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磁性理論

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遍歴電子磁性とスピンゆらぎ

高橋 慶紀 兵庫県立大学物質理学研究科 email: [email protected]

Outline

1. 実験結果と理論との対応

Introduction

金属の磁性のモデル ■ _{遍歴電子磁性}: 遷移金属(d電子)，遷移金属を含む合金，化合物 ■ _{重いフェルミ粒子系}: 4f電子を含む系 1970年代の初め頃 ■ _{弱い遍歴電子強磁性体の発見} ZrZn2, MnSi, Ni3Al, Sc3In ■ _{バンド理論に基づく理論とスピンゆらぎの影響} □ Stoner-Wohlfarth理論 □ Moriya-Kawabata理論 (1973) 3 / 26

Properties of Weak Itinerant Ferromagnets

磁気的な性質 ■ 微小な原子当たりの磁気モーメント ps ■ _{低い臨界温度 Tc} ■ Arrott プロット(M2 vs H/M) のよい直線性 ■ _磁化率の Curie-Weiss則 ■ ps に比べて比較的大きな有効磁気モーメントpeff 4 / 26

Heisenberg Model

局在電子磁性のモデル H = ∑ <i ,j > JijSi · Sj ■ S = (Sx_.Sy_{, S}z₎ ■ S2= S (S + 1): 保存量 ■ S は整数又は半整数: 角運動量の量子化 ■ 自発磁化 M = g µB ∑ i⟨Siz⟩ 5 / 26

A Magnetic Moment in the Magnetic Field

磁場中の磁気モーメント ■ ゼーマン (Zeeman)エネルギー Hz =−µ · H = −µzH, µ = g µBJ ■ _{分配関数と自由エネルギー} Z = J ∑ m=_−J eg µBmH/kBT _{= e}−gµBJH/kBT_{[1 + e}g µBH/kBT₊· · · + e2g µBJH/kBT_] = e −gµBJH/kBT_[1− eg µB(2J+1)H/kBT_] 1− eg µBJH/kBT = sinh[(2J + 1)g µBH/2kBT ] sinh(g µBH/2kBT ) ■ _{自由エネルギー} F =−kBT log Z (H, T ) 6 / 26

Curie Law of Magnetic Susceptibility

■ 磁場によって誘起される磁気モーメント m = g µB⟨Jz⟩ = − ∂F ∂H = g µBJBJ(x ), x = g µBJH/kBT BJ(x ) ={(1 + 1/2J) coth[(1 + 1/2J)x] − (1/2J) coth(x/2J)} , ≃ J + 1 3J x , (x ≪ 1) ■ _磁化率 χ(T ) χ(T ) =m H = (g µB)2J(J + 1) 3kBT = (µB) 2_p2 eff 3kBT 7 / 26

Molecular Field Approximation

分子場近似: 相互作用を時間変化のない磁場と見なす ■ 相互作用に起因する磁場 Hm = ∑ i J ⟨Jz j ⟩ ■ _実効磁場 Heff = H + J g µB ∑ j ′_⟨Jz j⟩ = H + ζJ N(g µB)2 M, M = g µB ∑ i ⟨Jz i⟩ ■ 発生する磁気モーメント M ≃ N(g µB) 2_{J(J + 1)} 3kBT Hm= J(J + 1) 3kBT [N(g µB)2H + ζJ M] 8 / 26

Magnetic Properties of Localized Moment Systems

■ Curie-Weiss 則 χ(T ) = N(g µB) 2_{J(J + 1)} 3kB(T − TC) , TC = J(J + 1)ζJ 3kB ■ _自発磁化 M(T ) = Ng µBJBJ(xeff), xeff = g µBJHeff/kBT = g µBJ(H + ζJ M/[N(gµB)2]) M(0)≡ NµBps = Ng µBJ, (T → 0) ■ _{磁気モーメントの比} peff ps = √ J(J + 1) J = √ 1 + 1 J 9 / 26

Magnetic Free Energy

ルジャンドル変換 F (M, T ) = F (H, T ) + MH, M =−∂F (H, T ) ∂H ■ _{自由エネルギーと磁化曲線} F (M, T ) = F (0, T ) +1 2a(T )M 2₊1 4b(T )M 4_{+· · ·} H = ∂F ∂M = a(T )M + b(T )M 3_{+· · ·} ■ _{磁気モーメント M} ■ _磁化率 χ(T ) の温度変化，臨界温度 Tc ■ _{キュリー定数} C と有効磁気モーメント peff 10 / 26

Weak Itinerant Ferromagnets

化合物 Tc(K) ps peff peff/ps MnSi 30 0.4 2.25 5.6 Ni3Al 41.5 0.075 1.3 16.9 Sc0.7575In0.2425 5.5 0.045 0.7 15.6 ZrZn2 21.3 0.12 1.44 12.0 Zr0.92Ti0.08Zn2 40 0.233 1.33 5.7 Zr0.8Hf0.2Zn2 49.4 0.278 1.38 4.96 Table: キュリー温度と磁気モーメント M0(0) = NµBps: 基底状態(T = 0)の自発磁化 11 / 26

Rhodes-Wohlfarth

プロット

局在電子磁性と遍歴電子磁性 14 12 10 8 6 4 2 0 Pc/Ps 1000 800 600 400 200 0 Tc(K) (FeCo)Si Pd-Fe (FeCo)Si (FeCo)Si Pd-Fe Pd-Fe Pd-Co Pd-Co

Pd-FePd-CoNi-Cu

Pd-Cu Ni-Pd CoB Ni Fe

Pd-Ni Pd-Ni Sc-In Pd-Rh-Fe CrBr3EuO Gd MnB MnSb FeB Figure: Rhodes-Wohlfarthプロット 12 / 26

Arrott Plot of Magnetization Curve

磁化曲線の非線形性の解析 H = a(T )M + b(T )M3+· · · = b(T )M[M2− M₀2(T )] +· · · M2 =−a(T ) b(T ) + 1 b(T ) H M, H M = b(T )[M 2_{− M}2 0(T )] +· · · 特徴 ■ 係数 a(T ) の温度依存性: a(T )∝ (T_c2− T2) ■ 温度変化の無い b(T ) 13 / 26

Observed Magnetization Curves

ZrZn2 の磁化曲線

Figure: ZrZn2の Arrott プロット

Observed Magnetization Curves

Sc3In の磁化曲線

Figure: Sc3Inの Arrott プロット

Temperature Dependence of Magnetization

ZrZn2 の自発磁化の温度変化

Figure: M2_{vs T}2

Temperature Dependence of b(T )

4次の展開係数 b(T )∝ 1/F (T ) の温度変化 45 50 55 60 F(T) (arbitrary units) 0 500 1000 1500 2000 2500 T2(K2) T2 c

Figure: F (T ) vs T2for (ZrTi)Zn2

Temperature Dependence of b(T )

4次の展開係数 b(T )∝ 1/F (T ) の温度変化 35 40 45 50 55 F(T) (arbitrary units) 0 500 1000 1500 2000 T2(K2) T2 c Figure: F (T ) vs T2for ZrZn1.9 16 / 26

Localized vs Itinerant Magnets

局在電子磁性に対する遍歴磁性の特徴 磁気的性質 局在電子磁性 遍歴磁性 M/(N0µB) 整数| 半整数 ≪ 1 低温での磁化曲線 飽和 不飽和 Arrott プロット 非線型 直線 低温磁化の温度依存性 T3/2 _T2 χ(T ) キュリー・ワイス則 キュリー・ワイス則 peff/ps ∼ 1 ≫ 1 17 / 26

Stoner-Wohlfarth Theory

Stoner-Wohlfarth理論 ■ _{電子相関の重要性: 電子間のクーロン反発力} ■ _{伝導電子のエネルギーバンドのスピン分極} N_↑ ̸= N_↓ ■ フェルミ分布関数の温度変化が温度依存性の原因 多くの磁気的性質に，T2 に比例する温度変化が現れる ■ _{自由エネルギーの磁化による展開} (特に弱強磁性体の場合) 18 / 26

Stoner-Wohlfarth Theory

Model of Itinerant Electron Magnetism

■ Hubbard Model: 金属磁性の数学的モデル H =∑ kσ tijc_{i σ}† cj σ+ U ∑ i ni↑ni↓− MzB, =∑ kσ εkc_kσ† ckσ + U ∑ i ni↑ni↓− MzB Mz =−2µBSz, Sz = ∑ i s_iz ■ _{全電子数、一様磁化(2µB の単位)の平均値} M = 1 2 ∑ k ⟨nk↑− nk↓⟩ = N0 2 ⟨n↑− n↓⟩ N =∑ k ⟨nk↑− nk↓⟩ = N0⟨n_↑+ n_↓⟩ 19 / 26

Hartree-Fock Approximation

■ 相互作用について分子場近似 U∑ i ni↑ni↓ =⇒ U ∑ i σ (ni↑⟨n↓⟩ + ni↓⟨n↑⟩ − ⟨n↓⟩ ⟨n↑⟩) = U∑ kσ nkσ⟨n−σ⟩ − N0U⟨n↓⟩ ⟨n↑⟩ ■ _{近似ハミルトニアン} H =∑ kσ (εkσ− µ)c_kσ† ckσ− I ( N2 4 − M 2 ) , (I = U/N0) εkσ =εk+ IN/2− σ∆, ∆ = IM + h/2 20 / 26

Free Energy and Thermodynamic Relations

■ 自由エネルギー F (h, µ, T ) = IM2+ F0, F0 =−kT ∑ kσ ln(1 + e−β(εkσ−µ)₎ ■ 温度、磁場依存性(熱力学の関係式) N(h, µ, T ) =−∂F ∂µ = ∑ kσ f (εkσ) = ∑ σ ∫ dερ(ε)f (ε + σ∆) M(h, µ, T ) =−∂F ∂h =− 1 2 ∑ kσ σf (εkσ) =−1 2 ∫ dερ(ε)[f (ε + ∆)− f (ε − ∆)] ただし状態密度ρ(ε) は次のように定義した。 ρ(ε) =∑ k δ(ε− εk) 21 / 26

Basis of Stoner-Wohlfarth Theory

Stoner-Wohlfarth理論の基本的な考え方

∆Eband+ ECoulomb が極小になるようにバンドが分裂する

1. バンド分裂– 電子間相互作用の効果 εkσ = εk − σ∆, ∆ = µBH + IM, (I = U/N) 2. 温度依存性: Fermi 分布の Sommerfeld展開 ∫ _∞ −∞dερ(ε)f (ε) = ∫ µ −∞dερ(ε) + ∑ n=1 an(kT )2nρ(2n−1)(µ) 3. 分裂 ∆ (or M) による展開 22 / 26

Free Energy as a Function of Magnetization

■ 自由エネルギーの変数変換(Legendre変換) F (M, N, T ) = F (h, µ, T ) + hM + µN µ(M, N, T ), h(M, N, T )の関係を用い、N, M の関数として表す。 ■ _{新たな熱力学の関係式} ∂F (M, N, T ) ∂N = µ + ( ∂F (h, µ, T ) ∂µ + N ) ∂µ ∂N + ( ∂F (h, µ, T ) ∂h + M ) ∂h ∂N = µ ∂F (M, N, T ) ∂M = h + ( ∂F (h, µ, T ) ∂µ + N ) ∂µ ∂M + ( ∂F (h, µ, T ) ∂h + M ) ∂h ∂M = h 23 / 26

Stoner-Wohlfarth Free Energy

Stoner-Wohlfarth理論の自由エネルギー F (M, T ) = F (0, 0) +1 2a(T )M 2₊1 4b(T )M 4_{+· · ·} a(T ) = 1 ρ − I + π2R 6ρ (kT ) 2_{+· · · , b(T ) =} F1 2ρ3 R = ρ′2/ρ2− ρ′′/ρ +· · · , F1 = ρ′2/ρ2− ρ′′/3ρ 磁気的性質: 状態密度 ρ のεF 近傍のエネルギー依存性が影響する 24 / 26

Summary of Stoner-Wohlfarth Theory

■ 自由エネルギー F (M, T ) = F (0, T ) +1 2a(T )M 2₊1 4b(T )M 4_{+· · ·} H = a(T )M + b(T )M3+· · · a(T ) = a0+ a2T2+· · · , b(T ) = b0+ b2T2+· · · ■ _{磁化曲線と自発磁化} H = M[a(T ) + b(T )M2+· · · ] = 0, (H = 0) M₀2(0) =−a0 b0 , M₀2(T )≃ M₀2(0)− a2 b0 T2+· · · 25 / 26

Difficulties of the Theory

常磁性相で観測される磁化率の温度依存性 ■ Magnetic susceptibility χ(T ) = 1 a(T ) ∝ 1 T2_{− T}2 c ■ 観測される磁化率 χ(T )≃ C T − Tc 26 / 26