NII-Electronic Library Service
1
論 文】 日本 建 築学 会 構造 系論 文 報 告 集 or 445号・
1993年3月 ∫ournal ef Struct．
ConsLr．
Engng，
AIJ，
No．
445，
Ma 【．
、
1993弾
塑 性 構 造 物
の
臨界 挙 動 解 析
の
た め
の
整 合
剛
性
行
列
形
成 法
AMETHOD
OF
GENERATING
CONSISTENT
STIFFNESS
，
MATRICES
FOR
INCREMENTAL
ANALYSIS
OF
CRITICAL
BEHAVIOR
OF
ELASTIC
−
PLASTIC
STRUCTURES
上
谷 宏
二も 中 村 恒 善
＊ ＊，森
迫清 貴
＊ ＊ ＊，石 田
．
修
三＊＊ ＊ ＊Kofi
UETA
ハπ，
Tsune
voshi
／VA
．
KIA
ル1URA
，K
加
taka1
レfORISAKO
and、
∫huxo
珊ID11
In
theincremental
analysis of the criticalbehavior
of an elastic・
plastic structure，
a convention−
al iterative procedurefor
finding
the set of element stiffness coefficients consistent with the mate−
r・al flow law may often lead to a pitfall of cyclic process，
in which a multiple inconsistent sets of stiffness coefficients are tobe
alternately or recurrently selected．
This
is
one of the most seriousdifficulties left unsolved ln combined nonlinear ana 上ysis
．
In this paper，
the intrinsic mechanism and characteristics of these cycljc processes are clarified for a simple rigid body−
spring column mQdeLOn
thebasls
of the results，
an effective strategyfbr
finding
the consistent setis
proposed with the use of the eig』nvector associated with the smallest negative eigenvalue of system stiff．
ness matrix．
Keyworcts ：consistent stsffne ∬ matirx
，
elastic−Plastic
analysis，
criti‘at beha吻 r，
comPat’
ison 50 ！婦eigenvalue
，
eigenvector 整 合 剛 性 行 列， 弾 塑 性 解 析，
臨 界 挙 動，
比較 体，
固有 値，
固 有ベ ク トル §1．
序 有 限 要 素法 な どに よっ て 離散化 された 弾塑性 構 造 物モ デル の解析で は， 弾 性構造物の解析と異な り，
塑 性 化し た要素の応 力ひずみ履 歴の除荷 過 程 を含 む すべ て の歴 史 を，
刻々 に追 跡して い か なけれ ばな ら な い。 新たに要素 が塑 性 化し た場 合， ある い は以前の ス テップで既に塑 性 域に入 り，
そめ 後 塑 性 負 荷を持 続して いる要素が存在し て い る場 合に は，
通 常，
剛性行列 を試 行 修 正し，
剛 性 方 程 式 を何度か解 く 過 程 が 必要と さ れ る1〕。
あ るステッ プで数個の要素 が 塑 性 流れ則に従っ て い る と して も，
その次の ス テップで，
その う ちの い くつ かの 塑性 要素が，
塑 性 流れを生 じず 弾 性 則に従 う変 形を起こ す 場 合が あ る。
要素の こ の よ う な変 形 過 程は， 除 荷 （unloading ＞と呼ばれ る。
最 初の 接 線 予 測 解 析の結 果，
除 荷 応 答を示し た要素が あれ ば， その剛 性 係 数を弾 性 則 の剛性係 数に変更し， そ れに基づい て形 成し直した剛性 行 列を用い て，
そのス テ ップの解 析を や り直す 必要が あ る。
や り直し解析の結 果が直ちに正解で あ る と は 限 ら な い。
得られた節 点 変 位 速度に対応す る要素の ひずみ速度 ベ ク トル の向きと，
剛 性 行 列の形成 時に採用 し た 剛性係 数と が， すべて の塑 性要 素に おい て構 成 則と矛盾な く対 応して いる ときに の みt こ の速 度 解が正 解であるとい え る。 第 1回の試 行 解 析の際に除 荷が生 じ る ことに な っ たh
個の 塑 性 要素の う ち，
やり直 し試行 解 析の結 果，
」個 だ けに実 際の除 荷が生じ る とい う場 合 もあ る。 ま た，
最 初のk
個に含ま れ な かっ た塑 性要 素の 中に，
除荷を 生 じる要 素が 存在して いた とい う 場合も あ る。
ゆえ に， 複 数の要素が塑 性 流れ則に従う可 能 性が あ る状 況の下で，
それ らの各 要 素に おいて負 荷，
除 荷いずれの 剛性 係 数 を 採用 す る か，
という問題 を解 決す ることが 各 増分 ステッ プで 必要と な る。
この よ う に各要素の ひずみベ ク トル の 向き と整 合す る剛性 係 数 を選 択して剛性行列 を形 成する 問題を 「整 合剛性 行 列の成形 問題」Z｝ とい う。
整合剛性行列の形 成問題に対し て， 従来の線形増分型 弾 塑 性 解 析で は，
上 述したように各 試 行 解 析 結 果に基づ い て要 素の剛 性 係 数をそ のつ ど変更し て い くとい う試 行＊
京都 大学 工 学 部建築 学科 助教授・
工博 ＊ ＊ 京 都 大 学 工 学 部 建 築 学 科 教 授・
工 博・
スタン フ ォー
ド大学 Ph．
D ＊ ＊f 京 都工 芸繊 維大学工 芸 学 部 造 形 工 学 科 助教授・
博土 〔工学 ） ＃ ＃ 京 都 工 芸 繊 維 大 学 工 芸 学 部造 形 工 学 科 教 授・
工 博Assoc
．
Prof．
，
Dept，
Qf Architecture，
Faculty of Engincering、
KyotoUmv
．
，
Dr．
Eng．
Prof
．
，
Dept．
of Architllcture，
Faculty of Engineering，
Kyot〔｝
Univ．
，
Dr
．
Eng．
，
Stanford Univ．
，
Ph．
DAssoc
．
Prof．
，
Dept．
of ArchLtecture and Design，
Faculty ofEngineer
．
ing and Design
，
Kyote lnstitute of Techno 且ogy，
Dr，
Eng．
Pro〔
．
，
D已pt，
of Architecture and Design，
Faculty of Eng1冂eering andDesign
，
KyotQ Institute o ‘Techno［ogy，
Dr．
Eng．
一
67
一
i
整 含 剛性行列が形成さ れ て い た こ と が確 認さ れ たi
lの で，
増 分 刻 み 幅に応 じて 増分 応 答 を 算 定 す る。
1鹽
1
卩
−
．
一
■
．
，
77
T−一
▼
響
響
1
．
，
■
．
■
，
．
，
冒
■
r■
，
．
，
一
．
r．
．
．
．
・
．
・
鹽
・
r凾
・
凾
」
図一
1 整 合 剛 性 行 列 形成の た め の 「慣 用の試行 修正過 程」 修正 過程が，
通常，
基本 的方法と して採 用さ れてい る。
この試行 修正過 程をフ ロー ・
チャー
トに示す と， 図一
1 の ように な る。 以 下，
図一
1の過 程 を 「慣 用の試行 修正 過程」と呼ぶ。 矛 盾が生じ たすべ て の要 素の剛 性 係 数 を変 更す る慣用 の試 行修正過 程に よっ て，
整 合 剛 性 行 列が形 成で き る場 合も あ る が，
と きに試 行 修正 過程が次に述べ る堂々巡り に陥り，
整 合剛性 行 列が形成で き ない事 態に遭 遇 するこ と が ある。 特に，
重 層 筋か い付 骨 組 3） や ト ラス 架構4 ）の ように部 材座 屈が次々 に生 じるよ う な構 造 物の臨界挙動 解析では，
この循 環が頻 繁に発 生す る の で通常の手 法で は実際 上 経 路 追 跡 が 不 可 能にな る。
試行 修正過 程の堂々 巡りとは，
除 荷 要 素 と 負 荷 要 素の同一
の組み合わ せが 数 回の試 行 解 析 を経て周 期 的に現れ る現 象で ある。
こ こ で は， こ の現 象を 「循 環 剛性 選 択 過 程」と呼ぶ。
循 環剛性 選 択 過 程が発 生 すると， そ れに対 する何らか の対 処 法 を プロ グ ラム・
コー
ドが備えていないか ぎ り解析を打ち 切 らざる を得な い。
筆者ら が， こ れ まで採 用してき た対処 法は，
試 行 錯 誤 的に増分刻み幅 を変 更し た り，
解 析 制 御 パ ラ メ ター
を変え た り し て再 計 算を行う方 法で ある亅｝・
5）。
数 値 解 析 実 行 時 に 発 生する こ の種の問 題につ い て記し て いる報告ぱ ほ と ん ど ないが，
他の研 究 者も筆 者ら と同 様 の手 法 を採 用して い る もの と推 測され るfi）。
試 行 錯 誤 的 手 法は，
あく まで便 宜 的 解 決 法であ り， 基 本 的な 問 題解 決が図ら れて い ない と言え る。 循環 剛 性 選 択 過 程に対す る確 実な解 決 法は，
起こ り得 る すべ て の除荷要素の組み合わ せを 尽くし て試行解析を 実行 して み る とい う方 法で ある庄1［ 。 しか し，
多 数の要一
68
一
素か ら成るシステム で これ を実 行す るこ とは現 実 的では ない。
それ ゆえ．
循 環 剛 性 選 択 過 程に陥る原 因やメ カニ ズム を解 明し，
起こり得るすべ ての 組み合わ せを尽くす こと な く合理的に整 合剛性行 列を形 成す ることの でき る 方 法を提 案す ることは，
現在，
弾塑 性 構 造物の 臨界 挙動 の数 値予測 解 析に おける最重 要 課題の一
つ で あ る と言え る。
本論 文で は，
まず，
剛 体 部と 2個の弾 塑 性ばねか ら成 る 2自 由度単純 柱モデル を用い て， 接線係数荷重点近傍 で慣 用の試 行 修IE
過 程が，
循 環 剛性 選 択 過 程に陥るメカ ニ ズムを明確に記 述する。
次に，
そ の知見 を基に，
慣 用 の手 順で は循 環 過 程に陥る場 合に も， 起こ り得るすべ て の除荷 要 素の組み合わ せを尽くすことな く整 合 剛性 行 列 を形成する こと ができる方法 を提 案す る。 さ ら に，
数 値 解 析例題に よっ て，
その有効性を実証 す る。 §2．
単 純 柱モデル とその支 配 式 図一
2（a）に示す 逆 T字 形の岡1」体 部と 2つ の弾塑 性 ば ね よ り なる単純柱モ デル を考える。
こ の モ デル は， よ く 知ら れて い る ようにShanleyS
｝が接 線 係 数 荷 重 点で の分 岐現象を説 明す る ため に用い た弾 塑 性 単 純 柱モ デル で あ mp i その分 岐 後 経 路の漸 近 展 開 解がSewel19
，に よ っ て 導か れて い る。 鉛 直 荷 重p が柱 頂 部に ζだ け偏 心し て 漸増 載 荷さ れる。
ζ＞0と する。
解 析 目 的は，
ρ が増 加 する釣 合 経 路 を求める ことである。
それゆえ， まず変数 p を経路制 御パ ラメ ター
と す る。モデル の自 由度は2で，
変 形 状 態は柱 頂部の鉛直変位 u と水平変位 v とによっ て一
意に記 述され る。
剛体部の 回転 角 θ が微 小であ る とする と，
左 右の鉛 直ばね の縮み eL， en は， 変 位 u、
v に よっ て次式 よ うに書 ける。
e・− u一
呈
・・
e・−
u ＋号
・………・
一
（・a，
・b
） θが 十 分 小さい状 態に お け る左右のば ねの力ft
，
fR
（圧 縮 を正と定 義す る）と 鉛直 荷重 p の釣 合 式は， 図一
2（b
） よ り， 次の よ うにな る。P
＝
fR
＋fL
……・
・
……・
……・
…一 …………・
・
（2 ）P （v＋ζ）＝ α伍
一
fL
）……・
…・
・
……・
…………
（3
）左右の鉛直弾塑性 ばねの カ
ー
縮み関 係は， 図一2
（c）に 示さ れ る バ イ リニ ア関 係で あ る とする。
ここで は，
両ば ね が共に圧縮 力を 受 けて縮 んでい る状態 を考え る。
ばね の構 成 則は次の よ うに書ける。
∫＝
Eを ただし，
f
〈 aEe 十（1一
α）ん の と き また は，
f
＝
αEe 十（1一
α）f
，で 注 1） 完 全 塑 性体に微 小 変 形理論の枠 内で は，
塑 性ひずみ速 度に関す る最 小 原理η に基づい て，
正解の組み合わせ を 組 織 的に見いだ す 方 法 が 考え ら れ るZ ，。
し か し，
循 環 剛 性選 択過 程 は’
，
後述 す る よ うに主と して複 合 非 線 形性に 起 因 し，
特に臨界 挙 動の解 析 時な どに発 生す る た め，
そ の方 法は利 用で き な い。
NII-Electronic Library Service a
「
P−’
i
ζ 。体1
Lal＿
1
弾塑性ば ね （a ） 剛体ばね柱モデル Pー
』
U fL．
R 変形 硬 化 線： fvタ
yf ） E°
e1雉
璽
e 負一
〜
E署
f eL 『『
ユ eRfL
fR
ey （b＞ 変形 後の 自由 体 図
一
2 単 純 弾 塑 性 柱モデルμ
除荷 千．
E6’
！ ノ ’ f≡
Ee 〆！
レ f＝
E （e＿
e・
）1
’
e「
，
（c ） ば ねの力一
儲み関 係．
e し、
R 壱≦の と き……・
・
…・
…
（4a ）f
＝E
，e
ただし．
，f
＝
aEe 十（1一
a）f
．で 壱≧0のとき・
…・
…・
…・
（4b ） こ こ に， α＝
E，IE
で あ り， ゐ は ばね の初 期 圧 縮 降伏力 である。
また，
C
）は釣 合 状 態の変 化に伴っ て単 調に増 加 する一
般 化さ れた時 間パ ラ メ ター
τ に対 する速 度 量 （rate ）を表す。 式 （4a ）および （4b ）を ま とめ て次 の よ うに書くことにす る。
∫L．
R＝CL
，b
』，……・
・
……・
…………・
…・
…・
…
（5
） こ こ にlC
球 は式 （4 ）の構 成 則 に従っ て，E
あ るい は E，をとる。
s ある状 態 」にお ける式 （ユ）の速 度 関 係 式はt 次
’
の よ うに表され る。
｛bl；
［B］｝D｝・
………・
こ こ に，b
．．
1
創＝
．
，
lPIF
eR［
B
］一
［
1
訝
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
∵・
−9・
（6 ）・
包・
η…
一・
・
・
…
（7a，
b
）］
・
・
………一・
…一
… また，
式 （2），
（3）を 速度 関 係 式に変 換し，
式 （5） を代入 し，
さ ら に式 （6
）を用いて 整 理 す る と，
p を経 路 制 御パ ラメター
と して 次の剛性 方 程 式を得る。
［K
］｛D
｝＝
カIGI
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
∵…
rr・
（9＞ こ こ に，・・］・
［
］
一
’
一
（1
・）μ
＝CR
十CL’
ン
＝CR C
，’
’
’
”
∴’
’
’
’
’
”・
…
（11
a，
b
）1
α＿L
．
＿＿＿＿
∴．
＿＿＿．
．
．
．
＿．
＿．
．
（12
） v＋ζ式 （10 ）の 剛性 行列匚κ］の固有 値λ ，
，
λ、（λ、〈 λ、）に対 応 す る 正 規 化 固有ベ ク トル 焔口ψ』を用い て 次の 行 列 ［Ψ］を作 成す る。
［明；
［1ip
，i
’
1
ψb，｝］・
…・
・
…・
一 ………・
……・
……
（13） 行 列［Ψ］に よっ て，
変 位速度ベ ク トルIDI
，
外 力 関 係ベ ク トルIGI
を次の ように変換 する。ID
｝ニ
［『］ld
｝，
｛G
｝＝
［》］lgl
・
・
・
・
…
一・
−tt・
…
（14a，
b） ［Ψ］−
1・＝ ［V
］「 であるこ と を考 慮 し，
式 （14
）を式 （9
＞ に代 入して整 理 する と，
次式を得る。［
副
1
：
一
・；
：
…・
…・
……・
……
・15・ λ1，
λ，が と もに0
でない と して，
式 （15）を1d
｝につ い て解き，式 （14a ）に代入 する と．変位速度ベ ク トル ｝D
｝ は，
次．
の よ うにな る。
…かト
P
（
舞
腑舞
骸り
・
（16） さ ら に，
式 （6）よ り，
ばねめ縮み速 度ベ ク トル 圏 は，
次 式で表さ れ る。師
（
舞
［・M
・舞
［B
］i
・O・1
）
…・
……・
…・
（17） §3．
剛性係 数 選 択 過 程の分類 2つ の ばねの力，
一
縮み 関係に お ける状 態 点が，
図一
2 （c）．
の変形硬 化線上す なわち塑性域にあると す る。こ のと き，
整 合 剛性 行列の形 成 問 題におい て試 行の対 象と なる左 右 のばね の剛牲係数の組み合わ せ は，
式 （4 ）より次の 4 通りで ある。
工〉 左 右の ば ね が ともに負 荷である とする組み合わ せ ：［PP ］す な わ ちCL＝
CR＝
E，m
左 ば ね除 荷，
右 ば ね負荷であ る と す る組み合
わせ ；［EP
］す な わ ちC
，・
＝E
，CR＝E
， 皿｝ 左ばね 負 荷，
右ばね除 荷で ある と する組み 合わ せ ：［PE
］す な わ ちCL＝E
，，
CR＝E
lV
＞ 左 右の ばねが と もに除 荷で あると する組み 合わ せ ：［EE
］す な わ ちCL＝CR＝
E 上記の 4つ の 組み合わ せの う ち，
［PP
］は，Hill
の弾 塑 性 比 較 体 （comparison solid ）1°〕 に対 応する比較ばね（comparison spring）11）
・
il2
｝の組み合わ せ である。
3
．
1 比 較ば ねに関す る 応答 速 度ベ ク トル 前ステップ中，
左 右の ば ね が と も に負荷 応 答 を呈 した 場合，
あ るいは前ス テップ が一
方の ばね の降 伏によっ て 注2） 比 較 ば ね と は，
カー
縮み 状態 点が 塑性 域にあ る 場 合，
．
縮み 速度の符 号のいか んにか か わ らずその そ の接 線剛性 係 数 を負 荷 時の Et とした仮 想ばね である。
一
69
一
N工 工一
Eleotronio LibraryP ノ 分 岐 後釣合 経 路 分 岐 後 釣合 経路
／
l
．
＼
鰓 臘 齷 点。， ／ 基本 釣 合経 路 o v 図一3
完 全 系の基 本釣 合経 路 と分 岐 後 釣 合 経 路 打ち切ら れ， その結果， 両ばねの状態点が塑性域に存 在 す る場 合，
通 常，
いずれの場 合で も整 合 剛 性 行 列を 形成 す る た めの最 初の試行組み合わ せ と して，
比 較ば ね とし て の組み合わ せ ［PP
］を選ぶ こと は自然 で あ ろ う。 こ の と き，
式 （ユ0＞の剛性 行 列 ［K］を［K
，尸］と記すことに する。
式 （ll ＞よ りμ＝
2Et，
v＝
Oで あ る か ら，
［Kp。］は対 角 行 列 とな り， ［Kpp
］の 固有 値 A，
thお よび対応す る固 有ベ ク トルk
φ，1
，
lip
，E
は，
以下の よ うに書 け る。
2Etat−
P…・
一 …・
……・
……・
…
（18 a ） λ，＝
A＝
L
λ2＝
ρ2＝
2E ，L ・
・
…
t・
・
・
・
・
…
−tt・
・
…
tt・
・
t−tt・
tt・
・
（18b ）陣 ト
｛
1
・
1
齢一
1
｝
・
・
一
（・9・… し た がっ て，
式 （16 ）よ り変 位 速 度ベ ク トル1DI
は，
次 のよ う に書け る。
ム囲
1
｝
−
fO
∴
・
・
……・
・
……・
…一
（・・） ば ねの縮み速度ベ ク ト ル 圄 は，
式 〔6 ）よ り次の よ う に書け る。酬
1
：
一．
au
−
rV
dr
＋呈
b
L α v ＋ζ ） 12 ζ 凸 十 凸L
α τ 十 禽 五π
・
P ＝ 式 （ユ8a ）の ρ、が 極めて0
に近 い場合を考える。
す な わ ちp が次の接 線 係数荷 重Ptに近いと きである。
2 Eta：Pt
＝
L
’
’
”… ’
… ’
”… … ’
… ’
’
’
’
’
’
”…
（22 ） こ の Ptは，
速 度 解 め 唯一
性の十 分 条 件to）・
m が 最初に満 足さ れ な く な る最 小 荷重値である。 図一
3は，
ζ＝O
の 完全系の よ く知 ら れ た釣 合 経 路 図を示 す。 v＝
・
0の基 本 経 路 上の最 小 分 岐 点で は A＝ Oであ る。
第 」状 態の直 前の ステッ プで あ る第〔J 一
ユ）ス テッ プ の起 点で ある既 知の第 （ノー
1）状 態 が， 図一4
の p−
v 平 面の 0 点に あっ た と する。
第 （J−
1）ス テップで構成則一
70
一
P P1 く0 f Pt P1 ＞0 0点か ら ［PP ］によ る接 線 解〆
民
睿
！
飃
・・
Pt’
」
t、
0点 （J・
1） 状態 o V 図一
4 ば ね剛 性 係 数 を ［PP ］ とした ときの増 分 解 煦 凵 ク トル a1L ）v 図一
5 ばね剛性係数を ［PP］と したときの変 位 速 度ベ ク トル に整合す る速度解が図一4
中の0
点か らの矢 印で示さ れ る よ うに得ら れ，
増 分 刻み幅を与え ることによっ て第J
状態の予 測 解が求ま る。 この増 分 刻み幅によっ て，J
状 態は，
p＝
Pt 直線よ り下のA
点，
あ るいはそ の 直線よ り 上のB
点に位 置す る 可 能性が あ る。 ま た，
増 分 型の数 値 解 析で はまれで ある が， 与え た増 分 刻み幅に よっ て は， J 状 態が p＝
Pt直 線の ちょうど上に至ること も考え ら れる。 」状 態に お い て両ばね の状 態 点が塑 性 経路 上に あ る と す る と，
比較ば ねの剛 性 係 数の組み合わ せ ［PP
］ に対応す る 匚K
詞の最 小 固有 値ρ1は，
A 点で は正で あ り，
B
点で は負に な る。
」状 態が ちょ う ど p＝
Pt直 線 上に あると きは， A は 0で あ る。
も し，
数値解 析 実 行 時にp
＝
ρtす な わ ちA＝O
にな る と ， ［Kp
，］は特 異 行 列となる。 し た がっ て，
式 （9 ）あるいは式 （13 ）の方程 式 を，p
を 経 路 制 御パ ラメ ター
と し た ま まで解くこ とは で き な い。
A− 0
の場合について は，
§4．
で後 述 する。 」状 態がA
点 （ρ，＞0
），B
点 （A ＜0）の いずれ で あっ て も，
ρ、
は0
に近 く，
式 （20），
（21）に お い て A を分 母に もつ項が支 配 的 とな る。
b
＞0
に対す るA，
B
両 点 で の変 位 速 度ベ ク トル を図一
5のrk−
（a／L
｝b
平 面上に概 念 的に示す。 こ こ で状 態 」 は，
無 載 荷 状 態か ら柱頂 部 鉛 直 荷 重P を単 調 増 加さ せたと きに実 現され る両 ばね降 伏状態の釣合状態であ り，
図一
2（b
）に示 され る よ うに 柱剛体部は荷重 偏心 と同方向に傾い た状 態である。
し たNII-Electronic Library Service 四
冂
・ 一 刀 7 1ma77777777777T 〔a ＞．
A点 〔A＞0） （b＞B
点 （AくO） 図一
6 A点お よびB点で の変位 速 度ベ ク トル に対応 す る変形 がっ て，
式 （20
）に お け るV
＋ζ＞0
である。
式 （6＞ ある いは式 （21 ）で表さ れ る 観 と 畆の正 負の組み合 わ せ に関 し，de−
（α／L
）b
平 面は図一
5の よ うに 4つ の領 域に分け ら れ る。 各 領域につ いて， 剛 性 係 数の組み合わ せ を ［PP
］とした と きの 式 （4 ）の構 成 則との整 合 性 （整 合か矛 盾かの分類 ）を示して ある。
図一
5の速 度べ．
ク トル に対 応す る モ デル の増 分 挙 動 を 図一
6に説 明 的に 描く。
’
3．
2 試 行 修正過 程に よ る整 合 剛 性 行 列の形成 図一
4のA
点の よ うに，
’
A が 0に近い 正の値を とる と き，
図一
5の速 度ベ ク トル は，
乱〈0
， 畆 ＞0
の領 域に ある。
し たがっ て，
左 ばねの縮み速 度 観 は除 荷 を 指 示 して おり，
負 荷と仮 定して剛性 係 数 を CL＝
E，に設 定し たこと と矛盾す る。
そ れゆえ，Ci＝
耳，C
。＝E
，とする組
み合わ せ ［EP
］に変 更する ことにな る。
こ のと き，
式 （10
）の剛性 行列［K
］は次の ［K講 となる。・
・斯 ・一
［
A十Lv
一
αレ−
α2 avA＋
TV
］
…一 …一
・・3
・ こ こ に，
レ＝E − E
，・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
r…
一・
一・
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（24） で あ り，
．
ρ1，
ρhは式 （18 a，b
）で 表さ れ る ［κ詞 の2
個 の固有 値である。
こ の と き，
剛 性 方 程 式 （9 ）の解は次 の よ うになる。・
，
αレ（α＋v＋ζ）L
−
十 こ こに，
9 ∂ PA 防 防 凸 角一
det
［KEP］v十ζ
Ly
（α＋v＋ζ） 十 A．
A凸・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
’
…
’
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（25）… ［
K
． ．］ ・・
P ，・ ＋ ・Lv
＋塾
＝
4EEt
α’一
（E
十E
，）Lp ・
…………
（26） p が 2Eta2／L に近い値で あること か ら，
det
［K
， ，j
は正 で ある。 式 （25
）に対 応す るbL ，
ら は次の よ うに なる。 u欝
1
図一
7 A点 （th ＞0）でば ね剛性係数を ［EPユとし たと きの変 位速度ベク トルb
・一
、識
，］（
L α v ＋ζ thLA）
一 ・
…・
…・
（27・ ）・
輪
論
（
毳
・篶
‘＋2av （窄
＋ζ））
・
…
tS・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（27b
） 式 （25）お よび式 （27） におい て，
P
＞0，
ρh＞A ＞0，
det
［K
εp］＞O
， レ＞0，
v＋ζ＞D，
α＞0，
L
＞0
であ り，
かつ ρ1 が 0に近い 正の値である こ とを 考 慮す・
ると， 也＞0，b
＞0およ び b，＜0 （除荷 ），b
，＞0 （負 荷 ） である
ことがわ か る。
しだがっ て，
組み合わ せ ［EP
］ と ばね の縮み速 度の符 号は整 合し て い る。
この修．
正過 程に お けるa −
（αfL
）b
平 面にお け る 速度ベ ク トルの変化の様 相 を 図一
7に示 す。
図一
7に は，
観 と 戯 の正負の組み合わ せ に関する領 域 分け と，
剛性係 数 の組み合わ せ を ［EP
］と し た とき の式 （4）の構成則 との整 合 性 を示して ある。、
以 上 よ り，
［K司 の最 小 固 有値 A が正の 場 合に は，
［Kpp］を 用い て算 定 し た 左 右の ばね 縮み速 度の符 号に 従っ て，
ば ねの剛 性係数を修 正すれば， 構 成 則に整 合 す る剛 性 係数の組み合わせが得ら れる。
すな わ ち慣 用の試 行修 正 過 程 を 用い れば，
構 成 則に整 合する解が得ら れ る。
3．
3
循 環 剛 性 選 択 過 程図
一
4のB
点の よ うに，
A が0
に近い負の値 をと る と き，
図一
5の速 度ベ ク トル は，
軌＞0，b．
＜0
の領 域に あ る。
b
， は除 荷 を指 示して お り．
，
［PP
］の組み合わせ と矛 盾す る。 そ れゆえ，
ば ね の縮．
み速度の符号に対応し て，
組み合わ せを ［PE
］に変更してみ る。
こ の と き，
式 （10
）の剛性 行 列 ［K］は次の ［κp司と な る。』
・K
・E・一
「
∴
馴
…・
…・
………
（28・ ［KPE］を係 数と す る 剛性方 程 式 の解は次の よ うに な る。
一
71
一
N工 工一
Eleotronio Libraryな お
，det
〔Kp 』＝
det ［κ詞で ある。
αμ1
α一
（v＋ζ）「．
．
一
十 u PAρh ρ2 ρLρ2パ d・t［K・
dlv
＋ζ ＋ 酬 ・一
｛v＋ ζ）｝ A AA…
一噛
幽
・
・
齟
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（29
） ま た，
ばねの縮み速 度は 次の よ うに な る。・・
．
一
、畿
］（
毳
一
篶
‘＋2副鴒
”＋ζ）り
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（30a ）・・
一
、鑑
］（
亠＋！ ！＋ζ thLA）
一 ………
（・・b
） 式 （29＞ および （30
）におい て，
b
＞0， ρh＞0＞A，det
［KPE
］＞0，
v＞O
， a＞0
，L
＞0
である。
v＋ζが a に比 して十分小さ く，
A が 0に近い 値であるこ と を考慮す る と，dr
＞0であり，
ま たb
．＞0
（負 荷〉で ある。一
方，b
およ びbL
の 正負は， 次の よ うに 式 （29b ），
式 （30 a ） 中の項に， th＝ 2E，
L ，
v＝
E−
E，を代入 し て整 理する ことによっ て検 討でき る。 v ＋ζL
レ1
α一
（v ＋ζ）i
A AP2− E1
α一
〔v一
トζ）｝＋EKa
＋ v ＋ζ） 角宀望
去
ζ＋2αレ讐
＋ζ）1
2EI α一
＠＋ζ）ト 2E 、α L………
（31 ）一
α……・
・
…・
……・
・
（32
） Ah E が E‘よ り十 分 大き いと すると，式 （31
）は正，
式 （32） は負であ る。 そ れ ゆ え，b
は 正であり，
軌 は 正 （負 荷 ） と な る。 し た がっ て，
組み合わ せ を ［PE
］す な わ ち右 ばね を 除 荷と 仮定して求め る と，
乱 ＞0
（負 荷），
乙，＞0
（負 荷 ） であり， 右ばね に お い て矛 盾が生じている。
もし， こ の ［PE
］とし て求めたば ねの縮み速 度の符 号に応 じ て剛 性 係 数を修正 する と，
再び ［PP
］に戻り，
循 環 剛 性 選 択 過程に陥る。
図一
8のit−
（a／L
）b
平 面に，
こ の試行 修 正過 程を示す。 以上よ り，
［κ尸尸］の 最 小 固有値 A が負の 場合に は，
［Kpp
］を 用い て算 定し た左 右の ばね縮 み速 度の 符号に 従っ て， ばね の剛性係数を修正す れば， 循環剛性選択過 程に陥る。
す な わ ち慣用の試行修 正過程を用い る と循環 剛性選 択 過 程に陥る。
骨組等の弾塑性解析に おいて，
整合剛性行列 の形 成 問 題が循 環 剛 性 選 択 過 程に陥っ た場 合に，
こ れ まで筆 者ら が 採 用 し て き た 対 策 法の一
つ は， 循 環 過 程に陥っ たス テッ プか ら数ス テップ遡っ て増分刻み幅を短く し，
再計 算を行 う方 法である。
この方 法に よっ て，
し ば しば 循 環 過 程に陥る ことな く解 析を遂 行す る こと がで き た理 由・
U［PP］によ （aiL ）ウ
図
一
8 B点 （A＜0）でばね剛性 係数 を ［PE］と し た と きの変 位速 度ベ クトル P 図一
9 ば ね 剛性 係数 ［PP ］に基づ く 2，，
らの符号の組み合わ せによ る ρ一
v平面 の領 域 区 分と その整 合 性 は， 図一
4のB
点の ような状態に至る ことが避け ら れ た ことに よ ると考え られ る。
3．
4 整 合 剛 性 行 列の形 成問題と除荷開始 点の予 測 式 （21）の A，
ρhそれ ぞれ に式 （18｝ を代入 し， 整 理 す る と，
剛 性 係 数の組み合わせ ［PP
］に対する ばね の 縮み速 度b
， お よ び ξ．
は次のよ うに表せ る。
b
・一吾
（
2髪
α1
・一
（V＋ζ）1
−
P）
・
・
・
・
・
……・
（… ）e
．一
音
（
等
竺｛・＋（v・ζ〉ト・）
・
…・
一 ・
（・・b
） こ こ に，n
−
・E
、（
2Et α’L
『
P）
…・
…・
………・
…・
一
（・4） 式 （33 ），
（34 ＞よ り， 図一9
の p−
v 平面に おい て，
軌 お よび を，の正 あ るい は負の組み合わ せ領 域が，
次の3
つ の直線を境界線と し てい ること が わ か る。2
E
εα 2L 昂 L 瓦L
＝
＝
＝ P ρ ρI
n
田 線 線 線 直 直 直 翻 十 他「
10
α 劃 十 ＠ 十 α一
72
一
NII-Electronic Library Service
，
図一
9は，
組み合 わせを ［PP
］と して求め たb
，，
壱，の 符 号の組み合わ せ によ る p−
v 平 面の領 域 区 分，
な ら び に構 成 則に対す る整 合性を示 してい る。 図 中に は，
図一
3の0
点，
A 点．
お よ びB点も示さ れてい る。
直線1
より 下の領 域で はA ＞0である。
こ の領 域におい て直線H
は，
左ば ねの縮み速 度の符 号 が 正か ら負に変わ る除荷発 生線 であ り，
直 線IH
は右ば ねの除 荷 発 生 線で あるこ と が式 （33）か ら わ か る。
も し0
点から の増 分応答を求め る際 に，
左ばねの除荷発 生が あ る程 度 精 確に予 測で き，
増 分 の終 点が直線1，
を超え ない よ う に増分刻み幅を算 定で き れ ば，
3．
3項で述べ たA〈0の循 環 剛 性 選 択過程に陥る ことは ない。
中 村・
上 谷ら が提 案 し た増 分 摂emza12
）−
N〕 は， この除 荷 発 生 を試 行 修 正 を 行わずに，
要 求され る精 度で予測で き る方 法で あ る。
石田・
．
森 追は増分摂 動 法を導入 した骨 組 解 析 法FERT−
PtS〕 によっ て， 従 来の線 形 増分型解析 法で は し ば し ば循 環 剛 性 選 択 過 程に陥る た めに，
事実上 不 可 能あ る い は極め て困 難であっ た重層K型 筋か い付鋼．
骨 組の繰 返し挙 動の解 析を，
循 環 剛 性 選 択 過 程に陥るこ と な く遂 行 することに成 功して いる。
3．
5p−
v 平面にお け る 応答速度ベ ク トル 図一9
に おい て， 直線1 −
m
の ど れ よ りも上の領 域で は，
［PP
］と し た と きの 乱，
畆が共に正で あ り，
式 （4
） の構 成 則と整 合レてい る。
し たが っ て，
も し増 分 刻 み幅 を大き く と り， 状 態 点が こ の領 域に入る と；
こ の状態 点 か らの増 分 解 析で は，
［PP
］が構 成 則に整 合す る組み 合わ せ と な る。
し か し，
こ の領 域で は， A ＜0で あ り 3．
1項で記し た よ うに， 速 度 解の唯一
性の十 分条 件は満 足され て い な い。
図一
10の p−
v 平 面上に，
P
＞0 と し て式 （20＞の応 答 速 度ベ ク トル の向き を概 略 的に示す。
も しC
点か ら，
［PP
］と し た ま ま解 析 を続 行 する と，．
図一
10中に示し た よう．
な不 自然な経路 をたどるこ とに な る。 A く0の領 域で ［PP ］が 許 容 さ れ る 唯一
の 経路 は，
図一
3で示し た よ う に， ζ一
〇 で あ る不整が全く ない完全系で，
塑 性 分 岐 点 を通りp 軸に重な る基 本 釣 合 経 路の み であ る。
P諸欝
図一
10 ば ね剛 体 係 数 を ［PP］と し た と きの p−
v 平 面 に お け る 速 度解ベク トル の様 相 P1≡
0 ［Kpp コは特 異 行列であ り、
p を 経 路制 御パラメター
と して 剛性 方 程 式 を 解 く こ と は 出 来 な い。
図一
11 剛性行列 ［Kpp］の最 小 固 有 値A による慣 用の試行 修正 過 程 適 用 結果の分類 3．
6 試 行 修正 過 程の分類 両ば ねの状 態 点 が塑 性 域に ある と き，
比較ばね とし た 剛 性 係 数の組み合わ せ ［PP ］に対応す る［K
祠 の最 小 固 有 値 ρ1 に よっ て，
整 合 剛 性 行 列 を形 成す る た めの慣 用の 試行 修正 過程は，
次の 3つ の場 合に分け られ る ： ［CASE
l］ A ＞0で あ れ ば，
試 行 修正過 程で求め られ るばね の縮み速 度に応 じ て剛 性 係 数を変 更 するこ とに よっ て，
構 成 則に整 合す る解が得ら れ る。 ［CASE
2
］ A〈0
で，〔
PP
］に基づ く 速度 解が構 成 則 と矛 盾する場合， 試行修正過 程は循 環 剛 性 選 択 過 程に陥 る。
［CASE
3］ A ＜0で あっ て も，
［P．
P］に基づ く速 度 解 が構 成 則に整合す る場 合も あ る。 し か し，
その後の解 析 で求 まる釣 合 経 路の中で正解と し ての資格を もつ の は，
不 整が全く ない完 全 系の基 本釣 合 経 路のみで あ る。
こ の分 類の概 念 図を図一
llに示す。
上 記の ［CASE2
］， ［CASE3
］の A 〈0
と な る場 合に，
合 理 的な整 合 解が存 在し ない わ けで は ない。
慣 用の試行 修正過 程で は得られ ない が，
次に述べ る 筆 者 ら が 提 案 す る 方 法 を用いれ ば， 構成 則に整合す る合理的な解が得ら れ る。P §
4，
整合 剛 性 行 列 形成 法 前節まで の考察か ら，
両 ばね の状態点が 塑性 域にあ る とき，
構 成 則に整 合す る剛性行列を確 実に形 成する ため に は，
比較ば ね と し た 剛性 係 数の 組み合わ せ ［PP ］に 対応す る［Kpp
］の最 小 固 有 値凸 が必 ず正 と な るよ うに，
前ス テップの 増分刻み幅を制御すれ ばよ い。 もし除 荷 発 生 点で正 確に増分 を打 ち 切 るこ と がで き れ ば，
A が常 に正の状 態で剛性行列 を形 成す ること が で き， 試行修正 過 程 が循 環 過 程に陥る こ と はない。
一
73
一
N工 工．
−
EleoEronio Libraryし か し， 図
一
9に見ら れる よ うに 3つ の直 線1
〜
の 交 点の ご く近 傍では， 慣 用の試 行 修 正 過 程によっ て構 成 則に整 合す る剛 性 係 数の組み合わ せを見いだし得る領域 の幅が極めて狭い。 そ れゆえ，
増 分 摂 動 法のよ うに除 荷 発 生 点の予 測アル ゴリズムを備え た高 精 度 解 析 法を用い た場 合 で も，
な お わ ず か な 数 値 誤 差 によっ て， A が正 でな く な る領域に踏み 込み ， 循環過 程に陥る可 能 性が あ る。
し たがっ て，
数 値 解 析 を確 実に遂 行できる複 合 非 線 形 解 析 法 を 確 立する た め に は，
A が 正で な くな っ た場 合に も循 環 過 程に陥る こと な く構 成 則に整合す る ば ねの 剛 性 係 数の組み合わ せを見いだ し得る方法を提 案す るこ と は不 可 欠で あ る。 さ らに，
ρ1が ま さに0
で ［K
，p］が特 異 行列 と なり，
剛性方程式 （9）が その ま まで は解 け な い場 合に つ い て も，
対 処でき る方法を準備し て お くこと が必 要で ある。 これ まで の考 察お よ び 式 （ユ6）か ら，
A が0
に近い 場 合，
固有 値 A に対応 す る 固有ベ ク トル1
φ、｝に よっ て 表さ れ る変 位 速 度モー
ドがその状 態か らの変形の進 行 方 向 を大 略 支 配す る と予測する こ とは 自然で あろ う渕。
それ ゆえ，
A＝
Oを含めて A が正でな く なっ た と き，
A に対 応す る固 有ベ ク トル1
φ ，1
を求め，
そ れ を最 初の試行 変位速度ベ ク トル と してばねの 剛性係 数を選 択 し，
図一
1の慣 用の試行 修正 過程を実 行する とい う方 法が考え ら れる。
式 （19a ） より
liP
，1
＝
滅blT
＝
1011T
で ある。
lil
，1
は正規 化固有ベ ク トル で あり，
lil
，1
お よ び一
1
φ11の 2方 向そ れ ぞ れを 最 初の試 行ベ ク トルID
｝として採 用し， 整 合 剛 性 行 列の探 索 を 行 う。
図一
12の か（a／L）t
平 面に 士1
φII を示す。
9UeL ＞ OeR ＞ D “ 〃’
ov 8 φ 瀬一
｛φ1｝マ ＋ ｛φ1｝ eL ＞OeR ＜0 eL 〈 OeR ＞ 0 eL ＜ QeR 〈O （afL ）v 図一
12 剛 性 行 列［Kpp］の最 小 固 有 値A に対 応 する固 有ベク ト ル1
函 注3） 「大 略 支 配 する」 と表 現 したのは，
弾 塑 性 分 岐 点 後の 挙 動におい て は，一
般にい くつ かの要素で除 荷が生じ る た め，
弾 性の分 岐 問題 と は異なり，
A＝
Oに対 応する ［Kpp］の固有ベ ク Fル1
朔 が 正確には分 岐モー
ド とな ら な い か らである。
一 74 一
まず
，
ibl
＝
1
φ ，1
と し た 場合， 左 右の ばね の縮み速度乱
R は，
図一12
あ るい は式 （21 ）よ り，
軌く0 （除荷），
引
＞0 （負 荷）と な る。
それ ゆえ，
剛性 係 数の組み合わ せ は ［PP
］か ら ［EP
］に変 更さ れ，
剛 性 方 程式 （9 ） は次の よ うに害か れ る。 ［K，P］iD
｝＝
b1G
ト・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t…
一
（35） こ こ に，
［KEP］は式 （23
）で表 さ れて いる。
式 （35）に おい て，
経 路 制 御パ ラ メ ター
をこ れまで のp
か ら｝φ1｝の 非 0成 分である v に換え，
lil
，1
のb
成 分の符号に対応す る方 向に制 御する。
す なわち式 （35）を次の よ うに書き 換える。
魔
．
剥
1
−一
・謬
．・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（36＞ 式 （36
）を解いて， 励お よびb
を求め る と次の ように な る。
de一
毒
1
耐 ・・（・＋v＋ζ）｝…・
一 一 一
（37 ）カ
ー
ゐ
（
ρ1ρ2十角τat 鼻！十ρ匸L
レ）
一
考
鵬 ・・7
（・・跏・
・
……一 …
（・8） こ こ に，
1「
EP＝
（ρh十L
の（v十ζ）十Lav
＞0 ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
（39） 式 （37 ），
（38
）に おい て，b
＞0で あ り，
A が 0 また は0
に近い 負の値，
す な わ ち ρが式 （22
）のPt
ある い は そ れ に近い値で あ る こと を考慮す る と，dr
およびfO
は と もに正 であ る。 さら に，
ば ねの縮み速 度は式 （6＞よ り次の よ うに求ま る。・・一
毒
｛
AL−
f
（v・ζ）・ト
…………一
（… ）e
・一却
醐呈
（v＋9
）h ＋ … （・＋ v＋ζ）｝
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
…
t・
・
t−・
t…
（40b ｝ A が十分に 0に近い と き，
観 ＜0 （除 荷），
畆 ＞0 （負 荷 ｝ である。
すな わち，
ばね の縮み速 度 解と組み合わ せ ［EP
］ と は，
構 成 則に関して整 合して い る。
し たがっ て，
ゆ1｝を最 初の試 行ベ ク トル と して ばね の 剛 性 係 数の組み合わせ を選 択し，lilll
の v 成 分の符号方 向に v を 制 御 すれ ば，
b
を正 と する当 初の解 析 意 図 を 満 足する速 度 解が得られる。
次に，ID
トー
1
φ1｝とし た場 合に は， 図一
12あるい は式 （21） より，
軌＞0 （負 荷1
，b
，＜0 （除 荷）とな る。
剛 性 係 数の組み合わ せ は ［PP
］か ら ［PE
］に変更さ れ，
剛性 方 程 式 （9）は次の よ うに書かれる。 ［KPE］｝DI
＝
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blGI
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99・
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（41） こ こ に，
［KPE］は式 （28 ）で表され て い る。
経 路 制 御パ ラメ ター
をρ か らv に換え，
式 （41 ）を 式 （36）と同NII-Electronic Library Service 様に書き換え て ム
