円管内乱流への熱伝達について : 第2報 非定常状態

円管内乱流への熱伝達について

(

第 2報 非 定 常 状 態 )

渡 辺

修

進 藤 益 男

On t

h

e

Heat Transfer f

o

r

Turbulent Flow i

n

Tubes

(

1

1

.

Non-steady S

t

a

t

e

)

Osamu WATANABE

，

Masuo SHINDO

管壁内に一様なステップ状発熱が生じた場合の円管内乱流への熱伝達の計算とそれに対応する実験 を行い両者を対比させた結果本報文の方法による数値計算はほぼ適当であることを認めた。また数値 計算により非定常状態におけるヌセルト数と流体に流入する熱流束の変化におよぼす数種のパラメー ターの影響を検討した。 1. 緒言 円管内の乱流に対する熱伝達の問題は熱交換器等の設 計において最も基本的なものであり従来から多くの研究 者によって検討がなされてきた。 これらの研究の多くは熱的にも流体力学的にも発達し た状態を対象としており事実それで十分であった。しか しながら近年たとえば原子炉の安全性を評価する際，定 常状態のみではなく非定常状態の熱伝達を考慮に入れる ことが必要となっている。このような問題については Siegel(l)が層流に対して，また乱流に対してSparrow(2) らが壁温を変化させた場合について行っている。また河 村3)，(4)は二重円管内乱流への非定常熱伝達の解析とそれ に伴なう実験(5)を行っている。 ここでは前報(6)と同様に円管内の発達した乱流を考え さらに管壁の肉厚も考慮に入れた非定常熱伝達の数値計 算と実験を行い数種のパラメーターの影響を検討する。 2 記 号 T:温度 Ti : x

=

0における温度

QG:

流体の重量流量 Re:レイノルズ数 Pr:プラント/レ数 Nu:ヌセルト数 。:温度伝導度

ω:

定圧比熱 g 重力加速度 r 半径座標 ro 管内径 rl 管外径 戸 1

♂可

P

f

/

ν(γ<向) rL:ァ/ro(r>γ。)

t

時間 u 流速 u+ :

U

/

I

"

石市

7

x 加熱開始点から測った管軸方向座標 x+ : x/2ro y . ro-r y + : y

.

;

r

;

;

;

r

p

;

/

ν

r

:

l/Pr十eH/ν eH 渦温度伝導度 eM : ~両粘性係数 θ: (T-T，)/(qv

r

6

/

わ)

ν:

動粘性係数 p 密度 rw・壁面せん断応力 添字 。:管内壁における値 1 管外壁における値

f

流体

ω:

管壁 5

t

:定常状態における値 3 理 論 51 h:熱伝達率 k :熱伝導率 q 熱流束 qv:単位体積，時間あたりの発熱量 座標系を図1のようにおく。流体は左側から右側へ発 達した乱流として流れる。流体および壁の温度は工ニO においてはすべてのtに対して

T

i (一定)であり

t

<0では発熱はなく tミOでz主主Oの部分にステップ状

(8) ここで A=0.0991， K = 0.407である。 渦温度伝導度臼は次のように仮定する ~8) εH==eM ε M 1 噌 j)= du+7

石

τ i

さらに式(4)において計算時間を短縮するため独立変数 戸 を が に 変 換 す る と 座標系 図l (9) δθ1 rou+δθ

r

t

'

o (γ+y o8

1

百戸

Tーす石芋

戸京

F

了

百

u+

l

京

u+)ou+

f

に壁内で一様な発熱が起こるものとする。 流体側にエネルギー保存則を適用すると (1的

g( u+)

=

dy+ / du+ である。 境界条件は ここで (1) ここで z方向への伝導伝熱の項および粘性による消散エ ネルギーは省略してある。また流体の物性値は一定であ ると仮定している。 一方，管壁内のエネルギー式はやはり

z

方向の伝導伝 熱を無視すると 、 白 目 白 目 目 ・ ， a E E E ' z '

T

-Y

2 u 一 べ O H

ε

+

f a y ， SE ， 4

・

E_目 、 -7

3

一

。

句 i -γ ι

一 一

T 一 Z 3 U ス U u

+

T 一

t

ペ ヴ ス U (11)

。

(

0

，

r

，

.

t

t

+)ω=0 3θ ヌ プ

(

x

，

+

バ

ω，

t

ゃ

ん

=0 v，ω h ω o8， ~ • ~， oθ 一 一 寸 (x+

，

ペ

μ

+)w=一τ(x+

，

r

.

6

w

，

t +)f kf or

.

t

ω or

.

t

3θ

百

五

τ(x+，ut， t +)f= 0

。

(0，u+， t+)f= 0 (2) 境界条件は加熱開始点，管外壁，管内壁および管中心 においてそれぞれ次のようになる。 一g 一 ω μ 一 P 4 一 切 -P

一

C

+

、

1 l ' / T 一 ア ベ U ス U f ， ， ， S E ，SE1 、 .

3

一 計

1

7

ω G

一 一

T

一

t

べ U 1 d このうち第4番 目 の 式 の 右 辺 は が を ゆ に 変 換 し で あ る。 式(9)において (3) T(O， r，

t

)=Ti

oT

E77(z，n，t)=0

。

T， .，.

oT

kw

百

;-(x

，

ア0

，

t ω=k/fy; (x)

，

ro

，

t)f

oT

E7(z，at)=0 (12)

C(u

乍

EF

D(u+)=dF

了

叫u+)=

官半

このうち第2式は管外壁は断熱であるという仮定による。 式(1)を無次元形で表わすと (13) (14) とすると (4) o8 ，

r

6

u+ o8 rt' o 1..+..o8

一 一 一 一 一 一 -_ot+ I 2 ox+-r+ or+

、

，

I or+ ここでy=(af+臼 )/ν=l/Pr+εH/νである。 同様に式

(

2

)

は o8 主

:

'

i

:

-

{

x+，rt， t+)ω=0 V'w hω_-τo8 ， ._(x+..

_，

_バ

...

_，

，._t+)w=..， _ o8 _τ

_:

_i

_:

_{

_{x+， rt}

_，

_{t +)f} kf

a

r

t

¥.N ，'u，"IW

a

o8

百戸

(x+，O，t+)=O (15) δ8 '''''I..+\ò8_ T'\/~~+' O (~，

，

.

.

.

o8 1

iit++

C(

約 百=D(u+) ò~+

t

G( u+)

万

j

式(15)を差分表示すると

{

L

互

L

1

I

~

t

τ++ ++

石芋+五告制

L

1

c

;

+

+ LI

~~，

(

(GGι;j+

→

i + +G;G;

-

吋

→

-ii))

榊

} iμμθ乱z削…+1

D;Gj

λ+.¥-_

n

才

u+'ずふ吋θ仇z川 川 刊

才

詐

吉

G

吋

8乱九i山 叫++叫l1，j凡 一

=よ

LI

t

τ

;

θ+17h+4;LLθl.i_k.j.1 什1，.]，R.I

L

1

x+ Vt..J，R.;-.l (5) o8 1 aw 1 o 1..+ o8 ¥ I 1ゐ

，

a -一=一一一一一(ァ一一)十 !'!..L

ot+-Praf rw+or

.

t

¥'Wor

t

.

'

'

P

r

kw af 境界条件(3)は

。

f

，

ω(O

，

r+

，

t+)=0

日

目

(6) また管壁内の式，式(5)は 1 aω

I

1 1 \~ ，(官 一一一

P

r

_af

l

¥

L

一

1

一_rτ_t?言+一一一一一 1 _{' r}

t

.

L

1

_r

.

t

_J

8_V1_J++_l1..+1

，

R

+

_l +(ー土ー I

¥

L

1

t + +Jt

一 一 一 一 一 一 -

す 1

aω+~ 2-

awif1，. LIr

t

.

'

Praf 'r

t

.

L

1

r

.

t

Pr af

J

υμ+1 1 aω 1 EJ _ 8;，. ， 1 kf aw

P

r

五

fLl

子

Z

E

UHAH-ZFTFFE7E7

式(4)の u+は前報と同様に流れは発達しているとの仮 定からSpa1dingの式仰を用いて表わす。 ( l 司 となる。ただし

z

.

j. kはそれぞれ x+，u+，t+の格子 点番号である。 (7)

戸(u+)=u++A{exp(Ku+)ー は が 一 七

Ku+)'-; (Ku+)'-}₂₄

，

(Ku+)4f ，.~-

，

J

円管内乱流への熱伝達について 式同， (17)から管壁内および流体内の温度分布が 1+孟O について計算でき流体側へ流れこむ熱流束，熱伝達率， ヌセルト数が次式から求められる。 aT q(工，t)

=

k

/

!

h

:

(x， ro， t

)

f

q(x， t) h(x， t)= _{T(x， ro，} t )-Tb(x，t)

h

(

γt)・7γn Nu(x， t)ニ ー 」 了 一 一 κ f ここで混合平均温度

T

bは Tb(x，

t

)

['T(

ェ

γ川 町 dγ

[

'

山

γdγ である。 4. 実験装置および実験方法 実験装置は熱電対の取り付け方法とその数および流量 の測定に浮子式流量計を用いたことを除いてほぼ前報(6) と同じである。熱電対は前報では管壁に垂直に感温部を 取り付けたが熱電対素線への熱伝導のため若干指示温度 が低くその応答が遅いと思われたため今回は管壁外面の 円周方向に3mmほど沿わせてハンダ付けにより取り付 けた。この方法は予備実験によって良好な結果を示すこ とが確認された。 実験方法は流れが定常になったのち管に電流をステッ プ状に直接通電し，試験部の電圧降下と熱電対の出力を レコー夕、ーで定常状態になるまで連続記録した。 実験は定常状態、における熱流束1.2x10'kcal/m'h， 入口水温1ST，レイノルスF 数3280~112S0で、行った。 5. 実験および計算結果と考察 5

・

1 計算例 図 2に計算結果の一例として管外壁の温度および式(18) で定義される熱流東と定常状態での熱流束qstの比の変 15 V E 由 ¥ -田 t+ 図2 計算例 53 (18) (1的 棚 化のもょうを示す。計算値はプラントル数1.0，レイノ ルズ数105ヲ af/aω=0.0，1 kf/ん =0.05， rl/ro= 1. 10 に対するものである。計算条件は流体内の分割数は20， 管壁内は10である。またL1

t

+とL1

x+

はそれぞれfおよ ひ や

x+

の増大にともなって増加する不等間隔きざみを用 いた。 d H H H 2 ( 発生した熱はt+の小さな時は管壁と流体の温度差が小 さいため大部分が壁温の上昇に消費されるが壁温の上昇 とともに流体側へ流れこむ量が大きくなっていく。また 壁温はt+の初期には流体内の温度分布が管軸方向に一様 であるので、工+による違いはないが

t

+の増大にともない ド の 小 さ い 方 か ら 流 体 内 の 温 度 分 布 が 定 常 状 態 に 移 っていくため

x+

により定常値に達する時間が異ってい るのがわかる。 5・2 実験結果と計算結果の比較 次に計算結果を確かめるため実験結果との比較を示す。 図3は定常状態における

x

+

= 30でのヌセルト数を示 す。ただしここでのヌセルト数は式(22)で定義するように 管外壁温度を基準にして表わしたものである。

100

差

50

0 実験値 一 一 計 算 値 n u ﹁ L n u

5

.

0

内 4 d n u a_， E e v A n u n u

-Re

図 3 定常状態におけるヌセルト数 t -s o -l y -b 2 一 一

T

-一 f t 一 一 吋 7 R v S 二 ド 一

ft

-一 一 S ふ 川 一 一 し

=

一

T

M ニ l t u J

N

払 ) 2 2 (

、

}} i l l -i ぅ f 1 j l l ' i l ノ また実験値の整理に用いた混合平均温度は次式で求めた。 自

2

71:roqst Tb(X)st=で r. 工

+T

，

CPf¥o.lG (刀) 本図から定常状態における計算結果と実験結果は約5 %以内の範囲で一致することがわかる。 図4に Re=3820，7780， 11280の場合の工+ニ 30におけ る外壁温度の変化を，図5に

x+=2.86

と30における壁 温の変化をRe=7780の場合について θ/θstの形で計算 結果とともに示す。これらの図から非定常状態における 実験結果も本報文の計算により表わされることがわかる。 またレイノルズ、数が小さいほど壁温の変動が大きいこと がみられるがこれはこの程度のレイノルズ数では渦温度

1 .

0

Re

o

3820

・

7780 ~ 11280 一 一 計 算 値

。

_。

5.0 10.0

t

Isec) 図4 非定常状態における管外壁温度 (x

ふ=

30) 1 .0 百 d C ¥ ， @ Re=7780

o

x

+

=30.0

・

x

+

= 2.86 0.5 一 一 計 算 値

。

_。

2.0. 4.0 t Isec) 6.0 図5 非定常状態における管外壁温度 伝導度が局所的，時間的に一定になっていないためと思 われる。 5 . 3 各パラメーターの影響 5

・

2により本計算法はほぽ妥当であると思われるの で以下計算結果から非定常状態における各パラメーター の影響を検討する。図 6~9 に各パラメーターごとに式 伽)で定義されるヌセルト数と式(18)のqのそれぞれの定常 状態との比Nu

/

r

れtst，q / qstの変化のようすを x+=30 について示す。これらの図の中にかかげてないパラメー ターは次の値を用いた。

Re=10'， Pr=1. 0， af/ aw=O. 01， rl / ro =1.10

またパラメーターの変化の範囲は加圧水型原子炉で想定 されるようなものを用いた。 図6はレイノルズ数の影響を示すものである。 Nu/ NU8tはレイノルズ数によって大きく変化し， Re=5x 10'. 10'ではかなりの聞大きな値を保つことがわかる一 方レイノルズ数の増大にともない急速に定常値に近づく ことがあらわされている。 q/q8パまレイノlレズ数の増大 にしたがって定常状態に早く達することがわかる。 図7はプラントル数の影響を示す。 Nu/Nu8tは広い プラントル数の変化の範囲 (0.7~20) にもかかわらず あまり変わっていないことが注目される。 図8は の/aw.図9はr

I

/

roの影響を示す。いずれも Nu/Nu8tには影響をおよぽさないがq/q8tには非常に 大きな要因となることがわかる。 全体としては今回の計算範囲においてはNu/Nu8tは レイノルズ数に最も大きく依存し他のパラメーターはあ まり大きな要因とはならない。一方q/q8tfまレイノルズ 1.0

"

.g: σ 0.5 t+ 10-3 10-2 図6 レイノルズ数の影響 ロ/0..一一ー 1.0 呈 百3 eY ② 1 0 J P ③ 2.0 、2コ~2 @ 5.0---j 0.5 ⑤ 10.0 @ 20.0 t+ 11T' 10-2 図7 プラントル数の影響 0/0_._ー￨ 1 .0 、 ミ子、 cr 0.5 10"' 11T' 10-2 f 10.' 図8 af/ awの影響 1.0

"

σ ¥ cr 10-~ t+ 1σ3 図9 rdroの影響

円管内乱流への熱伝達について 数よりも他のもの，特に温度伝導度と壁の肉厚，すなわ ちx方向の単位長さあたりの管壁の熱容量に大きく依存 することがいえる。

6

.

結言 前報に引き続いて円管内の非定常熱伝達の研究の第二 段階として管壁内にステップ状発熱が起きる場合の乱流 熱伝達の計算と実験を行い，両者を対比させて次のよう な結巣を認めた。 (1)本報文の方法による非定常状態の数値計算は実験と の比較によりほぽ適当であると推察される。 (2)数値計算から今回の計算範囲においては非定常状態 のヌセルト数はレイノルズ数に大きく依存し他のパラメ ーターにはあまり影響されない。一方非定常状態におけ る流体側へ流入する熱量は管壁の熱容量に大きく依存す る。 参考文献 (1) R. Siegel， Trans. ASME Ser.C， (1960)， 241.

(2) E. M. Sparrow， R. Siegel， Trans. ASME Ser. C， (1960)，170. (3) 河村洋，日本機械学会論文集， 39巻 (1973)，2498. (4)河村洋，向上， 42巻 (1976)，1207. (5)河村洋，岩堀宏治，同上， 42巻 (1976)，2501. (6)渡辺修，進藤益男，愛工大研究報告， 13号 (1978)

，

53 (7) D. B. Spalding， In

t

.

Develop. Heat Transf巴r， (1961)，439. (8)例えば，甲藤好郎，伝熱概論， 105，養賢堂. 55