４端子MOSトランジスタ
群馬大学
松田順一
概要
• 完全チャージ・シート・モデル • 簡易チャージ・シート・モデル • ソース参照モデル、対称モデル • 強反転モデル • 完全対称モデル、簡易対称モデル、簡易ソース参照モデル • 弱反転モデル• EKV（C. C. Enz, F. Krummenacher, E. A. Vittoz）モデル • 実効移動度
• 温度依存性
• pチャネル・トランジスタ
• 付録：擬フェルミ電位を用いたモデル（Ｐａｏ－Ｓａｈ）
（注）以下の本を参考に、本資料を作成。
(1) Yannis Tsividis, Operation and Modeling of the MOS Transistor Second Edition, McGraw-Hill, New York, 1999.
nチャネルMOSトランジスタ
（基板に対する各端子電圧）
x xx 0 x x L DB V SB V GB V n n G S D B D I sub pnチャネルMOSトランジスタ
（ソースに対する各端子電圧）
DS V SB V GS V n n G S D B D I sub p電流電圧特性
Strong inversion Moderate inversion Weak inversion 4 GS GS V V 3 GS GS V V 2 GS GS V V 1 GS GS V V M GS V V DS V DS I H GS V V Strong inversion Moderate inversion Weak inversion 4 GB GB V V 3 GB GB V V 2 GB GB V V 1 GB GB V V HB GB V V MB GB V V DB V DS I SB V 0 0電流式モデルの階層
(A) 完全 チャージ・シート・モデル (C) 簡易対称 チャージ・シート・モデル (E) 簡易対称 強反転モデル (B) 簡易ソース参照 チャージ・シート・モデル (F)簡易ソース参照 強反転モデル (D) 完全対称 強反転モデル (G) 弱反転モデル反転層の微小要素
s x ) (x I 反転層 ) (x s s(xx) バルク W（A）完全チャージ・シート・モデルの導出（１）
' 2 ' 1 ' ' ' ' 0 ' ' ' ' ' ' 0 0 ' ' 0 0 , 0 ) ( ) ( I Q Q t DS s I DS I Q Q t s I DS I Q Q t s I L DS I t s I dQ L W I d Q L W I dQ d Q L W I dQ W d Q W dx I L x x dx dQ W dx d Q W x I x I x IL sL IL I sL s IL I sL s
ここで、 まで積分すると、 から となる。これを 拡散電流から、 は、ドリフト電流 における電流 チャネル内の点 ' ' ' 0 0 ' 0 0 IL L x I I x I sL L x s s x sQ
Q
Q
Q
（A）完全チャージ・シート・モデルの導出（２）
1 2
0 2 1 0 ' 2 2 3 0 2 3 2 0 2 0 ' 1 2 1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 ' 2 ' 1 3 2 2 1 , 0 s sL t s sL t ox DS s sL s sL s sL FB GB ox DS DS DS s ox B S s FB GB ox OX B s FB GB ox I I I IL t DS s I DS C L W I V V C L W I I I C Q V V C C Q V V C Q Q Q Q L W I d Q L W I sL s
は以下になる。 と で与えられるから、 ） （ は となる。ここで、 積分の外に出すと、 移動度を一定として、 （A）完全チャージ・シート・モデルの導出（３）
となる。
は、
と
とすると、
、ドレイン端：
ソース端：
の関係式において
と
以下の
t DB F sL t S B F s t CB F s V t sL FB GB sL V t s FB GB s sL s DB CB SB CB V t s s FB GB s GBe
V
V
e
V
V
V
V
V
V
e
V
V
V
/ 2 / 2 0 0 0 / 2 0
（A）ドレイン端での表面電位とドレイン基板間電圧
) ( GB sa V constant : GB V Weak DB F V 2
2F VSB
sL s0 DB V
1 2 3 4 5（A）I
DS
-V
DB
特性と表面電位との関係
) ( GB sa V 0 s DB V SB V VQ VW 0 4 GB GB V V DB V SB V sL DS I Drain end in strong inversion Drain end in moderate inversion Drain end in weak inversion（A）ドレイン～ソース電流成分
IDS1：ドリフト電流 IDS2：拡散電流 1 DS I 2 DS I DS I axis log DB V（A）完全チャージ・シート・モデル式の対称性
じ式になる。 インを入れ替えても同 これは、ソースとドレ ここで、 から 如く変形できる。 ト・モデルは、以下の 完全なチャージ・シー 2 1 2 3 2 ' 0 2 1 3 2 2 1 s t s s s t FB GB ox s s sL DS DS DS V V C f f f L W I I I
（A）チャネル内の表面電位と反転層電荷
も求まる。 における の式から、 の を与える。また、以下 における これが、 したがって、 で表される。 における電流は、以下 であるから、 電流式が、 s s FB GB ox I I I s s sL s s s s DS s sL DS V V C Q Q x Q x f f f x f L x f x f x W I x f f L W I
' ' ' ' 0 0 0 0 ) (（B）簡易チャージ・シート・モデルの導出（１）
GB FB se se s se
ox I I se se s se s ox B se s se se ox B sa s se s ox BV
V
C
Q
Q
C
Q
C
Q
C
Q
' ' ' ' ' ' ' 0 ' '2
1
1
2
は次式になる。
したがって、
ここで、
ラー展開する。
までの任意点）でテイ
～
（
を簡単化する。
（B）簡易チャージ・シート・モデルの導出（２）
0
' 2 2 0 2 0 ' 1 ' 0 ' 2 2 2 ' 2 ' 0 ' ' ' ' ' 1 1 ' ' ' 2 2 1 ' ' 0 0 s sL t ox DS s sL s sL se se se FB GB ox DS I IL t DS DS IL I ox I ox Q Q I s I DS DS ox s I I C L W I V V C L W I Q Q L W I I Q Q C L W dQ C Q L W d Q L W I I C d dQ Q IL I sL s
次式が得られる。 となる。したがって、 は以前と変わらず、 一方、 は次式になる。 になるため、 から、（B）簡易チャージ・シート・モデルの導出（３）
（ソース参照モデル）
である。
は
となる。また、
は
と
として近似すると、
0 1 0 ' 2 2 0 0 0 0 ' 1 2 1 02
1
2
s s sL t ox DS s sL s sL s s FB GB ox DS DS DS s seC
L
W
I
V
V
C
L
W
I
I
I
1 : : 2 1 : 0 c a b a s い の場合より僅かに小さ （ソース側での外挿） 表面電位特性の近似 . ) B ( ' ' vs C Q ox B sa s sL 0 s 0 a b c ' ' ox B C Q
（C）簡易チャージ・シート・モデルの導出（４）（対称モデル）
0
' 2 2 0 2 0 ' 1 2 1 2 2 2 1 s sL t ox DS s sL s sL sa FB GB ox DS DS DS sa sa se n C L W I n V V C L W I I I n
は次式になる。 と となり、 として近似すると、 。 の誤差の影響は少ない 全半導体電荷への いが、 の近似の精度は良くな が支配的であるとき、 の近似の精度は良い。 が支配的であるとき、 域にある。 であるため、弱反転領 ≪ では、 ' ' ' ' ' ' ' B B I B B B I sa s Q Q Q Q Q Q Q での外挿）
（
表面電位特性の近似
sa ox B
vs
C
Q
.
)
C
(
' '
sa s sL 0 s 0 ' ' ox B C Q 0 s ' ' ox B C Q '' ox B C Q '' ox B C Q s ' ' ox B C Q 0 s ' ' ox B C Q （C）順方向と逆方向電流（対称モデル）
saturation rev DS IL t ox IL R saturation DS I t ox I F R F IL t ox IL I t ox I I IL t IL I ox DS DS DS I IL t DS IL I ox DS I Q nC Q L W I I Q nC Q L W I I I Q nC Q L W Q nC Q L W Q Q Q Q nC L W I I I Q Q L W I Q Q nC L W I n . , ' ' 2 ' , ' 0 ' 2 ' 0 ' ' 2 ' ' 0 ' 2 ' 0 ' 0 ' 2 ' 2 ' 0 ' 2 1 ' 0 ' 2 2 ' 2 ' 0 ' 1 2 2 2 2 2 1 , 2 ここで、 を求めると、 から、 ） 式（ ・モデルを簡単化した 完全チャージ・シート 0 , 0 , 0 , 0 , ' 0 0 ' F I sa s SB R IL sa sL DS I Q V I Q V 大： 大： （C）MOSトランジスタの動作領域の定義
Strong inversion Moderate inversion Weak Inversion Reverse operation Forward operation 0 , 0 , SB DS DS DB V V I V 0 , 0 , SB DS DS DB V V I V DB V W V SB V Q V（D）完全対称強反転モデル
GB DB GB SB
DSN SB DB SB DB FB GB ox SB DB SB DB SB DB FB GB ox DSN DSN DS sL s s sL s sL s sL FB GB ox DS t F DB sL SB s sL s V V g V V g L W I V V V V V V V V C L W V V V V V V V V C L W I I I V V C L W I V V SB DB , , 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 6 2 , 2 3 0 2 3 0 2 2 0 ' 2 3 0 2 3 0 2 0 2 0 ' 1 0 2 3 0 2 3 2 0 2 0 ' 1 0 0 0 0 0 対称である。 、ソースとドレインが これは、次式で表され ） と、（ を代入して、整理する と この式に、上の 式を用いる。 リフト成分）の以下の ・シート・モデル（ド ここで、完全チャージ ） （ 但し、 は以下で表される。 と も強反転では、 ソースとドレイン端と （D）完全対称強反転モデル（直接導出）
GB FB CB CB
ox
GB TB
CB
ox CB ox B ox B CB FB GB ox I I CB I V V DSN DB CB SB CB CB I s I DSN DSN DB CB SB CB CB s s V V V C V V V V C V C Q C Q V V V C Q Q dV Q L W I V V L x V V x dx dV Q W dx d Q W I I V L V V V x V x x x DB S B
' 0 0 ' 0 ' ' ' ' 0 ' ' ' ' 0 ' ' 0 0 ) ( , ) 0 ( ) ( ) ( ) ( 求まる。 全対称強反転モデルが に次式を代入すと、完 となる。 ）まで積分すると、 （ ）から （ となる。これを、 ：定数） （ 考慮して、 はドリフト成分のみを である。 ここで、 は以下になる。 では、 チャネル内の点 （D）完全対称強反転モデル（飽和点と飽和領域）
P SB P DB V V DSN DS DB SB P DB DS P DB DSN DS DS V V DSN DS DB SB P GB W P F FB GB P P DB DB DSN I I V V V V I V V I I I I I V V V V V V V V V V V dV dI " ' ' 0 0 2 2 , , : 2 4 2 0 下の如くになる。 の場合の飽和電流は以 となる。また、 は、 とすると、 ）を での電流（飽和電流 で決まる値である。 からの電圧として となる。これは、外部 界） （弱反転と中反転の境 とおくと、 ここで、 となる。 （ピンチオフ電圧） は、 における （D）完全対称強反転モデルでのI
DS
-V
DS
特性
Non-saturation Saturation DS I DB V P V Q V VW SB V ' DS I DSN I IDSN（D）完全強反転モデル
P S B P DB V V DSN DS V V DSN DS I I I I " ' Forward saturation R ev er se sa tu ra tion Non-saturation DSN DS I I ' DS DS I I " DS DS I I P V Q V V V 0 VDB SB V（E）簡易対称強反転モデル（１）
（ で飽和） で飽和） （ は、次式となる。 と逆方向飽和電流 順方向飽和電流 ）は、以下になる。 （非飽和領域の を用いると、 に と となる。 の項を無視して、 ら、強反転領域ではこ 項は拡散成分であるか 内の第 の ル 簡単化された対称モデ P SB DB P ox DS P DB SB P ox DS DS DS DB P SB P ox DSN DS DSN CB P ox I IL I IL I ox DS I IL t IL I ox DS V V V V n C L W I V V V V n C L W I I I V V V V n C L W I I I V V nC Q Q Q Q Q nC L W I Q Q Q Q nC L W I 2 ' " 2 ' ' " ' 2 2 ' ' ' ' ' 0 2 ' 2 ' 0 ' ' 0 ' 2 ' 2 ' 0 ' 2 2 2 2 1 2 2 1 P FB GB P V n V V V 0 0 2 2 2 1 4 2 （E）簡易対称強反転モデル（２）
2 0 ' " 2 0 ' ' " ' 2 2 0 ' 2 2 ' 0 0 0 0 2 1 , 2 1 0 2 2 DB T GB ox DS SB T GB ox DS DS DS DB DSN P DB DSN SB DB SB DB T GB ox DSN DB P SB P ox DSN FB T T GB P P nV V V n C L W I nV V V n C L W I I I dV dI V V I V V n V V V V C L W I V V V V n C L W I V V n V V V V は、次式になる。 と逆方向飽和電流 電流 この場合、順方向飽和 となる。 で 、 は となる。 、 に代入し、整理すると これを、 但し、 ルを簡単化する。 の近似を用いて、モデ（F）簡易ソース参照強反転モデル
GS T V
DS DS T V FB SB ox DSN GS SB GB DS SB DB SB SB DB SB DB SB FB SB GB ox DSN DB sL SB s s sL s sL s s FB GB ox DS V V V V V V V C L W I V V V V V V V V V V V V V V V C L W I V V V V C L W I SB SB 0 0 2 ' 0 1 2 0 0 ' 0 0 0 2 0 0 0 0 ' 1 , 2 , 2 1 2 2
但し、 。 とおくと、次式を得る となる。ここで、 但し、 での非飽和電流は、 を代入すると、強反転 、 おいて、 照モデルの以下の式に 簡単化されたソース参（F）簡易ｿｰｽ参照強反転ﾓﾃﾞﾙ
（直接導出：１）
GB SB FB SB CB SB
ox B CB FB GB ox I I SB CB SB ox B ox B ox B SB SB CB CB ox B SB CB SB ox B ox B SB ox B V V V V V V C C Q V V V C Q Q V V V C Q C Q C Q V V V V vs C Q V V V C Q C Q V C Q 0 0 ' ' ' 0 ' ' ' 0 ' ' ' ' 1 ' ' 1 0 1 ' ' 1 1 0 ' ' ' ' ' ' 1 2 1 . 1 1 は次式となる。 これから、 は、以下になる。 ）を考えると、 （ るため、その代わりに を過剰に見積もってい は、 である。 での傾きであり、 の は、 、 ２項までとる）すると テイラー展開（最初の を の辺りで の近似式を使う。 直接導出する場合、（F）簡易ｿｰｽ参照強反転ﾓﾃﾞﾙ
（直接導出：２）
じになる。
ソース参照モデルと同
となり、簡単化された
但し、
：一定）
は、（但し、
、
として、積分を行うと
、
を以下の式に用い、
SB FB V T DS DS V T GS ox DSN DSN SB GS GB SB DS DB CB I V V DSN IV
V
V
V
V
V
V
C
L
W
I
I
V
V
V
V
V
V
dV
Q
L
W
I
Q
S B S B DB S B
0 0 2 ' ' '2
（F）強反転での-Q
B
’/Cox’ とﾁｬﾈﾙ内の逆ﾊﾞｲｱｽV
CB
0 V ' ' ) ( ox CB B C V Q V CB V SB V 0 CB V 0 a b c ｾﾞﾛ次近似 の改善 １次近似 次近似 ﾃｲﾗｰ展開による１ : : at : c b V V a CB SB（F）簡易ｿｰｽ参照強反転ﾓﾃﾞﾙ
（飽和点と飽和領域）
2 0 , 2 2 ' ' ' ' ' 0 0 0 0 0 0 0 0 2 ' T GS ox DS DS T GS DS DS DS DS DSN FB T SB T T SB T SB FB T DS DS T GS ox DSN DSN V V C L W I I V V V V V dV dI V V V V V V V V V V V V V V C L W I I 。 は、以下の如くになる 流 となる。この場合の電 ）は、 （ のところでの である。 または、 に依存する。 は となる。ここで、 は 非飽和領域では、（F）簡易ｿｰｽ参照強反転ﾓﾃﾞﾙ（まとめ）
ここで、 れる。 は以下の如くにも表さ 域を一緒にして、 また、非飽和と飽和領 。 すなわち、以下になる は 電流 ' ' ' 2 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ' ' , 0 , 1 1 , 2 , 2 , , , DS DS DS DS DS DS DS DS DS T GS ox DS DS DS DS T GS ox DS DS DS DS DS DS DSN DS DS V V V V V V I I I V V V V C L W V V V V V V C L W I V V I V V I I I （F）I
DSN
-V
DS
特性：含むV
DS
>V
DS
’（ソース参照強反転）
0 VDS DS I SB V DSN I IDSN ' DS V ' DS I（F）I
DS
-V
DS
特性（ソース参照強反転）
4 GS GS V V 3 GS GS V V 2 GS GS V V 1 GS GS V V 0 VDS Saturation Non-saturation DS I T GS DS V V V' （F）V
SB
を変えた場合のI
DS
-V
DS
特性
DS V DS I V 2 V 0 SB V VSB 3V V 5 GS V V 5 GS V V 4 V 3 V 4 V 3 0 DS I DS V 0（F）パラメータη vs. V
DS
1 ' DS V DS V 0（F）αの近似（１）
の過少見積もり）
、
の過少見積もり（
の過剰見積もり
一般に、
似
が小さい場合：良い近
の過剰見積もり）
、
の過剰見積もり（
の過少見積もり
）
層幅：一定（ソース端
チャネルに沿った空乏
' ' ' 0 1 ' ' ' 0
2
1
1
DS DS I B SB DB DS SB DS DS I BV
I
Q
Q
V
V
V
V
V
I
Q
Q
（F）αの近似（２）
0 4 3 0 3 3 2 1 1 2 1 2 2 0 2 24
1
1
2
1
,
1
)
8
.
0
5
.
0
(
:
2
1
：定数
～
修正係数
SB SB B SB
V
k
k
V
k
k
d
d
V
d
（F）I
DS
vs. V
DS
特性（α：パラメータ）
１ 測定 ２ α=1: 飽和領域でフィッティング ３ α=1: 低VDS領域でフィッティング ４ α=1.7でフィッティング DS I I 0 Measured 1 2 3 4（F）チャネルの任意点における電位（１）
GBGB SBSB CBDB
CB CB SB GB DSN DB SB GB DSN DSNV
V
V
h
x
V
V
V
h
L
x
x
V
x
x
V
V
V
h
x
W
I
x
h
V
V
V
h
L
W
I
I
,
,
)
(
,
,
)
(
)
(
,
,
,
,
の以下の関係を得る。
と
上２式から、
る。
での電流は、以下にな
チャネルに沿う点
は関数である。
で表される。ここで、
は、
強反転領域での電流
（F）チャネルの任意点における電位（２）
は次式になる。 いとして解くと、 に関する上２式を等し る。 での電流は、以下にな う点 である。チャネルに沿 ここで、 は 電流 2 2 2 ' ' ' ' ' 2 2 ' 1 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 2 , , 0 , 1 1 2 , L x V V V x V x V I V x V V V V V C x W I x V V V V V V V V V V V C L W I I T GS SB CB CB DS SB CB T GS T GS ox DS T GS DS DS DS DS DS DS DS T GS ox DS DS（F）チャネルに沿っての基板からの電位
3 DS DS V V 2 DS DS V V 1 DS DS V V 0 DS V ) (x VCB SB V 0 L x（G）弱反転モデル（基本）
'
0 ' ' 2 2 4 2 ) ( ) ( I IL t DS B GB FB GB GB sa GB sa s s Q Q L W I Q V V V V V 用いる。 ･モデルの拡散成分を 完全チャージ･シート したがって、ここでは ない） 存在：ドリフト成分は （電流は拡散成分のみ 電位 チャネルに沿って同じ ルに沿って一定） （空乏層深さはチャネ しない。 はチャネル位置に依存 の関数になる。 となり、 は、 電位 弱反転領域では、表面 ) ( ' x QI ) ( ' x QIL ) ( ' 0 x QI L x（G）弱反転モデル（対称モデル）
sa GB F t t DB t SB t DB t F GB sa t SB t F GB sa t CB t F GB sa V t A s GB V V GB I IL t DS DS V V t GB sa A s IL V V t GB sa A s I IL I V V t GB sa A s I e V N q V I e e V I L W Q Q L W I I e e V N q Q e e V N q Q Q Q e e V N q Q / 2 ) ( 2 ' 0 ' / 2 ) ( ' / 2 ) ( ' 0 ' ' 0 / / 2 ) ( ' ) ( 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 , ) ( 2 2 , ) ( 2 2 但し、 。 は、以下の如くである 域の したがって、弱反転領 を以下の如くとする。 を用いて、 ･ （空乏領域でも成立） 弱反転領域の電荷の式（G）弱反転モデル（対称モデル別表現）
を得る。
を用いると、
更に、
る。
を用いると、以下を得
、
（対称モデル）の式で
弱反転の
t DB T GB t S B T GB t F t DB P t S B P t F n nV V V n nV V V t ox DS T GB P V V V V t ox DS ox A s GB P P sa DSe
e
e
n
C
L
W
I
n
V
V
V
e
e
e
n
C
L
W
I
C
N
q
V
V
n
V
I
0 0 0 0 2 2 ' 0 2 2 ' ' 0 01
1
2
,
)
(
2
1
,
（G）弱反転モデル（ソース参照モデル）
。 で固定）は以下になる （ を用いると、 ここで、 は以下になる。 であるから、 ここで、 以下である。 弱反転での電流式は、 t DS t M GS t M GS t DS t DS t SB DB V n V V M DS SB SB DS n V V M I V I t DS DS V V V I IL I IL I t I IL t DS e e I L W I V V I e Q Q e Q L W I I e e Q Q Q Q Q L W Q Q L W I
1 1 1 ) /( ) ( ' ' ) /( ) ( ' ' 0 ' 0 / ' 0 ' ' 0 ' ' 0 ' 0 ' ' ' 2 ' ' 2 2 1 , 2 2 , 2 2 2 SB F SB F F FB M t SB F A s M V n V V V V N q I （G） Log I
D
vs. V
GS
特性
t DS GS n I d dV S 3 . 2 log Swing Gate Weak inversion equationCharge sheet model
Strong inversion equation D I log j I log fixed : fixed : SB DS V V GS V M V VT VH
