様々な位置関係にある無線給電用コイルのインダクタンス計算

(1)

様々な位置関係にある無線給電用コイルのインダクタンス計算

柴田

随道

†,††a)

_保谷

_駿介

†

A Calculation Method of Inductance for Wireless Power Transmission Coils in

Various Positional Relationships

Tsugumichi SHIBATA

†,††a)

and Shunsuke HOYA

†

あらましこの論文は，磁界共鳴方式無線電力伝送システムの設計のためのコイルパラメータの手軽な計算手法について述べている．送受コイルの様々な位置関係を考慮した無線電力伝送システムの設計は，位置関係に依存するコイルの結合係数の変化を回路設計に盛り込むことで可能となる．結合係数はコイルの位置関係，形状，サイズ，巻き数などにより変わるため，回路シミュレーションを行う際に簡易にコイル定数の変化を計算する手段が必要である．本研究では，ノイマンの公式を利用し，空芯コイルの自己及び相互インダクタンスを簡易に計算するツールを作製した．本論文では，その計算原理を説明し，計算精度に関する考察，及び送受回路位置の移動や回転により変化する結合係数の計算事例を示す．キーワード無線電力伝送，コイル定数，ノイマンの公式，計算ツール

1. まえがき

産業分野で「インダストリー4.0」や「スマートファクトリー」などとして機械と各種センサのネットワーク化による生産現場の情報取得とその見える化，そしてそのデータ分析による製造工程の効率化が進展している[1], [2]．今後，このような実世界（リアルorフィジカル）とデータ世界（デジタルorサイバー）を融合する技術の生活空間への実装が進めば，安心・安全のための見守りや日常生活の効率向上に向けた行動支援，豊かなQoLの実現など，少子高齢化が確実に進行する社会が抱える多くの課題の解決のための有力な手段となるものと期待されている[3]．このサイバー &フィジカルシステムの入力となるものが各種のセンサネットワークである．実世界の状況を確認するセンサネットワークを住居や公共施設，更に街なかに実装しようとすると，図1にそのイメージを示すように， †_{東京都市大学大学院総合理工学研究科情報専攻，東京都}

Major in Information, Graduate School of Integrative Sci-ence and Engineering, Tokyo City University, Tokyo, 158– 8557 Japan

††_{東京都市大学理工学部電気電子通信工学科，東京都}

Dept. of Electrical, Electronics and Communication Engi-neering, Faculty of Science and EngiEngi-neering, Tokyo City University, Tokyo, 158–8557 Japan

a) E-mail: [email protected]

図 1 見守り，行動支援のセンサネットワーク Fig. 1 A sensor network for safety and security

watching and action supports.

大量のセンサを多様な場所に設置して常時稼働させる必要が生じる．こうしたシステムを安定的に運用するためには，センサ端末の保守性の向上が課題となる．特に，センサ端末への電源供給は主要課題の一つであり，電源工事や膨大な数の電池交換を要しない無線給電技術の研究が進められている．各種無線給電方式の中でコイルの疎結合を利用する磁界共鳴方式は数十センチから数メートル程度の距離の給電手段として有望である[4], [5]．そして，その設計には送受回路の位置

(2)

関係によるコイル間の結合係数の変化を盛り込む必要がある．送受回路のコイル間結合特性を電磁界シミュレータにより解析した報告がある[5]．磁界共鳴方式においてコイル自体の自己共振現象を利用するシステムではマクスウェル方程式に基づく電磁界シミュレータの活用が適切である．しかし，コイルとコンデンサを用いて送受両側に共振回路を構成するシステム構成の場合は準静的なコイルの自己インダクタンスとコイル間の相互インダクタンスが求まれば回路シミュレータによる効率的な設計が可能である．相互インダクタンスの計算にはノイマンの公式が利用でき，今までも同軸上の円形コイルなどコイル形状や配置に条件を付けた近似解析解を利用する設計が数多く報告されてきている[6]∼[9]．以上の背景のもと，本研究では任意のコイル形状と配置関係についてノイマンの公式を利用して自己，及び相互インダクタンスの簡易計算を行うことができるツールを作製し，その計算結果の妥当性を検証した．以下，2.にそこで採用したインダクタンスの計算方法を述べ，3.では，その計算過程で必要となる線分間の2重積分について数値積分で求める場合の計算精度を解析解との比較により評価する．4.では，コイル間の様々な配置関係の生成がコイルの並進，及び回転移動の組み合わせで容易に実現できることを述べ，5.に具体的なコイルのインダクタンス計算結果を示す．

2. インダクタンスの計算方法

[10]

2. 1 巻き線経路の折れ線近似によるコイルの構造表現前述のように，磁界共鳴方式を用いた無線電力伝送は，比較的大口径の空芯コイルを用いて数十センチから数メートル程度の距離を隔てた無線給電を目指す技術である．また，図1に示したような用途への実装を考えると，送電側と受電側のコイル間に様々な位置関係を想定して，その相互インダクタンスを計算する必要がある．そこで本研究では，図2に示すように，コイルの巻き線構造を直線を連ねた折れ線経路で近似し，コイルの形状や配置を経路上の節点の座標の集合で表現することとした．図2ではコイルを構成する巻き線の一端から他端までの経路を電流の流れに沿ってl1， l2，l3，· · ·，lpのp本の向きをもつ直線からなる折れ線経路で近似している．そして，このコイルを始点の座標(x0, y0, z0)から終点の座標(xp, yp, zp)までの p + 1の節点座標のセットで定義する．こうすること図 2 コイル形状の折れ線経路による表現 Fig. 2 Representation of coil shape by broken line

route. により，4.に再度述べるようにコイルの移動や回転をこれらの座標ベクトルに対する移動や回転の操作に帰着させて実行することができる． 2. 2 自己，及び相互インダクタンスの要素積分の和への分解次に，二つのコイルC1 とC2 を考える．C1，C2 のそれぞれの巻き線に沿ってその始点から終点に向かって流れる電流をI1，I2 としよう．図2では，コイルを回路の一部を構成する素子と考えて，コイルの巻き線の始点と終点を回路端子として終端した構造をイメージしたが，実回路では終点から流れ出る電流は始点へ外部回路を介して戻り，電流路は閉回路を構成することになる．電流I1，I2 が作る磁束のうちC1 の電流路と鎖交する磁束をΦ1，C2の電流路と鎖交する磁束をΦ2 とすると，それらの間に次式の関係が成り立つ． Φ1= L1I1+ M12I2 (1-1) Φ2= M21I1+ L2I2 (1-2) 係数L1，L2 は各々コイルC1，C2 の自己インダクタンス，M12，M21（相反定理よりM12= M21）はコイルC1，C2 間の相互インダクタンスである．相互インダクタンスM12（= M21）はノイマンの公式に拠れば次式で計算できる． M12= μ 0 4π C1 C2 ds2· ds1 r (2) ここで周回積分の積分路のうち前述の外部回路の経路をその寄与が相対的に小さいと仮定して省略すると， C1，C2はコイルC1，C2 の始点から終点に至る巻き線経路で置き換えられる．ds1，ds2 は，積分路上の線素ベクトル，rは線素間の距離である．更に，積分経路C1，C2を図2に示したように直線を連ねた折れ線経路で近似したのであるから，C1 をp本の直線経

(3)

路の和，C2 をq本の直線経路の和へと分解して，式 (2)は式(3)のように書き換えられる． M12= μ 0 4π p i=1 q j=1 mij (3) 式中のmij は，折れ線近似した積分路の中のコイル C1 のi番目の直線経路li とコイルC2 のj 番目の直線経路ljとの組み合わせ部分の要素積分値であり，次式で与えられる． mij= li lj ds1· ds2 r (4) すなわち，相互インダクタンスM12（= M21）は，コイルの巻き線経路を構成する直線線分liとljの組み合わせに対する要素積分 mij の総和に残りの係数を乗じたものとして計算できる．通常，ノイマンの公式は複数のコイル間の相互インダクタンスを与える式として知られている．以下にそれを形式的に拡張し，自己インダクタンスL1，L2の計算にも適用できるようにしよう．式(2)が2重積分となる物理的意味を考えると，一つがコイルを流れる電流が作る磁場（ベクトルポテンシャル）を積算し，もう一つがそのコイルに鎖交する磁束を計算するものである．したがって，2重積分の積分路をどちらも同一コイルの巻き線経路とすれば，そのコイルの自己インダクタンスが計算されることになる．このように考えると式(3)に対応する自己インダクタンスの計算式は， L1= μ0 4π p i=1 p j=1 mij (5-1) L2= μ 0 4π q i=1 q j=1 mij (5-2) と表すことができる．ただし，ここでのmij は，式 (5-1)ではコイルC1 のi番目とj番目の直線経路の要素積分値，式(5-2)ではコイルC2 のi番目とj番目の直線経路の要素積分値であり，いずれにおいても i = j のときに同一の直線経路に対する2重積分が現れる．これに式(4)をそのまま適用するとr = 0で値が発散してしまうという困難が生じる．この同一直線経路に対する自己インダクタンス要素積分値については，その導体断面の電流分布を考慮して計算することにより発散を回避することができる．本研究では，これに対して電磁気学のテキスト等でもよく採り上げられている以下の解析式[11]を断面形状と電流分布の条件に応じて使い分けることとした．まず，直線経路の長さをl，導体断面形状を半径a の円形とし，その断面内を電流が一様に分布して流れるとすれば，自己インダクタンスの要素積分miiは， mii= 2l ln2l a − 3 4 (6-1) で与えられる．同様に断面形状が半径aの円形であるが，周波数が高く表皮効果により電流が導体表面に一様に集中して流れるとするとmiiは次式となる． mii= 2l ln2l a − 1 (6-2)

3. 二本の直線経路間の要素積分の計算

3. 1 要素積分mij の数値計算ここまでで，コイルの巻き線構造を直線の折れ線経路で近似することによって，複数のコイル間の相互インダクタンス計算が各コイルを構成する直線経路間の相互インダクタンス要素である式(4)の積分計算に帰着すること，また，各コイルの自己インダクタンスについても，同一直線経路の自己インダクタンス要素の積分計算に留意すれば，残りは相互インダクタンスの場合と同様に直線経路間の要素積分の計算に帰着できることが判った．式(4)で与えられる二本の直線経路間の要素積分値は，直線経路同士の位置関係に応じて解析解が詳しく求められている[12]．しかしながら，解析解を用いるためには任意の二本の直線経路の相対位置関係を全て分類して場合分けし，それぞれに適切な解析式を適用する必要がある．計算機性能が大きく向上した今日，こうした分類アルゴリズムを加えて解析プログラムのコードを複雑にするよりも，一律の処理が可能な数値積分を採用してコードを単純化し，可読性を高めるメリットの方が大きいと考えられる．図3は，任意の二本の直線経路の線分li とlj を抜き出して描いたものである．この二本の経路間の要素積分を数値積分で求める場合，li の始点と終点を A，B，lj の始点と終点をC，Dとして，線分ABと CDをそれぞれ等間隔のN 個の区間（区間の長さを ΔAB，ΔCD とする）に分割し，各区間の中心点を離散化点として順に1からN まで番号を振る．そうすると式(4)の要素積分は次式で計算できるはずである．

(4)

図 3 折れ線経路 i（線分 AB）と j（線分 CD）の要素 の数値積分

Fig. 3 Numerical integration of an elemental integral between broken lines i (line AB) and j (line CD). mij= ΔAB× ΔCD× N u=1 N v=1 1 r × cos θ (7) ここで，添え字u，vは各々線分AB，CD上の離散化点の番号，rはそれらの離散化点の間の距離である．θ は向きをもつ二つの線分l_i，l_jの成す角であり，cos θ は始点から終点へ向かうベクトル同士の内積により計算できる．すなわち，要素積分値は各線分の始点と終点，A，B，及びC，Dの座標が与えられれば，分割の細かさNをパラメータとして一律に計算でき，2. 1 で定義したコイル形状データから全て求めることができる． 3. 2 要素積分の解析式と数値計算精度の検証既に述べたように二本の直線経路間の要素積分は経路間の相対位置関係を限定すると解析的に求めることもできる．以下にG. A. Campbell [12]による例を二つ挙げる． (1) 経路ABとCDが並行の位置関係にある場合経路ABを含む直線上への点Cと点Dの射影点を C’，D’とすると， mij= AB log CB+ C _B DB + DB + AD _{log DB}+ DB DA + DA − AC_{log CB}+ CB CA + C_A − (−AC + AD + BC − BD). (8) ただし，AB等は二点間の距離，アンダースコアー付きのAD’等は向きを含む距離でAD’の向きがABの向きと同一であれば正，逆向きであれば負を採る． (2) 経路ABとCDが連続する経路であり，点B = Cの場合この場合は，図 4 (a) 並行な二本の折れ線経路と (b) 一端を接して連 続する二本の折れ線経路

Fig. 4 (a) two parallel broken line paths, and (b) two consecutive broken line paths connected by one ends.

図 5 並行な 2 直線経路の数値積分の離散化分割数と精度 Fig. 5 Fineness and accuracy of discretization of numerical

integration for two parallel line paths.

mij= ABlog AD+A _D AB +AC− C _D_{log DA}+DA CD+DB. (9) ここでもプライム付きの点は，相手方の線分の直線上への射影点を表し，アンダースコアー付きの量は向きを含む距離である．以下では，これらの解析式を使って，前節に示した数値積分の計算精度を評価してみる．数値積分の計算精度は有限積分線素の区間ΔAB，及び ΔCD の細かさ，すなわち離散化点数N に依存すると考えられる．そこで図4に示す長さl をもつ並行経路間の積分値，及び連続する二経路間の積分値について，解析解を正解と仮定し，数値積分解の相対誤差を次式により評価した．誤差ε =数値積分解−解析解解析解 (10) 図5に図4 (a)の並行配置の場合の評価結果を示す．線分の長さl = 1に対して線分間の距離dを1から

(5)

図 6 一端を接する折れ線経路の数値積分の離散化分割数と精度

Fig. 6 Fineness and accuracy of discretization of nu-merical integration for a continuous line paths connected by one ends.

0.001まで狭めていったときの相対誤差の離散化点数依存性をプロットしている．この図から判るように，二本の線分間の距離が離れている場合は比較的粗い離散化でも誤差を小さく抑えることができるが，距離が近づき，d/l が小さくなるに従って相対誤差が増大する．そもそも近い距離にある線分同士の要素積分ほどその値自体が大きくなり誤差への影響が支配的となると考えられるので，そのような組み合わせについては離散化点数を大きく採って計算精度を確保する必要がある．具体例として，一辺が数十センチの方形コイルをコンマ数ミリのピッチで巻くと，隣り合う直線経路の距離dと長さlの比が10−3程度となる．このワーストケースの組み合わせに対して相対誤差を10−3以下に抑えるには，図5の評価結果からN = 1000程度とすれば十分であろうことが判る．なお，図4 (a)のように長さの等しい二経路が完全に並走している場合，数値積分解は解析解より絶対値が大きい方から解析解へ収束して行く．しかし，この大小関係は二本の直線経路の位置関係によって異なり，絶対値が小さい側から収束していくものもある．更に分割が粗くN が小さい条件では振動しながら収束することもある．図6は図4 (b)の連続する二本の経路の場合の評価結果である．ここでは，経路の内角αを横軸に採ってグラフにした．二本の経路が直交するα = 90度では mij= 0であり，式(10)は不定となるが，この図ではその前後のα = 89度と91度で式(10)を評価して作図している．後に円形コイルの多角形近似について述べるが，図より，内角が鈍角の範囲ではこの組み合わせについてもN = 1000程度に採れば相対誤差10−3 以下を十分に確保できることが判る．なお，鈍角の範囲ではmij自体は正の値であり，数値積分解は解析解よりも小さい値から解析解に収束して行く．一方，内角が鋭角になるとmij 自体は負の値となり，45度付近で相対誤差が落ち込む角度がある．これより大きな角度では数値解析解の mij の絶対値が解析解より小さな値から解析解へ収束し，小さな角度ではこれが反転して絶対値が大きな値から解析解に収束している．コイルとしては非常に特異な構造であるが，内角が10 度以下の鋭角となる部分は相対誤差が劣化しており，このような構造を含む場合は個別の精査が必要かも知れない．

4. 様々なコイル位置関係の生成

2. 1に述べたように，コイルの構造を折れ線経路の節点座標の集合で表現することによって，空間内でのコイルの位置や向きの移動操作がそれらの節点座標の並進移動や回転移動といったベクトル計算の一括処理によって容易に実現可能となる．一つのコイルがp 本の折れ線経路で成り立っているとすると，その並進移動は，並進移動量ベクトルをa = (ax, ay, az)と与えて， ⎛ ⎜ ⎝ xi yi zi ⎞ ⎟ ⎠← ⎛ ⎜ ⎝ xi yi zi ⎞ ⎟ ⎠+ ⎛ ⎜ ⎝ ax ay az ⎞ ⎟ ⎠ (11) の操作をi = 0からpまでの節点に施すことにより完了する．また，一例としてz軸を中心とした角度β の回転は， ⎛ ⎜ ⎝ xi yi zi ⎞ ⎟ ⎠← ⎛ ⎜ ⎝ cos β − sin β 0 sin β cos β 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ xi yi zi ⎞ ⎟ ⎠ (12) の操作で実現できる．こうした並進移動や回転移動の操作を組み合わせることで，複数のコイル間の様々な位置関係を生成することが可能である．本論文の最後に，この機能を活用して二つのコイルの位置関係を動かしたときの結合係数の変化の解析例を示す．

5. コイルのインダクタンスの計算結果

ここまで述べてきた計算手法に基づく自己，及び相互インダクタンスの簡易計算ソフトウェアを試作した．

(6)

以下に，解析結果の例を示す．図7に概略の形状を示す方形コイル，及び円形コイルをポリウレタン被覆銅線を巻いて作製した．表1にそれらのサイズ，巻き数，巻き線ピッチ，銅線幅，そして本手法による自己インダクタンスの計算結果を示す．銅線は隙間を空けずに巻いたので巻き線ピッチδ は銅線幅0.8mmに等しい．方形コイルは四方の辺をそれぞれ一本の直線経路として四隅の角の座標の集合でコイル全体の形状を定義して計算した．また，円形コイルは，この表には一周を24角形の正多角形で近似して計算した結果を示している．mijの数値積分は全てN = 1000とした．同一経路の二重積分miiの値には，給電周波数を1 MHz程度と想定して銅線の表皮厚さを60∼70μmと見積もり，電流の大部分が銅線の表面付近に集中するとして式(6-2)を適用した．参考として同じく表1にベクトルネットワークアナライザによるインピーダンス測定から求めたインダクタンス値も掲載している．測定周波数は1 MHzでコイルの自己共振周波数より十分低い周波数領域での測定である．計算結果と測定結果は，おおむね良い一致が得られている．円形コイルの多角形近似についてその影響を確認するため，表1に示した円形コイルを六角形から360 角形まで様々な多角形折れ線近似で表現した場合の自図 7 (a) 方形コイルと (b) 円形コイル Fig. 7 (a) a rectangular coil and (b) a circular coil.

表 1 方形及び円形コイルの自己インダクタンス計算結果と実測結果 Table 1 Calculation and measurement results of self inductances of rectangular

and circler coils.

己インダクタンスの計算結果を比較した．その結果を図8に示す．この多角形近似は折れ線経路の頂点が円周上に乗るようにしたため，折れ線の経路長が元の円形コイルの経路長より短くなる．したがって，多角形近似のインダクタンスは元の円形コイルのものより低く計算されると推測される．図8の結果はそれを支持するものであり，六角形，八角形，12角形，24角形と角数を増やすとインダクタンス値が増大して円形コイルの値に収束して行くものと解釈できる．同図の右縦軸に収束に至る値からの差分を示すメモリ軸を付加した．次に，自己インダクタンスの計算結果に対する数値積分の分割の細かさN の影響を見た．ここでは，敢えてN を1000から100，10と粗くした計算を行った．その一例として，表2に円形コイルの多角形近似のうちの六角形コイルの自己インダクタンス計算結果を示す．3. 2では二本の直線経路間の要素積分の数値誤差を詳しく調べて分割数N を大きくすることで相対誤差がおおむね単調に減少する状況を見たが，要素積分の総和から計算されるインダクタンス値への影響は単調ではなく複雑な振る舞いを示している．表2の六角形コイルの場合はN = 1000からN = 100へ精度を落とすとインダクタンスは微減するがN = 10ま図 8 円形コイルと多角形近似の差分 Fig. 8 Diﬀerence between the circular coil and its

(7)

表 2 六角形コイル自己インダクタンス計算結果の N 依 存性

Table 2 Dependence of N on the calculated self-ductance of the hexagonal coil.

図 9 距離 d を隔てて配置した二つの方形コイル Fig. 9 Two rectangular coils spaced a distance d

part. で落とすと誤差がマイナスからプラスへ転じて大きく増加している．このような複雑な振る舞いは，インダクタンスが様々な割合で誤差を含む要素積分の和により計算されていることを考えると理解できる．プラスの誤差をもつ要素とマイナスの誤差をもつ要素が加算されることで結果的に精度が保たれることがある．しかしながら，加算によって誤差が打ち消し合うか強め合うかをあらかじめ予測することは難しく，インダクタンスとしての精度を確保するには3. 2で行ったように要素積分の段階での最大誤差を評価しておく必要があると考えられる．以上，方形コイルと円形コイルを例として自己インダクタンスの計算例について述べ，特に円形コイルの計算結果を用いて精度に関する考察を行った．本論文では最後に二つの方形コイルの位置関係を変化させたときの結合係数の変化の計算結果を示す．表1に挙げた方形コイルを二つ用意してコイルC1， C2とし，それらを図9のように対向させたときのC1 とC2 の間の相互インダクタンスM を計算した．二図 10 対向する二つの方形コイルの結合係数の距離依存性 Fig. 10 Variation of the coupling coeﬃcient against the distance between two rectangular coils facing each other.

図 11 一方のコイルを回転させたときの結合係数の変化 Fig. 11 Change in coupling coeﬃcient when one coil

is rotated. つのコイルの結合係数kは，両者の自己インダクタンスをLとして次式で与えられる． k = M L (13) 4.に述べた方法でコイル C2 の位置をC1 の位置から並進移動させてコイル間の距離d に対する結合係数kの変化を計算した．その結果を実測結果とともに図10に示す．距離が離れると一方のコイルの作る磁束の他方への鎖交数が減少し相互インダクタンスが小さくなり結合係数が減少する．結合係数の測定は，自己インダクタンスの測定と同様にベクトルネットワークアナライザを用い，2ポートのS パラメータから換算した．計算結果が実測値と良く一致する結果を得た．また，図11には，コイルC2の回転操作と並進移動を組み合わせて図9に記載の回転軸に沿って回転させた配置を作り結合係数kの変化を計算した結果を示し

(8)

ている．この結果についても計算値と実測値の良い一致が得られた．このようにコイル間の様々な位置関係を生成してコイル定数を計算することが可能となった．

6. むすび

本研究では，各種センサ端末への無線給電応用を念頭に置いて，磁界共鳴方式無線電力伝送用コイルのインダクタンス計算手法を検討した．様々なコイルの位置関係を簡単に生成するためにコイル形状を直線を連ねた折れ線経路で近似し，ノイマンの公式によるコイル定数算出を各直線経路同士の要素積分の和として計算した．要素積分の数値計算精度について考察し，幾つかの計算例と実測値の比較により計算の妥当性を検証した．本論文に示した解析例題以外にも様々な形状のコイルのインダクタンスを求めて計算結果の妥当性を検証している．文献

[1] Plattform Industrie 4.0, https://www.plattform-i40. de/PI40/Navigation/EN/Home/home.html [2] 日本再興戦略 2016，内閣府，https://www.kantei.go.jp/

jp/singi/keizaisaisei/pdf/2016 zentaihombun.pdf [3] 内閣府ホームページ，“Society 5.0,” https://www8.cao.

go.jp/cstp/society5 0/index.html

[4] A. Kurs, A. Karalis, R. Moﬀatt, J. Joannopoulos, P. Fisher, and M. Soljacic, “Wireless power transfer via strongly coupled magnetic resonances,” Science, vol.317, pp.83–86, 2007.

[5] A. Karalis, J. Joannopoulos, and M. Soljacic, “Eﬃ-cient wireless non-radiative mid-range energy trans-fer,” Annals of Physics, 323, pp.34–48, 2008. [6] T. Imura and Y. Hori, “Maximizing air gap and

ef-ﬁciency of magnetic resonant coupling for wireless power transfer using equivalent circuit and neumann formula,” IEEE Trans. Industrial Electronics, vol.58, no.10, pp.4746–4752, 2011.

[7] 今野宗一郎，山本隆彦，越地耕二，“プリントスパイラルコイルを用いたワイヤレス電力伝送に関する研究，”信学論（C），vol.J97-C, no.12, pp.528–534, Dec. 2014. [8] R. Yan, X. Guo, S. Cao, and C. Zhang,

“Optimiza-tion of output power and transmission eﬃciency of magnetically coupled resonance wireless power trans-fer system,” AIP Advances, 8, 056625, 2018. [9] 李寧，新田信之，鈴木統万，野口純平，磯野友寛，杉本泰博，“ワイヤレス電力伝送における受電回路を含めた最適負荷の研究，”信学論（C），vol.J101-C, no.4, pp.172– 180, April 2018. [10] 福永利徳，柴田随道，富沢雅彰，伴弘司，“解析的手法を用いたコイルインダクタンス計算手法，”信学技報， ED99-160, MW99-78, 1999. [11] 電気磁気学（第二次改訂版），電気学会大学講座，オーム社． [12] G.A. Campbell, “Mutual inductances of circuits

composed of straight wires,” Physical Review, vol.5, issue 6, pp.452–458, June 1915. （2019 年 9 月 6 日受付，11 月 11 日再受付， 2020年 3 月 31 日公開）柴田随道（正員：フェロー） 1980東京高専・電子卒．1983 東大・工卒．1985 同大大学院修士課程了．同年，日本電信電話（株）入社．電磁界解析，高速アナログ回路，通信制御用 SoC の研究開発に従事．NTT 先端集積デバイス研究所長を経て 2015 より都市大教授．その間， 1996∼1997 UCLA 客員研究員，2007∼2009 本会エレクトロニクスソサイエティ副会長，2007∼2012 VLSI シンポジウム実行委員，2012∼2014 エレクトロニクスシミュレーション研究専門委員会委員長，APMC 国内委員会委員，2013∼2014 北大客員教授，2019 エレクトロニクスソサイエティ会長．工博．電気学会，IEEE 会員．保谷駿介（学生員） 2018東京都市大学・知識工学部卒．同大大学院修士課程に在学し無線電力伝送技術の研究に従事．

様々な位置関係にある無線給電用コイルのインダクタンス計算