率の異なる 2 種類の保温材を同量ずつ円管の周りに施工するとき， 保温性が良いのはどちらか調べよ．ただし，
1
2とし，円管表面温度
1と保温材の最外周部の 温度
2は同じとする． 解答 温度差を
1
2，パイプの長さを l とすると，通過熱量はそれぞれ
15
7
.
18
ln
1
10
15
ln
1
2
15
7
.
18
ln
1
10
15
ln
1
2
1 2 2 1 1 2
l
Q
l
Q
b a10cm
15cm
18.7cm
λ
1λ
2λ
2λ
115cm
18.7cm
(a)
(b)
n+1
2
n
3
1よって，両者の差をとると
15
7
.
18
ln
1
10
15
ln
1
15
7
.
18
ln
1
10
15
ln
1
15
10
ln
7
.
18
15
ln
1
15
10
ln
7
.
18
15
ln
1
2
15
7
.
18
ln
1
10
15
ln
1
1
15
7
.
18
ln
1
10
15
ln
1
1
2
15
7
.
18
ln
1
10
15
ln
1
2
15
7
.
18
ln
1
10
15
ln
1
2
1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
l
l
l
l
Q
Q
a b
15
7
.
18
ln
1
10
15
ln
1
15
7
.
18
ln
1
10
15
ln
1
15
15
10
7
.
18
ln
1
1
2
15
7
.
18
ln
1
10
15
ln
1
15
7
.
18
ln
1
10
15
ln
1
10
15
ln
15
7
.
18
ln
1
1
2
1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2
l
l
2 1
のとき1
1
0
2 1
たとえば3
0
.
1
6
0
1
2
1
0
18499
.
0
15
15
10
7
.
18
ln
0
2
l
1
2
0
分母
より，Q
a
Q
b
0
Q
a
Q
b よって，通過熱量はQ
aの方が小さい．よって，保温効果は a の方がよい． 2.7 球状壁の熱伝導 円管の場合と同様に，任意の半径 r における通過熱量 Q は一定でるが，熱流束 q は一定ではな い． フーリエの法則よりdr
d
A
Q
r の正の方向に熱が移動する場合 Q>0．逆向きの場合 Q<0 となる．r の位置における面積は， 24 r
A
より2 2
4
4
r
dr
Q
d
dr
d
r
Q
不定積分の公式C
r
r
dr
21
よりC
r
Q
1
4
B.C.)
2
(
)
1
(
2 2 1 1
で
で
r
r
r
r
(1)よりC
r
Q
1 11
4
(2)よりC
r
Q
2 21
4
辺々を引いて
1 2 1 21
1
4
r
r
Q
よって
2 1
1 21
1
4
r
r
Q
半径 r の位置における熱流束は，球の表面積がA
4 r
2なので
2 1
1 2 2 1 2 1 2 21
1
1
1
4
4
1
r
r
r
r
r
r
A
Q
q
直径で表わすと
2 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 21
1
2
2
2
4
1
1
4
d
d
d
d
r
r
Q
2 1
1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 21
1
2
2
2
2
1
1
d
d
d
d
d
d
r
r
r
q
ここで，2
1 2d
d
とおくと 2 1 1 2 2 1 1 22
1
1
d
d
d
d
d
d
d
d
2
1r dr
球殻の断面なので
2 1
2 1 1 2 2 1 1 2 1 22
2
1
1
2
d
d
d
d
d
d
Q
[W]
1 22
2 1
1 2 2 1 21
d
d
d
d
d
d
A
Q
q
[W] 例題 2.11 球殻内部の任意の半径 r における温度を与える式を導け． 解答
1 2 1 21
1
2
d
d
Q
は任意の直径間でも成立するから
1 1 1 2 1 21
1
2
1
1
2
d
d
d
d
Q
に関して解くと
1 1 2 1 2 11
1
1
1
d
d
d
d
温度分布の式を変形するとd
d
d
d
d
d
1
1
1
1
1
1
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1
ここで，定数を 1 2 1 2 1 1 2 1 2 11
1
1
1
1
d
d
B
d
d
d
A
とおけば，d
B
A
と表すことができる．これは，双曲線d
B
が A だけθ方向に平行移動したことを示す．r
2(d
2)
r
1(d
1)
r
熱伝導のまとめ１ 項目 平行平面板 円管 球殻 フーリエの 式
